江苏无锡市2026-2027学年高三上学期期中考试数学试题

高三期中考试试卷 数学 2026.11 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．的虚部为 A． B．2 C．3 D．5 2．设全集，集合，集合，则为 A． B． C． D． 3．在中，点在边上，．记，，则等于 A． B． C． D． 4．若点（）是函数图象的一个对称中心，则的最小值为 A． B． C． D． 5．“为有理数”是“，为有理数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 6．已知圆半径为2，是圆内接正六边形内的一点，则的取值范围是 A． B． C． D． 7．已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则的值为 A． B． C． D． 8．已知，，，则的值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，均为实数，下列命题为真命题的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 10．已知平面向量，，，，与的夹角为，下列说法正确的是 A．若，则 B．若（）与平行，则 C．若增大，则增大 D．若，不共线，且（），则 11．已知数列中，的取值满足以下两种规则之一：规则A：，规则B：．假设规则A被使用的总次数为（） A．若，则 B．若，则当时，都有 C．若规则B不连续出现，则的最大取值为64 D．若，则的最小值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知为等差数列，为其前项和，，，则的公差为 ▲ ． 13．为测量河对岸的塔高（塔与地面垂直），选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得，，，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高为 ▲ ． 14．已知函数，定义域为，则函数的最小值为 ▲ ；若且，则的取值范围为 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）设，，求及的值． 16．（15分） 已知数列与满足：，． （1）若，求数列的通项公式； （2）若，记数列的前项和为，求满足的正整数的值． 17．（15分） 已知平面向量，，设函数． （1）若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象． （i）求的单调递增区间； （ii）若，，求的值； （2）若函数在区间上恰有2个极值点和1个零点，求实数的取值范围． 18．（17分） 已知函数，． （1）若，求函数的单调递减区间； （2）若，设，函数在处的切线斜率为0，且恰有两个零点，求的取值范围； （3）若，且恒成立，求的最小值． 19．已知数列满足，且对任意正整数，． （1）令． （i）求证：数列是等比数列，并求的通项公式； （ii）令（），求证：； （2）求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $无锡市2027届高三期中考试 数学（教师版·含答案与解析） 一、单项选择题： 本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1.i(2-3i)的虚部为 A.-2 B.2 C.3 D.5 答案：B i(2-3i)=2i-3i2=3+2i,虚部为2.选B 2.设全集U=R,集合A={xx2-2x-3≤0}，B={xx<2},则(CuA)∩B为 A.(-∞，-1) B.(-1,2) C.(2,3) D.(3,+∞) 答案：A x2-2x-3=(x+1)x-3)≤0→-1≤x≤3，故A=[-1,3],CwA=(-∞，-1)U(3,+∞) ∴.(CuA)∩B=(-∞，-1).选A. 3.在△ABC中，点D在边AB上，BD=3DA.记CA=成，CD=元，则C店等于 A.4m+3元 B.4m-3元 C.3m+4元 D.-3m+4元 答案：D AB=4AD=4(CD-CA). :C第=C+A=元+4（元-=-3m+4元.选D. 4.若点a,0)(a>0)是函数y=cos(2x-君)图象的一个对称中心，则a的最小值为 A音 Ba c. 答案：C π.k元 对称中心清足2a-石-2+kc,k∈Z,a=写+2 .选C a0 .'.dmin=3 5.“xy为有理数”是“x,y为有理数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分条件也不必要条件 数学试卷（教师版)第1页（共16页） 答案：B x,y均为有理数→灯y为有理数 反之不成立：取x=y=V2,则xy=2为有理数，而x,y均为无理数. ·前者是后者的必要不充分条件.选B. 6.已知圆0半径为2，P是圆O内接正六边形ABCDEF内的一点，则O.AC的取值范围是 A.(-3,6) B.(-6,6) C.(-6,3) D.(-3,3) 答案：B 以O为原点，以平行于AC且与AC同向的直线为x轴建立平面直角坐标系（如图）. 可取A(-V3,-1),C(V3,-1),AC=(2V3,0) 设Px,y以，则-V3<x<V3,O.AC=(x,y)(2V3,0)=2V3x. .-6<op.AC<6. 对任意x∈(-V3,V3),点(x,O)均在正六边形内部，故区间内各值均能取得.选B 7.已知函数f(x)为奇函数，且fx+1)为偶函数，当0≤x≤1时，f(x)=2-1,则f(1og236)的值为() > B.一9 5 C.4 D.4 答案：A f(x+1)=f1-x)→fx+2)=f(-x)=-fx) ∴.f(x+4)=f(x),且f(2-x)=fx). 令1=1g3则0<1<1，g36=6-1 10e36)=6-0=-0=f0=2-1=2:9-1=5-1-7送A 8已知aBe(0》ru+am2B-手m(a+)=-只.则ana-的值为 B c 数学试卷（教师版）第2页（共16页） 答案：原题条件矛盾，无符合题设的角（本题（第8题）为错题，四个选项均不能作为有效答案 方法-（正弦平方差上由su+cow2B-专→si。-siB=-写 4 →ne+B)sin(a-B)=-S:u+B∈0，ama+B)<0 e+B∈（匠sna+)-gma-)=子oa--等 mu-)=-享但此时na++sna-)=一5<0与 sin(a+B)+sin(a-β)=2 sina cosB>0矛盾，故为错题 方法二（和差角与范围核验：令S=+B,D=-B. 0<5<m5=-4<0.六及<5<，n-=} 1 incocosin S sin 1 2 ..sinD=-5 但a,B∈(0，)给出S-元<D<元-3，即1D<元-S< 2 5nD<m元-S列=sins=3与小snDl=}矛盾。 注：若只用四<牙会得到csD-手从而形式值mD= 此时忽略了D<元-S,不能据此 4 判原题选C 方法三（正数代换直接判定片令s=sina>0,t=c0sB>0,则2+2=4 /1 sin(a+B)=+V-V1-=t+V--+7=+√5+22> 11 V5>3 而0<a+8<元，ma+=-平婴求ma+B)=矛6， ,∴原题无符合条件的，B,四个选项均不能作为原题的有效答案 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知a,b,c均为实数，下列命题为真命题的是 1 A若ac2>bc2,则a>b. 1 B.若a>b>0,则a+。>b+ 1 C.若a<1,则a+ a1s-1. D若a+6=1且b>0.则日+话≥3+2v2 答案：ACD A项：ac2>bc2→(a-b)c2>0, c2>0,a-b>0,即a>b.A正确. 数学试卷（教师版）第3页（共16页） B项： (a+)-(b+》=a-(1-) a>b>0时，差的符号还取决于ab与1的大小 例如a=b=子则a+< 1 a=2<4=b+6B错误. C项：令1=1-a>0.则a+=1-1-≤1-2=-1 等号当且仅当t=1,即a=0.C正确 D项：a+b=1,ab>0→a>0,b>0. 日+后-（日+）+=3+名+名≥3+2 /b2=3+2v2 等号当且仅当名台即b=V2a,与a+b=1相容D正确放选ACD 10.已知平面向量d,方，à=2，=3，云与方的夹角为0.下列说法正确的是 A若万二3，则0- B.若d+u方(u∈R)与b平行，则a∥b. C若增大，则a++立-增大， D若立，方不共线，且(+A1方(a∈R,则元∈(-号) 答案：BD A项：cos0= a.b31 创 6=2 0≤0<元→日=号A错误 B项：方≠可，由向量共线定理，存在1∈R使+u方=t币. =(t-)乃今a∥方.B正确 c项：a++a--(2+2a.方+)+(a-2a+) =2(à2+）=2(4+9)=26，为定值.c错误， D项：（日+j-石=0→6c0+9吸=0→天=-号ms9. ,方不共线→0<日<元→-1<cos6<1, 2 一有<入<有D正确故选BD 11.已知数列{an}中a1=1,a+1的取值满足以下两种规则之一：规则A:a+1=an+1;规则B:a+1=2an 假设规则A被使用的总次数为k(0≤k≤n). A.若a5=8,则a3=3. 数学试卷（教师版)第4页（共16页） B.若k≤2，则当n≥3时，都有am≥2m-3+2. C.若规则B不连续出现，则a0的最大取值为64. D.若am=1316,则k的最小值为3. 答案：ABD 方法-：a1=1,an+1=an+1(①）或an+1=2an(②)，.{an}各项为正整数. 对于A,当a5=8时，由①②知a4=7或4，若a4=7,则a3=6,这与a3≤4矛盾，舍，.a4=4, ∴a3=3或a3=2,又.a3≥3，∴a3=3,A正确. 对于B,对任意给定的0，若先用①再用②得到2(x+1),先用②再用①得到2x+1. 当两种规则的次数固定时，将规则B的次数先用完，再用规则A,此时αn才最小 .am≥2n-1-k+k,.k≤2，k∈N, 当k=0时，am≥2n-1≥2-3+2： 当k=1时，am≥2"-2+1≥2m-3+2;当k=2时，am≥2"-3+2， 均有am≥2n-3+2,B正确 对于C,a1=1,2=2,剩下的8次操作两两一组，每组只能是①①、①②或②①，对 x0≥2而言，这三种操作的结果分别为x0+2,2x0+2,2x0+1均≤2x0+2,∴.a10≤2(2{2[2(2+ 1)+1+1}+1)=62,C错 对于D,要使k的次数最小，则只需倒推回去，尽可能多地使用②式： 由1316名6583329=328316438234140 320210名5山4名2→1，k最少使用了3次，D正确. 故选ABD 方法二（逆推、交换与两步估计）：A.a3只能取3或4，故a4∈{4,5,6,8} 若最后使用规则A,则a4=8-1=7,矛盾.故最后使用规则B,a4=4. 又a3≥3，a4=4只能由a3=3再加1得到.A正确 B.对任意正数x,连续使用AB得到2x+2,连续使用BA得到2x+1. 将一次A与其后紧邻的一次B交换，这两步后的值减小，后续操作均保序. 故使用k次A,n-1-k次B时，最小值在所有B均在所有A之前取得：am≥2m-1-k+k, 当k=0时，an≥2m-1≥2n-3+2; 当k=1时，4m≥2m-2+1,2n-2+1-(2m-3+2）)=2m-3-1≥0； 当k=2时，am≥2n-3+2.B正确. C.规则B不连续时，相邻两步只能是AA,AB,BA. aj42∈{aj+2,2aj+2,2aj+1}，∴.aj+2≤2aj+2. 由a2=2,依次得a4≤6，a6≤14，a8≤30，a410≤62. 数列前十项取1,2,3,6,7,14,15,30,31,62，满足条件，故最大值为62.C错误. 数学试卷（教师版）第5页（共16页） D.i 设正整数N的二进制表示中数字1的个数为s(W): s(2N)=s(N),s(N+1)≤s(N)+1. 注：若N末尾有r个连续的1，加1会将这r个1变成0，并在前一位添1，s(N+1)=s(N)+1-r≤ s(N)+1. 由s(1)=1,使用k次规则A后，s(am)≤k+1. 1316=210+28+25+22,.s(1316)=4,k≥3 取以下操作：1x44+马5X840+马41×8328+32941316. 乘4、乘8均由若干次规则B完成，仅使用三次规则A,故k的最小值为3.D正确 故选ABD 方法三（逐次展开成二的幂之和）：在前n-1次操作中，设B使用了r次，A使用了k次，则 r+k=n-1. 第j次A之后尚有r次B,则am=2”+∑21,0≤r)≤r. 注：初始的1最终变成2'；每次加上的1又被后续的乘2放大成2).各部分相加即得该式. A.由n=5,有r=4-k. k=0时，a5=16;k=1时，a5>8；k=4时，a5=5. 若k=2,r=2,则4+2”1+22=8，只能1=r2=1,操作顺序为BA4B. 若k=3,r=1,则2+21+22+2=8，只能r1=r2=r3=1,操作顺序为AAAB. 两种情形均有ag=3.A正确 B.由2y≥1，有am≥2”+k=2n-1-k+k. 当k=0时，am≥2n-1≥2n-3+2: 当k=1时，an≥2m-2+1≥2m-3+2; 当k=2时，am≥2m-3+2.上述此较均由n≥3及2"-3≥1得到.B正确， C.前9次操作中设有r次B,不能连续使用B,故0≤r≤5. r=0时，a10=10. 当1≤r≤5时，r次B之间至少保留r-1次A,这些必须保留的A,对a10的贡献分别为2,22，..，2-1 其余A的个数为(9-r)-(r-1)=10-2r,每次贡献不超过2'. 故a0≤2+2+10-22x,即a0≤12-2r2-2 令r=1,2,3,4,5,依次得到18,30,46,62,62.操作AABABABAB可达到62，故最大值为62.C错误 D.an是k+1个2的非负整数次幂之和. 将相同的幂两两合并，项数只会减少，最终得到am的二进制展开. 1316=210+28+25+22,含四个不同的2的幂，故k+1≥4 数学试卷（教师版）第6页（共16页） 又1316=4[8(8(4+1)+1)+1]. 从1出发，先乘4再加1，再乘8加1，再乘8加1，最后乘4，得到1316. 仅使用三次A,故k的最小值为3.D正确 故选ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知{an}为等差数列，S,为其前n项和，S3=3,S6=87,则{am}的公差为 答案：9 设公差为d,则S3=3a1+3d=3,即a1+d=1. S6=6a1+15d=6(a1+d)+9d=87,∴.6+9d=87→d=9. 13.为测量河对岸的塔高（塔与地面垂直），选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得 ∠BCD=60°，∠BDC=45°，CD=10(V3+1),并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为 答案：20V3 在△BCD中，∠CBD=180°-60°-45°=75 BC CD 由正弦定理 sin45sin75 sin75°=sin(45°+30°)=y6+V2 ,.BC= 10(3+1)2 2=20 4 √6+V2 .AB⊥BC,∠ACB=60°，.AB=BCtan60°=20V3. 14. 已知函数f(:)=S 气，定义拔为0，+，则函数f网的最小值为 若f(a)=fb)且 2 b-a≤1，则902+B2 的取值范围为 ab 答案：2e; 【重要放缩一步秒杀片第一空：x>0时，因2，≥2（当且仅当x 第二空：由1@=fb之个6→e266 a 令b-a=1,11,为=e2 1 a 9a2+b29a,b ab b =e2+ a e,令e2=元，ee,e2], 数学试卷（教师版)第7页（共16页） 原式=+26心+ 9 方法二（求导与比值换元上）= 2xe2r-e2x 即)=22x-) x2 当0<x<时.f倒<0：当x>5时.>0 1 的最小值为r(分)-=2. e2a e2b b 由f(a)=fb),得 a b,.。=e2b-a 令1-名由<b-a≤1，得e≤1<e,原式为1+？ 1 a 设0=1+另则#0=1-号-《-3+3》 9 12 由e<3<e2,Ht)在[e,3]上递减，在[3，e☑]上递增。 a=6:又He码-e=e-(1-2)>0. 故最大值为He)=心+是 Int 任取1ee,e]令a=20-b- tInt 2(t-1) 则ab>0,b-a=号∈片，且e20=1=会即/@=o lnt「1 故全高1∈Re的均可取得由0)的连续性，原式范围为6e+) 当1=3时，a=n3, 3ln3 4,b= 4， 取得最小值6. 1 e2 当1=e2时，a=。2b=。二取得最大值， 方法三（对数不等式与基本不等式小：设h(d)=t-1-nt,t>0. 0=,赦0)≥)=0，等号当且仅当：= 取t=2x,得ln(2x)≤2x-1. Inf(x)=2x-Inx 2x-In(2x)+In2>1+In2 f)≥2e,当且仅当x=)取等，第一空为2e 再由fa=f6,得c2b-)= 记1-会则e<1≤心，原式为1 9 +?≥2V=6,等号当且仅当1=3 9 同时.c2+是-(+)-=e-(-2)≥0， 数学试卷（教师版)第8页（共16页） e2-1≥0.1>e>9,6<9a2+2 <e2+2 9 ab 任给tee,e2],取a= Int tInt 20-1,b= 2t-1)1 则a,b>0,b-a=n'∈ 且f(a)=fb)、 1=3与1=e2分别满足条件并取得两端点、由1+}的连续性，范围为6,2+己 9 9 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(2a-c)cosB=bcosC. (1)求角B; (2)设a=2,c=3,求b及sin(2A-B)的值. 解：(I)由正弦定理，(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC, 2sinA cos B=sinCcos B+sinBcosC=sin(B+C)=sinA. 0<A<元，.sinA>0,osB=2 1 又0<B<,B=骨 1 2)B2=2+c2-2 accosB=-2+32-2×2×3×2=7,.b=V7. sinA=asin B v21 b wA+-22 2bc 7 sin2A-2sinA cosA=43 7 cs2A=sA-iA-号多司 ..sin(2A-B)=sin2A c0sB-cos2A sin B=3x33V3 7×2-7× 2-14 16.(本小题满分15分) 已知数列{an}与{bn}满足：a1=3,an+1-an=3(b+1-bn). (1)若bm=2n-1,求数列{an}的通项公式， 1 (②)若b,一n+D,记数列{a}的前n项和为S,求满足S,<9的正整数n的值. 解：(1)a+1-an=3{[2(n+1)-1-(2n-1)}=6. ∴{an}是首项为3，公差为6的等差数列 an=3+6(n-1)=6n-3. 数学试卷（教师版)第9页（共16页） (2)由an+1-3bn+1=an-3b, a-通，=-的=-》 经中》-1+ n.n 由neN,5<9←一2+n+<3 ←→nn+1)+2n<6(n+1)←→n2-3n-6<0←→ 3-V33 <n<3+V3 2 2 .n=1,2,3,4. 17.(本小题满分15分) 已知平面向量元=(V3sinx,cosx),方=(cosx,cosx,设函数fw)=a.方. ()若将函数y=)的图象向左平移是个单位长度，得到函数)y=g树的图象。 ①求g)的单调递增区间： 若f(0-)=8() 日∈(0，)，求日的值. (回若函数d在区间（一m）上恰有2个极值点和1个零点，求实数m的取值范周 解：m=V+ow2x-9n2+5wx+-ner+君》+号 @=f(+舜)=sinp(+)+】+号=m2++5 由-号+2m≤2x+≤5+2，keZ. 得k-8 ≤x≤km+8· :8倒的递增区间为a-+引，kEZ 0fe-)=m20+8(9)=sm(g2+）+片sm(a+8)+号 ∴sin20=sim(0+牙)】 20=0+牙+2m,或20=元-(0+)+2m,keZ. 即0-+2，或0-至+2 3 结合0<6<，得0=晋或日= 12 数学试卷（教师版）第10页（共16页） ②fw=2eos(（2+若) 倒=0→2x+名-号+m一-君+经kez 这些点处号函致均变号，均为板值点在一百行依恢为行石 恰有2个极直点一否<州≤石 7π f=0一m(+君)=-号 1 +,或x-+,kEz →x=2 元5元3π 在一2右侧依次为26,2… 恰有1个零点←→2 <m≤6 π 两者取交集，得m∈ 2π5π] 36 18.(本小题满分17分) 已知函数fx)=alnx+br+,a,b,c∈R. (1)若a=b=-1,求函数f(x)的单调递减区间： (2)若b=1,设g(x)=f'(x),函数fx)在x=1处的切线斜率为0，且g(x)恰有两个零点，求a的取值 范围 (3)若a=b<0,且f≤二a恒成立，求二的最小值 解： 方法一（求导与参数分离：定义域为(0，+∞) 四当a=b=-1时，因=1-京=+ x2 若c≥0，则x2+x+c>0,(x)<0,∴递减区间为(0，+∞) 若c<0.由2+x+c=0.得1=1-yc<0,=1+=>0. 2 2 当0<x<x2时，f'(x)>0:当x>2时，f'(x)<0. ·.递减区间为 -1+vV1-4c 2 “,+∞ 回当b=1时.国=国-+1- c x2+ax-c 2= 2 由f'(1)=0,得a+1-c=0,即c=a+1. s)=2+ar-a-1_c-1e+a+y x2 x2 8c)恰有两个零点，等价于-a-1>0且-a-1卡1， 数学试卷（教师版)第11页（共16页） 即a<-1且a≠-2 ∴.a∈(-∞，-2)U(-2,-1) 注：两个零点必须都满足x>0,且不能重合.当a=-2时，g(x)只有一个零点x=1. 仞令=合 a-6<0.放四≤总一++经是 e 2x →k≥-xlnx-x2,x>0. e 设h)= -xnx-2,则h)=2-1nx-1-2x, =-2<0 )减，且（）=+1-1-=0 4e在(0)上递增，在（日+）上递减 a)的大值为（）-+日- e2 k≥ 即后的最小值为牛 取任意a<0,b=a,c ae+卫，原不等式对所有x>0成立，且x=时取等。 e2 方法二（正根判定与基本不等式：定义域为(0，+∞ 四当a=b=-1时，r网=1-会 若c≥0，则f'(x)<0,递减区间为(0，+∞) 若c<0,令d=-c>0,则f'(x)= d-x-x2 2 x2+x在x>0上递增，由x2+x=d,得唯一正数 0=-1+y+40=-1+VI-4 2 2 当x>0时，x2+x>d,f'(x)<0. 当0<x<x0时，x2+x<d,f()>0. .递减区间为 +） -1+V1-4c 2 (2)由b=1及f'(1)=0,得c=a+1. gx)=0←→x2+ax-a-1=0,x>0. 该方程恰有两个不同正根的条件为△=a2+4a+4=(a+2)2>0, +x2=-a>0,xx2=-(a+1)>0. 合并得a<-1且a≠-2. ∴a∈(-∞，-2)U(-2,-1) 数学试卷（教师版)第12页（共16页） B)令k=仁.a=b<0.原条件等价于xnx+2- 2x +k≥0，x>0. a e 先证lnt≤t-1,t>0. 设0=1-1-h,则He= H(t)在(0,1)上递减，在(1，+∞)上递增， .H(t)≥H(1)=0,等号仅在t=1时成立. 取t=,得-1-nx≤-1， ex ex xlnx≥ 。等号仅在x=。时成立 e 又- 等号同样在x=二时成立， e :.xInx+2 23+k≥k-。2 11 当≥+日时，原不等式对所有>0成立。 1 e 反过来，令x=。原条件要求-日日≥0 e k≥e+1 为充受条件，后的最小信为 a 注：nr与P-2都在x=时取最小值，两个等号能够同时成立 e 19.(本小题满分17分) 已知数列{an}满足a1=2,且对任意正整数n,an+1= 2an an+11 (I)令bn=am an-1 (①)求证：数列{bm}是等比数列，并求{bn}的通项公式； (画令cm三b,n∈N*,求证： C1+c2+…+cm<2 (2)求证：a2a4a6…a2m<2. 解： 2an 方法一：(1)(i)证明：bm+1= an+1 8+1s20ae2b,且b1=a0=2y a+1-=2 -1an-1 an+1 .{bn}成首项为2，公比为2的等比数列，∴.bn=2”。 数学试卷（教师版)第13页（共16页） 2r-1 1 (ii)Cn= 2n+1-1 2n+1-1 2-22n+1-1 要证： a-号2g(g) ←→ 证： 1 1 → 证： 2+1->2k,显然成立， 111 11 或由m=222-<227 1- 1-8 日+-0-+) (2)由1)知a=2”"→a= 2n 22k an-1 n-1'a2=22-1 22k-1 a2k-1 22k-1-1 22k-1 22k+1-1122k+1-1 a2k+1 22k+1 22k-1-122k+1=422k-1-1 22k+1-1 21,a2-1=1.4t-1 令2-1=1(1≥2)，则a=2z-241=41-1 a2k-1= 2t 1-2t 12k- 4-18t-1)-(4-1021-1=,-021-下<0. a2k+1 21-14t-1) 4(t-1)(2t-1) 2k<9 2k-1 2k+1 a4a6a2<.2l=a4= 2<2,证毕！ 3a52n+1a2n+12n+1 方法三（等比变换与乘积裂项上(）()a=2>1.若a>1,则a4+1-1=2a-1=0- an+1 an+1 >0. ∴，am>1,各项分母均不为零 2an bn+1= an+1 2an 2a-1 an-1 =2bn: an+1 又b1=2-1 =2,.{b}是首项为2，公比为2的等比数列， bn=22"-l=2" 由ban(a-）=a、得am=bn-1-2”-i bn 2k-11 1 (i)对任意正整数k,ck=2+1-=22(2+1- 0<2+1-1<2k+1,.ck<22+2· 1 1 数学试卷（教师版）第14页（共16页） a++…+m<5-22 n 1 k=1 111-2-1 1 义81万427 (2)对任意正整数k, 1+产，-1 22水 1 1 (22-1)-(2+1-2)=(2-1)2>0, 且两分母均为正，“0<a2<% ak+1 逐项相乘得00<412.=1=22=2-元<2 a2 a3 an+l an+1 2n+1 注：为使乘积前后消去，比较与，两者均改写成1加一个正数后，比较分母即可 ak+1 方法三（倒数变换与整体估计）：仙①a=2>1,且+1二1=么十，归纳得a,>1.令 、1 dm=1->0. an 1 an+=2a=2+2n 11 1 又d=1-2-2d=2n, -1a=2" bn=- an 1 ∴.{b}是首项为2，公比为2的等比数列： 同时1-=2，得a=1-2=2- 12n an (ii)令Sm=c1+c2+·+Cn 2k-111 1 222-”2改=N-2 当=1时，s-甘爱(-+) 当=2时-计月8-0-) 当n≥3时，和式中各项均为正，保留前三项得 1 1,1,135+15+719、1 ≥店家 105 35>2 191 1.1 .2m≤n-35<n-2<n-2+2币· 数学试卷（教师版）第15页（共16页） 两边除以2.得s5<(-+中）》 综上，原不等式对任意正整数n成立 @令6=a>0.则合-办(-) 先用数学归纳法证明 0-49≥1-24 n=1时，两边均为，命题成立. 段时命通成立记=4大，74 31. .1-4-+1)>0, i0-4≥-x0-4a)---4+4 1-Z-4*9=1-Σ4 ∴.命题对任意正整数n成立 1 于是之1-1-42+4”2 3 3>3 3.3 B≤2+4m<2 <2 数学试卷（教师版）第16页（共16页）