专题25.3（1） 实践与探索：二次函数与一元二次方程、不等式的关系，二次函数的应用（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年华东师大版九年级数学下册
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内容正文：
简一数理 初中专题讲义
专题25.3（1） 实践与探索：二次函数与一元二次方程、不等式的关系，二次函数的应用
（新教材华东师大版）
知识点一、二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 2
知识点二、二次函数与不等式的关系 3
知识点三、用二次函数解决实际问题的一般步骤 4
知识点四、利用二次函数解决利润最值的方法 4
知识点五、利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法 4
知识点六、利用二次函数解决面积最值的方法 4
【题型1 求抛物线与X轴的交点】 4
【题型2 求抛物线与Y轴的交点】 5
【题型3 已知二次函数值求自变量的值】 6
【题型4 抛物线与X轴的交点问题】 6
【题型5 根据二次函数图像确定相应方程根的情况】 7
【题型6 求X轴与抛物线的截线长】 9
【题型7 图像法确定二次函数的近似根】 9
【题型8 图像法解一元二次方程】 10
【题型9 利用不等式求自变量或函数值的范围 】 12
【题型10 根据交点确定不等式的解集 】 12
【题型11 图形问题 】 13
【题型12 图形运动问题】 14
【题型13 拱桥问题】 16
【题型14 销售问题】 17
【题型15 投球问题】 18
【题型16 喷水问题】 19
【题型17 增长率问题】 20
【题型18 其他问题】 20
【探究式学习】 23
【课后检测】 26
【复盘笔记】 32
知识点一、二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
判别式
二次函数
一元二次方程
与x轴交点个数
图像
与x轴的交点坐标
根的情况
△＞0
抛物线
与x轴交于，
两点
一元二次方程
有两个不相等的实数根
2个交点
△＝0
抛物线与x轴交于这一点
一元二次方程
有两个相等的实数根
1个交点
△＜0
抛物线
与x轴无交点
一元二次方程
在实数范围内无解（或称无实数根）
0个交点
知识点二、二次函数与不等式的关系
二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）：
图像
有两个交点
有1个交点
无交点
判别式
△＞0
△＝0
△＜0
△＞0
△＝0
△＜0
或
的全体实数
全体实数
无解
无解
或
无实根
或
无实根
无解
无解
或
的全体实数
全体实数
知识点三、用二次函数解决实际问题的一般步骤
1.审：仔细审题，理清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
知识点四、利用二次函数解决利润最值的方法
巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题。
知识点五、利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法
先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。
知识点六、利用二次函数解决面积最值的方法
先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。
【题型1 求抛物线与X轴的交点】
【例1】关于的二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，直线经过，两点．将直线沿轴向下平移，当直线与抛物线有唯一交点时，设平移后点对应点的纵坐标为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】如图，抛物线与x轴交于点，点在点左侧，与轴交于点，点是点关于此抛物线对称轴的对称点，连接．点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，与抛物线交于点．当最大时，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 求抛物线与Y轴的交点】
【例2】关于二次函数，下列说法正确的是（ ）．
A．图象与轴的交点坐标为 B．图象的对称轴为直线
C．当时，随的增大而减小 D．有最大值
【变式2-1】如果二次函数的图像的顶点在坐标轴上，那么的值不可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【变式2-2】抛物线与坐标轴共有几个交点（ ）
A．1个； B．2个； C．3个； D．4个．
【变式2-3】如图，线段的两个端点的坐标分别是、，函数的图象与线段有公共点，当该函数图象与轴的交点最高时，则的值是（ ）
A． B． C．5 D．7
【题型3 已知二次函数值求自变量的值】
【例3】科学研究表明，农作物的产量与施氮量之间存在一定的关系．在某种肥力的麦田中，小麦每亩的产量（单位：千克）与每亩施氮量（单位：千克）满足关系．若小麦每亩的产量为84千克，则每亩的施氮量为（ ）
A．千克 B．2千克 C．26千克 D．28千克
【变式3-1】一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（单位：米）与经过的时间（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间是（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
【变式3-2】某地每年六月都有举办龙舟比赛的习俗，比赛需要经过一个抛物线形的拱桥．如图，是水平面，拱桥对应的函数表达式为．某商家在点处悬挂了广告条幅，已知，点到的距离为，则点到点的距离是（ ）．
A． B． C． D．
【变式3-3】将抛物线：进行平移得抛物线：，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型4 抛物线与X轴的交点问题】
【例4】如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（）
A． B． C． D．
【变式4-1】如图，抛物线对称轴是直线，经过点，下列结论正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①③ B．①② C．②③ D．③④
【变式4-2】抛物线的部分图象如图所示，该抛物线的对称轴为直线，与轴交点的横坐标为1，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．时，函数值 D．
【变式4-3】关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标是 D．与轴有两个交点
【题型5 根据二次函数图像确定相应方程根的情况】
【例5】已知二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，与轴的一个交点为，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．关于的方程的解为
D．关于的不等式的解集为或
【变式5-1】抛物线的对称轴是直线，且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式5-2】如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：
①；②；③对于任意实数，都有；④若点、是图象上任意两点，且，则，⑤方程的解是或，其中正确的是（ ）
A．①②④⑤ B．①②④ C．①②③⑤ D．①④⑤
【变式5-3】已知二次函数的部分图像如图所示，那么关于的一元二次方程的根为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【题型6 求X轴与抛物线的截线长】
【例6】抛物线与轴交于，两点，且，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
【变式6-1】抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（ ）
A． B．2 C． D．4
【变式6-2】抛物线向下平移3个单位后，新抛物线与轴两个交点之间的距离为________．
【变式6-3】赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少，有下列结论：
水面宽度；
拱桥的最大高度是；
若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条；
其中，正确结论是______．（填序号）
【题型7 图像法确定二次函数的近似根】
【例7】如图，以为顶点的二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴的负半轴相交于点A，则关于x的一元二次方程的正数解的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】如表是一组二次函数的自变量和函数值的关系，那么方程的一个近似根是（ ）
1
2
3
4
3
9
A． B． C． D．
【变式7-2】根据以下表格中所给出的x与（是常数且）的对应值（精确到0.001），判断方程的解x所在的范围是（ ）
x的值
35.154
35.155
35.156
35.157
35.158
的值
0.040
A． B． C． D．
【变式7-3】下列表格中数据是二次函数的几组对应值：
根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型8 图像法解一元二次方程】
【例8】已知二次函数的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【变式8-1】已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式8-2】抛物线的部分图像如图所示，若则x的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．或
【变式8-3】如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．
【题型9 利用不等式求自变量或函数值的范围 】
【例9】已知二次函数，当，则y的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】从的图象上可以看出，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】已知二次函数y＝﹣x2＋2x＋3，当自变量x的值满足a＜x≤2时，函数y的最大值与最小值的差为1，则a的值可以为（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
【变式9-3】如图为某二次函数的部分图像，有如下四个结论：①此二次函数表达式为y＝x2﹣x＋9：②若点B（﹣1，n）在这个二次函数图像上，则n＞m；③该二次函数图像与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；④当0＜x＜5.5时，m＜y＜8．所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【题型10 根据交点确定不等式的解集 】
【例10】如图，二次函数与一次函数的图象交于，，当时，x的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
【变式10-1】如图，二次函数与一次函数的图象相交于两点，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】抛物线与轴交于、两点，顶点为，则下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．当或时，
C．顶点的坐标为 D．当时，随的增大而减小
【变式10-3】如图，已知抛物线与直线交于、两点．则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B．或 C． D．
【题型11 图形问题 】
【例11】如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，．
①的长可以为；②的长只有一个值满足花园面积为；③花园面积可以达到．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式11-1】如图，用总长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地墙足够长，设为米，围成的矩形菜地的面积为平方米，则与之间的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式11-2】如图，植物园里要建一个矩形花圃，建造该花圃需要利用一堵墙，其余部分用长为28米的篱笆围成，且．若米，则矩形花圃面积的最大值是（ ）
A．平方米 B．平方米
C．平方米 D．平方米
【变式11-3】一块三角形材料如图所示，，，，用这块材料剪出一个矩形，其中，点D，E，F分别在，，上，要使剪出的矩形面积最大，的长为（ ）
A．2 B． C． D．4.5
【题型12 图形运动问题】
【例12】如图，在等腰直角中，，动点从点出发，沿方向匀速运动，到达点停止运动，过点作交直角边或于点，以为边向右作正方形，设点运动的路程为，正方形和等腰直角重合部分的面积为下列图象能反映与之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式12-1】已知正方形的边长为，点P是对角线上一动点（不与点A，C重合），连接，作交射线于点M，连接，设，，则y关于x的函数关系的图象大致为（）
A． B． C． D．
【变式12-2】如图，已知的顶点坐标分别为，，．动点E，F同时从点A出发，E沿运动，F沿折线运动，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒，连接EF．当点E，F移动时，记在直线EF右侧部分的面积为S，则S关于时间t的函数图像为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-3】如图，点在的边上，，设，，则关于的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【题型13 拱桥问题】
【例13】某公园拱桥为抛物线形，以水面为x轴，拱桥竖直对称轴为轴建立平面直角坐标系．已知拱桥最高点距离水面，水面跨度为，则该拱桥的抛物线表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式13-1】坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为16m，当水位上升3m时，水面宽为（ ）
A． B． C． D．
【变式13-2】如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，那么水面宽度为（ ）
A． B． C． D．
【变式13-3】如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面4.5m，当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为（ ）
A．5m B．m C．10m D．m
【题型14 销售问题】
【例14】某商品原价 80元，每天可卖30件；每涨价1元，每天少卖2件．设涨价x元，每天的销售额y元，则y与x的关系式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式14-1】将进货价为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价为元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式14-2】某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（ ）
A．35元 B．36元 C．37元 D．36或37元
【变式14-3】某商店购进某种商品，该商品的进价为40元/件．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300件，销售单价每降低1元，每天的销量增加20件．现商店决定降价销售，设每天的销量为件，销售单价为元，商店每天销售该商品获得的利润为元，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型15 投球问题】
【例15】投壶是“投箭入壶”的简称，作为非物质文化遗产，不仅具有深厚的历史渊源和文化背景，还承载着中华民族的传统礼仪和娱乐文化，其中箭头的行进路线可看作一条抛物线．已知一名男生投壶时，箭头的行进高度（单位：）与水平距离（单位：）的关系可以表示为，则这名男生此次投壶箭头行进的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
【变式15-1】掷实心球时，实心球的行进路线是抛物线的一部分．小林是一个数学爱好者，他将自己某次掷实心球的过程用视频记录下来后，把实心球的行进路线涂画于纸上，并以球的初始位置所在的竖直直线为轴，脚所在的位置为坐标原点，建立了平面直角坐标系（球的初始位置在脚的正上方），如图所示．小林将脱手后实心球的行进高度与水平距离的相关数据记录如表：
0
1
2
3
4
…
3
…
若小林掷实心球的场地为水平地面，实心球运动路径为抛物线，则小林这次掷实心球的成绩为（ ）
A． B． C． D．
【变式15-2】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论：
①小球运动时间是时，高度为；
②小球运动中高度可以是；
③当时，高度随着时间的增大而减小．
其中正确的结论是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②
【变式15-3】在校园吉尼斯“弹性球挑战赛”中，小明将弹性球从地面竖直向上弹起时的速度为米/秒，经过秒时球的高度为米，和满足公式：（表示球弹起时的速度，表示重力加速度，取米/秒2），则球的高度不低于米的持续时间是（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
【题型16 喷水问题】
【例16】某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（ ）．
A． B． C． D．
【变式16-1】如图，在地面上的A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与点A的水平距离为处达到最高点C，点C距离地面的高度为，水柱落地点D到A处的距离为，则水管的顶端B距地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
【变式16-2】某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子恰为水面中心，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角 坐标系（如图），水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 ，则下列结论错误的是（ ）
A．柱子的高度为
B．喷出的水流距柱子处达到最大高度
C．喷出的水流距水平面的最大高度是
D．水池的半径至少要才能使喷出的水流不至于落在池外
【变式16-3】某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【题型17 增长率问题】
【例17】某出版社一月份发行65万册新书，如果从二月份起，每月发行量的增长率都为，那么三月份的发行量（万册）与的函数表达式是______．
【变式17-1】某区今年月份工业生产值达亿元，第一季度总产值为亿元，设平均每月增长率为，则与之间的函数关系式为________．
【变式17-2】“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的万人增加到2023年的50万人．设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x．
(1)用含x的代数式表示2023年参加健身运动的人数y（单位：万人），并化为二次函数的一般形式；
(2)根据题意，求该市参加健身运动人数的年平均增长率．
【变式17-3】在数学课上学习一元二次方程应用——变化率问题时，小雨同学发现若两种商品原价相同，分别经过两轮涨价之后的价格也相同，其中一种商品第一轮涨价，在第一次涨价后的价格基础上，第二轮涨价的百分率为，另一种商品两轮涨价的百分率均为（），则与存在函数关系，试写出与的函数解析式．
【题型18 其他问题】
【例18】在数学课上学习一元二次方程应用——变化率问题时，小雨同学发现若两种商品原价相同，分别经过两轮跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，到地面的距离和均为米，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点.以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为．
(1)求a、b的值；
(2)如果小华站在之间，且离点的距离为米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，求小华的身高；
(3)如果身高为米的小丽站在之间，且离点的距离为米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象直接写出的取值范围______．
【变式18-1】行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表
刹车时车速（千米时）
0
5
10
15
20
25
30
刹车距离（米）
0
0.1
0.3
0.6
1
1.5
2.1
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象；
(2)测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式；
(3)一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为19米，已知这条高速公路限速100千米时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶．
【变式18-2】如图，在某学校秋季运动会排练时，无人机进行高空展示．无人机操作员将其飞行轨迹设计为抛物线的一部分，其中y为飞行高度（单位：米），x为水平距离（单位：米）．已知无人机从地面原点处起飞，且飞行过程中的最大高度为25米，则该抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式18-3】已知某学校航模小组制作设计的火箭的升空高度与飞行时间满足关系式，则下列说法正确的是（ ）
A．点火后和点火后升空高度相同
B．点火后火箭落于地面
C．点火后高度开始下降
D．火箭升空最大高度为
【探究式学习】
1．根据以下信息，探索完成任务：
探索目的
制作简易水流装置
信息1
如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，使水流从B处流出且呈抛物线形．以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处．
信息2
圆柱的高为，点A到圆柱顶端的距离为，轴，，，B为水流所在抛物线的顶点，点A，B，O，E，M均在同一平面内．
问题解决
(1)填空：的长度为________，该抛物线顶点坐标为（ ）．
任务二
(2)求水流所在抛物线的函数解析式．
任务三
(3)现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在点M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计）
任务四
(4)水杯的底面在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的最大整数值为______．
2．根据以下生活素材，探索、解决问题：
【生活素材】
素材1：某批发商以40元/千克的价格购入了某种水果500千克．据市场预测，该种水果的售价（元/千克）与保存时间（天）的函数关系为．
素材2：保存这批水果平均每天将损耗10千克，且最多能保存8天．另外，批发商保存该批水果每天还需40元的费用．
【解决问题】
批发商将这批水果保存天后一次性卖出，获得的总利润为（元）．
(1)问题1：当时，则卖出时水果的售价为__________元/千克，获得的总利润为__________元；
(2)问题2：设批发商将这批水果保存天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润（元）与保存时间（天）之间的函数关系式；
(3)问题3：求批发商经营这批水果所能获得的最大利润．
3．如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分．
(1)①线段的长为_______．
②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示）
(2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由．
4．如图，在中，，，，P点在上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：
(1)经过多少时间后，P、Q两点的距离为？
(2)经过多少时间后，的面积为？
(3)何时的面积最大，最大面积是多少？
【课后检测】
1．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（ ）
A． B．2 C． D．4
2．如图，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（ ）
A． B． C． D．
3．若二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
4．抛物线与x轴的交点坐标是（ ）
A． B．和 C．和 D．没有交点
5．若抛物线的图象与轴有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．下表列出的是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．下列各选项中，正确的是（ ）．
A．当时，随的增大而增大
B．抛物线的开口向下
C．函数的最小值小于
D．方程的根为和
7．已知抛物线，下列关于它的图像说法正确的是（ ）．
A．当时，y随x的增大而增大 B．顶点坐标为
C．当时，y有最大值 D．与x轴有两个交点
8．已知二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为
B．函数图象与轴有2个交点
C．对称轴为直线x
D．当时，随的增大而增大
9．抛物线与轴没有交点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，二次函数与x轴交于点、，与y轴交于点，其中．则下列结论：
①；②方程没有实数根；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，铅球与地面的高度（）和运动员出手点的水平距离（）之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是___
12．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图所示，单位：），则该羽毛球横向飞出的最远距离是______．
13．如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是________．
14．从地面竖直向上抛出一小球，小球距离地面的高度与小球的运动时间之间的关系式是．当小球到达最高点时，经过的时间是______s．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与x轴交于点．平面内一动点满足（a为常数），过，两点的直线与x轴负半轴交于点，点与点关于y轴对称．若有且只有一点，使得与相似，则a的值为________．
16．已知二次函数．
x
…
0
1
2
3
…
…
2
2
…
(1)先补全表格，则______．然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象：
(2)根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______．
(3)点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若，结合函数图象，直接写出n的取值范围．
17．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出不等式的解集；
(2)写出随的增大而减小的自变量的取值范围；
(3)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
18．为弘扬新疆地方文化，让更多游客了解新疆，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款新疆小羊吉祥物的成本价是每件30元，当售价为40元时，每天可以售出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
(1)为让利于游客，该款小羊吉祥物每件应该降价多少元时，文旅公司每天的利润是630元？
(2)文旅公司将每件新疆小羊吉祥物的售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
(3)请你直接写出售价在什么范围时每天的利润不低于630元？
19．矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动，设运动的时间为（单位：），的面积为（单位：），当时，点，的位置如图所示．
(1)当时，______；并求关于的函数解析式；
(2)求的最大值；
(3)填空：当时，的值为______．
20．掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球行进路线可以看成抛物线的一部分．某男生训练掷实心球时，该实心球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示．掷出时，起点处高度为1.9米，当水平距离为3.5米时，实心球行进至最高点米处，温州市中考掷实心球得分标准如下表．
(1)求图中抛物线的解析式
(2)根据温州市中考掷实心球的得分标准，求该男生此次训练的得分．
掷实心球（米）
10.0
9.5
9.0
8.5
8.0
7.5
7.0
6.5
6.0
5.5
分值
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
表：温州市中考掷实心球得分标准
【复盘笔记】
“化繁为简，一通百通”
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简一数理 初中专题讲义
专题25.3（1） 实践与探索：二次函数与一元二次方程、不等式的关系，二次函数的应用
（新教材华东师大版）
知识点一、二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 2
知识点二、二次函数与不等式的关系 3
知识点三、用二次函数解决实际问题的一般步骤 4
知识点四、利用二次函数解决利润最值的方法 4
知识点五、利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法 4
知识点六、利用二次函数解决面积最值的方法 4
【题型1 求抛物线与X轴的交点】 4
【题型2 求抛物线与Y轴的交点】 7
【题型3 已知二次函数值求自变量的值】 9
【题型4 抛物线与X轴的交点问题】 11
【题型5 根据二次函数图像确定相应方程根的情况】 14
【题型6 求X轴与抛物线的截线长】 18
【题型7 图像法确定二次函数的近似根】 20
【题型8 图像法解一元二次方程】 22
【题型9 利用不等式求自变量或函数值的范围 】 24
【题型10 根据交点确定不等式的解集 】 27
【题型11 图形问题 】 29
【题型12 图形运动问题】 32
【题型13 拱桥问题】 39
【题型14 销售问题】 42
【题型15 投球问题】 44
【题型16 喷水问题】 46
【题型17 增长率问题】 49
【题型18 其他问题】 51
【探究式学习】 55
【课后检测】 62
【复盘笔记】 77
知识点一、二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
判别式
二次函数
一元二次方程
与x轴交点个数
图像
与x轴的交点坐标
根的情况
△＞0
抛物线
与x轴交于，
两点
一元二次方程
有两个不相等的实数根
2个交点
△＝0
抛物线与x轴交于这一点
一元二次方程
有两个相等的实数根
1个交点
△＜0
抛物线
与x轴无交点
一元二次方程
在实数范围内无解（或称无实数根）
0个交点
知识点二、二次函数与不等式的关系
二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）：
图像
有两个交点
有1个交点
无交点
判别式
△＞0
△＝0
△＜0
△＞0
△＝0
△＜0
或
的全体实数
全体实数
无解
无解
或
无实根
或
无实根
无解
无解
或
的全体实数
全体实数
知识点三、用二次函数解决实际问题的一般步骤
1.审：仔细审题，理清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
知识点四、利用二次函数解决利润最值的方法
巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题。
知识点五、利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法
先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。
知识点六、利用二次函数解决面积最值的方法
先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。
【题型1 求抛物线与X轴的交点】
【例1】关于的二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先对因式分解，求出抛物线固定经过、，再分开口向上、顶点在轴负半轴，开口向下、顶点在轴正半轴，对照四个图像选出．
【详解】解：二次函数解析式为，
整理得，
因式分解：，
令，
，
∵ ，
∴ ．
∴ 抛物线一定与轴交于和两点．
① 当时，抛物线开口向上，顶点纵坐标为，顶点在轴负半轴；
② 当时，抛物线开口向下，顶点纵坐标为，顶点在轴正半轴．
依次判断选项：
选项 A：开口向上，与轴交于两点，顶点在轴负半轴，符合；
选项 B：抛物线和轴没有交点，不符合；
选项 C：对称轴不是轴，不符合；
选项 D：抛物线和轴没有交点，不符合．
故选：．
【变式1-1】如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，直线经过，两点．将直线沿轴向下平移，当直线与抛物线有唯一交点时，设平移后点对应点的纵坐标为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先表示出直线平移后的表达式为，再将两个关系式联立求出直线关系式，然后求出直线与y轴的交点坐标，结合题意可得答案．
【详解】解：将直线沿着y轴向下平移时，设直线所在的直线的表达式为，
∵抛物线和直线有唯一的交点，
∴，即方程有唯一的解，
∴，
解得，
∴平移后直线的关系式为，
当时，，
∴平移后点C对应点的纵坐标．
【变式1-2】如图，抛物线与x轴交于点，点在点左侧，与轴交于点，点是点关于此抛物线对称轴的对称点，连接．点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，与抛物线交于点．当最大时，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出抛物线与坐标轴交点及对称轴，确定点、坐标，利用待定系数法求直线解析式，设点横坐标表示线段长，利用二次函数性质求最值．
【详解】解：令，得，解得．
点在点左侧，
．
令，得，
．抛物线的对称轴为直线．
点与点关于对称轴对称，
．
设直线的解析式为．
将代入得，
解得．
直线的解析式为．
设，则，，
∴．
，
当时，取最大值．此时．
．
【变式1-3】已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将交点坐标代入抛物线解析式求出的值，再整体代入所求代数式计算.
【详解】解：把代入中，
得，
，
.
【题型2 求抛物线与Y轴的交点】
【例2】关于二次函数，下列说法正确的是（ ）．
A．图象与轴的交点坐标为 B．图象的对称轴为直线
C．当时，随的增大而减小 D．有最大值
【答案】B
【分析】当时，得到二次函数与轴的交点坐标，将一般式转化为顶点式，得到二次函数的对称轴和顶点坐标，进而根据二次函数的图象和性质判断各选项得出答案．
【详解】解：∵当时，，
∴图象与轴的交点坐标为，故选项错误；
∵，
∴图象的对称轴为直线，故选项正确；
∵，抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故选项错误；
∵当时，有最大值，故选项错误．
【变式2-1】如果二次函数的图像的顶点在坐标轴上，那么的值不可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【分析】先通过配方得到二次函数的顶点坐标，再分顶点在轴、轴两类情况列方程求解的可能值．
【详解】解：将二次函数配方，得，
∴ 顶点坐标为．
∵ 图像的顶点在坐标轴上，
∴ 分两种情况讨论：
①顶点在轴上时，顶点横坐标为，
∴ ．
②顶点在轴上时，顶点纵坐标为，
∴ ，
解得或．
综上，的可能值为，，，即的值不可能是．
【变式2-2】抛物线与坐标轴共有几个交点（ ）
A．1个； B．2个； C．3个； D．4个．
【答案】C
【分析】求出抛物线与x轴和y轴的交点个数即可．
【详解】解：当时，，故抛物线与轴有1个交点
当时，，
，
故抛物线与轴有2个交点
抛物线与坐标轴共有个交点．
【变式2-3】如图，线段的两个端点的坐标分别是、，函数的图象与线段有公共点，当该函数图象与轴的交点最高时，则的值是（ ）
A． B． C．5 D．7
【答案】D
【分析】由题意得当函数的图象经过点A时该函数图象与y轴的交点最高，代入求出即可．
【详解】解：∵线段的两个端点的坐标分别是、，函数的图象与线段有公共点，
∴当函数的图象经过点A时该函数图象与y轴的交点最高，
则，
解得：．
【题型3 已知二次函数值求自变量的值】
【例3】科学研究表明，农作物的产量与施氮量之间存在一定的关系．在某种肥力的麦田中，小麦每亩的产量（单位：千克）与每亩施氮量（单位：千克）满足关系．若小麦每亩的产量为84千克，则每亩的施氮量为（ ）
A．千克 B．2千克 C．26千克 D．28千克
【答案】D
【分析】将已知产量代入函数解析式，解一元二次方程，结合施氮量的实际意义取舍根．
【详解】解：将代入，得．
整理得．
因式分解得．
解得，．
∵施氮量不能为负数．
∴舍去，每亩施氮量为28千克．
【变式3-1】一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（单位：米）与经过的时间（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间是（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
【答案】B
【分析】球回到地面时高度，代入，然后解方程并检验即可．
【详解】解：当时，，即，
解得或，
∵为球弹起的初始时刻，
∴球弹起后回到地面的时间为秒．
【变式3-2】某地每年六月都有举办龙舟比赛的习俗，比赛需要经过一个抛物线形的拱桥．如图，是水平面，拱桥对应的函数表达式为．某商家在点处悬挂了广告条幅，已知，点到的距离为，则点到点的距离是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得到，代入解析式求解即可．
【详解】解：由题意得，
，
解得：，，
又，
，，
，
即点到点的距离是．
【变式3-3】将抛物线：进行平移得抛物线：，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据两抛物线顶点坐标确定平移规律，表示出点的坐标后代入的解析式求解．
【详解】解：抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，
平移规律为向左平移3个单位，向下平移4个单位
点在抛物线上，对应点为，
∴的坐标为，即
在抛物线上，
将代入得，
整理得，
解得或，
的值为或，
即点的横坐标可以是．
【题型4 抛物线与X轴的交点问题】
【例4】如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点情况确定的符号及关系，结合图象与轴交点个数及对称性逐项判断
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，，与轴交于负半轴，.
对称轴为直线，
，即.
，
.
，故A选项错误.
，
.
，
，故B选项错误.
抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为，
抛物线与轴的另一个交点为.
当时，，即，故C选项错误.
抛物线与轴有两个不同的交点，
，故D选项正确.
【变式4-1】如图，抛物线对称轴是直线，经过点，下列结论正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①③ B．①② C．②③ D．③④
【答案】C
【分析】利用抛物线开口方向、对称轴公式、与坐标轴交点个数及特殊点坐标进行判断.
【详解】解：①由图象可知，抛物线与轴交于正半轴，
∴，故①错误；
②∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③∵抛物线与轴有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根， ，故③正确；
. ④∵抛物线对称轴为直线，且经过点，
∴当时，，
∴当时，，故④错误，
综上，正确的结论是②③.
【变式4-2】抛物线的部分图象如图所示，该抛物线的对称轴为直线，与轴交点的横坐标为1，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．时，函数值 D．
【答案】D
【分析】由开口方向和与y轴交点位置即可判断A；由抛物线的对称轴公式即可判断B；根据二次函数的对称性得到抛物线与轴的另一个交点的横坐标，即可判断C；根据处的函数值大于处的函数值即可判断D．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴，
∴，故A错误；
∵该抛物线的对称轴为直线，
∴，故B错误；
∵抛物线与轴交点的横坐标为1
∴抛物线与轴的另一个交点的横坐标为3，
∴由图象得，当时，，故C错误；
∵当时，
∴
∴，故D正确，符合题意．
【变式4-3】关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标是 D．与轴有两个交点
【答案】D
【分析】把函数解析式化为顶点式，运用性质逐一判断即可．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，故、、选项错误，不符合题意；
令，得，
∵，
∴抛物线与轴有两个交点，故选项正确，符合题意．
【题型5 根据二次函数图像确定相应方程根的情况】
【例5】已知二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，与轴的一个交点为，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．关于的方程的解为
D．关于的不等式的解集为或
【答案】C
【分析】根据开口方向判断A，对称轴判断B，对称性求出抛物线与轴的另一个交点，进而判断C和D.
【详解】解：∵抛物线的开口向上，
∴，故选项A错误；
∵对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为，
∴，抛物线与轴的一个交点为，
∴，关于的方程的解为；故选项C正确；
∴，故选项B错误；
由图象可知，关于的不等式的解集为，故选项D错误.
【变式5-1】抛物线的对称轴是直线，且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】根据抛物线对称轴为直线，且经过点，即可得出，根据图象可得，，即可判断①，根据抛物线与轴有两个交点，得出，即可判断②，根据和关于对称轴对称，得出，即可判断③，根据，代入，即可判断④，根据当时，最大值，即可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，经过点，
，
，
结合图象可得，
∴，，
∴，故①正确，
∵抛物线与轴有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，，故②正确，
∵抛物线对称轴为直线，经过点，
∴和关于对称轴对称，
时，，
∴，故③错误，
，
∴，故④错误，
当时，最大值，
当时，，
∴，
∴，
即，故⑤正确，
故正确的有3个.
【变式5-2】如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：
①；②；③对于任意实数，都有；④若点、是图象上任意两点，且，则，⑤方程的解是或，其中正确的是（ ）
A．①②④⑤ B．①②④ C．①②③⑤ D．①④⑤
【答案】A
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点确定 符号及关系，结合函数最值性质、图象对称性及平移规律判断各结论即可．
【详解】解：由图象开口向上可得，由图象与轴交于负半轴可知 ，
根据对称轴为直线，
，
，
，
，故正确；
抛物线过点，
，
，
，故②正确；
当时，取得最小值，
，
，故③错误；
抛物线开口向上，对称轴为直线，
离对称轴越远函数值越大，
，
点离对称轴更近，
，故④正确；
抛物线 过点 ，对称轴为直线 ，
抛物线与轴另一交点为，即方程的解为或，
方程可看作代替 ，
或，
解得或，故⑤正确，
综上所述，正确的结论是①②④⑤．
【变式5-3】已知二次函数的部分图像如图所示，那么关于的一元二次方程的根为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【详解】解：由二次函数可知，其对称轴为直线．
图像显示抛物线与轴的一个交点为，且抛物线关于对称轴对称，
抛物线与轴的另一个交点与关于直线对称．
设另一个交点的横坐标为，则，
解得．
关于的一元二次方程的根为，．
【题型6 求X轴与抛物线的截线长】
【例6】抛物线与轴交于，两点，且，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【分析】将抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及两点距离列方程求解.
【详解】解：设，，则，是方程的两个实数根.
由根与系数的关系，得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
整理得，
解得，，
∵恒成立，
∴的值为或．
【变式6-1】抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【详解】解：令，得；
∵，
∴或，
解得，，
∴抛物线与轴的两个交点为，，
∴两交点之间的距离为．
【变式6-2】抛物线向下平移3个单位后，新抛物线与轴两个交点之间的距离为________．
【答案】
【分析】先根据平移规则得到新抛物线，令得到一元二次方程，利用根与系数关系求出两根和、两根积，代入距离公式算出交点距离是．
【详解】解：∵ 原抛物线解析式为 ，向下平移 3 个单位，遵循上加下减，
∴ 新抛物线解析式为，
即
令 ，则 ，
两边同时除以 2 得：．
设方程两根为，由一元二次方程根与系数的关系：
∴ ．
∴ ，
．
∴ 新抛物线与轴两个交点之间的距离为 ．
【变式6-3】赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少，有下列结论：
水面宽度；
拱桥的最大高度是；
若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条；
其中，正确结论是______．（填序号）
【答案】
【分析】令求出的值判断；将解析式配方成顶点式判断；令求出的值计算安全宽度，结合赛道宽度判断．
【详解】解：令，则，
∴，，
∴，故正确；
∵，
∴拱桥的最大高度是，故正确；
∵龙舟最高处距离水面，安全距离至少，
∴龙舟通过时桥拱高度至少为，
令，则，
整理得，
解得，，
∴安全通行的水平宽度为，
∵每条赛道宽度为，
∴最多可设计赛道，取整数为条，故结论错误；
综上所述，正确结论是．
【题型7 图像法确定二次函数的近似根】
【例7】如图，以为顶点的二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴的负半轴相交于点A，则关于x的一元二次方程的正数解的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的顶点坐标得出函数的对称轴为，根据对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是，得出抛物线与x轴另一个交点的横坐标的取值范围，即可得出的正数解的范围．
【详解】解：∵二次函数的顶点为，
∴对称轴为直线，
而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是，
∴右侧交点横坐标的取值范围是．
【变式7-1】如表是一组二次函数的自变量和函数值的关系，那么方程的一个近似根是（ ）
1
2
3
4
3
9
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得出方程的一个根在2与3之间，然后利用待定系数法确定，结合选项代入求解即可．
【详解】解：∵当时，；当时，，
∴方程的一个根在2与3之间，排除A、D；
将，和，代入，
得，，
解得，，
∴二次函数解析式为，
当时，，
∴方程的一个近似根为．
【变式7-2】根据以下表格中所给出的x与（是常数且）的对应值（精确到0.001），判断方程的解x所在的范围是（ ）
x的值
35.154
35.155
35.156
35.157
35.158
的值
0.040
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二次函数的连续性，找到使值异号的相邻x的范围，即为方程解的范围.
【详解】解：∵当时，，
当时，，
∴方程的解所在范围是．
【变式7-3】下列表格中数据是二次函数的几组对应值：
根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：由表格得，当时，的取值范围是，
∵在该范围内，
∴方程的一个解的范围是．
【题型8 图像法解一元二次方程】
【例8】已知二次函数的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】观察函数图象，找出纵坐标时对应的横坐标x的值，再根据图象在直线下方的部分确定x的取值范围．
【详解】解：由图象知，当时，；
当时，，
由函数图象可得，x的取值范围是．
【变式8-1】已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，利用图象法求出x的取值范围即可．
【详解】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一交点坐标为，
时，函数的图象位于轴的下方，且当时函数图象位于轴的下方，
当时，．
【变式8-2】抛物线的部分图像如图所示，若则x的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】观察图象确定对称轴及经过的特殊点，利用抛物线的对称性求解．
【详解】解：由函数图象得：二次函数开口向下，二次函数的对称轴为直线，
∴点关于直线的对称点的坐标为，
∴关于x的不等式的解集是：．
【变式8-3】如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】抛物线在直线下方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集．
【详解】解：由图可知，当或时，抛物线在直线下方，因此不等式的解集是或．
【题型9 利用不等式求自变量或函数值的范围 】
【例9】已知二次函数，当，则y的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将二次函数配方为顶点式，结合开口方向、对称轴与x的取值范围，利用增减性确定y的取值范围．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵，
∴当时，取得最大值，
当时，；
当时，，
∵当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
∴当时，．
【变式9-1】从的图象上可以看出，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】需先确定抛物线的对称轴与给定区间的位置关系，再结合开口方向求函数的最值，进而得到的取值范围．
【详解】解：抛物线开口向上，对称轴为，
∵包含，
∴ 当时，取最小值，为，
当时，；
当时，，
∵，
∴ 当时，的最大值为，
∴的取值范围是．
【变式9-2】已知二次函数y＝﹣x2＋2x＋3，当自变量x的值满足a＜x≤2时，函数y的最大值与最小值的差为1，则a的值可以为（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
【答案】B
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以求得a的取值范围，从而可以求得a可能的值．
【详解】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+3，
∴该函数图象开口向下，当x＝1时，y取得最大值4，
∵当自变量x的值满足a＜x≤2时，函数y的最大值与最小值的差为1，
当x＝2时，y＝3，当x＝0时，y＝3，
∴当0≤a＜1时，函数y的最大值与最小值的差为1，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
【变式9-3】如图为某二次函数的部分图像，有如下四个结论：①此二次函数表达式为y＝x2﹣x＋9：②若点B（﹣1，n）在这个二次函数图像上，则n＞m；③该二次函数图像与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；④当0＜x＜5.5时，m＜y＜8．所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C
【分析】①由顶点坐标设出抛物线解析式，将点（8，0）代入解析式求解．②由图象开口向下，对称轴为直线x=2，求出点A，B距离对称轴的距离求解．③由图象的对称性可得，抛物线与x轴两交点关于直线x=2对称，由中点坐标公式求解．④由图象中（0，8），（2，9），（5.5，m）可得y的取值范围．
【详解】解：①由图象顶点（2，9）可得y=a（x-2）2+9，
将（8，0）代入y=a（x-2）2+9得0=36a+9，
解得a=，
∴y=（x-2）2+9=y=x2+x+8，
故①错误．
②∵5.5-2＞2-（-1），
点A距离对称轴距离大于点B距离对称轴距离，
∴m＜n，
故②正确．
③∵图象对称轴为直线x=2，且抛物线与x轴一个交点为（8，0），
∴图象与x轴的另一交点横坐标为2×2-8=-4，
故③正确．
④由图象可得当x=0时，y=8，x=5.5时，y=m，x=2时，y=9，
∴0＜x＜5.5时，m≤y≤9．
故④错误．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，掌握二次函数与不等式的关系．
【题型10 根据交点确定不等式的解集 】
【例10】如图，二次函数与一次函数的图象交于，，当时，x的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】C
【分析】利用一次函数解析式求出交点、的横坐标，结合图象确定时的范围．
【详解】解：点，在一次函数的图象上，
，
，
交点、的横坐标分别为、，
由图象可知，当时，即二次函数图象在一次函数图象下方，
的取值范围为．
【变式10-1】如图，二次函数与一次函数的图象相交于两点，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】比较两个函数值的大小，可先求出两图象交点的横坐标，以交点为分界点，判断抛物线在直线上方还是下方；由抛物线开口向上，可知其解集在两根之间．
【详解】解：联立两函数：
，
移项得，
即，
解得或．
当时，；当时，．
故两图象交于点和．
根据函数图象，可得，则的取值范围是．
【变式10-2】抛物线与轴交于、两点，顶点为，则下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．当或时，
C．顶点的坐标为 D．当时，随的增大而减小
【答案】D
【分析】先将抛物线一般式配方为顶点式，再结合开口方向、与轴交点判断各选项正误．
【详解】解：，
∴对称轴为直线，顶点的坐标为，故A、C正确．
∵，抛物线开口向上，
∴当时，随的增大而增大，故D错误．
令，得，
因式分解得，
解得，．
结合开口方向，可知当或时，，故B正确．
【变式10-3】如图，已知抛物线与直线交于、两点．则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】B
【详解】解：由关于x的不等式可知：，
∴由函数图象及题意可知：关于x的不等式的解集为或．
【题型11 图形问题 】
【例11】如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，．
①的长可以为；②的长只有一个值满足花园面积为；③花园面积可以达到．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】设长为，根据墙长限制确定的取值范围，再结合一元二次方程和二次函数性质逐条判断．
【详解】解：设的长为，则的长为，
由题意得，
解得
对于①，，
的长不可以为，故①错误；
对于②，令，
整理得，
解得，
，
，此时，即的长只有一个值，故②正确；
对于③，设面积为，则，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
当时，取最大值，最大值为，
，
面积不能达到，故③错误，
综上所述，正确的结论只有②，个数为 1．
【变式11-1】如图，用总长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地墙足够长，设为米，围成的矩形菜地的面积为平方米，则与之间的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设长方形的为米，则宽可表示为米，再根据长方形的面积公式写出与之间的函数表达式即可．
【详解】解：根据题意设为米，则米，且，
∴
即与之间的函数表达式为
故选C．
【变式11-2】如图，植物园里要建一个矩形花圃，建造该花圃需要利用一堵墙，其余部分用长为28米的篱笆围成，且．若米，则矩形花圃面积的最大值是（ ）
A．平方米 B．平方米
C．平方米 D．平方米
【答案】B
【分析】设矩形花圃的宽为米，长为米，根据篱笆总长与墙长的关系列出与的等量关系，构建面积关于的二次函数，结合确定自变量取值范围，利用二次函数性质求最大值．
【详解】解：设米，米，
∵篱笆总长为米，墙米，且其余部分用篱笆围成，
∴，
∴，即，
∵，即，
∴，
解得，
又，
∴，
设矩形花圃面积为平方米，
，
∴，抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵，
∴当时，
∴，
即矩形花圃面积的最大值是平方米．
【变式11-3】一块三角形材料如图所示，，，，用这块材料剪出一个矩形，其中，点D，E，F分别在，，上，要使剪出的矩形面积最大，的长为（ ）
A．2 B． C． D．4.5
【答案】B
【分析】利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出，进而利用勾股定理表示出，由表示出，根据与乘积列出二次函数的解析式，利用二次函数性质确定出面积的最大值，以及此时的值即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
根据勾股定理得：，
∴，
∴，
∴当时，矩形的面积最大．
【题型12 图形运动问题】
【例12】如图，在等腰直角中，，动点从点出发，沿方向匀速运动，到达点停止运动，过点作交直角边或于点，以为边向右作正方形，设点运动的路程为，正方形和等腰直角重合部分的面积为下列图象能反映与之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意将点分为三段，点在线段时，且点未到达线段；点向右运动截止于点重合前，且点位于线段右侧；点在线段上；分别求解即可．本题主要考查等腰三角形的性质和正方形的性质、二次函数的性质，解题的关键是分类讨论．
【详解】解：点运动的路程为，
，
由题意可得：，
，
由题意可得：，
当点在线段时，如图，
则，
，，
，
，
，
，
此时，
那么，；
若点向右运动截止于点重合前，如图，
则，，，
，，
则；
若点在线段上时，如图，则，，
，
故选：．
【变式12-1】已知正方形的边长为，点P是对角线上一动点（不与点A，C重合），连接，作交射线于点M，连接，设，，则y关于x的函数关系的图象大致为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查正方形性质、等腰直角三角形性质、三角形全等判定与性质以及二次函数的应用 ，解题关键是通过作辅助线，利用相关几何性质建立与长度的函数关系。
作，，利用正方形性质得出是等腰直角三角形，得到线段、、、关于的表达式，证明四边形是正方形,通过角度关系证明，得出,在中，结合勾股定理得到，再在中求出关于的表达式，进而得到关于的函数关系式，根据函数性质确定图象。
【详解】解：过点作于点，交于点；过点作于点．
∵四边形是正方形，，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵正方形边长为，
∴．
∵，
∴四边形是正方形，
∴．
∵，
∴，即．
∵，且，
∴，
∴．
在中，
根据勾股定理，
∵，
∴．
在中，
，
将，代入可得：
则，
∴函数图象开口向上，对称轴为直线，
故选：A．
【变式12-2】如图，已知的顶点坐标分别为，，．动点E，F同时从点A出发，E沿运动，F沿折线运动，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒，连接EF．当点E，F移动时，记在直线EF右侧部分的面积为S，则S关于时间t的函数图像为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、根据动点运动过程求图形面积并确定函数图象．掌握分类讨论的思想是解答本题的关键．
先根据坐标求出、等边长，分时，证明与相似，求出，进而得到关于的表达式；时，证明与相似，求出，通过得出关于的表达式，根据两个阶段的函数表达式确定函数图象．
【详解】，，
，，，
，，
∵，
∴，
∵E以每秒1个单位长度的速度沿运动，
∴，
当时，此时F在上运动，
在直线右侧部分为，
过F作轴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵点E，F同时从点A出发，E沿运动，F沿折线运动，均以每秒1个单位长度的速度移动，
∴，，
∴
∴
，
∴一个二次函数，二次项系数，图象开口向上．
当时，此时F在上运动，
在直线右侧部分为四边形
∴点F运动的距离为t，，
∴，，
过F作轴，
∴
∵，
∴，
∴，
，
，
．
这是一个二次函数，二次项系数，图象开口向下．
综合以上两种情况，函数图象先为开口向上的二次函数，再为开口向下的二次函数．
故选：A．
【变式12-3】如图，点在的边上，，设，，则关于的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，等腰三角形的性质，勾股定理；过点作于点，分别在中，用勾股定理表示出，进而得出关于的函数的解析式，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵，且，
∴；
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故选：C．
【题型13 拱桥问题】
【例13】某公园拱桥为抛物线形，以水面为x轴，拱桥竖直对称轴为轴建立平面直角坐标系．已知拱桥最高点距离水面，水面跨度为，则该拱桥的抛物线表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意确定抛物线顶点坐标及与轴交点坐标，利用待定系数法求解．
【详解】解：由题意知抛物线顶点为，设表达式为．
∵水面跨度为，对称轴为轴，
∴抛物线过点．
将代入得．
解得．
∴表达式为．
【变式13-1】坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为16m，当水位上升3m时，水面宽为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据正常水位时水面宽米，求出当时求得，再根据水位上升3米时，代入解析式求出x即可解答．
【详解】解：∵米，
∴当时，，
当水位上升3m时，，
把代入得：，解得：，
此时水面宽米．
故选B．
【变式13-2】如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，那么水面宽度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】解：如图，以中点O为原点建立平面直角坐标系，
根据题意可得：，
∴，
∴，
∵，
∴C坐标为，
设抛物线解析式为，
把代入得，
解得：，
∴抛物线解析式为，
当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当时，对应的抛物线上两点之间的距离，
把代入抛物线解析式得出：，
解得：，
∴水面宽度为．
故选：B．
【变式13-3】如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面4.5m，当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为（ ）
A．5m B．m C．10m D．m
【答案】C
【分析】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，可以得到A、B、M的坐标，设出函数关系式，待定系数求解函数式．根据NC的长度，得出函数的y坐标，代入解析式，即可得出E、F的坐标，进而得出答案．
【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意得，M点坐标为，A点坐标为，B点坐标为，
设中间大抛物线的函数式为
代入三点的坐标可得：
解得：
∴函数式为
∴令米，
代入解析式得，，
∴可得米．
故选：C．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，由函数值求自变量的值的运用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
【题型14 销售问题】
【例14】某商品原价 80元，每天可卖30件；每涨价1元，每天少卖2件．设涨价x元，每天的销售额y元，则y与x的关系式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据销售额=单价×销量，列函数关系式即可．
【详解】解：设涨价x元，则涨价后单价为元，每天销量为件，
根据销售额=单价×销量，则由题意得：．
【变式14-1】将进货价为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价为元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据售价减去进价表示出实际的利润．
【详解】解：设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，根据题意可得： 即y=（x-35）（400-5x），
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解“商品每上涨1元，其销售量就减少5个”．
【变式14-2】某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（ ）
A．35元 B．36元 C．37元 D．36或37元
【答案】C
【分析】根据利润=数量×每件的利润就可以求出关系式，根据（1）的解析式，将其转化为顶点式，根据二次函数的顶点式的性质就可以求出结论．
【详解】解：依题意得：
y=（30-20+x）（240-10x）
y=-10x2+140x+2400．
∵每件首饰售价不能高于40元．
∴0≤x≤10．
∴求y与x的函数关系式为：y=-10x2+140x+2400，x的取值范围为0≤x≤10；
∴y=-10（x-7）2+2890．
∴a=-10＜0．
∴当x=7时，y最大=2890．
∴每件首饰的售价定为：30+7=37元．
∴每件首饰的售价定为37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2890元．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式的运用，根据解析式的函数值求自变量的值的运用，二次函数的顶点式的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
【变式14-3】某商店购进某种商品，该商品的进价为40元/件．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300件，销售单价每降低1元，每天的销量增加20件．现商店决定降价销售，设每天的销量为件，销售单价为元，商店每天销售该商品获得的利润为元，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了一次函数与二次函数的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系并表示出来．根据“销售单价每降低1元，每天的销量增加20件”结合“当销售单价定为元时，每天可售出件”；即可表示出与之间的函数关系式，再表示出每天销售该商品获得的利润等于单件利润乘以销量即可求解．
【详解】解：由题可得：
，
．
故选：B．
【题型15 投球问题】
【例15】投壶是“投箭入壶”的简称，作为非物质文化遗产，不仅具有深厚的历史渊源和文化背景，还承载着中华民族的传统礼仪和娱乐文化，其中箭头的行进路线可看作一条抛物线．已知一名男生投壶时，箭头的行进高度（单位：）与水平距离（单位：）的关系可以表示为，则这名男生此次投壶箭头行进的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】最大高度对应二次函数的最大值，即抛物线顶点的纵坐标．
【详解】解：对配方，得
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为，
∴这名男生此次投壶箭头行进的最大高度为．
【变式15-1】掷实心球时，实心球的行进路线是抛物线的一部分．小林是一个数学爱好者，他将自己某次掷实心球的过程用视频记录下来后，把实心球的行进路线涂画于纸上，并以球的初始位置所在的竖直直线为轴，脚所在的位置为坐标原点，建立了平面直角坐标系（球的初始位置在脚的正上方），如图所示．小林将脱手后实心球的行进高度与水平距离的相关数据记录如表：
0
1
2
3
4
…
3
…
若小林掷实心球的场地为水平地面，实心球运动路径为抛物线，则小林这次掷实心球的成绩为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出函数解析式，取其与x轴正半轴交点的横坐标即可．
【详解】解：设实心球运动路径为，
根据表格可知，
解得：，
∴实心球运动路径为，
当时，
解得（舍去），
∴小林这次掷实心球的成绩为．
【变式15-2】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论：
①小球运动时间是时，高度为；
②小球运动中高度可以是；
③当时，高度随着时间的增大而减小．
其中正确的结论是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②
【答案】B
【分析】将解析式配方为顶点式，结合代入计算、函数最值与增减性判断结论．
【详解】解：①当时，，故①正确；
②，
∵，∴当时，有最大值，故②错误；
③∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，故③正确，
综上，正确结论为①③．
【变式15-3】在校园吉尼斯“弹性球挑战赛”中，小明将弹性球从地面竖直向上弹起时的速度为米/秒，经过秒时球的高度为米，和满足公式：（表示球弹起时的速度，表示重力加速度，取米/秒2），则球的高度不低于米的持续时间是（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
【答案】B
【分析】利用高度为1米的临界情况求出对应时间，其差即为高度不低于1米的持续时间．
【详解】解：将，代入，得，
令，则，
整理得，
因式分解得，
解得，，
∵ 二次函数的图像开口向下，
∴ 当时，，
∴ 高度不低于1米的持续时间为（秒）．
【题型16 喷水问题】
【例16】某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，
可知当时，取得最大值，即水流的最大高度为．
【变式16-1】如图，在地面上的A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与点A的水平距离为处达到最高点C，点C距离地面的高度为，水柱落地点D到A处的距离为，则水管的顶端B距地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，得到，设抛物线的解析式为，将代入求出函数解析式，进而求出时的函数值即为的长．
【详解】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图所示：
则：，
设抛物线的解析式为，
将代入，得：，
解得，
∴，
当时，，
∴高度为．
【变式16-2】某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子恰为水面中心，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角 坐标系（如图），水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 ，则下列结论错误的是（ ）
A．柱子的高度为
B．喷出的水流距柱子处达到最大高度
C．喷出的水流距水平面的最大高度是
D．水池的半径至少要才能使喷出的水流不至于落在池外
【答案】C
【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题．
【详解】解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴当x=0时，y=3，即OA=3m，故A正确，
当x=1时，y取得最大值，此时y=4，故B正确，C错误
当y=0时，x=3或x=-1（舍去），故D正确，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
【变式16-3】某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入求出点坐标即可求解，求出点坐标是解题的关键．
【详解】解：把代入得，
，
解得，（不合，舍去），
∴点，
∴，
∴，
故选：．
【题型17 增长率问题】
【例17】某出版社一月份发行65万册新书，如果从二月份起，每月发行量的增长率都为，那么三月份的发行量（万册）与的函数表达式是______．
【答案】
【分析】已知一月份发行量和每月增长率，依次计算出二月份、三月份发行量，即可得到与的函数表达式．
【详解】解：∵一月份发行量为万册，且从二月份起，每月发行量的增长率都为，
∴二月份的发行量为（万册），
∴三月份的发行量为（万册），
即三月份的发行量（万册）与的函数表达式是．
【变式17-1】某区今年月份工业生产值达亿元，第一季度总产值为亿元，设平均每月增长率为，则与之间的函数关系式为________．
【答案】
【分析】平均每月增长率为，第一季度总产值为1月、2月、3月的产值和，依次表示出三个月产值再求和即可得到函数关系式．
【详解】解：∵1月份工业生产值为亿元，平均每月增长的百分率为，
∴2月份的产值为亿元，
∴3月份的产值为亿元，
∵第一季度总产值是三个月产值的和，
∴．
【变式17-2】“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的万人增加到2023年的50万人．设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x．
(1)用含x的代数式表示2023年参加健身运动的人数y（单位：万人），并化为二次函数的一般形式；
(2)根据题意，求该市参加健身运动人数的年平均增长率．
【答案】(1)含的代数式为，二次函数一般形式为
(2)该市参加健身运动人数的年平均增长率为
【分析】（1）初始量为，平均增长率为，经过次增长后的量为，则满足等量关系，再化为一般式即可；
（2）令，则，解方程即可得出结果．
【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x，
由题意得：2023年参加健身运动的人数，
∴二次函数一般形式为
（2）解：由题意得：，则，
解得，（不符合题意，舍去），
∴该市参加健身运动人数的年平均增长率为．
【变式17-3】在数学课上学习一元二次方程应用——变化率问题时，小雨同学发现若两种商品原价相同，分别经过两轮涨价之后的价格也相同，其中一种商品第一轮涨价，在第一次涨价后的价格基础上，第二轮涨价的百分率为，另一种商品两轮涨价的百分率均为（），则与存在函数关系，试写出与的函数解析式．
【答案】
【详解】解：根据两种商品两轮涨价后的最终价格相等，得，
去括号，得，
移项得，
系数化为1，得．
【题型18 其他问题】
【例18】在数学课上学习一元二次方程应用——变化率问题时，小雨同学发现若两种商品原价相同，分别经过两轮跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，到地面的距离和均为米，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点.以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为．
(1)求a、b的值；
(2)如果小华站在之间，且离点的距离为米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，求小华的身高；
(3)如果身高为米的小丽站在之间，且离点的距离为米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象直接写出的取值范围______．
【答案】(1)，
(2)米
(3)
【分析】（1）根据题意，选的点，，利用待定系数法求解即可；
（2）将代入（1）中解析式中求解y值即可；
（3）求出时对应的x值，再结合图象求解即可．
【详解】（1）解：由题意，，，代入中，得
，解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：由题意，当时，，
∵绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，
∴小华的身高为米；
（3）解：当时，即,得或，
∵绳子甩到最高处时超过她的头顶，
∴，
结合函数图象得：．
【变式18-1】行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表
刹车时车速（千米时）
0
5
10
15
20
25
30
刹车距离（米）
0
0.1
0.3
0.6
1
1.5
2.1
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象；
(2)测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式；
(3)一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为19米，已知这条高速公路限速100千米时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶．
【答案】(1)如图，
(2) ；
(3)没有超速
【分析】（1）依题意描点连线即可．
（2）设抛物线为，解出a，b即可．
（3）当时，代入函数关系式解出y，比较即可．
【详解】（1）略
（2）解：该图象可能为抛物线，猜想该函数为二次函数．
∵图象经过原点，
∴设二次函数的表达式为．
选取和代入表达式，得
解得
∴二次函数的表达式为．
代入各点检验，各点均满足所求表达式．
（3）解：∵当时，，
∴汽车没有超速行驶．
【变式18-2】如图，在某学校秋季运动会排练时，无人机进行高空展示．无人机操作员将其飞行轨迹设计为抛物线的一部分，其中y为飞行高度（单位：米），x为水平距离（单位：米）．已知无人机从地面原点处起飞，且飞行过程中的最大高度为25米，则该抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据无人机在飞行过程中达到的最大高度为25米，得到 ，把代入解析式，确定a值即可．
【详解】解：根据题意得 ，抛物线的解析式为，
把代入解析式，得，
解得，
抛物线的解析式为．
【变式18-3】已知某学校航模小组制作设计的火箭的升空高度与飞行时间满足关系式，则下列说法正确的是（ ）
A．点火后和点火后升空高度相同
B．点火后火箭落于地面
C．点火后高度开始下降
D．火箭升空最大高度为
【答案】D
【分析】将二次函数的解析式化成顶点式，根据二次函数的对称性和增减性逐项判断即可．
【详解】解：，其对称轴为直线，
∴点火后和点火后升空高度相同；点火后和点火后升空高度相同；则选项A错误；
当时，，
∴点火后火箭未落地，则选项B错误；
抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，取得最大值，最大值为，则选项D正确；
∴点火后高度达到最大，之后开始下降，
∴点火后高度仍在上升，则选项C错误．
【探究式学习】
1．根据以下信息，探索完成任务：
探索目的
制作简易水流装置
信息1
如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，使水流从B处流出且呈抛物线形．以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处．
信息2
圆柱的高为，点A到圆柱顶端的距离为，轴，，，B为水流所在抛物线的顶点，点A，B，O，E，M均在同一平面内．
问题解决
(1)填空：的长度为________，该抛物线顶点坐标为（ ）．
任务二
(2)求水流所在抛物线的函数解析式．
任务三
(3)现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在点M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计）
任务四
(4)水杯的底面在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的最大整数值为______．
【答案】(1)；
(2)或
(3)解：水流不能流到圆柱形水杯内，理由如下：
∵现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在点M处，
∴圆柱形水杯口最左端到点的距离是，
当时，，
∵，
∴水流不能流到圆柱形水杯内.
(4)
【分析】(1) 根据题意得出，抛物线顶点坐标为；
(2) 待定系数法求解析式，即可求解；
(3) 圆柱形水杯口最左端到点O的距离是9，将代入二次函数解析式，比较大小即可求解.
(4)先设出水杯口最左端的坐标，水杯最右端的坐标，代入解析式求出，得出的取值范围，进而即得解．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∵轴，，
∴B的横坐标为5，，
∴该抛物线顶点坐标为；
（2）解：∵该抛物线顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
将点代入得，，
解得：，
∴抛物线解析式为或；
（3）略；
（4）解：由题意设水杯口最左端的坐标，水杯最右端的坐标，
∴将代入得，
解方程得：，(不符合题意；舍去)；
将代入得，
解方程得：，(不符合题意；舍去)；
∴，
∵，
∴，
∴长的最大整数值为．
2．根据以下生活素材，探索、解决问题：
【生活素材】
素材1：某批发商以40元/千克的价格购入了某种水果500千克．据市场预测，该种水果的售价（元/千克）与保存时间（天）的函数关系为．
素材2：保存这批水果平均每天将损耗10千克，且最多能保存8天．另外，批发商保存该批水果每天还需40元的费用．
【解决问题】
批发商将这批水果保存天后一次性卖出，获得的总利润为（元）．
(1)问题1：当时，则卖出时水果的售价为__________元/千克，获得的总利润为__________元；
(2)问题2：设批发商将这批水果保存天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润（元）与保存时间（天）之间的函数关系式；
(3)问题3：求批发商经营这批水果所能获得的最大利润．
【答案】(1)62；
(2)（，且为整数）
(3)11600元
【分析】（1）根据售价（元/千克）与保存时间（天）的函数关系即可求出卖出时水果的售价，根据题意计算利润即可；
（2）根据利润的计算方法列出函数解析式即可；
（3）根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：当时，，
即卖出时水果的售价为62元/千克，
（元）
即卖出时水果获得的总利润为元；
（2）解：由题意可得，
（，且为整数）
（3）解：，
为整数，当时，随的增大而增大，
当时，取最大值，，
答：批发商所获利润最大为11600元．
3．如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分．
(1)①线段的长为_______．
②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示）
(2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)或
【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，对称轴，勾股定理，矩形的性质，解本题的关键是用角平分线得到直线解析式．
（1）①令，求出抛物线与轴的交点坐标；
②根据抛物线解析式确定出对称轴，和轴交点坐标；
（2）先设出点的坐标，分两种情况计算，利用矩形的对角线互相平分来确定出点的坐标，再用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：①令，则，
或，
，，
，
故答案为：；
②二次函数，
，对称轴，
，
平分，
点关于轴的对称点，在直线上，
设直线的解析式为，
把，代入，得
，解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：，，
点是抛物线和直线的交点，
．
（2）解：设，
，．
以、、、为顶点的四边形是矩形，
①以，为对角线时，
，的中点重合，
，
，
，
，
，
（舍去，或，
，
②以，为对角线时，
，的中点重合，
，
，
，
，
，
（舍去或
，
③以，为对角线时，
，的中点重合，
，
，
，
，
，此方程无解，
即：存在，或．
4．如图，在中，，，，P点在上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：
(1)经过多少时间后，P、Q两点的距离为？
(2)经过多少时间后，的面积为？
(3)何时的面积最大，最大面积是多少？
【答案】(1)
(2)，
(3)当运动秒时面积最大，最大面积平方厘米
【分析】（1）用表示和，在直角三角形中利用勾股定理列方程求解．
（2）用表示两直角边、，根据面积公式列一元二次方程求解．
（3）将面积化为关于的二次函数，利用对称轴求最大值．
【详解】（1）解：（1）∵，
∴，设运动时间，
则，，，，
∵，由勾股定理得：
，
，（舍去）
．
（2）解：
整理：
，．
（3）解：
二次函数开口向下，对称轴：，
当时，面积最大，最大面积为：
．
答：当运动秒时面积最大，最大面积平方厘米．
【课后检测】
1．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】令，求出x的值，即可求解．
【详解】解：令，得，
∵，
∴，
解得或，
∴抛物线与轴的交点为，，
∴两交点之间的距离为．
2．如图，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，解方程即可求出水面的宽度．
【详解】解：根据题意，令，，
解得：，
故水面的宽度为米．
3．若二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【分析】据抛物线与x轴有且只有一个交点，得到，进行求解即可．
【详解】解：令，则，
∵二次函数的图象与轴只有一个交点，
∴，
解得：．
4．抛物线与x轴的交点坐标是（ ）
A． B．和 C．和 D．没有交点
【答案】C
【分析】令，求出x的值，即可得出抛物线与x轴的交点坐标．
【详解】解：当时，，
解得，，
所以抛物线与x轴的交点坐标为和．
5．若抛物线的图象与轴有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图像与轴的交点个数、根的判别式，根据两个公共点列不等式求解即可．
【详解】解：抛物线的图象与轴有两个公共点，
，
解得：．
6．下表列出的是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．下列各选项中，正确的是（ ）．
A．当时，随的增大而增大
B．抛物线的开口向下
C．函数的最小值小于
D．方程的根为和
【答案】D
【分析】通过已知点求二次函数解析式，再判断各选项正误即可．
【详解】解：∵点在抛物线上，
∴，
∵点，在抛物线上，
∴，
解得，
∴二次函数解析式为，
A、当时，随的增大而减小，错误；
B、由得抛物线开口向上，错误；
C、根据，则函数的最小值等于，错误；
D、令，得，解得，，
即方程的根为和，正确．
7．已知抛物线，下列关于它的图像说法正确的是（ ）．
A．当时，y随x的增大而增大 B．顶点坐标为
C．当时，y有最大值 D．与x轴有两个交点
【答案】C
【分析】由抛物线顶点式得开口方向、对称轴、顶点坐标，再判断各选项．
【详解】解：抛物线中，，开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，随的增大而减小，故时随增大而减小，A错误，
顶点坐标为，B错误，
∵抛物线开口向下，顶点为最高点，
∴当时，有最大值，C正确，
∵顶点纵坐标为，抛物线开口向下，
∴抛物线与轴无交点，D错误．
8．已知二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为
B．函数图象与轴有2个交点
C．对称轴为直线x
D．当时，随的增大而增大
【答案】B
【分析】将二次函数解析式配方为顶点式，再结合二次函数的性质逐一判断选项正误．
【详解】解：∵，
∴顶点坐标为，对称轴为直线，故A、C选项说法正确，不符合题意；
令，则，
解得∶，
∴函数图象与轴只有1个交点，故B选项说法错误，符合题意；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，故D选项说法正确，不符合题意．
9．抛物线与轴没有交点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】若抛物线与轴无交点，则，然后列不等式求解即可．
【详解】解：∵抛物线与轴没有交点，
∴一元二次方程无实数根，
∴
，
解得．
10．如图，二次函数与x轴交于点、，与y轴交于点，其中．则下列结论：
①；②方程没有实数根；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解．
【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上，
∴对称轴直线为，，
∴，
当时，，
∴，即，
∴，
∴，故①正确；
图象开口向上，对称轴直线为，
∴当时，函数有最小值，最小值在轴的下方，
∴抛物线与直线有两个不同的交点，
∴方程有两个不相等的实数根，故②错误；
∵二次函数与轴交于点，其中，
∴当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，故③正确；
当时，函数有最小值，最小值为，，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有①③④．
11．如图，铅球与地面的高度（）和运动员出手点的水平距离（）之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是___
【答案】10
【分析】根据落地时，，代入求解即可．
【详解】解：∵落地时，，
∴将代入，得
，
即，
，
解得（负根舍去）．
故铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是．
12．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图所示，单位：），则该羽毛球横向飞出的最远距离是______．
【答案】
【分析】羽毛球横向飞出的最远距离，就是羽毛球落地时对应的水平距离，即求抛物线与x轴正半轴交点的横坐标，令求解．
【详解】解：令，得
解得，．
，
舍去．
该羽毛球横向飞出的最远距离是．
13．如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是________．
【答案】
【分析】先求出点的坐标为，发现点与点纵坐标相同，利用抛物线对称性求出对称轴，再利用点与点关于对称轴对称求出点横坐标．
【详解】解：抛物线与轴相交于点，
点的坐标为．
点在该抛物线上，且坐标为，
点与点关于抛物线对称轴对称，
抛物线对称轴为直线．
抛物线与轴相交于、两点，
点与点关于直线对称，
点的横坐标为．
14．从地面竖直向上抛出一小球，小球距离地面的高度与小球的运动时间之间的关系式是．当小球到达最高点时，经过的时间是______s．
【答案】2
【分析】已知高度与时间的关系式为二次函数，小球到达最高点对应二次函数的顶点，顶点的横坐标即为所求的运动时间．
【详解】解：，
该二次函数的二次项系数，一次项系数，
，抛物线开口向下，顶点处取得最大值，对应小球到达最高点的时刻，
顶点的横坐标为，
当小球到达最高点时，经过的时间是．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与x轴交于点．平面内一动点满足（a为常数），过，两点的直线与x轴负半轴交于点，点与点关于y轴对称．若有且只有一点，使得与相似，则a的值为________．
【答案】或
【分析】设点，则，结合相似三角形的性质易得，进而解得，可确定点的坐标；利用待定系数法确定直线的表达式，并将点代入，可得关于m的一元二次方程，结合“有且只有一点，使得与相似”可得该方程有且只有一个实数根，进而计算a的值．
【详解】解：如图，设点，则，
与相似，
只能在点左侧，
，
，则，
，
，
，解得，
，
，
，
设直线的表达式为，
将点，点的坐标代入，
得，解得，
∴直线的表达式为，
把代入，得，
∴，
∵有且只有一点，使得与相似，
∴方程有且只有一个实数根，即该方程有两个相等的实数根，
∴，解得或．
∴满足条件的a值为3或．
16．已知二次函数．
x
…
0
1
2
3
…
…
2
2
…
(1)先补全表格，则______．然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象：
(2)根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______．
(3)点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若，结合函数图象，直接写出n的取值范围．
【答案】(1)解：列表如下，
x
…
0
1
2
3
…
…
2
3
2
…
；函数图象，如图所示：
(2)
(3)或
【分析】（1）求出时的函数值，得到的值，描点，连线，画出函数图象即可；
（2）根据图象得到y的取值范围即可；
（3）根据增减性进行求解即可.
【详解】（1）解：当时，；
略
（2）解：由图象可知，当时，y的取值范围是；
（3）解：由表格和图象可知，和的函数值相同为，
∴当或时，，
∵点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，且，
∴或.
17．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出不等式的解集；
(2)写出随的增大而减小的自变量的取值范围；
(3)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据二次函数图象在轴上方的部分对应的范围，即可作答；
根据二次函数的增减性，即可作答；
根据二次函数的顶点坐标，结合直线与二次函数有两个交点，即可作答．
【详解】（1）解：由二次函数的图象可知当时，二次函数的值大于，
∴不等式的解集为；
（2）解：由图象可知抛物线的对称轴为直线
∴当随的增大而减小时，自变量的取值范围是；
（3）解：由图象可知二次函数的顶点坐标为，
当直线在直线的下边时，一定与抛物线有两个不同的交点，
∴当时，方程有两个不相等的实数根．
18．为弘扬新疆地方文化，让更多游客了解新疆，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款新疆小羊吉祥物的成本价是每件30元，当售价为40元时，每天可以售出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
(1)为让利于游客，该款小羊吉祥物每件应该降价多少元时，文旅公司每天的利润是630元？
(2)文旅公司将每件新疆小羊吉祥物的售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
(3)请你直接写出售价在什么范围时每天的利润不低于630元？
【答案】(1)每件应该降价3元．
(2)售价定为38元时，每天获得的利润最大，最大利润是640元．
(3)售价不低于37元且不高于39元时，每天的利润不低于630元．
【分析】（1）根据总利润的等量关系列一元二次方程，再结合让利条件选取合适的解即可；
（2）构建利润关于降价金额的二次函数，用配方法求最大值即可；
（3）根据利润要求列不等式，再结合二次函数性质确定售价范围即可．
【详解】（1）解：设每件小羊吉祥物降价x元，每天的销售利润为W元． 单件售价为元，单件利润为元，日销售量为件，
由题意得： ，整理得，解得：，．
∵要让利于游客，需降价幅度尽可能大，
∴．
答：每件应该降价3元．
（2）解：每天的销售利润为W元：
．
∵ ，
∴ 当时，W取得最大值，最大值为640元，此时售价为（元）．
答：售价定为38元时，每天获得的利润最大，最大利润是640元．
（3）解：令，即 整理得，
∵抛物线的开口向上，与x轴交点的横坐标为1和3，
∴函数图像所对应的自变量x的取值范围为，
∵单件售价为元，
∴单件售价大于等于37元且小于等于39元．
答：售价不低于37元且不高于39元时，每天的利润不低于630元．
19．矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动，设运动的时间为（单位：），的面积为（单位：），当时，点，的位置如图所示．
(1)当时，______；并求关于的函数解析式；
(2)求的最大值；
(3)填空：当时，的值为______．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意得在上，在上，且可表示出，利用面积公式即可求解；
（2）分三段讨论：①当时；②当时；③当时；求出在各自范围内的最大值，并比较即可；
（3）在（2）的三段内，分别求出时，的值即可．
【详解】（1）解：在矩形中，，，，
当时，在上，；在上，，
∴；
（2）解：分三段讨论：
①根据（1）可得，当时，，最大值为；
②当时，仍在上（），在上，如图，
到的距离为，
故，最大值为；
③当时，在上，在上，如图，
则，
∴，
∴，，
∴
，
∵，故当时，S随的增大而减小，当时，，故S最大值不超过17.5；
综上，；
（3）解：∵，
∴①时：，解得：（负值已舍）；
②时：，解得：，但t的值不在范围内，故舍去；
③时：，即，解得：（不符合题意，舍去）或；
故或．
20．掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球行进路线可以看成抛物线的一部分．某男生训练掷实心球时，该实心球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示．掷出时，起点处高度为1.9米，当水平距离为3.5米时，实心球行进至最高点米处，温州市中考掷实心球得分标准如下表．
(1)求图中抛物线的解析式
(2)根据温州市中考掷实心球的得分标准，求该男生此次训练的得分．
掷实心球（米）
10.0
9.5
9.0
8.5
8.0
7.5
7.0
6.5
6.0
5.5
分值
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
表：温州市中考掷实心球得分标准
【答案】(1)
(2)9分
【分析】（1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为，过点，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解；
（2）令，解方程即可得出x的值，然后对照表格数据即可知该男生的得分
【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，即，过点，
设抛物线的解析式为，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：把代入得：
，
解得：，
∵，舍去负根，
∴，
对照表格可得掷出9.5米，分值9分
【复盘笔记】
“化繁为简，一通百通”
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