直线的方程 课件-2027届高三数学一轮复习

直线的方程 2027年高考数学 · 一轮复习 1 【教学目标】 1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率公式； 2. 掌握直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式方程，了解各自适用范围； 3. 能根据条件选择恰当形式求直线方程，体会数形结合思想。 【教学重点】 · 直线的倾斜角和斜率；直线方程的几种形式及其互化。 【教学难点】 · 直线不同形式方程的适用条件；含参直线方程中参数的几何意义。 第46课时 直线的方程 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程. 2.掌握过两点的直线的斜率的计算公式. 3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式. 第46课时 直线的方程 3 【近五年考频考点】及备考建议 直线的方程是解析几何的入门基础（5年约4考），多在选择、填空中考查斜率、倾斜角、直线方程及对称问题。 备考建议： 1、熟记斜率公式 . 与倾斜角 α 的关系（k=tanα，α∈[0,π)）； 2、厘清五种方程形式的适用条件； 3、重视含参直线的定点与范围问题。 第46课时 直线的方程 一、直线的倾斜角 1.定义：当直线与轴相交时,我们以轴为基准，把___________与直线 ______的方 向之间所成的角 叫作直线 的倾斜角. 2.范围：直线的倾斜角 的取值范围为______________. 轴正方向 向上 微思考 任何一条直线都有倾斜角吗? 答案 任何一条直线都有倾斜角.当直线与轴平行或重合时，倾斜角为 ；当直线 与轴垂直时，倾斜角为 ；其他情况下，直线的倾斜角在 到 之间.倾斜 角是反映直线倾斜程度的重要概念. 第46课时 直线的方程 5 二、直线的斜率 1.定义：把一条直线的倾斜角 的________叫作这条直线的斜率.斜率常用小写字母 表示,即______ . 2.过两点的直线的斜率公式：若直线经过, 两点,则其斜率 . 正切值 微判断（1）直线的斜率越大，倾斜角就越大.( ) × （2）若直线的倾斜角为 ，则斜率为 .( ) × 直线的斜率与倾斜角 之间的关系 0 不存在 第46课时 直线的方程 6 三、直线的方向向量与法向量 1.方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线 ____________,那么 称向量为直线 的一个方向向量. 2.法向量：如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线______,那么称向量 为 直线 的一个法向量. 直线的一个法向量 ,一个方向向量 . 平行或重合 垂直 第46课时 直线的方程 7 四、直线方程的五种形式 方程 适用条件 点斜式 不含垂直于 轴的直线 斜截式 不含垂直于 轴的直线 两点式 不含直线 和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 ,不同时为零 平面内所有直线 （1）当用直线的点斜式求方程时,在斜率不明确的情况下,应分存在与 不 存在两种情况进行讨论.#1.1 第46课时 直线的方程 8 （2）“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个 非负数. （3）直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件,当截距为0时，可用点斜式. （4）识记几种特殊位置的直线的方程. 轴：.轴：.③平行于轴的直线：.④平行于 轴的直 线：.⑤过原点的直线：或 .#1.5 第46课时 直线的方程 9 关键考点·核心突破 10 直线的倾斜角与斜率 题组（1）（RA选修一P54例1改编）如图,在平面直角坐标系中， 有,,三条直线,其斜率分别为,, ,则( ). C A. B. C. D. 解析 由题图可知,,,,且 .故选C. 第46课时 直线的方程 11 （2）根据题意，求倾斜角 的取值范围. ①直线的倾斜角 的取值范围是_ ____________; ,, 解析 已知直线方程为,直线的倾斜角为 , 则,,即,, . ②直线的倾斜角 的取值范围是_ ____________; ,, 解析 已知直线方程为,直线的倾斜角为 , 则,,即,, . 第46课时 直线的方程 12 ③直线的倾斜角 的取值范围是______. 解析 已知直线方程为,直线的倾斜角为 .当 时, ;当时,,此时,, .综上可 知, . 第46课时 直线的方程 13 （3）根据题意，求斜率 的值或取值范围. ①已知,两点,直线过点且与线段相交,则直线的斜率 的取 值范围是_ ______. , 解析 由,,得直线的斜率 . 由,,得直线的斜率 . 如图，,即，所以直线的斜率的取值范围是, . 第46课时 直线的方程 14 ②若直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线 的 斜率的取值范围是____________________，倾斜角的取值范围是________. ， 解析 如图，当直线过点时，设直线的斜率为 ，则 ; 当直线过点时，设直线的斜率为，则 .故要使直 线与线段有公共点，则直线 的斜率的取值范围是 ，倾斜角的取值范围是， . （4）已知,,,三点在同一条直线上,则实数 的值为____. 12 解析 由三点中任意两点所在直线的斜率相等,得,解得 . 第46课时 直线的方程 15 感悟提升 斜率的两种求法 （1）定义法：若已知直线的倾斜角 或 的三角函数值,则一般根据 求斜率. （2）公式法：若已知直线上的, 两点,则一般根据公式 求斜率. 注意：在分析直线的倾斜角和斜率的关系时,要分情况讨论正切函数 的单 调性.当 的值由 增大到时,由0增大到 ;当 的值由 增大到时,由 增大到0（取不到0）. 第46课时 直线的方程 16 求直线的方程 例1 （一题练透）用适当的方法求下列直线的方程. （1）斜率为2，且经过点 ； （2）斜率为，且在 轴上的截距为4； （3）经过， 两点； （4）过点，且在轴和 轴上的截距相等; （5）直线的一个方向向量为，且过点 . 第46课时 直线的方程 17 解析 （1）因为直线的斜率，且经过点 ，所以由直线的点斜式可得 ，整理可得 ，所以直线的一般式方程为 . （2）由直线的斜率，且在轴上的截距为4，得直线的斜截式为 ， 整理可得直线的一般式方程为 . （3）由直线的两点式可得 ，整理得直线的一般式方程为 . （4）当截距为0时，设直线方程为，将点的坐标代入，解得 ，则直 线方程为，即;当截距不为0时，设直线方程为 ，将点 第46课时 直线的方程 18 的坐标代入，解得，则直线方程为 .综上，直线方程为 或 . （5）因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，故直线 的方 程为，即 . 第46课时 直线的方程 感悟提升 1.在求直线方程时，根据已知条件,选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式 的适用条件. 2.在选用点斜式或斜截式时,需讨论直线的斜率是否存在;在选用截距式时,需讨论 直线是否过原点或垂直于坐标轴. 第46课时 直线的方程 20 1.（多选题）下列说法正确的是( ). BD A.截距相等的直线都可以用方程 表示 B.方程能表示平行于 轴的直线 C.经过点，且倾斜角为 的直线方程为 D.经过， 两点的直线方程为 第46课时 直线的方程 21 解析 若直线过原点，此时横、纵截距都为0，则不能用方程 表示，所以A 不正确; 当时，直线方程为 ，所以B正确; 若直线的倾斜角为 ，则该直线的斜率不存在，不能用 表示， 所以C不正确; 设是经过，两点的直线上的任意一点，根据 ,可 得 ，所以D正确. 故选 . 第46课时 直线的方程 22 2.（多选题）下列说法正确的是( ). ACD A.直线在轴上的截距为 B.过点且在轴、轴上的截距互为相反数的直线方程为 C.，， 三点共线 D.经过点且倾斜角是直线 的倾斜角的两倍的直线方程为 第46课时 直线的方程 23 解析 直线在轴上的截距为 ，故A正确. 当在轴、轴上的截距都为0时，直线方程为；当在轴、 轴上的截距 都不为0时，设直线方程为，则 ，所以直线方程为 .故过点且在轴、 轴上的截距互为相反数的直线方程为 或 ，故B错误. 因为，，所以，所以， ， 三点共线，故C正确. 设直线的倾斜角为 ，则，显然 是锐角,且 ，因此所 求直线的斜率 ，所以所求的直线方程为 ，即 ，故D正确. 故选 . 第46课时 直线的方程 24 直线方程的综合应用 例2 已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别相交于，两点， 为坐标 原点.求： （1）当的面积最小时，直线 的方程； （2）当取得最小值时，直线 的方程； （3）当取得最小值时，直线 的方程. 第46课时 直线的方程 25 解析 设直线的方程为，则 . （1）,即，当且仅当 ，即 ，时，等号成立，的面积 的最小 值为4.此时，直线的方程是，即 . （2）由得, , ，当 第46课时 直线的方程 26 且仅当，即时，等号成立， 的最小值为4，此时，直 线的方程为 . （3）如图，设 ，则， ， 则 当且仅当 ，即时取等号 ， 的最小值为9，此时，直线的斜率 ， 故直线的方程为，即 . 第46课时 直线的方程 感悟提升 直线综合问题的求解策略 （1）求解方程含有参数的直线过定点问题的方法是分项整理,将含参数的并为 一项,不含参数的并为一项,整理成等号右边为零的形式,然后令含参数的项和不含参 数的项分别为零,解方程组，得到所求定点. （2）涉及直线在坐标轴上的截距问题或直线与坐标轴的交点和坐标原点构成的 图形的面积、周长等问题,常用直线的截距式方程求解. 第46课时 直线的方程 28 设直线的方程为 . （1）求证：不论为何值，直线 恒过一点. （2）若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点，，当 的 面积取得最小值时，求的周长及直线 的方程. （3）当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且也为正整数时，求直线 的方程. 第46课时 直线的方程 29 解析 （1）由,得 ，则 解得 不论为何值，直线恒过点 . （2）由得，， . 由得 ， ， 当且仅当，即舍去 时取等号， 第46课时 直线的方程 30 ， ， 的周长为,直线 的方程 为 . （3）直线在两坐标轴上的截距均为正整数，即，均为正整数，而 也为 正整数，且,, 直线的方程为 . 第46课时 直线的方程 作业：完直线方程限时练 第46课时 直线的方程 THANKS 33 $