精品解析：广东深圳市南山区北京师范大学南山附属学校2026-2027学年八年级上学期11月期中数学试题

北京师范大学南山附属学校初中部 2026—2027学年第一学期期中学业质量监测八年级试卷 一、选择题（共8小题） 1. 数学是严谨的逻辑与优美的艺术相结合的学科．下列四个漂亮的数学图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在这五个数中，无理数的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 的三边长分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为，则叶柄底部点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象经过第一、二、三象限 B. y随x的增大而增大 C. 当时， D. 它的图象与y轴交于点 7. 如图，中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图1所示，在甲、乙两地之间有一车站丙（离乙地较近），一辆货车从甲地出发经丙站驶往乙地，一辆轿车从乙地出发经丙站驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，图2分别是货车、轿车行驶时离丙站的路程与行驶时间之间的函数图象．则下列说法错误的是（ ） A. 货车的速度为 B. C. 当时，两车相遇 D. 当时，轿车刚好到达丙车站 二、填空题（共5小题） 9. 若函数是一次函数，则m的值为______. 10. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____． 11. 点P在第二象限，它到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，则点P的坐标是______． 12. 如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走______的路程． 13. 如图，在平面直角坐标系中，A，C两点分别在x轴、y轴上，点A 的坐标为，点C 的坐标为，点P为射线上一动点，点O关于直线的对称点为点B，当为直角三角形时，的长为________ 三、解答题（共7小题） 14. 计算： （1）； （2） 15. 在正方形网格中，已知点的坐标为，点的坐标为． （1）在图中建立正确的平面直角坐标系，并写出点的坐标：（_____，_____）； （2）连接，，，画出关于轴对称的； （3）若内一点的坐标为，它在内的对应点的坐标为，则点的坐标为（_____，_____）． 16. 已知的平方根是的立方根是2． （1）求和的值； （2）求的平方根． 17. 在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 18. 根据《关于我省居民生活用电试行阶梯电价有关问题的通知》，考虑到广东省夏季天气较为炎热，空调用电量较大的情况，将电量分档划分为夏季标准和非夏季标准，每年的5－10月执行夏季标准，其余月份执行非夏季标准． 阶梯电价电量分档 档数 夏季标准 （5－10月） 非夏季标准 （1－4月、11－12月） 电价 第一档 0－260度 0－200度 0.66元/度 第二档 261－600度 201－400度 0.71元/度 第三档 601度及以上 401度及以上 0.96元/度 如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，根据以上提供信息解答下列问题： （1）当执行非夏季标准时，若时，写出实付金额元与月用电量度之间的函数关系式__________； （2）若小安家在4月和5月的实际用电量都是250度，则实付金额分别为多少元？ （3）若小初家11月的实付金额为元，计算小初家11月的实际用电量． 19. 在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义：． 【尝试】探究函数的图象与性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． （1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 2 0 b 0 … 根据表格中的信息可得______． （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【探索】（3）写出函数的一条性质______． 【解决问题】（4）结合画出的函数图象，解决问题： ①函数的最小值为______； ②关于x的方程的解为______． 20. 阅读理解： 【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？请你帮忙完成． 【探索新知】 从面积的角度思考，大正方形的面积小正方形的面积个直角三角形的面积． 请用含有的代数式表示以上面积： 大正方形的面积___________； 小正方形的面积个直角三角形的面积=___________； 从而得出数学等式：___________； 化简证得勾股定理． 【知识迁移】 （1）将图1中上方的两直角三角形纸片向内折叠，如图2，若，，此时空白部分的面积为___________； （2）将这四个直角三角形纸片紧密地拼接，形成飞镖状，如图3，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积． 【拓展延伸】 如图4，中，平分是线段上一动点（不与点，点重合），是线段上一动点（不与点，点重合），直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学南山附属学校初中部 2026—2027学年第一学期期中学业质量监测八年级试卷 一、选择题（共8小题） 1. 数学是严谨的逻辑与优美的艺术相结合的学科．下列四个漂亮的数学图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查函数的概念，熟练函数的定义是解题的关键． 设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么就说y不是x的函数，不符合题意； B．中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么就说y不是x的函数，不符合题意； C．中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么就说y不是x的函数，不符合题意； D．中图象，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，符合题意． 故选：D． 2. 在这五个数中，无理数的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义、算术平方根、立方根等知识点，掌握无理数是无限不循环小数为解题的关键． 根据无理数的定义、立方根、算术平方根的定义逐个判断即可． 【详解】解：是有理数，是无理数，是有理数，是无理数，是有理数，即 无理数有2个． 故选A． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：，故选项A正确，符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 4. 的三边长分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理．解决本题的关键是根据角之间的关系和三角形内角和定理分别求出三角形的三个内角判断三角形是否直角三角形，根据三角形三边的关系利用勾股定理逆定理判断三角形是否直角三角形． 【详解】解：A选项：， 设，则，， ， 解得:， ∴最大角：， 不是直角三角形， 故A选项符合题意； B选项：， ， ， ， ， 是直角三角形， 故B选项不符合题意； C选项：， 设，则，， ， 是直角三角形， 故C选项不符合题意； D选项：， 是直角三角形， 故D选项不符合题意． 故选：A． 5. 如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为，则叶柄底部点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用坐标确定位置等知识．先根据A，B两点的坐标建立好坐标系，即可确定点C的坐标． 【详解】解：∵A，B两点的坐标分别为， ∴建立坐标系如图所示： ∴叶柄底部点C的坐标为． 故选：B 6. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象经过第一、二、三象限 B. y随x的增大而增大 C. 当时， D. 它的图象与y轴交于点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的性质，，函数递减；，y截距为2，由此判断各选项的正确性． 【详解】解：∵，， ∴图象经过第一、二、四象限，故A错误； ∵一次函数，，， ∴ y随x的增大而减小，故B错误； 令，得， ∵， ∴当时，，故C错误， 令，得， ∴图象与y轴交于点，故D正确； 故选：D． 7. 如图，中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等．根据勾股定理，可得的长，根据翻折的性质，可得，根据三角形的周长公式，可得答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理，得：， ∵将折叠，使点与重合，得折痕， ∴， ∴的周长． 故选：C． 8. 如图1所示，在甲、乙两地之间有一车站丙（离乙地较近），一辆货车从甲地出发经丙站驶往乙地，一辆轿车从乙地出发经丙站驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，图2分别是货车、轿车行驶时离丙站的路程与行驶时间之间的函数图象．则下列说法错误的是（ ） A. 货车的速度为 B. C. 当时，两车相遇 D. 当时，轿车刚好到达丙车站 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，有理数的除法运算．从图象中获取正确的信息是解题的关键． 由图可知，甲地与丙地相距，货车的速度为，可判断A的正误；从甲地到乙地的距离为，则乙地与丙地相距，即，可判断B的正误；轿车的速度为，则两车的相遇时间为，可判断C的正误；轿车刚好到达丙车站的时间为，可判断D的正确． 【详解】解：由图可知，甲地与丙地相距， 货车的速度为，A正确，故不符合要求； ∴从甲地到乙地的距离为， ∴乙地与丙地相距， ∴，B正确，故不符合要求； 轿车的速度为， 两车的相遇时间为，C错误，故符合要求； 轿车刚好到达丙车站的时间为，D正确，故不符合要求； 故选：C． 二、填空题（共5小题） 9. 若函数是一次函数，则m的值为______. 【答案】-1 【解析】 【分析】由一次函数的定义得出且，由此求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， ∴且， ∴ 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，形如（k≠0，k、b为常数）的式子，叫做一次函数．正确理解一次函数定义是解答此题的关键． 10. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，根据有意义的条件列不等式，再解不等式即可得到答案. 【详解】解： 二次根式有意义， 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟练的利用二次根式有意义的条件列不等式是解题的关键. 11. 点P在第二象限，它到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，则点P的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据第二象限点的符号，点到直线的距离进行判定即可求解． 【详解】解：设点， ∵点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4， ∴， ∵点P在第二象限， ∴， ∴点P的坐标是． 12. 如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走______的路程． 【答案】26 【解析】 【分析】本题主要考查平面展开，最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求出新矩形的对角线长即可． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，图形长度增加半圆周长， 原图长度增加， 则， 连接， ， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，A，C两点分别在x轴、y轴上，点A 的坐标为，点C 的坐标为，点P为射线上一动点，点O关于直线的对称点为点B，当为直角三角形时，的长为________ 【答案】3或6 【解析】 【分析】根据轴对称性质可得：，由为直角三角形，可分类讨论：或或，利用勾股定理和全等三角形性质即可求得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴； ∵点O关于直线的对称点为B， ∴， ∴，，，， ∴， 当为直角三角形时，或或． ①若，如图1， ∵， ∴A、B、C三点共线， ∵， ∴， ∵，即， 解得， ∴； ②若，如图2， ∵， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴； ③不存在这种情况． 综上所述，的长为3或6．  三、解答题（共7小题） 14. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，绝对值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简每一项，再根据二次根式的加减进行计算即可求解； （2）先利用平方差公式和完全平方差公式化简，再根据二次根式的加减进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 15. 在正方形网格中，已知点的坐标为，点的坐标为． （1）在图中建立正确的平面直角坐标系，并写出点的坐标：（_____，_____）； （2）连接，，，画出关于轴对称的； （3）若内一点的坐标为，它在内的对应点的坐标为，则点的坐标为（_____，_____）． 【答案】（1）如图，平面直角坐标系如图所示， （2）如图，即为所求； （3）， 【解析】 【分析】（1）根据点，将点向右平移个单位，向下平移个单位确定坐标原点，画出轴与轴建立平面直角坐标系，再读取点的横、纵坐标； （2）根据关于轴对称的点的坐标规律，横坐标不变，纵坐标取相反数，分别求出三个顶点的对称点，再依次连接即可得到； （3）由于是关于轴对称得到的，所以点的对应点坐标满足横坐标相等，纵坐标互为相反数，即对应点坐标为，结合已知的横、纵坐标列方程，解得即可． 【小问1详解】 见答案，略． 【小问2详解】 见答案，略． 【小问3详解】 解：，关于轴对称， ，， ， ． 16. 已知的平方根是的立方根是2． （1）求和的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查平方根、立方根的定义、一元一次方程、代数式求值等知识点，掌握平方根以及立方根的定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义可得；根据立方根的定义可得，再解方程即可解答． （2）先将m和n的值代入求值，然后求其平方根即可． 【小问1详解】 解：∵的平方根是， ∴，解得：， ∵的立方根是2， ∴，解得：． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴的平方根为． 17. 在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】（1） （2）不能成功，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解；（2）假设能上升，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 过点作于点，则，，， 在中，， ； 【小问2详解】 不能成功，理由如下：假设能上升，如图所示， 延长至点，连接，则， ， 在中，， ，余线仅剩， ， 不能上升，即不能成功． 18. 根据《关于我省居民生活用电试行阶梯电价有关问题的通知》，考虑到广东省夏季天气较为炎热，空调用电量较大的情况，将电量分档划分为夏季标准和非夏季标准，每年的5－10月执行夏季标准，其余月份执行非夏季标准． 阶梯电价电量分档 档数 夏季标准 （5－10月） 非夏季标准 （1－4月、11－12月） 电价 第一档 0－260度 0－200度 0.66元/度 第二档 261－600度 201－400度 0.71元/度 第三档 601度及以上 401度及以上 0.96元/度 如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，根据以上提供信息解答下列问题： （1）当执行非夏季标准时，若时，写出实付金额元与月用电量度之间的函数关系式__________； （2）若小安家在4月和5月的实际用电量都是250度，则实付金额分别为多少元？ （3）若小初家11月的实付金额为元，计算小初家11月的实际用电量． 【答案】（1） （2）小安家在4月的实付金额为167.5元，在5月的实付金额为165元 （3）小初家11月的实际用电量为220度 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是要根据用电量的多少分阶梯求出实付电费与用电量之间的函数关系． （1）当时，成一次函数关系，实付金额等于度内的用电付出金额与超出度的用电付出金额的和，然后即可得到y与x的函数关系式； （2）根据用电度数判断出适合的函数关系式，然后把用电度数代入关系式进行计算即可得解； （3）先计算出元的用电量超出度，然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可得解． 【小问1详解】 解：当执行非夏季标准时，即当时，有 ， 故答案为：； 【小问2详解】 月执行非夏季标准，且， 250度用电量在第二档， 当时，则元， 月执行夏季标准，且， 250度用电量在第一档， 当时，元， 答：小安家在4月的实付金额为元，在5月的实付金额为元； 【小问3详解】 ∵11月执行非夏季标准， ∴200度电费，400度电费， ∴， ∴小初家11月用电量属于第二档，令，则， 解得， 答：小初家11月的实际用电量为220度． 19. 在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义：． 【尝试】探究函数的图象与性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． （1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 2 0 b 0 … 根据表格中的信息可得______． （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【探索】（3）写出函数的一条性质______． 【解决问题】（4）结合画出的函数图象，解决问题： ①函数的最小值为______； ②关于x的方程的解为______． 【答案】（1）； （2）如图所示即为所求； （3）当时，y随x增大而减小，当时，随x增大而增大；（4）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了绝对值函数，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）把代入得，，即可得出结果； （2）根据表格画出函数图象即可； （3）根据函数图象即可得出性质； （4）①根据函数图象即可得出结果；②在中，当时，，当时，，联立方程组或，解得或，再结合函数图象即可得出结果． 【详解】解：（1）把代入得，， ∴， 故答案为：； （2） 略 （3）由函数图象可得，当时，y随x增大而减小，当时，随x增大而增大， 故答案为：当时，y随x增大而减小，当时，随x增大而增大； （4）①结合图象可知，函数的最小值为； ②在中，当时，，当时，， 联立方程组或， 解得或， 结合函数图象可得，的解为或； 故答案为：或． 20. 阅读理解： 【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？请你帮忙完成． 【探索新知】 从面积的角度思考，大正方形的面积小正方形的面积个直角三角形的面积． 请用含有的代数式表示以上面积： 大正方形的面积___________； 小正方形的面积个直角三角形的面积=___________； 从而得出数学等式：___________； 化简证得勾股定理． 【知识迁移】 （1）将图1中上方的两直角三角形纸片向内折叠，如图2，若，，此时空白部分的面积为___________； （2）将这四个直角三角形纸片紧密地拼接，形成飞镖状，如图3，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积． 【拓展延伸】 如图4，中，平分是线段上一动点（不与点，点重合），是线段上一动点（不与点，点重合），直接写出的最小值． 【答案】探索新知：，，；知识迁移：（1）；（2）；拓展延伸： 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的证明与应用，完全平方公式的应用，轴对称的性质，作出合适的辅助线是解题的关键. 探索新知：如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可． 知识迁移：（1）根据空白部分的面积小正方形的面积个直角三角形的面积计算即可． （2）可设，根据勾股定理列出方程可求，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； 拓展延伸：如图，作关于角平分线的对称点，连接，可得，当三点共线且时，，此时最小；再进一步求解即可. 【详解】解：探索新知： 从面积的角度思考，大正方形的面积小正方形的面积个直角三角形的面积． 大正方形的面积； 小正方形的面积个直角三角形的面积； 从而得出数学等式：； 化简证得勾股定理． 知识迁移： （1）由题意得： 空白部分的面积为． （2）∵， 设，依题意有 ， 解得：， ∴ ． 故该飞镖状图案的面积是24． 拓展延伸：如图，作关于角平分线的对称点，连接， ∴， 当三点共线且时，，此时最小； ∵中，， ∴， ∵， ∴. ∴的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $