专题01 解直角三角形重要模型之新定义模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版九年级下册

专题01 解直角三角形模型之新定义模型 解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.新定义模型 5 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 24 该模型通过初中几何方法诠释高中三角函数定理（如正弦定理、余弦定理等），将复杂三角关系转化为可操作的几何结构‌。例如，通过作高将任意三角形拆分为直角三角形，利用边长比例关系推导正弦定理，揭示三角形边角统一性‌。中考命题者将高中数学概念（如向量、解析几何）初中化处理，通过“知识包装”形式设计试题，既保留初中数学特点，又融入高中思维深度‌。典型如将坐标系与三角函数结合，构建跨学段解题逻。 1）锐角三角函数定义：。 2）特殊角三角函数：。 3）勾股定理：。 4）坡度坡角：。 5）几何核心思想：化斜为直、遇斜作高。 6）角度互余、等角代换、三角形外角定理。 7）方位角航海问题（东北、北偏东、南偏西）；坡度、堤坝、山坡高度计算。 模型1.新定义模型 【模型提炼与证明】 新定义模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关公式定理（如：正弦定理、余弦定理、面积公式、同角三角函数基本关系、和、差、二倍角公式等），而这些大部分定理（公式）也可利用初中数学知识证明。 若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c； 图1 图2 图3 1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。 证明：作△ABC的外接圆，记圆心为O，作直径，连接，如图2， 则，，∴，∴， 同理，，，∴； 2）正弦面积公式：如图1，. 证明：如图3，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在中，，∴，∴， 在中，，∴．∴． 同理可得．因此有． 3）余弦定理：如图2， ． 证明：如图3，在中，，，的对边分别是，，过点A作于点， 则，即，于是． 在中，，在中，， ，整理得。 同理：；。 图4 图5 4）同角三角函数的基本关系式:，。 证明：如图4，设∠A=，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2。 又∵，，∴；。 5）和（差）、二倍角角公式（只作部分公式证明）： ; （已证）. ; . （已证）. 证明：如图4，在中，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A=。 如图5，取的中点，连接，即：，过点作于点，则， 利用锐角三角函数在中表示，。 ∵（等面积），即； 在中，，则。 【模型运用】 【典例1】（2026·山西大同·校考一模）阅读与思考 阅读下列材料，并解决后面的问题． 在锐角中，，，的对边分别是a，b，c，过C作于E（如图1），则，，即，，于是，即．同理有，，所以．即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． 运用上述结论和有关定理，在锐角三角形中，已知三个元素（至少有一条边），就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题：(1)如图1，在中，，，，则______； (2)如图2，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔的距离为______海里；（结果保留根号） (3)在（2）的条件下，试求的正弦值．（结果保留根号） 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）解：由题意可知：， ∵，，，∴，即，∴，故答案为：． （2）解：如图：由题意可知，，，海里，， ∴，∴，即， ∴，∴B处与灯塔的距离为海里，故答案为：． （3）解：如图：由题可知，海里，，∴， ∵，，∴，， ∴，在中，海里，海里， 在中， 海里，∴海里， 由前面定理可知：，则， ∴，∴的正弦值． 【典例2】（25-26九年级·广东·专题练习）三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即：如图①，在中，已知，，， 则有：，，． 利用这个结论可求解下列问题： 例：在中，已知，，，求． 解：∵，．∴． 【应用新知】如图②，某客轮在A处看港口D在客轮的北偏东50°，A处看灯塔B在客轮的北偏西30°，距离为海里，客轮由A处向正北方向航行到C处时，再看港口D在客轮的南偏东80°，距离为6海里，求此时C处到灯塔B的距离． 【答案】海里 【详解】解：∵，∴， ∴，∴， 答：C处到灯塔B的距离为海里． 【典例3】（2026·广东·校考一模）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积． 问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究． 探究一：如图1，在中，，，，，求的面积． 在中，，．． 探究二：如图2，中，，，，求的面积（用含、、代数式表示），写出探究过程． 探究三：如图3，中，，，，求的面积（用、、表示）写出探究过程． 问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：___________（用文字叙述）． 问题应用：如图4，已知平行四边形中，，，，求平行四边形的面积（用、、表示）写出解题过程． 问题拓广：如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用、、、、、表示），其中，，，，，． 【答案】，见解析；，见解析；一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半；； 【详解】解：探究二：如图2中，作于．，，，， 在中，，，，． 探究三：如图3中，作于． 在中，，． 问题解决：一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半． 故答案为：一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半． 问题应用：如图4中，作于． 在中，，． 问题拓广：连接，由探究三的结论可得：． ．． 【典例4】（2026·广东汕头·一模）如图，是一条东西走向的海岸线，码头和码头相距30海里，在码头南偏东的海岛处有一艘轮船正向码头正南方向的海岛行驶，轮船到达海岛后测得海岛在海岛的北偏东75°方向上，而码头在海岛的北偏西30°方向上． (1)已知关于两角和的公式，请利用公式计算；(2)利用（1）的结论，求码头与海岛之间的距离．（参考数据，，，，结果精确到海里）． 【答案】(1) (2)码头与海岛之间的距离为海里 【详解】（1）解：== （2）如图，作于点 ∵，，∴ ∵，∴为等腰直角三角形；设，， 在中∴解得： ∴．答：码头与海岛之间的距离为海里． 【典例5】（25-26九年级下·江苏无锡·阶段练习）定义：， ，，； 例如： (1)______，______，______； (2)如图，在中，，，，；求证：；    (3)利用（2）中的结论证明：（，）． 【答案】(1)；1；(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）解：； ； ； （2）证明：∵在中，，，，， ∴，，，∵，∴． （3）证明：∵ ，∴． 【典例6】（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①，______，______，______； 在图②中，______，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； (2)在图①中，______，______；在图②中，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明． 【答案】(1)；；证明见解析(2)；；证明见解析 【详解】（1）解：，，，，，， 规律：对于任意锐角有，故答案为：，，1，，，1； 证明：如图所示，在中，， ，，，． （2）解：，，， 规律：对于任意锐角有， 证明：如图，，，．故答案为：，，，． 【典例7】（25-26九年级下·浙江·专题练习）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ；(2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 【答案】(1)1(2)(3) 【详解】（1）解：∵顶角为的等腰三角形是等边三角形，∴． （2）解：作于点，如图所示： 中，，， ，，即． （3）解：如图③所示，在上截取，作于点E， 中，，，设，，则． ∴，， ∴，∴，∴，故答案为：． 【典例8】（25-26·浙江·九年级专题练习）阅读下列材料： 在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，求（用含的式子表示）． 聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点，连接，过点作于点，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，在中表示出，则可以求出． 阅读以上内容，回答下列问题：在中，． （1）如图3，若，则__，_____； （2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含的式子表示）． 【答案】（1）；；（2） 【详解】解：（1）由勾股定理可得： 由三角函数的定义可得， 由材料可得：故答案为； （2）取的中点，连接，过点作于点，如下图： 则，，， 在中，，在中，， 在中，，则 则 故答案为 【典例9】（2025·湖南株洲·模拟预测）阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形是锐角，那么 为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线点O逆时针旋转后所得到的．和原点的距离为（总是正的）然后把角的三角函数规定为： （其中分别是点的横、纵坐标）我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角的大小有关，四个比值的正、负取决于角的终边所在的象限，而与点在角的终边位置无关． 比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题， (1)如图3，若，则角的三角函数值，其中取正值的是________． (2)若角的终边与直线重合，则________． (3)若角是锐角，其终边上一点且，则________． (4)若，则的取值范围是________． 【答案】(1)(2)或(3)(4) 【详解】（1）解：∵，∴点在第四象限，∴， ∵，∴， ∴取取正值的是；故答案为： （2）解：如图1中，①当点P在第一象限时，作轴于E．设，则，    ∴． ②当点P在第三象限时，作轴于E．设，则， ∴． 综上所述， 或；故答案为：或； （3）解：如图2中，作轴于E．  由题意， ，∴， ∴，∴； （4）解：根据题意得：， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴， ∴，∴． 模型常见易错点 1）只看数量，忽略位置限制（最容易扣分） 错误：满足角度/边长数值就认为符合定义。真相：新定义90%带隐藏限制：共边、同侧、内部、有序角。 解决方案：做题第一步圈出所有限制词，先判位置，再算数。 2）三角函数边角对应混乱 错误：对边邻边看反、坡度比写反（水平：竖直）。 解决方案：坡度竖直:水平；对边/邻边，先定直角，再定边角。 3）算完不检验，出现增根 错误：算出数值直接写答案，忽略新定义约束。 解决方案：新定义题型必须回代检验，不符合定义的解直接舍去。 4）多结构不会拆分 错误：复杂四边形、折线图形不会拆解。解决方案：所有复杂图形统一拆成两个Rt三角形，公共高为桥梁。 5）漏分类讨论 错误：角度分配方式不唯一，只算一种情况。 解决方案：角度新定义优先预判双解可能性。 解题方法总结 新定义解直角三角形步骤： 1）读定义、翻模型：把文字规则翻译成角度/比例关系式，圈位置限制； 2）观图形、作垂线：斜图形强制作高，化斜为直； 3）设未知、标边角：设高或最短边为，统一变量； 4）找关联、寻等角：利用互余、外角、新定义找等量； 5）用三角、勾股列方程：双直角三角形联动建等式； 6）解方程、求边长：规范计算，注意根式化简； 7）回代验、舍增根：验证完全符合新定义，写最终答案。 口诀： 新定义，不用慌，翻译规则第一桩；遇斜作高化直角，设元建方是良方； 双三角，互关联，算完验根不白忙。 1．（25-26·广东深圳·九年级校联考开学考试）数学中余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为、、，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍，用公式可描述为：，，．在中，，，，则的值是（    ） A．5 B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：根据题意得： ， ∴或（舍去），故C正确．故选：C． 2．（25-26·湖北襄阳·九年级统考期中）如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意；C、，则此项正确，符合题意； D、，则此项错误，不符合题意；故选：C． 3．（2025·山东潍坊·校考一模）一般地，当α、β为任意角时，tan（α+β）与tan（α-β）的值可以用下面的公式求得：tan（α±β）=．例如：tan15°=tan（45°-30°）=====2-．请根据以上材料，求得tan75°的值为 ． 【答案】2+． 【详解】解： tan75°=tan（45°+30°）=====2+． 故答案为：2+． 4．（2025·安徽马鞍山·二模）“一缕清风银叶转”，某市大型风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户，某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角．(1)已知α，β两角和的余弦公式为：，请利用公式计算的值；(2)求风叶的长度． 【答案】(1)(2)风叶的长度为米 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴； （2）解：过点A作，连接，，如图所示，由题意得：米，，    ∴米，，米， ∵三片风叶两两所成的角为，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴米， ∵，，∴，由（1）得：， ∴米，∵，，， ∴四边形是矩形，∴米， ∵三片风叶两两所成的角为，且三片风叶长度相等，∴， ∴米，∴风叶的长度为米． 5．（25-26九年级上·山西·阶段练习）如图，在中，，，，，的对边分别是，，．(1)利用锐角三角函数的定义求证：；(2)若，求的值． 【答案】(1)见解析(2)3 【详解】（1）证明：∵在中，，，，，的对边分别是，，， ∴，，，∴，∴． （2）解：∵，∴， ∴． 6．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）【知识迁移】：对于钝角α，定义它的三角函数值如下：，．(1)求，，的值； (2)若一个三角形的三个内角的比是，和是这个三角形的两个内角，且、是方程的两个不相等的实数根，求和的度数及m的值． 【答案】(1)；；(2)， 【详解】（1）解：由题意得：，，； （2）解：∵一个三角形的三个内角的比是， ∴三个内角分别为：， ∵、是方程的两个不相等的实数根，∴， 当，则、，∴，解得：； 当，则、，不满足，故舍； 当，则、，不满足，故舍， 综上所述：， 1．（2024·四川宜宾·模拟预测）阅读理解：为计算三角函数值，我们可以构建（如图），使得，，延长使，连接，可得到，所以类．类比这种方法，请你计算的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图：在中，使得，，延长到点D，使，连接， ∵是的一个外角，∴． ∵，∴，∴， 设，则，∴， 在中，．故选：A． 2．（2025·四川宜宾·校考三模）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如果中，，那么顶角A的正对记作，这时=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果的正弦函数值为，那么的值为 ． 【答案】 【详解】解：过点作于，如图所示， ，设，， ，，，；故答案为：． 3．（2025·湖南娄底·校考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，在中，    ∵，∴． ∵，∴．∵为锐角，∴． ∵ ∴．故答案为：． 4．（2025·四川宜宾·中考模拟预测）规定：sin（﹣x）=﹣sinx，cos（﹣x）=cosx，sin（x+y）=sinx•cosy+cosx•siny． 据此判断下列等式成立的是 （写出所有正确的序号） ①cos（﹣60°）=﹣；②sin75°=；③sin2x=2sinx•cosx；④sin（x﹣y）=sinx•cosy﹣cosx•siny． 【答案】②③④． 【详解】根据题意，得，①cos(－60°)＝cos60°= ≠ ，故错误； ②sin75°=sin（45°+30°)=sin45°×cos30°+cos45°×sin30°= ＝，故正确； ③sin2x＝sinx﹒cosx+cosx·sinx=2sinx·cosx，故正确； ④sin(x－y)＝sinx·cos（-y）+cosx·sin(-y)=sinx·cosy-cosx·siny，故正确，故答案为②③④. 5．（25-26九年级上·湖南永州·期中）关于三角函数有如下的公式： ①②； ③ 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：    (1) ； ．(2)求的值； (3)如图，直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为42米，求建筑物的高． 【答案】(1)，(2)(3)建筑物的高为米 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：； （3）如图，过点作于点，则，    ∵，∴四边形是矩形，∴， ，， ∵在中，，∴米， ∵在中，，∴米， ∴米．答：建筑物的高为米． 6．（26-27九年级下·四川达州·期中）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，求（用含的式子表示）． 聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点，连接，过点作于点，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，在中表示出，则可以求出． 阅读以上内容，回答下列问题：在中，． (1)如图③ ，若，则__，_____；． (2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式．（用含的式子表示） 【答案】(1)；；(2) 【详解】（1）由勾股定理可得： 由三角函数的定义可得， 由材料可得：故答案为；； （2）取的中点，连接，过点作于点，如下图： 则，，， 在中，，在中，， 在中，，则 则 故答案为． 1．（25-26·北京市·九年级校考期末）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】①sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°= =，故此选项正确； ②tan105°=tan（60°+45°）== ==-2-，故此选项正确； ③sin15°=sin（60°-45°）=sin60°cos45°-cos60°sin45°==，故此选项正确； ④cos90°=cos（45°+45°）=cos45°cos45°-sin45°sin45°==0，故此选项正确； 故正确的有4个．故选D． 2．（2025·山东·校考一模）【问题提出】已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积． 【性质探究】探究一：如图1，在中，，，，， ∵，∴，∴，∴，      探究二：如图2，中，，，，求的面积（用含a、b、代数式表示），写出探究过程． 探究三：中，，，，求的面积（用a、b、表示）写出探究过程． 【性质应用】（1）如图4，已知平行四边形中，，，，求平行四边形的面积（用a、b、表示）写出解题过程． （2）如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用a、b、c、d、、表示），其中，，，，，． 【答案】探究二：，见解析；探究三：，见解析；（1），见解析；（2） 【详解】解：探究二：如图2中，作于H，              ∵，，，∴， 在中，，∴，∴，∴； 探究三：如图3中，作于H， 在中，，∴，∴∴； 性质应用（1）：如图4中，作于H， 在中，，∴，∴∴； 性质应用（2）：连接，由探究三的结论可得：， 则，∴． 3．（25-26九年级上·江西抚州·阶段练习）我们学习了锐角三角函数的相关知识，知道锐角三角函数定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系．在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长的比与角的大小之间可以相互转化．如图1，在中，．若，则． 类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图2，在中，，顶角的正对记作，这时，．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对的定义，解答下列问题： 图1            图2              备用图 (1)直接写出的值为___________；(2)若，则的正对值的取值范围是__________； (3)如图2，已知，其中为锐角，求的值； 【答案】(1)1(2)(3) 【详解】（1）解：根据正对定义可得：当顶角为时，等腰三角形底角为， ∴此时该三角形为等边三角形，底边腰长，故答案为：1； （2）解：当接近时，底边长接近0，由定义知接近0， 当接近时，等腰三角形的底接近腰的倍，由定义知接近， 的正对值的取值范围是，故答案为：； （3）解：如图2，过点作于点．． 图2 在中，，设，则．． ，．在中，利用勾股定理得，． 在等腰中，． 4．（24-25九年级下·湖南株洲·自主招生）如图，在中，已知为锐角，、、所对的边分别为a、b、c．(1)求证：；(2)若，，且，求的面积；(3)在（2）的条件下，若，求的长．（参考公式：） 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：过点作于点， ∴在中，，∴， 在中，由勾股定理得，∴， ∴，∴， ∴，∴； （2）解：∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 由（1）得，过点作于点， ∴，∴， ∴， （3）解：过点作于点，∵，∴， ∴，， ∴，∴． 5.（2026·湖南衡阳·模拟预测）【材料阅读】如图1，在△ABC中，设的对边分别为a，b，c，过点A作，垂足为D，会有，则=，即，同理，．有以上三式可得： 正弦定理：，通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理-余弦定理 如图2，在中，设的对边分别为a，b，c，则① ② ③ 用以上的公式和定理解决问题： 【简单应用】（1）在锐角中，设的对边分别为a，b，c，且，求； （2）如图3，在中，，，求的面积与周长． 【灵活应用】（3）如图4，在中，角所对的边分别为，已知，的面积为，设为的中点，且，求的周长．（参考数据：）    【答案】（1）；（2）的面积为，周长为18；（3） 【详解】解：（1）∵，∴， ∵，∴，即，∴； （2）∵在中，，，∴， ，∴（负值舍去）， ∴周长； （3）∵在中，，的面积为， ∴，则，延长，使得，连接，      ∵为的中点，∴，又，∴， ∴，，∴，则， 在中，，， ∴，则， ∴在中，，∴（负值舍去）， ∵,∴（负值舍去）， ∴的周长为． 6．（2025·广西河池·一模）【阅读理解】在学习《解直角三角形》这一节时，喜欢探索的小明同学在课外学习活动中，探究发现，锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系．下面是小明同学的学习笔记，请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 学习笔记：如图1，在锐角中，，，的对边分别记为a，b，c，锐角的面积记为，过点C作于点D，则，∴， ∴． 同理可得，，即． 由以上推理得结论①：锐角三角形的面积等于两边与其夹角正弦积的一半． 又∵，根据等式的基本性质，将，整理，得． 由以上推理得结论②：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． 【理解应用】请学习上述阅读材料，并用上述材料的结论解答以下问题． 如图2，甲船以54海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西方向的B处，且乙船从B处沿北偏东方向匀速直线航行．当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到达甲船的南偏西方向的C处，此时两船相距18海里． (1)求的面积；(2)求乙船由B处到达C处航行的路程是多少海里．（结果保留根号） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由题意知：海里，海里，由结论①知： ． ∴的面积为平方海里． （2）解：如图：由（1）知， ∴是等边三角形，∴海里， 又∵，∴，由题意知， ∴，由题意可得：， ∴海里． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 解直角三角形模型之新定义模型 解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.新定义模型 5 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 24 该模型通过初中几何方法诠释高中三角函数定理（如正弦定理、余弦定理等），将复杂三角关系转化为可操作的几何结构‌。例如，通过作高将任意三角形拆分为直角三角形，利用边长比例关系推导正弦定理，揭示三角形边角统一性‌。中考命题者将高中数学概念（如向量、解析几何）初中化处理，通过“知识包装”形式设计试题，既保留初中数学特点，又融入高中思维深度‌。典型如将坐标系与三角函数结合，构建跨学段解题逻。 1）锐角三角函数定义：。 2）特殊角三角函数：。 3）勾股定理：。 4）坡度坡角：。 5）几何核心思想：化斜为直、遇斜作高。 6）角度互余、等角代换、三角形外角定理。 7）方位角航海问题（东北、北偏东、南偏西）；坡度、堤坝、山坡高度计算。 模型1.新定义模型 【模型提炼与证明】 新定义模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关公式定理（如：正弦定理、余弦定理、面积公式、同角三角函数基本关系、和、差、二倍角公式等），而这些大部分定理（公式）也可利用初中数学知识证明。 若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c； 图1 图2 图3 1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。 证明：作△ABC的外接圆，记圆心为O，作直径，连接，如图2， 则，，∴，∴， 同理，，，∴； 2）正弦面积公式：如图1，. 证明：如图3，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在中，，∴，∴， 在中，，∴．∴． 同理可得．因此有． 3）余弦定理：如图2， ． 证明：如图3，在中，，，的对边分别是，，过点A作于点， 则，即，于是． 在中，，在中，， ，整理得。 同理：；。 图4 图5 4）同角三角函数的基本关系式:，。 证明：如图4，设∠A=，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2。 又∵，，∴；。 5）和（差）、二倍角角公式（只作部分公式证明）： ; （已证）. ; . （已证）. 证明：如图4，在中，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A=。 如图5，取的中点，连接，即：，过点作于点，则， 利用锐角三角函数在中表示，。 ∵（等面积），即； 在中，，则。 【模型运用】 【典例1】（2026·山西大同·校考一模）阅读与思考 阅读下列材料，并解决后面的问题． 在锐角中，，，的对边分别是a，b，c，过C作于E（如图1），则，，即，，于是，即．同理有，，所以．即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． 运用上述结论和有关定理，在锐角三角形中，已知三个元素（至少有一条边），就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题：(1)如图1，在中，，，，则______； (2)如图2，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔的距离为______海里；（结果保留根号） (3)在（2）的条件下，试求的正弦值．（结果保留根号） 【典例2】（25-26九年级·广东·专题练习）三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即：如图①，在中，已知，，， 则有：，，． 利用这个结论可求解下列问题： 例：在中，已知，，，求． 解：∵，．∴． 【应用新知】如图②，某客轮在A处看港口D在客轮的北偏东50°，A处看灯塔B在客轮的北偏西30°，距离为海里，客轮由A处向正北方向航行到C处时，再看港口D在客轮的南偏东80°，距离为6海里，求此时C处到灯塔B的距离． 【典例3】（2026·广东·校考一模）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积． 问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究． 探究一：如图1，在中，，，，，求的面积． 在中，，．． 探究二：如图2，中，，，，求的面积（用含、、代数式表示），写出探究过程． 探究三：如图3，中，，，，求的面积（用、、表示）写出探究过程． 问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：___________（用文字叙述）． 问题应用：如图4，已知平行四边形中，，，，求平行四边形的面积（用、、表示）写出解题过程． 问题拓广：如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用、、、、、表示），其中，，，，，． 【典例4】（2026·广东汕头·一模）如图，是一条东西走向的海岸线，码头和码头相距30海里，在码头南偏东的海岛处有一艘轮船正向码头正南方向的海岛行驶，轮船到达海岛后测得海岛在海岛的北偏东75°方向上，而码头在海岛的北偏西30°方向上． (1)已知关于两角和的公式，请利用公式计算；(2)利用（1）的结论，求码头与海岛之间的距离．（参考数据，，，，结果精确到海里）． 【典例5】（25-26九年级下·江苏无锡·阶段练习）定义：， ，，； 例如： (1)______，______，______； (2)如图，在中，，，，；求证：；    (3)利用（2）中的结论证明：（，）． 【典例6】（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①，______，______，______； 在图②中，______，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； (2)在图①中，______，______；在图②中，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明． 【典例7】（25-26九年级下·浙江·专题练习）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ；(2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 【典例8】（25-26·浙江·九年级专题练习）阅读下列材料： 在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，求（用含的式子表示）． 聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点，连接，过点作于点，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，在中表示出，则可以求出． 阅读以上内容，回答下列问题：在中，． （1）如图3，若，则__，_____； （2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含的式子表示）． 【典例9】（2025·湖南株洲·模拟预测）阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形是锐角，那么 为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线点O逆时针旋转后所得到的．和原点的距离为（总是正的）然后把角的三角函数规定为： （其中分别是点的横、纵坐标）我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角的大小有关，四个比值的正、负取决于角的终边所在的象限，而与点在角的终边位置无关． 比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题， (1)如图3，若，则角的三角函数值，其中取正值的是________． (2)若角的终边与直线重合，则________． (3)若角是锐角，其终边上一点且，则________． (4)若，则的取值范围是________． 模型常见易错点 1）只看数量，忽略位置限制（最容易扣分） 错误：满足角度/边长数值就认为符合定义。真相：新定义90%带隐藏限制：共边、同侧、内部、有序角。 解决方案：做题第一步圈出所有限制词，先判位置，再算数。 2）三角函数边角对应混乱 错误：对边邻边看反、坡度比写反（水平：竖直）。 解决方案：坡度竖直:水平；对边/邻边，先定直角，再定边角。 3）算完不检验，出现增根 错误：算出数值直接写答案，忽略新定义约束。 解决方案：新定义题型必须回代检验，不符合定义的解直接舍去。 4）多结构不会拆分 错误：复杂四边形、折线图形不会拆解。解决方案：所有复杂图形统一拆成两个Rt三角形，公共高为桥梁。 5）漏分类讨论 错误：角度分配方式不唯一，只算一种情况。 解决方案：角度新定义优先预判双解可能性。 解题方法总结 新定义解直角三角形步骤： 1）读定义、翻模型：把文字规则翻译成角度/比例关系式，圈位置限制； 2）观图形、作垂线：斜图形强制作高，化斜为直； 3）设未知、标边角：设高或最短边为，统一变量； 4）找关联、寻等角：利用互余、外角、新定义找等量； 5）用三角、勾股列方程：双直角三角形联动建等式； 6）解方程、求边长：规范计算，注意根式化简； 7）回代验、舍增根：验证完全符合新定义，写最终答案。 口诀： 新定义，不用慌，翻译规则第一桩；遇斜作高化直角，设元建方是良方； 双三角，互关联，算完验根不白忙。 1．（25-26·广东深圳·九年级校联考开学考试）数学中余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为、、，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍，用公式可描述为：，，．在中，，，，则的值是（    ） A．5 B． C． D．2 2．（25-26·湖北襄阳·九年级统考期中）如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东潍坊·校考一模）一般地，当α、β为任意角时，tan（α+β）与tan（α-β）的值可以用下面的公式求得：tan（α±β）=．例如：tan15°=tan（45°-30°）=====2-．请根据以上材料，求得tan75°的值为 ． 4．（2025·安徽马鞍山·二模）“一缕清风银叶转”，某市大型风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户，某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角．(1)已知α，β两角和的余弦公式为：，请利用公式计算的值；(2)求风叶的长度． 5．（25-26九年级上·山西·阶段练习）如图，在中，，，，，的对边分别是，，．(1)利用锐角三角函数的定义求证：；(2)若，求的值． 6．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）【知识迁移】：对于钝角α，定义它的三角函数值如下：，．(1)求，，的值； (2)若一个三角形的三个内角的比是，和是这个三角形的两个内角，且、是方程的两个不相等的实数根，求和的度数及m的值． 1．（2024·四川宜宾·模拟预测）阅读理解：为计算三角函数值，我们可以构建（如图），使得，，延长使，连接，可得到，所以类．类比这种方法，请你计算的值为（    ）． A． B． C． D． 2．（2025·四川宜宾·校考三模）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如果中，，那么顶角A的正对记作，这时=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果的正弦函数值为，那么的值为 ． 3．（2025·湖南娄底·校考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 4．（2025·四川宜宾·中考模拟预测）规定：sin（﹣x）=﹣sinx，cos（﹣x）=cosx，sin（x+y）=sinx•cosy+cosx•siny． 据此判断下列等式成立的是 （写出所有正确的序号） ①cos（﹣60°）=﹣；②sin75°=；③sin2x=2sinx•cosx；④sin（x﹣y）=sinx•cosy﹣cosx•siny． 5．（25-26九年级上·湖南永州·期中）关于三角函数有如下的公式： ①②； ③ 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：    (1) ； ．(2)求的值； (3)如图，直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为42米，求建筑物的高． 6．（26-27九年级下·四川达州·期中）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，求（用含的式子表示）． 聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点，连接，过点作于点，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，在中表示出，则可以求出． 阅读以上内容，回答下列问题：在中，． (1)如图③ ，若，则__，_____；． (2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式．（用含的式子表示） 1．（25-26·北京市·九年级校考期末）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·山东·校考一模）【问题提出】已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积． 【性质探究】探究一：如图1，在中，，，，， ∵，∴，∴，∴，      探究二：如图2，中，，，，求的面积（用含a、b、代数式表示），写出探究过程． 探究三：中，，，，求的面积（用a、b、表示）写出探究过程． 【性质应用】（1）如图4，已知平行四边形中，，，，求平行四边形的面积（用a、b、表示）写出解题过程． （2）如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用a、b、c、d、、表示），其中，，，，，． 3．（25-26九年级上·江西抚州·阶段练习）我们学习了锐角三角函数的相关知识，知道锐角三角函数定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系．在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长的比与角的大小之间可以相互转化．如图1，在中，．若，则． 类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图2，在中，，顶角的正对记作，这时，．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对的定义，解答下列问题： 图1            图2              备用图 (1)直接写出的值为___________；(2)若，则的正对值的取值范围是__________； (3)如图2，已知，其中为锐角，求的值； 4．（24-25九年级下·湖南株洲·自主招生）如图，在中，已知为锐角，、、所对的边分别为a、b、c．(1)求证：；(2)若，，且，求的面积；(3)在（2）的条件下，若，求的长．（参考公式：） 5.（2026·湖南衡阳·模拟预测）【材料阅读】如图1，在△ABC中，设的对边分别为a，b，c，过点A作，垂足为D，会有，则=，即，同理，．有以上三式可得： 正弦定理：，通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理-余弦定理 如图2，在中，设的对边分别为a，b，c，则① ② ③ 用以上的公式和定理解决问题： 【简单应用】（1）在锐角中，设的对边分别为a，b，c，且，求； （2）如图3，在中，，，求的面积与周长． 【灵活应用】（3）如图4，在中，角所对的边分别为，已知，的面积为，设为的中点，且，求的周长．（参考数据：）    6．（2025·广西河池·一模）【阅读理解】在学习《解直角三角形》这一节时，喜欢探索的小明同学在课外学习活动中，探究发现，锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系．下面是小明同学的学习笔记，请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 学习笔记：如图1，在锐角中，，，的对边分别记为a，b，c，锐角的面积记为，过点C作于点D，则，∴， ∴． 同理可得，，即． 由以上推理得结论①：锐角三角形的面积等于两边与其夹角正弦积的一半． 又∵，根据等式的基本性质，将，整理，得． 由以上推理得结论②：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． 【理解应用】请学习上述阅读材料，并用上述材料的结论解答以下问题． 如图2，甲船以54海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西方向的B处，且乙船从B处沿北偏东方向匀速直线航行．当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到达甲船的南偏西方向的C处，此时两船相距18海里． (1)求的面积；(2)求乙船由B处到达C处航行的路程是多少海里．（结果保留根号） 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $