1.1.1 空间向量及其线性运算教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

年级

高二年级

学科

数学

教师

课题

1.1.1 空间向量及其线性运算

教

学

目

标

数学抽象

结合我国空间站常态化运营、载人飞船交会对接等实际情境，类比平面向量的概念，抽象出空间向量的概念，理解零向量、单位向量、相等向量、相反向量与共线向量的含义，发展数学抽象素养。

直观想象

借助图形观察空间向量的加法、减法与数乘运算，理解三角形法则、平行四边形法则在空间中依然适用，能正确作出运算结果的示意图，发展直观想象素养。

逻辑推理

经历"类比—猜想—验证"的探究过程，理解空间向量线性运算的运算律与共线向量定理，体会类比推理是发现和推广数学结论的重要方法，发展逻辑推理素养。

数学运算

能熟练进行空间向量的加减运算与数乘运算，能运用共线向量定理判断共线并进行化简与求值，发展数学运算素养。

教

学

重

难

点

重点：空间向量的概念；空间向量加法、减法与数乘运算的法则及运算律；共线向量定理及其简单应用。

难点：理解空间向量加减运算的几何意义并正确作图；共线向量定理中条件

（向量

不为零）的理解与运用。

教学过程

教师活动

学生活动

导

入

新

课

情境创设：

2026年，我国空间站进入常态化运营阶段，神舟载人飞船多次圆满完成与空间站组合体的交会对接。在对接过程中，飞船的每一次位置调整，都既要考虑移动的"距离"，又要考虑移动的"方向"。如图1所示，飞船从发射场 A 运动到空间站 B，对应的位移既有大小又有方向；发动机的推力同样是有大小、有方向的量。

图1　飞船与空间站的位移示意

提出问题：

（1）像位移、力这样既有大小又有方向的量，在空间中应该用什么数学量来刻画？

（2）我们在必修第二册中已经系统学习了平面向量，平面向量的哪些概念和结论可以推广到空间中去？推广时需要注意什么？

教师引导学生回忆平面向量的概念与研究路径，指出：研究空间向量，可以类比研究平面向量的方法进行，这正是数学中重要的类比思想。

学生观察情境图，结合生活经验，意识到空间中的位移、力等也是既有大小又有方向的量。

学生回顾平面向量的概念、表示与运算，产生"把平面向量推广到空间"的学习需求，明确本课时的学习任务。

新

课

讲

授

一、空间向量的相关概念

教师引导学生类比平面向量，逐一给出下列概念，并规范板书记号：

1. 空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫作空间向量。向量可用小写字母

表示，也可用有向线段表示，记作

，其中 A 是起点，B 是终点。有向线段的长度叫作向量的长度（或模），记作

。

2. 零向量：模为 0 的向量，记作

。

3. 单位向量：模为 1 的向量。

4. 相反向量：与向量

方向相反且模相等的向量，记作

。特别地，

。

5. 相等向量：方向相同且模相等的向量，记作

。

6. 共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量叫作共线向量，记作

；规定零向量与任意向量共线。

关键结论：

空间中的向量可以任意平移，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，所以平面向量的有关概念对空间向量同样适用。因此，两个空间向量的位置关系只需讨论共线与不共线。

学生类比平面向量的概念，逐项口述定义，并在学案上完成概念梳理，规范书写向量的记号。