精品解析：山东省济南第一中学2026-2027学年高三上学期10月阶段性学情检测数学试题

济南一中2024级高三10月阶段性学情检测 数学试题 第Ⅰ卷（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题集合可得集合， 集合的真子集个数为，故的真子集个数为. 2. 已知幂函数f (x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数是幂函数，结合过点的坐标，即可求得，则问题得解. 【详解】由幂函数的定义，知∴k＝1，α＝. ∴k＋α＝. 故选：. 【点睛】本题考查根据函数是幂函数求参数值，以及待定系数法求参数值，属简单题. 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】对求导得，代入，求解即可. 【详解】， 故， 所以． 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】利用对数公式：， 对数相等，底数相同，则真数相等：， 而，所以， ， 即. 5. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性排除A；根据正负性排除CD. 【详解】定义域为，， 则是偶函数，排除A选项； 当时，，则， 当时，，则； 当时，，则，排除CD选项. 6. 已知，则的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分区间求解的解集，结合函数单调性确定x的范围后，再代入解关于a的不等式即可. 【详解】 分情况讨论不等式的解： 当时，，不等式， 与前提矛盾，故此时不等式无解； 当时，，对其求导得. 当时，，即在上单调递增. 又， 因此. 综上，的解为. 将代入得，解得，即. 7. 已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得. 【详解】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 8. 若曲线在点处的切线也是曲线在点处的切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的几何意义计算即可. 【详解】易知，所以曲线在点处的切线为， 同理，所以在点处的切线为， 由题意知两条切线重合，所以， 两边同时取以为底的对数得， 则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】A选项：由得，则，故选项A正确； B选项：当，时，，，此时，故选项B错误； C选项：由得，则，即，故选项C错误； D选项：由得，则，即，故选项D正确. 10. 已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（     ） A. 的定义域为 B. C. 的单调递减区间为 D. 的值域 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数解析式求定义域判断选项A；利用奇函数的性质求的值判断选项B；求复合函数单调区间判断选项C；结合函数单调性和奇偶性求出值域判断选项D. 【详解】A选项，由得，所以的定义域为，A选项正确； B选项， 因为函数是定义域为的奇函数，所以， 即，解得， 则有，函数定义域为， ， 所以函数为奇函数，符合题意，B选项正确； C选项，当时，，且在上递增，则在上递减， 所以在上递减，又是奇函数， 所以的单调递减区间为和，C选项错误； D选项，由选项B可知，，当时，，则， 所以，又是奇函数，当时，， 所以的值域，D选项正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数有最大值 B. 若函数图象的对称中心为，则 C. 函数在上一定存在减区间 D. 函数可能有2个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，求导根据函数的单调性判断即可；对于B，二阶导数求对称中心横坐标或利用对称中心定义判断即可；对于C，求导，结合判别式大于零解出减区间即可判断；对于D，因式分解，结合判别式大于零进行判断即可. 【详解】对于A，当时，， 当时，在上单调递增， 当无限趋于正无穷大时，也无限趋于正无穷大，所以没有最大值，故A错误； 对于B，法一：，令，则， 结合三次函数对称性可知，，所以，故B正确； 法二：若函数图象的对称中心为，则对任意实数，恒有， 代入化简得，解得，故B正确； 对于C，，令， 解得或， 当时，所以在上单调递减，故C正确； 对于D，， 令，又， 所以有两个不为0的根，所以有3个零点，故D错误. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以根据基本不等式的性质可得 ，当且仅当，即时等号成立， 此时取最小值为. 13. 已知复数的虚部为，，在复平面内对应的点位于第二象限，则________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意设， 因为，所以，解得（舍去）或， 所以. 14. 设函数在上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数的取值范围为 ____________ 【答案】 【解析】 【分析】令，由题意得为奇函数，并结合导数得的单调性，再由，利用的单调性求解即可. 【详解】 令，即，则为奇函数， 当时，，则在上单调递增， 故在区间上单调递增，则在上单调递增， ∵， 即， ∴，解得． 故答案为： . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 关于的不等式的解集记为．关于的不等式的解集记为． （1）求集合； （2）若“”是 “”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解二次不等式即可得到集合； （2）根据题意求出集合，再由“”是 “”的必要不充分条件，得到集合是集合的真子集，则，解不等式即可． 【小问1详解】 不等式， 即，解得， ； 【小问2详解】 不等式， 即，解得， 所以集合， 又因为“”是 “”的必要不充分条件， 集合是集合的真子集， ，解得， 则实数的取值范围是． 16. 已知函数（且）. （1）当时，求的极小值点与极小值； （2）讨论函数的单调性； 【答案】（1）是的极小值点，极小值为 （2）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）通过导数求函数的极值点和极值； （2）分类讨论，结合导数的正负研究函数的单调性； 【小问1详解】 当时，，其定义域为， 求导，得， 令，即， 因为，所以，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以是的极小值点，极小值为. 【小问2详解】 的定义域为， 当时，恒成立，所以在上单调递减， 当时，， 在上，，所以在上单调递减， 在上，，所以在上单调递增，   综上所述， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 17. 已知函数． （1）已知曲线在处的切线方程为，求和的值； （2）设，，是否存在，使得函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2）存在使得函数的最小值为2，理由如下： ，，则有， ①，此时恒成立，在上单调递减， 最小值在处取得为， 令得，与矛盾，舍去； ②，即，此时在上，单调递减，在上，单调递增， 最小值在处取得为， 令得，满足，成立； ③，即，此时在上恒成立，单调递减， 最小值在处取得为， 令得，与矛盾，舍去； 综上，存在，使得在上的最小值为2． 【解析】 【分析】（1）由切线方程得切点坐标和切线斜率，有和，解方程求出和的值即可； （2）利用导数求函数的最小值点，由最小值求出的值. 【小问1详解】 曲线在处的切线方程为，则切点坐标为，切线斜率为0， ，则，解得， 所以，解得. 【小问2详解】 略 18. 已知函数． （1）若在处的切线斜率为，求； （2）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，由计算可得； （2）依题意可得恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以，依题意，解得； 【小问2详解】 因为的定义域为， 又， 所以恒成立， 令，，则， 令，，则，所以在上单调递增， 又，， 所以使得，即，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围； （3）设，证明：. 【答案】（1）在上单调递减，无单调递增区间 （2） （3）由时，在上单调递减，故， 即当时，，所以， 取，得， 所以，，，，， 累加得； 设，求导得， 所以在上单调递增， 由，得，所以， 取，可得， 又因为，有，所以， 所以， 所以，，，，，， 累加得； 所以 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的意义可求的单调区间； （2）求导得，分，和三种情况讨论可求得，可求得的取值范围； （3）当时，可得，令，可得，设，求导可证，进而得，利用累加法可证结论. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时，， 求导得， 当时，，所以在上单调递减，无单调递增区间； 【小问2详解】 求导得， 令， 当时，又，所以，则， 所以在上单调递增，所以，不符合题意； 当时，令， 对于二次函数，判别式， 设的两根为，不妨设，则，， 所以的两根均为正数，又对称轴， 所以，结合，， 即有两个正根，， 当时，，所以在上单调递增，所以，不符合题意； 当时，，故，所以， 所以在上单调递减，所以，符合题意； 综上所述：的取值范围为； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南一中2024级高三10月阶段性学情检测 数学试题 第Ⅰ卷（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数f (x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 5 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的解是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 若曲线在点处的切线也是曲线在点处的切线，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（     ） A. 的定义域为 B. C. 的单调递减区间为 D. 的值域 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数有最大值 B. 若函数图象的对称中心为，则 C. 函数在上一定存在减区间 D. 函数可能有2个零点 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的最小值为________． 13. 已知复数的虚部为，，在复平面内对应的点位于第二象限，则________. 14. 设函数在上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数的取值范围为 ____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 关于的不等式的解集记为．关于的不等式的解集记为． （1）求集合； （2）若“”是 “”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数（且）. （1）当时，求的极小值点与极小值； （2）讨论函数的单调性； 17. 已知函数． （1）已知曲线在处的切线方程为，求和的值； （2）设，，是否存在，使得函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18. 已知函数． （1）若在处的切线斜率为，求； （2）若恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围； （3）设，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $