专题02 解直角三角形重要模型之实际应用模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版九年级下册

专题02 解直角三角形重要模型之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一（也可理解为相似三角形的一种特殊情况），直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.背靠背模型 4 模型2.母子模型 7 模型3.拥抱模型 12 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 24 解直角三角形在实际应用中的模型不仅具有严谨的数学逻辑，还蕴含许多有趣的工程故事与历史背景。 1）古埃及人测量金字塔高度时，利用日影长度与木桩构造直角三角形，通过相似三角形原理计算高度，堪称最早的“背靠背模型”实践‌。现代无人机航测中，该模型通过双观测点仰角数据，将不可达高度转化为三角函数关系，误差可控制在厘米级。 2）山区修建拦水坝时，工程师通过坡面铅直高度与水平宽度的比例关系，建立母子三角形同步推导坝体参数。某案例中，仅用两个观测点的数据便精准计算出倾斜角度，节省了30%的勘测成本。‌ 解直角三角形中的实际应用模型源于实际问题抽象为几何结构，培养数学建模能力，其思想在工程测绘、建筑设计中具有重要实践意义，并为中考动态几何题提供系统化框架‌。 1）三角函数核心公式 2）特殊角函数值： 3）仰角、俯角：视线与水平线夹角；坡度坡角：（重点）； 方位角：北偏东、北偏西、南偏东、南偏西（以正北正南为基准） 4）核心思想：化斜为直、公共高搭桥、设高列方程 5）方案选择问题（改造工程、最短距离）；分类讨论（航行是否触礁、是否遮挡） 模型1.背靠背模型 【模型提炼与证明】 1）背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 【模型运用】 【典例1】（2026·山西长治·三模）项目学习 项目主题 杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究 活动内容 利用高椅的规律摆放、三角函数等有关知识进行测量与计算 项目实施 方案说明 图1为摄影机的最佳拍摄位置示意图，点A为摄影机的位置，点B为拍摄画面的顶端，点C为拍摄画面的底端，为水平地面，为过摄影机镜头中心的水平线，与交于点D，为舞台水平面．已知从摄影机镜头中心A观察拍摄画面顶端B的仰角为，观察拍摄画面底端C的俯角为 测量示意图 信息数据1 图2为“高椅”杂技表演实景，底部支撑椅的高度忽略不计．如图3所示，每两把椅子以座面向上、椅腿朝上的标准姿态垂直叠加，共叠加9把，顶端最后1把由表演者斜靠放置 信息数据2 图4为顶端第9把椅子和第10把椅子的抽象几何示意图，椅子座面的厚度和图中的高度均忽略不计，已知椅腿米，座面米，椅背米， 参考数据 ，，，，， 计算 … 交流展示 … 在一场杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究测量活动中，请解答以下问题： (1)求高椅的实际高度（结果保留整数）；(2)若要使拍摄画面为全景，使高椅在画面中上下各留出0.5米的区域，请计算此时线段的长（结果保留整数）． 【典例2】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示、、、四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，在的正东方向，在的正北方向，在的北偏东方向且在的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号）;(2)小中和小国分别从、打卡点同时出发，小中以的速度从打卡点沿方向步行至打卡点，小国以的速度从打卡点沿方向跑步至打卡点，请通过计算说明，小中出发多少千米后恰好与小国相距千米？(结果保留小数点后两位，参考数据：，) 【典例3】（2026·海南海口·模拟预测）河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡度的斜坡边，斜坡长为48米，在点处测得桥墩最高点的仰角为，平行于水平线，长为米． (1) ， ．(2)求点到直线的距离； (3)求桥墩的高（结果保留位小数）．（，，，） 【典例4】（25-26八年级下·重庆潼南·期末）某送货员送货的路线如图所示：．已知B在A的北偏东方向处，C在B的正东方处，D在C的南偏东方向，D在A的正东方．（参考数据：，，）。(1)求线段的长度；（结果精确到）(2)已知送货员在送货过程中全程保持的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A运送到D，则送货员按既定路线进行运送能否按时送达？（送货员在各站点停留的时间忽略不计） 模型2..母子模型 【模型提炼与证明】 2）母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·上海·阶段练习）某数学兴趣小组开展一项综合实践活动，记录如下： 【活动项目】测量山坡上一棵垂直于水平地面的大树的高度． 【测量方案】示意图如图所示： 1．在水平地面上正对大树的方向上选取点，在点处测量大树顶端的仰角； 2．沿方向前进到达坡脚点处，在点处测量大树顶端的仰角； 3．测量之间的距离；4．测量斜坡的坡角． 【测量数据】1．在点处测得的仰角为；2．在点处测得的仰角为；3．；4．斜坡的坡角为．请根据以上方案，计算大树的高度．（结果保留精确值．参考数据：， 【典例2】（2025·山西·模拟预测）2024年，元宵节迎春烟花秀在人民广场震撼上演，欢乐、祥和、喜庆、热烈的节日氛围再次拉满，欢欢和喜喜两位同学相约去人民广场看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，欢欢从点出发，沿坡度的山坡走了130米到达坡顶点，喜喜则沿点正东方向到达离点水平距离40米的点观看，此时烟花在与，同一水平线上的点处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点的正上方点绽放，欢欢在坡顶处看烟花绽放处的仰角为，喜喜在处测得点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．（参考数据：，）；(1)求欢欢从斜坡处走到处上升的高度；(2)烟花燃放结束后，欢欢和喜喜两位同学来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放的高度（图中DE）是否属实？ 【典例3】（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号(2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 【典例4】（2025·新疆昌吉·模拟预测）北庭故城建于唐代，见证了新疆自古以来就是祖国不可分割的一部分，废墟最高处如图所示是故城地标建筑之一，当初是为了防御外敌所建的瞭望角楼．此楼底部距离地平线高度为米，小明在地面A点处测得残楼低N的仰角是，由A往前走30米至点B处，测得的残顶P的仰角是，请求出瞭望角楼的高度（精确到1米）．（，，） 【典例5】（2026·贵州贵阳·二模）长期以来，冰雪运动被称为“高岭之花”．如图所示，滑雪轨道由两部分组成，轨道的长度都为200米，若与水平面的夹角，与水平面的夹角． (参考数据：，，结果精确到1米) (1)求轨道拐点B到轨道底端C的水平距离；(2)若小星沿此轨道，从A处滑到C处，求小星下降的高度． 【典例6】（2025·湖南长沙·模拟预测）奇山秀水聚宝盆——湖南首届旅游大会在张家界召开．如图①为某景区山地剖面图，为给游客提供更好的游览体验，拟在山上修建观光索道．如图②所示为索道的设计示意图，以山顶为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山脚处，中途观光平台为，且与平行．索道与水平线的夹角为，与水平线夹角为，、两处的水平距离为，，垂足为点．（参考数据：，，，） (1)求索道的长（结果精确到0.）；(2)求水平距离的长（结果精确到0.）． 模型3.拥抱模型 【模型提炼与证明】 3）拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 【模型运用】 【典例1】（2025·四川成都·中考真题）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为，然后沿方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，） 【典例2】（2025·贵州遵义·模拟预测）赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中，），具体操作如下：将平面镜水平放置于处，小茜站在处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端处（为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字底端处．测得，，点，，，在同一水平线上，点，，在同一铅垂线上．（参考数据：，，） (1)的高度为__________，的长为__________；(2)求“美”字的高度． 【典例3】（2026·陕西西安·模拟预测）在数学综合实践活动中，小林和小溪利用所学的数学知识测量学校花坛内一棵大树的高度，树的底部不可直接到达，两人讨论后采用以下方法进行测量：如图，小林把支架EF放在离树适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架EF上的点处，然后沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端，即，然后小林又在C处用测倾器测得树的顶端A处的仰角为度；小溪用皮尺分别测量及小林目高的长．已知于点于点于点米，米，米，请你利用测得的数据求出这棵树的高度（结果保留整数．参考数据：，） 模型常见易错点 1）混淆仰角、俯角，看错水平线 错误：把斜边夹角当成仰角。 解决方案：仰角、俯角永远贴着水平线，先画水平线，再连视线。 2）坡度概念记反（最大扣分点） 错误：坡度=水平:竖直。 解决方案：坡度=竖直高度:水平宽度，永远先高后宽。 3）方位角基准搞错 错误：以东、西为基准判断角度。 解决方案：方位角基准永远是正北、正南。 4）不会设公共高，强行硬算 错误：不用方程，三角函数乱套。 解决方案：底部不可到达题型，第一步必设高为x。 5）漏加观测身高 错误：测高题忘记加人眼高度、仪器高度。 解决方案：题干出现“仪器高、眼高”，最后必须累加底部高度。 6）无图题不画图、不建模 解决方案：实际应用题必须先画图建直角模型，不画图必错。 解题方法总结 实际应用题步骤： 1）画图建模：根据题意画水平线、竖直线，构造Rt△，标注已知角、已知边； 2）确定类型：判断仰角/俯角/坡度/方位角模型； 3）设元关键：有不可求高度，统一设竖直高为x； 4）边角转化：利用表示水平线段，利用勾股表示斜边； 5）列方程求解：利用水平距离差、和建立等式； 6）检验作答：判断取舍、比较大小、带单位、写完整答语。 口诀: 实际应用不用难，所有题目拆直角；遇高就设未知数，公共线段做桥梁； 坡度分清高和宽，方位正北正南看；画图建模是关键，方程一出答案现。 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）春节期间，某老师邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤的坡度为，长为米，钓竿与水平线的夹角是，其长为6米，若钓竿与钓鱼线的夹角也是，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（   ） A． B．米 C．米 D．米 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 3．（25-26九年级下·湖北黄冈·培优）如图，小明利用无人机测量教学楼的高度，无人机在点处，测得小明所在位置点的俯角为，测得教学楼顶点的俯角为，教学楼底点的俯角为，又经过人工测得，两点间的距离为米，则教学楼的高度为 米．（注：点，，，在同一平面上，参考数据：，，结果取整数） 4．（2025·山东青岛·中考真题）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 5．（2025·山东青岛·模拟预测）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，测量示意图如图所示．已知斜坡长，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点正上方的点处测得点的俯角为，该风力发电机塔杆的高度为．求无人机在处时到的距离．（参考数据：，，．） 6．（2025·湖南长沙·模拟预测）在校园科技节中，小星和小麓设计了“制作测角仪，测量旗杆高度”的探究活动．如图，小星在处测得旗杆顶端的仰角为，小麓在处测得旗杆顶端的仰角为，已知两人所处位置的水平距离米，处距地面的垂直高度米，处距地面的垂直高度米，点在同一条直线上．(1)求的长度；(2)求旗杆的高度．(结果保留根号) 1．（2025·湖北·模拟预测）如图，已知某校博学楼层高5米，弘毅楼层高16米，此刻明明在距离博学楼不远的操场上，估计他自己的身高为米，此刻测得他看博学楼顶部的仰角为，一无人机在弘毅楼顶部观察他的俯角为．若楼宽忽略不计，则两栋教学楼之间相距 米．（保留根号） 2．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知．(1)求的度数；(2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 3．（2025·吉林·模拟预测）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧的示意图，已知试管，试管倾斜角为．(1)试管口与铁杆的水平距离的长度为___（结果用含非特殊角的三角函数表示）(2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），测得：，求线段的长度．（结果精确到）（参考数据：） 4．（2025·湖南·模拟预测）每年12月2日是“全国交通安全日”，每一位公民任何时候都应该遵守交通规则．某学校门前有一直行马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度为6米．现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，如图，汽车里司机A与斑马线前后两端的视角，的大小分别为和，司机与车头的水平距离为1米，与车顶的垂直距离为米． (1)旅游车高约多少米？(2)为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得小于3米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准？（E，D，C，B四点在平行于斑马线的同一直线上）（参考数据：，，，，） 5．（2025·山东淄博·中考真题）如图，某学校教学楼和市创业大厦之间矗立着一座小山．为了测得大厦的高度，小伟首先登至小山的最高处，测得，处的俯角分别为，；然后操控无人机铅直起飞至比处高的处．再次测得这两处的俯角分别为，．已知点，，，，，均在同一平面内，为水平地面，．请求出大厦的高度（结果精确到，参考数据见下表）． 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 0.94 2.87 0.37 2.54 0.66 0.53 6．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． (1)求平台的高度；(2)求建筑物的高度（即的长）． 1．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）某数学兴趣小组测量校园内一栋古建筑（底部不可达）的高度的活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量古建筑的高度（底部不可达） 测量工具 皮尺、测倾器 活动说明 在阳光下，他们在古建筑的影子顶端C处，直立一个长为2米的标杆，经测量，同一时刻标杆的影子米，接下来他们沿着方向从点E出发走了9米到达点F处（即米），利用无人机测得米，并用无人机在G处测得B点的俯角为，，，，点B、C、E、F在一条直线上 测量方案示意图    求古建筑的高．(参考数据： ， ， ) 2．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．    (1)如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示． (2)如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点分别测得气球的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．（参考数据：，） 3．（2023年四川省泸州市中考数学真题）如图，某数学兴趣小组为了测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度（参考数据：，，，计算结果用根号表示，不取近似值）．    4．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且、、三点在一条直线上，． (1)求岛与港口之间的距离；(2)求．（参考数据：，，） 5．（2025·辽宁·模拟预测）某学校开展综合实践活动，如图，为两栋楼房，山坡长为，，楼房位于山坡顶部平地上，底部A到 E 点的距离为．楼房底层窗台P 处至地面C 处的高度为，在点P 处观察点B 的仰角为，底部C 距 F处距离为．图中所有点均在同一平面内，．(1)求山坡的垂直高度；(2)求楼房的高度．（参考数据：，，结果精确到） 6．（2025·安徽·模拟预测）小杰要用自己学过的知识，测量自家居住的居民楼高度．在居民楼前方有一斜坡，坡长米，斜坡的坡比，小杰在C点处测得楼顶端A的仰角为，在D点处测得楼顶端A的仰角为，求楼高．（点A，B，C，D在同一平面内，结果精确到， 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解直角三角形重要模型之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一（也可理解为相似三角形的一种特殊情况），直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.背靠背模型 4 模型2.母子模型 7 模型3.拥抱模型 12 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 24 解直角三角形在实际应用中的模型不仅具有严谨的数学逻辑，还蕴含许多有趣的工程故事与历史背景。 1）古埃及人测量金字塔高度时，利用日影长度与木桩构造直角三角形，通过相似三角形原理计算高度，堪称最早的“背靠背模型”实践‌。现代无人机航测中，该模型通过双观测点仰角数据，将不可达高度转化为三角函数关系，误差可控制在厘米级。 2）山区修建拦水坝时，工程师通过坡面铅直高度与水平宽度的比例关系，建立母子三角形同步推导坝体参数。某案例中，仅用两个观测点的数据便精准计算出倾斜角度，节省了30%的勘测成本。‌ 解直角三角形中的实际应用模型源于实际问题抽象为几何结构，培养数学建模能力，其思想在工程测绘、建筑设计中具有重要实践意义，并为中考动态几何题提供系统化框架‌。 1）三角函数核心公式 2）特殊角函数值： 3）仰角、俯角：视线与水平线夹角；坡度坡角：（重点）； 方位角：北偏东、北偏西、南偏东、南偏西（以正北正南为基准） 4）核心思想：化斜为直、公共高搭桥、设高列方程 5）方案选择问题（改造工程、最短距离）；分类讨论（航行是否触礁、是否遮挡） 模型1.背靠背模型 【模型提炼与证明】 1）背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 【模型运用】 【典例1】（2026·山西长治·三模）项目学习 项目主题 杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究 活动内容 利用高椅的规律摆放、三角函数等有关知识进行测量与计算 项目实施 方案说明 图1为摄影机的最佳拍摄位置示意图，点A为摄影机的位置，点B为拍摄画面的顶端，点C为拍摄画面的底端，为水平地面，为过摄影机镜头中心的水平线，与交于点D，为舞台水平面．已知从摄影机镜头中心A观察拍摄画面顶端B的仰角为，观察拍摄画面底端C的俯角为 测量示意图 信息数据1 图2为“高椅”杂技表演实景，底部支撑椅的高度忽略不计．如图3所示，每两把椅子以座面向上、椅腿朝上的标准姿态垂直叠加，共叠加9把，顶端最后1把由表演者斜靠放置 信息数据2 图4为顶端第9把椅子和第10把椅子的抽象几何示意图，椅子座面的厚度和图中的高度均忽略不计，已知椅腿米，座面米，椅背米， 参考数据 ，，，，， 计算 … 交流展示 … 在一场杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究测量活动中，请解答以下问题： (1)求高椅的实际高度（结果保留整数）；(2)若要使拍摄画面为全景，使高椅在画面中上下各留出0.5米的区域，请计算此时线段的长（结果保留整数）． 【答案】(1)高椅的实际高度为7米(2)此时线段的长约为9米 【详解】（1）解：在图4中，在中，米，，， ∴（米）．∵在中，米， ，∴（米）， ∴高椅的实际高度为（米）． 答：高椅的实际高度为7米． （2）解：在图1中，（米） 在中，，，∴． 在中，，，∴， 由，解得（米）． 答：此时线段的长约为9米． 【典例2】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示、、、四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，在的正东方向，在的正北方向，在的北偏东方向且在的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号）;(2)小中和小国分别从、打卡点同时出发，小中以的速度从打卡点沿方向步行至打卡点，小国以的速度从打卡点沿方向跑步至打卡点，请通过计算说明，小中出发多少千米后恰好与小国相距千米？(结果保留小数点后两位，参考数据：，) 【答案】(1)千米(2)千米 【详解】（1）解：如图，过作于，过作于， ∵，∴四边形是矩形， ∴千米，， 根据题意，得，， ∵千米，∴千米， ∴千米，（千米）， 在中，∵，∴千米，∴千米， 答：的长度为千米； （2）解：如图，设出发小时后，小中到达点，小国到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点作于点， 由（）可得千米，∴千米， ∴千米，千米， ∴千米， 在中，∵，∴， 整理，得，解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴，∴（千米） 答：小中出发千米后恰好与小国相距千米． 【典例3】（2026·海南海口·模拟预测）河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡度的斜坡边，斜坡长为48米，在点处测得桥墩最高点的仰角为，平行于水平线，长为米． (1) ， ．(2)求点到直线的距离； (3)求桥墩的高（结果保留位小数）．（，，，） 【答案】(1)，(2)24米(3)米 【详解】（1）解：如图，延长交于点E，过点C作于点F，则，，， ∴．∴， 在中，，即，∴；故答案为：，； （2）解：在中，，米，∴米； （3）解：在中，，米，∴米， 由（1）得：米，∵米，∴米， 在中，，∴米， ∴米，即桥墩的高为米． 【典例4】（25-26八年级下·重庆潼南·期末）某送货员送货的路线如图所示：．已知B在A的北偏东方向处，C在B的正东方处，D在C的南偏东方向，D在A的正东方．（参考数据：，，） (1)求线段的长度；（结果精确到）(2)已知送货员在送货过程中全程保持的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A运送到D，则送货员按既定路线进行运送能否按时送达？（送货员在各站点停留的时间忽略不计） 【答案】(1) (2)解：送货员按既定路线进行运送能按时送达，理由如下： 根据题意，得， ，， 故需要时间为，小于16分钟， 故送货员按既定路线进行运送能按时送达； 【详解】（1）解：根据题意，得，，，，，四点共线，，垂足分别为点F，点E，， 根据平行线间的距离处处相等，得，四边形是平行四边形， ，四边形是矩形，， ，， ； （2）略 模型2..母子模型 【模型提炼与证明】 2）母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·上海·阶段练习）某数学兴趣小组开展一项综合实践活动，记录如下： 【活动项目】测量山坡上一棵垂直于水平地面的大树的高度． 【测量方案】示意图如图所示： 1．在水平地面上正对大树的方向上选取点，在点处测量大树顶端的仰角； 2．沿方向前进到达坡脚点处，在点处测量大树顶端的仰角； 3．测量之间的距离； 4．测量斜坡的坡角． 【测量数据】1．在点处测得的仰角为；2．在点处测得的仰角为；3．；4．斜坡的坡角为．请根据以上方案，计算大树的高度．（结果保留精确值．参考数据：， 【答案】大树的高度为 【详解】解：延长交于，则， ∵ 斜坡的坡角为，∴，∵，， 在中，，∴， 在中，，∴， 在中，，∴，∴， ∴，∴， 即大树的高度为． 【典例2】（2025·山西·模拟预测）2024年，元宵节迎春烟花秀在人民广场震撼上演，欢乐、祥和、喜庆、热烈的节日氛围再次拉满，欢欢和喜喜两位同学相约去人民广场看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，欢欢从点出发，沿坡度的山坡走了130米到达坡顶点，喜喜则沿点正东方向到达离点水平距离40米的点观看，此时烟花在与，同一水平线上的点处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点的正上方点绽放，欢欢在坡顶处看烟花绽放处的仰角为，喜喜在处测得点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．（参考数据：，）；(1)求欢欢从斜坡处走到处上升的高度；(2)烟花燃放结束后，欢欢和喜喜两位同学来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放的高度（图中DE）是否属实？ 【答案】(1)欢欢从斜坡走到处上升的高度为50米(2)烟花燃放的高度属实 【详解】（1）解：过点作于G， 由题意，得：，设，则， ∴，∴，∴； 答：高度上升了50米； （2）解：作于，则四边形是矩形，由（1）知米， 米，米，米， 又，．． 在中，，， ∵．．     （米）．． 答：烟花燃放的高度属实． 【典例3】（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号(2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 【答案】(1)米(2)米 【详解】（1）如图，过点作于， 在中，坡面米，山坡的坡度， ，， 米，米；点距水平面的高度为米． （2）如图，过点作于，由（1）知，米，则米， 米，， 米，米， ，米，米， 答：条幅的长度是米． 【典例4】（2025·新疆昌吉·模拟预测）北庭故城建于唐代，见证了新疆自古以来就是祖国不可分割的一部分，废墟最高处如图所示是故城地标建筑之一，当初是为了防御外敌所建的瞭望角楼．此楼底部距离地平线高度为米，小明在地面A点处测得残楼低N的仰角是，由A往前走30米至点B处，测得的残顶P的仰角是，请求出瞭望角楼的高度（精确到1米）．（，，） 【答案】 【详解】解：在中，，，， ，，， ，，在中，， ，， 答：角楼的高度为． 【典例5】（2026·贵州贵阳·二模）长期以来，冰雪运动被称为“高岭之花”．如图所示，滑雪轨道由两部分组成，轨道的长度都为200米，若与水平面的夹角，与水平面的夹角． (参考数据：，，结果精确到1米) (1)求轨道拐点B到轨道底端C的水平距离；(2)若小星沿此轨道，从A处滑到C处，求小星下降的高度． 【答案】(1)轨道拐点B到轨道底端C的水平距离为173米(2)小星下降的高度为168米 【详解】（1）如图，过点B作于点G， ∵在中，，，， ∴；∴轨道拐点B到轨道底端C的水平距离为173米； （2）如图，设与交于点H，∵，∴， ∵，∴四边形是矩形，∴， ∵在中， ，，， ∴，∴．故小星下降的高度为168米． 【典例6】（2025·湖南长沙·模拟预测）奇山秀水聚宝盆——湖南首届旅游大会在张家界召开．如图①为某景区山地剖面图，为给游客提供更好的游览体验，拟在山上修建观光索道．如图②所示为索道的设计示意图，以山顶为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山脚处，中途观光平台为，且与平行．索道与水平线的夹角为，与水平线夹角为，、两处的水平距离为，，垂足为点．（参考数据：，，，） (1)求索道的长（结果精确到0.）；(2)求水平距离的长（结果精确到0.）． 【答案】(1)的长约为600m(2)的长为1049m 【详解】（1）在中，，，， ∴，即的长约为600m； （2）延长交于G， ∵，∴，∵，∴，∴四边形为矩形， ∴，，∵，， ∴， ∴，即的长为1049m． 模型3.拥抱模型 【模型提炼与证明】 3）拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 【模型运用】 【典例1】（2025·四川成都·中考真题）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为，然后沿方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，） 【答案】校园西门A与东门B之间的距离为207.6米 【详解】解：由题意，得：，米， 在中，米； 在中，米； 答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米 【典例2】（2025·贵州遵义·模拟预测）赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中，），具体操作如下：将平面镜水平放置于处，小茜站在处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端处（为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字底端处．测得，，点，，，在同一水平线上，点，，在同一铅垂线上．（参考数据：，，） (1)的高度为__________，的长为__________；(2)求“美”字的高度． 【答案】(1)，2(2) 【详解】（1）解：，， ，是等腰直角三角形，， 在中，，，， ；故答案为：，2； （2），，， 由题意可知， ，， 在中，， ，即“美”字的高度约为． 【典例3】（2026·陕西西安·模拟预测）在数学综合实践活动中，小林和小溪利用所学的数学知识测量学校花坛内一棵大树的高度，树的底部不可直接到达，两人讨论后采用以下方法进行测量：如图，小林把支架EF放在离树适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架EF上的点处，然后沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端，即，然后小林又在C处用测倾器测得树的顶端A处的仰角为度；小溪用皮尺分别测量及小林目高的长．已知于点于点于点米，米，米，请你利用测得的数据求出这棵树的高度（结果保留整数．参考数据：，） 【答案】8米 【详解】解：过点C作于点H，则米， 由题意得：米，（米）， ， ∴即，∴，∴， ∵，∴，解得：， ∴（米）． 模型常见易错点 1）混淆仰角、俯角，看错水平线 错误：把斜边夹角当成仰角。 解决方案：仰角、俯角永远贴着水平线，先画水平线，再连视线。 2）坡度概念记反（最大扣分点） 错误：坡度=水平:竖直。 解决方案：坡度=竖直高度:水平宽度，永远先高后宽。 3）方位角基准搞错 错误：以东、西为基准判断角度。 解决方案：方位角基准永远是正北、正南。 4）不会设公共高，强行硬算 错误：不用方程，三角函数乱套。 解决方案：底部不可到达题型，第一步必设高为x。 5）漏加观测身高 错误：测高题忘记加人眼高度、仪器高度。 解决方案：题干出现“仪器高、眼高”，最后必须累加底部高度。 6）无图题不画图、不建模 解决方案：实际应用题必须先画图建直角模型，不画图必错。 解题方法总结 实际应用题步骤： 1）画图建模：根据题意画水平线、竖直线，构造Rt△，标注已知角、已知边； 2）确定类型：判断仰角/俯角/坡度/方位角模型； 3）设元关键：有不可求高度，统一设竖直高为x； 4）边角转化：利用表示水平线段，利用勾股表示斜边； 5）列方程求解：利用水平距离差、和建立等式； 6）检验作答：判断取舍、比较大小、带单位、写完整答语。 口诀: 实际应用不用难，所有题目拆直角；遇高就设未知数，公共线段做桥梁； 坡度分清高和宽，方位正北正南看；画图建模是关键，方程一出答案现。 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）春节期间，某老师邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤的坡度为，长为米，钓竿与水平线的夹角是，其长为6米，若钓竿与钓鱼线的夹角也是，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（   ） A． B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：如图，延长交延长线于点E，过点A作于点F，则， ∵河堤的坡度为，∴，∴设， ∵米，∴在中，，∴，解得：， ∴， ∴ ，， ∵，∴是等边三角形， ∵米，∴米， ∴米， 即浮漂D与河堤下端B之间的距离为米．故选：B． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 【答案】A 【详解】由题意得：，，， 是的一个外角，， ，， 在中，（千米）． 点到直线的距离为千米．故选：． 3．（25-26九年级下·湖北黄冈·培优）如图，小明利用无人机测量教学楼的高度，无人机在点处，测得小明所在位置点的俯角为，测得教学楼顶点的俯角为，教学楼底点的俯角为，又经过人工测得，两点间的距离为米，则教学楼的高度为 米．（注：点，，，在同一平面上，参考数据：，，结果取整数） 【答案】 【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点, 由题意得：米，，，设米，∴米 在中，，∴(米)， 在中，，∴米，∴,解得:， ∴(米)，(米)， 在中，，∴(米)， ∴(米)．故答案为：． 4．（2025·山东青岛·中考真题）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】博学楼的高度为9米 【详解】解：过点作于点，由题意得，，，，， ∵，∴四边形是矩形，∴， 在中，∵，∴，∴设， 则，， 在中，∵，∴，解得：，∴， 答：博学楼的高度为9米． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，测量示意图如图所示．已知斜坡长，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点正上方的点处测得点的俯角为，该风力发电机塔杆的高度为．求无人机在处时到的距离．（参考数据：，，．） 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，延长交延长线于点． 根据题意可得垂直于水平面，，，， ，，． ，． ，四边形为正方形，． ，，，，， ．答：该无人机在处时到的距离约为． 6．（2025·湖南长沙·模拟预测）在校园科技节中，小星和小麓设计了“制作测角仪，测量旗杆高度”的探究活动．如图，小星在处测得旗杆顶端的仰角为，小麓在处测得旗杆顶端的仰角为，已知两人所处位置的水平距离米，处距地面的垂直高度米，处距地面的垂直高度米，点在同一条直线上． (1)求的长度；(2)求旗杆的高度．(结果保留根号) 【答案】(1)（米）(2)旗杆的高度为米 【详解】（1）解：由题意得，， ∴四边形和四边形为矩形，米，米， （米）； （2）解：设长为x米，则（米）， ，，，， ，，， 由（1）得四边形和四边形为矩形，， 米，，解得，米， 答：旗杆的高度为米． 1．（2025·湖北·模拟预测）如图，已知某校博学楼层高5米，弘毅楼层高16米，此刻明明在距离博学楼不远的操场上，估计他自己的身高为米，此刻测得他看博学楼顶部的仰角为，一无人机在弘毅楼顶部观察他的俯角为．若楼宽忽略不计，则两栋教学楼之间相距 米．（保留根号） 【答案】 【详解】解：过点C作，交于点F， ∴，∴四边形为矩形， ∵自己的身高为米，∴，∵博学楼层高5米，弘毅楼层高16米， ∴米，米， ∵他看博学楼顶部的仰角为，一无人机在弘毅楼顶部观察他的俯角为， ∴，∴，， ∴米，故答案为：． 2．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． (1)求的度数；(2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，由题意可得，． ．． （2）解：，． 由（1）得．．又，． 在中，，， ， ．． ，．． ∴景点C与景点D之间的距离为． 3．（2025·吉林四平·模拟预测）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧的示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)试管口与铁杆的水平距离的长度为________（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），测得：，求线段的长度．（结果精确到）（参考数据：） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵，，∴， 在中，， ∴，即，∴，故答案为：； （2）解：在中，∵，即， ，由（1）得， 延长交于点，则四边形是矩形， ，， ，，，， ，∴是等腰直角三角形，， ，答：求线段的长度约为． 4．（2025·湖南·模拟预测）每年12月2日是“全国交通安全日”，每一位公民任何时候都应该遵守交通规则．某学校门前有一直行马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度为6米．现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，如图，汽车里司机A与斑马线前后两端的视角，的大小分别为和，司机与车头的水平距离为1米，与车顶的垂直距离为米． (1)旅游车高约多少米？(2)为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得小于3米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准？（E，D，C，B四点在平行于斑马线的同一直线上）（参考数据：，，，，） 【答案】(1)旅游车高约米．(2)该旅游车停车符合规定的安全标准． 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵，∴，，∴， ∴，∴，∴，∴旅游车高约米． （2）解：在中，， ∵，∴， 答：该旅游车停车符合规定的安全标准． 5．（2025·山东淄博·中考真题）如图，某学校教学楼和市创业大厦之间矗立着一座小山．为了测得大厦的高度，小伟首先登至小山的最高处，测得，处的俯角分别为，；然后操控无人机铅直起飞至比处高的处．再次测得这两处的俯角分别为，．已知点，，，，，均在同一平面内，为水平地面，．请求出大厦的高度（结果精确到，参考数据见下表）． 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 0.94 2.87 0.37 2.54 0.66 0.53 【答案】 【详解】解：如图，延长交地面于点G，过点B作于点M，过点D作于点N， 则四边形，是矩形，∴，， 在中，，∵，∴， 在中，，∵，∴， ∴，即，解得， 同理：，即，解得：， ∴． 6．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． (1)求平台的高度；(2)求建筑物的高度（即的长）． 【答案】(1)10米(2)米 【详解】（1）解：过点B作于点E，则 ∵斜坡的坡度，∴，∵在中，， 即，∴米，∴平台的高度是10米． （2）解：延长交于点F， ∵，，∴，∴四边形是矩形，∴米，， 设米，则（米）， ∵在中，，∴（米）， ∵在中，，∴（米）， ∴米，由（1）有（米）， ∵，∴，解得， ∴（米），即建筑物的高度（即的长）为米． 1．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）某数学兴趣小组测量校园内一栋古建筑（底部不可达）的高度的活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量古建筑的高度（底部不可达） 测量工具 皮尺、测倾器 活动说明 在阳光下，他们在古建筑的影子顶端C处，直立一个长为2米的标杆，经测量，同一时刻标杆的影子米，接下来他们沿着方向从点E出发走了9米到达点F处（即米），利用无人机测得米，并用无人机在G处测得B点的俯角为，，，，点B、C、E、F在一条直线上 测量方案示意图    求古建筑的高．(参考数据： ， ， ) 【答案】古建筑的高为米 【详解】解：由题可知，，在中，，， ∵，∴，∴， ∵太阳光线是平行光线，∴，∴，， ∴，∴，即，解得：(米)， 答：古建筑的高为米． 2．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．    (1)如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示． (2)如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点分别测得气球的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．（参考数据：，） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图所示：    由题意知，在中，，则，即，； （2）解：如图所示：，在中，，由等腰直角三角形性质得到， 在中，，由， 即，解得，气球离地面的高度． 3．（2023年四川省泸州市中考数学真题）如图，某数学兴趣小组为了测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度（参考数据：，，，计算结果用根号表示，不取近似值）．    【答案】古树的高度为 【详解】解：延长，交于点G，过点B作于点F，如图所示：则，    ∵斜面的坡度为，∴设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即，解得：，负值舍去，即， ∵为水平方向，为竖直方向，∴， ∵，∴四边形为矩形，∴， ∵，∴在中，， ∵，∴在中，， ∴．答：古树的高度为． 4．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且、、三点在一条直线上，． (1)求岛与港口之间的距离；(2)求．（参考数据：，，） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴， 得：， 在中，由，得． 答：岛与港口之间的距离为； （2）解：在中，， ∵，∴，∴， 在中，． 5．（2025·辽宁·模拟预测）某学校开展综合实践活动，如图，为两栋楼房，山坡长为，，楼房位于山坡顶部平地上，底部A到 E 点的距离为．楼房底层窗台P 处至地面C 处的高度为，在点P 处观察点B 的仰角为，底部C 距 F处距离为．图中所有点均在同一平面内，．(1)求山坡的垂直高度；(2)求楼房的高度．（参考数据：，，结果精确到） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由题意得，在中，， ∴，∴山坡的垂直高度约为； （2）解：如图所示，过点B 作交直线于点Q， 过点P 作于点G，则四边形和四边形都是矩形， ∴，，由题意知， 在中，，∴， ∴， 在中，，∴， ∴， 答：楼房的高度约为． 6．（2025·安徽·模拟预测）小杰要用自己学过的知识，测量自家居住的居民楼高度．在居民楼前方有一斜坡，坡长米，斜坡的坡比，小杰在C点处测得楼顶端A的仰角为，在D点处测得楼顶端A的仰角为，求楼高．（点A，B，C，D在同一平面内，结果精确到， 【答案】居民楼的高度约为 【详解】解：过点作，垂足为，∵斜坡的坡比，， 设，则，在中，， ，，解得：，，过点作，垂足为， 由题意得：，设，，， 在中，，， 在中，，， ，，解得：， ，∴居民楼的高度约为． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $