椭圆 课件-2027届高三数学一轮复习

椭圆 2027年高考数学 · 一轮复习 1 【教学目标】 1. 理解椭圆的定义（到两定点距离之和为定值），掌握椭圆的标准方程； 2. 掌握椭圆的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率 ）； 3. 能根据条件求椭圆方程并进行简单的几何计算。 【教学重点】 · 椭圆的标准方程与几何性质；离心率 的求解。 【教学难点】 · 定义中“2a>|F₁F₂|”的条件；焦点位置不确定时的分类讨论。 第50课时 椭圆 1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2.掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）. 3.掌握椭圆几何性质的简单应用. 第50课时 椭圆 3 【近五年考频考点】及备考建议 椭圆是圆锥曲线考查重点（5年约5考），定义、标准方程、离心率及几何性质年年出现。 备考建议： 1、定义法求椭圆（|PF₁|+|PF₂|=2a）； 2、标准方程，c²=a²-b²，； 3、重视“焦点三角形”与定义结合求周长、面积。 第50课时 椭圆 一、椭圆的定义 把平面内与两个定点，的距离的和等于______（大于 ）的点的轨迹叫 作椭圆.这两个定点叫作椭圆的______，两焦点间的距离叫作椭圆的______. （1）当时，动点的轨迹为线段 . （2）当时，动点 不存在，无轨迹. 常数 焦点 焦距 第50课时 椭圆 5 二、椭圆的标准方程 （1）焦点在轴上： . （2）焦点在轴上： . 微思考 如何判断点与椭圆 的位置关系？ 答案 当时，点在椭圆内；当时，点 在椭圆上；当 时，点 在椭圆外. 第50课时 椭圆 6 （1）在椭圆的标准方程中，焦点在轴上 标准方程中 项的系数较小；焦 点在轴上 标准方程中 项的系数较小. （2），，的关系： . （3）椭圆系方程： ①与共焦点的椭圆系方程为 ； ②与有共同的离心率的椭圆系方程为 与 . 第50课时 椭圆 7 三、椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上 图形 标准方程 第50课时 椭圆 8 焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上 性质 范围 __________________________ __________________________ 顶点 ___________________________ ___________ _____________________________ _________ 轴长 长轴长，短轴长 焦点 __________________ __________________ 离心率 ，且 ，， 的关系 ，且 ，且 ，， ， ，，， ， ， 续表 第50课时 椭圆 9 微思考 椭圆的范围经常在什么情况下使用？ 答案 在解答值域、最值范围或是否存在等问题时，常使用范围这个性质. （1）椭圆的焦点位置与， 的系数的大小有关. （2）离心率表示椭圆的扁平程度.越接近0，椭圆越接近于圆； 越接近1，椭圆越扁平. 第50课时 椭圆 10 （3）椭圆的焦点三角形的几何性质 椭圆上的点与两焦点构成的 叫作焦点三角形. 如图，设 . ①当为短轴的端点时， 取得最大值，则 取得最大值； ② ；③ ， ；④ ；⑤ ；⑥焦点三角形的周长为 . （4）椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长为 ，通径 是最短的焦点弦. 第50课时 椭圆 11 （5）设，，是椭圆上不同的三点，其中， 关于原点 对称，与，均不关于坐标轴对称，则直线与的斜率之积为 . （6）若为椭圆上的任意一点，， 分 别为椭圆的左、右焦点，则，，其中 . 第50课时 椭圆 12 关键考点·核心突破 13 椭圆的定义及应用 题组1 （1）如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段， 为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点 的轨迹方程为_ __________. 第50课时 椭圆 14 （2）设，两点的坐标分别为，.若直线，相交于点 ，且它们 的斜率之积是，则点 的轨迹方程为_ ___________________. （3）若动点与定点的距离和到定直线 的距离的比值是常数 ，则动点的轨迹方程为___________ 第50课时 椭圆 15 解析 （1）设点的坐标为，点的坐标为 ， 则点的坐标为，由是线段的中点，得， . 因为点在圆上，所以 ， ① 把，代入方程①，得点的轨迹方程为，即 . （2）设点的坐标为，因为点的坐标是，所以直线 的斜率 ， 同理，直线的斜率 . 由已知得 ， 整理得点的轨迹方程为 . 第50课时 椭圆 16 （3）如图，设是点到直线 的距离，根据题意，动 点的轨迹就是集合 . 由此得，化简得，即动点 的 轨迹方程为 . 第50课时 椭圆 17 题组2（1）（经典高考真题）设,为椭圆的两个焦点，点在 上， 若，则 ( ). B A.1 B.2 C.4 D.5 解析 因为，所以 ，由椭圆方程可知， ， 得 ， 所以 . 又 ，两边平方得 ， 所以 .故选B. 第50课时 椭圆 18 （2）（经典高考真题）已知,为椭圆的两个焦点,,为 上关于坐 标原点对称的两点,且,则四边形 的面积为___. 8 解析 因为,为上关于坐标原点对称的两点,且,所以四边形 为 矩形. 设,,由椭圆的定义可得 ,所以 . 因为,即 ,所以 , 所以四边形的面积为 . 第50课时 椭圆 19 感悟提升 1.在圆上取一点（不取轴上的点），过点作 轴的垂线段 ，为垂足.当点在圆上运动时，若线段上的点满足 ， 则动点 的轨迹是椭圆（除去左、右两个端点）. 2.设，两点的坐标分别为，，若直线，相交于点 ，且 它们的斜率之积是，则动点 的轨迹是椭圆（除去左、右两个端 点）. 3.若动点与定点的距离和到定直线 的距离的 比值是，则动点 的轨迹是椭圆. 第50课时 椭圆 20 椭圆的标准方程 例1 求分别满足下列条件的椭圆的标准方程. （1）两个焦点的坐标分别是，，椭圆上任意一点 到两焦点距离的和等 于10； （2）长轴长是短轴长的3倍，且经过点 ； （3）经过点，， ； （4）离心率为且过点 . 第50课时 椭圆 21 解析 （1）依题意得，，，所以，则 ，所以椭 圆的标准方程是 . （2）若焦点在轴上，则,，此时椭圆的标准方程是 ； 若焦点在轴上，则,，此时椭圆的标准方程是 . 综上可得，所求椭圆的标准方程为或 . （3）设椭圆方程为,,且 ， 依题意可得解得 第50课时 椭圆 22 所以椭圆的标准方程是 . （4）若焦点在轴上，则，因为离心率，所以 ，则 ，所以椭圆的标准方程为 ； 若焦点在轴上，则，因为离心率，，解得 ，所 以椭圆的标准方程为 . 综上可得，所求椭圆的标准方程为或 . 第50课时 椭圆 感悟提升 根据条件求椭圆方程的主要方法 （1）定义法：根据题目所给条件，确定动点的轨迹满足椭圆的定义. （2）待定系数法：根据题目所给的条件，确定椭圆中的， .若焦点的位置不确定， 则可设方程为，用待定系数法求出， 的值即可. 第50课时 椭圆 24 1.某椭圆的中心在原点处,对称轴为坐标轴,短轴的一个顶点与两焦点, 组成的 三角形的周长为且 ,则该椭圆的方程是 _ _______________________. 或 解析 设长轴长为,焦距为,则在中,由,得 , 又的周长为,,, . 当椭圆的焦点在轴上时,椭圆的方程是 ; 当椭圆的焦点在轴上时,椭圆的方程为 . 综上,椭圆的方程是或 . 第50课时 椭圆 25 2.已知四个点，，，，, 中恰有三个点在椭圆 上，则该椭圆的方程是___________. 解析 因为和两点关于轴对称必在椭圆上，代入得.若点 在椭 圆上，则，与矛盾，故点必在椭圆上，则有 ,联 立解得,,即所求椭圆的方程是 . 第50课时 椭圆 26 椭圆的几何性质 考向1 椭圆的离心率 例2（1）设椭圆的两个焦点为， ，短轴的一个端点为 . ①若为直角，求椭圆 的离心率； 解析 因为为直角，所以为等腰直角三角形，所以 ， 所以，所以离心率 . 第50课时 椭圆 27 ②若为钝角，求椭圆 离心率的取值范围. 解析 因为为钝角，所以 , 所以 ， 所以 , 所以，整理得，即，所以，即 . 因为，所以离心率的取值范围为， . 第50课时 椭圆 28 （2）（经典高考真题）设椭圆, 的离心率分 别为,.若，则 ( ). A A. B. C. D. 解析 由，得，则，因为，所以 .故选A. 第50课时 椭圆 29 感悟提升 求解椭圆离心率或离心率取值范围的常用方法 （1）根据椭圆方程直接求解出, 的值,从而求解出离心率; （2）根据已知条件构造关于,的齐次方程,求解出 的值,从而得到离心率; （3）根据椭圆和几何图形的几何性质构建关于 的等式或不等式,从而求解出离心率 或离心率的范围. 第50课时 椭圆 30 考向2 与椭圆有关的取值范围（最值）问题 例3 已知，分别为椭圆的左、右焦点，为上顶点， 为椭圆上任一 点， 是一定点，有以下说法： ①的最大值为 ； ②的取值范围是 ； ③不存在点，使 ； ④的最大值为 ； ⑤ 的最大值为10，最小值为6. 其中所有正确说法的序号是_________. 第50课时 椭圆 31 解析 依题意知，，，，当 为短轴顶点时， ，故①正确. 由椭圆的性质知的取值范围是，即 ，故②正确. 因为，所以，所以，即 的最大值为 ，最小值为0，所以存在点，使 ，故③错误. 设，则 ， 又，所以 ， 第50课时 椭圆 32 所以 . 又，所以当时， ，故④错误. 因为,所以，又 ， 所以 ， 因为（当且仅当,, 三点共线时，等号成立）， 所以 ，故⑤正确. 第50课时 椭圆 感悟提升 求解与椭圆有关的范围、最值问题的常用思路 （1）充分利用椭圆的几何性质,结合图形进行分析. （2）注意利用椭圆的范围如,, 构造不等式. （3）列出所求目标的解析式,构造函数,利用单调性或基本不等式求最值或范围. 第50课时 椭圆 34 1.（经典高考真题）已知椭圆的左顶点为，点， 均在 上，且关于轴对称.若直线,的斜率之积为，则 的离心率为( ). A A. B. C. D. 解析 设，则 . 由，得 . 由，得 ， 所以，即 ， 所以椭圆的离心率 .故选A. 第50课时 椭圆 35 2.（经典高考真题）设是椭圆的上顶点,若 上的任意一 点都满足,则 的离心率的取值范围是( ). C A., B., C., D., 解析 点的坐标为,设,因为, , 所以 . 第50课时 椭圆 36 因为,所以当,即时,,即 ,符合 题意. 由可得,即 . 当,即时,,化简得 ,显然不 成立.故选C. 第50课时 椭圆 37 3.（经典高考真题）设是椭圆的上顶点,点在上,则 的最大值 为( ). A A. B. C. D.2 解析 设点,则根据点在椭圆上可得.易知点 ,所 以根据两点间的距离公式得 .当 ,即满足时,取得最大值，最大值为 , 所以 .故选A. 第50课时 椭圆 38 特殊值法 典例 已知是坐标原点，，是椭圆上满足 的两个动 点，则 ( ). B A.34 B.8 C. D. 解析 由选项可知为定值，所以，具备任意性，故取，， ，，则 .故选B. 第50课时 椭圆 39 多想少算 此类型的题，我们一般先根据椭圆的定义，求出， 的表达式， 再化简求值，但会花长时间解答，为了快速解题，我们可以找特殊的， 两点，即 分别找在轴、 轴上的点，也满足题意. 巩固训练 （2024·新高考Ⅱ卷）已知曲线，从上任意一点 向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点 的轨迹方程为( ). A A. B. C. D. 解析 由题可知点具备任意性，故可取点，向轴作垂线段，则中点 的 坐标为 ，代入选项易知只有选项A符合要求.故选A. 第50课时 椭圆 40 作业：完成椭圆限时练 第50课时 椭圆 THANKS 42 $