专题25.1 认识二次函数（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年华东师大版九年级数学下册

简一数理 初中专题讲义 专题25.1 认识二次函数 （新教材华东师大版） 知识点一、二次函数的定义 2 知识点二、二次函数的常见表达式 2 知识点三、求二次函数解析式 3 【题型 1 列二次函数的关系式】 3 【题型 2 二次函数的识别】 5 【题型 3 根据二次函数的定义求参数】 7 【题型 4 二次函数的一般形式】 8 【题型 5 一次、二次函数综合辨析与区分】 10 【题型 6 利用二次函数值求自变量/参数】 13 【探究式学习】 15 【课后检测】 19 【复盘笔记】 38 知识点一、二次函数的定义 一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数). 二次函数的3种特殊形式：1)当b＝0时， 2)当c＝0时， 3)当b＝0且c＝0时， 知识点二、二次函数的常见表达式 名称 解析式 前提条件 相互联系 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2) 一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法. 顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 知识点三、求二次函数解析式 1）已知抛物线上任意三点坐标，可设 2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设 3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可设 4）已知抛物线过点时，可设（纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，则抛物线的对称轴可表示为直线h=） 【注意事项】 1)二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式； 2)任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即时，抛物线才可以用交点式表示，二次函数解析式的这三种形式可以互化. 【题型 1 列二次函数的关系式】 核心考点：根据实际问题（面积、利润、运动变化、几何图形）找等量关系，列出二次函数解析式；区分自变量取值范围的实际约束 【例 1】合肥市某高新企业10月份的工业产值为亿元，平均每月产值的增长率为，则该企业12月份的产值关于的函数表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知某高新企业10月份的工业产值和12月份的产值，根据平均增长率公式建立关系式即可． 【详解】解：∵10月份的工业产值为亿元，平均每月产值的增长率为， ∴11月份产值为，12月份产值为， 即． 故选A. 【变式 1‑1】某厂一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年一季度新产品的研发资金（万元）关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：1月的研发资金题目直接给出，为10万元； 2月比1月增长率为x，因此2月研发资金月资金×（增长率），即万元； 3月比2月增长率同样为x，因此3月研发资金月资金×（增长率），即 万元； 把三个月的资金相加，得到一季度总研发资金的函数关系式：． 【变式 1‑2】如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】从图形中提取边长信息，用含的式子表示目标量，再对照函数定义判断类型． 【详解】解：由图可知：周长：，符合一次函数的形式，故与是一次函数关系； 大矩形的长为，宽为，因此面积：符合二次函数的形式，故与是二次函数关系． 综上，与是一次函数关系，与是二次函数关系． 【变式 1‑3】长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 【题型 2 二次函数的识别】 核心考点：依据二次函数定义（形如y=ax^2+bx+c(a≠0)），区分二次函数、一次函数、反比例函数、非函数整式；化简式子后再判断。 【例 2】下列变量具有二次函数关系的是（     ） A．圆的周长与半径 B．正三角形的周长与边长 C．正方形的面积与边长 D．路程一定，速度与时间 【答案】C 【分析】二次函数中自变量最高次数为，由此逐项分析即可． 【详解】解：选项，圆的周长，是一次函数，不符合题意； 选项，正三角形的周长，是一次函数，不符合题意； C选项，正方形的面积与边长的关系式为，符合二次函数关系，符合题意； D选项，路程一定时，速度与时间的关系式为（为定值），是反比例函数，不符合题意； 综上所述，答案为C． 【变式 2‑1】下列函数中是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将各选项函数解析式化为最简形式，再结合二次函数的定义判断． 【详解】解：A选项，的最高次数为1，是一次函数，不符合题意； B选项，化简，得，是整式且二次项系数不为0，符合二次函数定义； C选项，化简，得，是一次函数，不符合题意； D选项，不是整式函数，不符合题意． 【变式 2‑2】下列函数是关于x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：的右边含分式，不是二次函数； B选项：化简得，符合二次函数定义； C选项：化简得，是一次函数，不是二次函数； D选项：当时，函数解析式为，是一次函数，故该函数不一定是二次函数． 【变式 2‑3】下列每组变量之间的关系为二次函数的是（     ） A．正方形周长y与边长x的关系 B．当菱形的面积S一定时，两条对角线的长a与b的关系 C．当速度v一定时，路程s与时间t的关系 D．圆的面积S与半径r的关系 【答案】D 【详解】解：A． 正方形周长与边长的关系式为，不是二次函数，不符合题意． B． 菱形面积一定时，由得，不是二次函数，不符合题意． C． 速度一定时，路程与时间的关系式为，不是二次函数，不符合题意． D． 圆的面积与半径的关系式为，是二次函数，符合题意． 【题型 3 根据二次函数的定义求参数】 核心考点：区分整式、分式、根式型二次函数的自变量取值；结合实际应用题场景（长度、面积、数量为正数）限定取值范围 【例 3】已知是关于的二次函数，那么的值为（     ） A． B．2 C． D．0 【答案】A 【分析】需同时满足x的次数为2、二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：由二次函数定义得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 【变式 3‑1】若函数的图象是抛物线，则a的值是（     ） A．或3 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义可得，且，据此求解即可． 【详解】解：∵函数的图象是抛物线， ∴，且， 由得或，解得或， 由得， ∴． 【变式 3‑2】若是二次函数，则等于（    ） A． B．2 C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2且系数不为零． 【详解】解：函数是二次函数， 且． 解得． 故选：C． 【变式 3‑3】已知二次函数与一次函数的图象有交点，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题、二次函数的定义，学会联立函数解析式是解题的关键．根据二次函数定义可知，再将二次函数和一次函数联立方程组，再利用即可得出答案． 【详解】解：二次函数， ， 联立， 整理得：， 二次函数与一次函数的图象有交点， ， 解得：， k的取值范围是且． 故选：B． 【题型 4 二次函数的一般形式】 【例 4】二次函数在范围内的最大值为8，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：对配方，得， ∵ 函数图象开口向上，对称轴为直线，在范围内，，，， ∴ 当时，取得最大值， ∵ 函数在范围内的最大值为， ∴ ， 解得. 【变式 4‑1】已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，则a的值为（    ） A．1 B． C．﹣ D．﹣ 【答案】D 【分析】根据二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x≤1时，y随x的增大而增大，可以得到a的正负情况，然后根据﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，即可得到a的值． 【详解】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1， ∴该函数的对称轴是直线x＝2， 又∵当x≤1时，y随x的增大而增大， ∴a＜0， ∵当﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4， ∴x＝6时，y＝a×62﹣4a×6﹣1＝﹣4， 解得a＝﹣， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数基本性质是解题关键． 【变式 4‑2】已知二次函数，当时，y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次函数的最值出现在顶点或范围的端点处，据此计算可得y的取值范围 【详解】解： ∵， 抛物线开口向上，对称轴为直线，且， ∴当时，取得最小值； 当时，； 当时，； ∵， ∴的最大值为； ∴当时，的取值范围是 【变式 4‑3】已知关于的二次函数经过原点和一、二、四象限，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数过原点得，再结合图象经过的象限判断、的符号． 【详解】解：∵ 二次函数经过原点， ∴ 将代入解析式，得， 故选项A、C不符合要求； ∵ 函数图象经过一、二、四象限， ∴ 抛物线的顶点一定在第四象限，且， ∴，， 结合， 解得，， 故选项B不符合要求， 选项D符合要求． 【题型 5 一次、二次函数综合辨析与区分】 核心考点：对比一次函数、二次函数的定义、形式、自变量次数特征；判断函数增减变化模型，辨析易混淆函数解析式 【例 5】在同一平面直角坐标系中，函数与（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数顶点坐标排除部分选项，再利用的符号一致性判断一次函数图象位置，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴顶点坐标为，在轴的正半轴，故A、B选项不符合题意， ∵C、D选项的抛物线开口向下， ∴， ∴函数的图象经过一、二、四象限， ∴D选项不符合题意，C选项符合题意． 【变式 5‑1】在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向和对称轴位置确定，的符号，然后结合一次函数图象经过的象限，判断、是否前后一致． 【详解】解：选项：由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧，，可得； 一次函数图象过第一、三、四象限，可得，， a，b的值前后结论不一致，本选项不符合题意； 选项：由抛物线开口向下可知，对称轴在轴左侧，，可得； 一次函数图象过第一、二、四象限，可得，； a，b的值前后结论一致； 联立两个函数，得， 整理可得，该方程无解， 所以两个函数图象没有交点， 而本选项中两个函数图象有交点，故本选项不符合题意； 选项：由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧，，可得； 一次函数图象经过第二、三、四象限，可得，； a，b的值前后结论一致，且两个函数图象没有交点，故本选项符合题意； 选项：由二次函数可得抛物线过原点，而本选项的抛物线不过原点，故本选项不符合题意． 【变式 5‑2】抛物线，直线与抛物线有两个交点，且两点之间水平距离为，则______． 【答案】 【分析】联立抛物线与直线方程得到一元二次方程，利用两点水平距离为得到横坐标差的绝对值为，结合根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线有两个交点，联立方程得， 整理得， 设两个交点的横坐标分别为，， ∵两点纵坐标相同，水平距离为， ∴，即， 由根与系数的关系，得，， 又∵， ∴， 解得． 【变式 5‑3】若二次函数的图象开口向上，则直线不经过第______ 象限． 【答案】四 【分析】先根据二次函数的开口方向确定a的取值范围，再利用一次函数的图象与性质判断直线经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴直线经过第一、二、三象限，即不经过第四象限． 【题型 6 利用二次函数值求自变量/参数】 核心考点：已知函数值代入解析式，转化为一元二次方程求解；根据题意取舍方程的解，适配题型基础计算 【例 6】已知二次函数（为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】由给定范围内函数最小值大于顶点纵坐标，可知对称轴不在范围内，分两类求解． 【详解】解：该二次函数的顶点坐标为，最小值为4． ∵当时，的最小值为， ∴对称轴不在的范围内， 分两种情况讨论：当时， ∵，时随增大而增大， ∴时取最小值8， 代入得，整理得， 解得，（不符合，舍去）． 当时， ∵，时随增大而减小， ∴时取最小值8， 代入得，整理得， 解得，（不符合，舍去）． 综上，的值为或． 【变式 6‑1】点在抛物线上，且点到轴的距离为3，此抛物线上满足上述条件的点有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】点到轴距离为，说明点的纵坐标是或者，分别代入抛物线解析式求解，统计解的个数． 【详解】解： 点到轴的距离为， 点的纵坐标为或． 当时， 原式 解得，对应个点． 当时， 原式 解得，，对应个点． 综上，满足条件的点共有个． 【变式 6‑2】将抛物线：进行平移得抛物线：，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据两抛物线顶点坐标确定平移规律，表示出点的坐标后代入的解析式求解． 【详解】解：抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 平移规律为向左平移3个单位，向下平移4个单位 点在抛物线上，对应点为， ∴的坐标为，即 在抛物线上， 将代入得， 整理得， 解得或， 的值为或， 即点的横坐标可以是． 【变式 6‑3】已知函数y＝，当a≤x≤b时，﹣≤y≤，则b﹣a的最大值为（　　） A．1 B．+1 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出函数的图象如下图所示，根据图象求出当x≥0，y＝时，点B的坐标，再求出当x＜0时点C的坐标，然后计算点B的横坐标与点C的横坐标的差即为所求． 【详解】解：函数的图象如下图所示， 当x≥0，y＝﹣时，，解得：x＝，当y＝时，x＝（负值已舍去）， 故顶点A的坐标为（，﹣），点B（，）； 同理点C（，﹣）； 则b﹣a的最大值为：﹣＝1+， 故选B． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质和图象，解答本题的关键是理解题意、正确画出函数图象、灵活应用二次函数的性质求解. 【探究式学习】 1．某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： (1)与的几组对应值如下表，其中__________． x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 m 0 1 0 … (2)如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补充完整． (3)结合函数图象：解决下列问题： ①当随的增大而减小时，写出的取值范围__________． ②若方程的所有解的和为，则的值为__________． ③不等式的解集为__________． 【答案】(1) (2) 描点、连线画出函数的图象如图， (3)①或；②2；③或． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，描点法画函数图象，利用图象解不等式，抛物线与直线的交点，正确的识别图象是解题的关键． （1）把代入即可求得； （2）描点、连线画出函数的图象即可； （3）①根据图像写出范围即可；②根据图像，结合表格可知有三个解，分别为，再求和即可；③先求出的根，结合图像写出不等式的解即可． 【详解】（1）把代入得，， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）①由图可知，当或时，随的增大而减小， 故答案为：或； ②根据图像，结合表格可知有三个解， 分别为， 所以所有解的和为， 故答案为：2； ③不等式， 当时， 当时，，即， 解得（舍）， 当当时，，即， 解得， ∴原不等式的解为或． 故答案为：或． 2．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查，每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，设每件降价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，解答下列问题： (1)请写出x与y之间的函数关系式； (2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 小明解答过程如下： 解：（1）根据题意，可列出表达式： ． 即． （2）∵， ∴当时，y有最大值，． 所以，当降价2．5元时，每星期的利润最大，最大利润为6125． 老师看了小明的解题过程，说小明第（1）问的表达式是正确的，但自变量x的取值范围不准确．（2）问的答案，也都存在问题．请你就老师说的问题，进行探究，写出你认为（1）（2）中正确的答案，或说明错误原因． 【答案】(1)． (2) 解：∵， ∴，对称轴为， ∵x为整数， ∴当或3时，y有最大值，元． 所以，当降价2或3元时，每星期的利润最大，最大利润为6120． 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数的应用等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意列出函数解析式并确定自变量的取值范围即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，可列出表达式： ．即． ∵降价要确保盈利， ∴．即：． ∴． （2）略 【课后检测】 1．下列函数是二次函数的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项自变量的次数是1，不是二次函数，不符合题意； B选项的自变量在分母上，不是二次函数，不符合题意； C选项是二次函数，符合题意； D选项自变量的次数是1，不是二次函数，不符合题意． 2．下列函数是关于的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、B选项，、右边为整式，但自变量最高次数为，是一次函数，不符合题意； C选项右边为整式，自变量最高次数为，且二次项系数不为，符合题意； D选项右边为分式，不是整式，不符合题意． 3．二次函数的一次项系数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在二次函数中，一次项为，一次项系数是． 4．二次函数的二次项系数是（     ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的基本概念，解题的关键在于明确二次函数一般式中各项系数的定义． 【详解】解：在二次函数中，可得，，， 所以该二次函数的二次项系数是． 故选：A． 5．已知关于的函数，若时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．分两种情况讨论，当时，函数为，不满足条件当时，随的增大而增大；故，该函数为二次函数，求出其对称轴，利用二次函数性质解决即可． 【详解】解：当时，函数为，不满足条件当时，随的增大而增大； 故，为二次函数， 对称轴为直线， ∵时，随的增大而增大， 则抛物线开口向下，且， 解得． 故选：D． 6．下列命题中正确的有（   ）个． ①二元二次方程有无数组解． ②某四边形面积等于两对角线乘积的一半，则这个四边形是菱形． ③“任意作一条直线，并作出它的中点”是必然事件． ④形如的函数为二次函数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】依次对每个命题，依据相关数学定义、性质判断正误，统计正确命题个数．本题主要考查二元二次方程的解、四边形面积与对角线的关系、必然事件与不可能事件的判定、二次函数的定义，熟练掌握这些概念和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或，即时可取任意实数，时可取任意实数 方程有无数组解，故①正确，符合题意； 对角线互相垂直的四边形面积等于两对角线乘积的一半，菱形是对角线互相垂直的平行四边形，但仅面积满足此条件的四边形，对角线不一定互相平分，不一定是菱形（如对角线互相垂直的梯形），故②错误，不符合题意． 直线无限延伸，无长度，不存在中点，“任意作一条直线，并作出它的中点”是不可能事件，故③错误，不符合题意． 形如（）的函数才是二次函数，当时是一次函数，故④错误，不符合题意． 综上，只有①正确，共个， 故选：． 7．王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x，y 的三组对应值如下表，你觉得这三点可以同时位于（   ）的图象上． 1 2 4 ….. A．一次函数和反比例函数 B．二次函数和反比例函数 C．一次函数和二次函数 D．一次函数和二次函数和反比例函数 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论：若点和在一次函数的图象上，利用待定系数法求得一次函数的解析式，把代入求得函数值，若函数值与可以相等，则这三点可以同时位于一次函数的图象上，否则这三点不可以同时位于一次函数的图象上，这三点可以同时位于二次函数的图象上；若点和在反比例函数的图象上，利用待定系数法求得，把代入求得函数值，函数值与值相等，故这三点可以同时位于反比例函数的图象上． 【详解】解：若点和在一次函数的图象上， 设一次函数为，则，解得， ， 把代入得， 令，整理得， ， 存在的值使， 故这三不可以同时位于一次函数的图象上和二次函数的图象上， 若点和在反比例函数的图象上， 设反比例函数为，则， 解得， ， 把代入得，， 故当时， 故这三点可以同时位于二次函数的图象上和反比例函数的图象上． 故选：B． 8．如图，、是反比例函数在第一象限图象上的两点，动点从坐标原点出发，沿图中箭头所指方向匀速运动，即点先在线段上运动，然后在双曲线上由到运动，最后在线段上运动，最终回到点过点作轴，垂足为点，设的面积为，点运动时间为，则关于的函数图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】当点在上运动时，此时随的增大而增大，当点在上运动时，不变，当点在上运动时，随的增大而减小，根据以上判断做出选择即可． 【详解】解：当点在上运动时，不变， 所以A、C选项错误； 当点在上运动时，此时随的增大而增大， 设与轴的夹角是，点运动速度为，则，是二次函数， 同理，当在上运动时，也是的二次函数，故B错误，D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题和动点问题的函数图象，解题的关键是根据点的移动确定函数的解析式，从而确定其图象． 9．已知函数是关于的二次函数，则的值是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义得到且，求出的值即可． 【详解】解：函数是关于的二次函数， 且， 且， 解得：， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义，掌握形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数是关键． 10．若函数是二次函数，则___________________． 【答案】 【详解】解：函数是二次函数， ，， 解得． 11．如图，在中，，点O是斜边上一点，四边形是正方形．设，正方形的边长为y，则y与x的函数解析式为___________． 【答案】 【分析】先根据正方形的性质得，再表示出，，然后说明，可得，最后代入整理可得关系式． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴，则． ∵， ∴， ∴， 即， 整理，得． 12．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整商品售价，每涨价1元，每星期要少卖出10件．设每件商品涨价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的函数解析式为________________ 【答案】 【分析】根据总销售额每件售价每星期销售量，分别得到涨价后的售价和销售量，即可列出函数关系式． 【详解】解：∵每件商品原售价为元，涨价元后，每件售价为元， ∵原每星期可卖出件，每涨价元少卖出件，涨价元后，每星期销售量为件， ∴总销售额等于售价乘以销售量，可得， 即． 13．石林人参果果肉清爽又多汁，是云南的特色水果之一．若将进货价为8元/斤的人参果按10元/斤出售，每日能销售100斤．已知人参果的售价在一定范围内每涨价1元，其日销售量就减少10斤．为实现利润最大化，决定对其涨价x元销售，则每斤的利润为_______元，每日的销量为_______斤，每日获得的总利润____________，当售价为_______元/斤时可获得最大利润． 【答案】 【分析】根据利润、销量的数量关系推导各空表达式，再利用二次函数的性质求解最大利润对应的售价． 【详解】解：因为进货价为元/斤，涨价元后的售价为元/斤， 所以每斤利润为元， 原每日销售斤，每涨价元日销量减少斤，涨价元后销量减少斤， 则每日销量为斤， 总利润， 对于二次函数， 二次项系数，函数开口向下，在顶点处取得最大值， 顶点横坐标为，此时售价为（元/斤）， 即售价为元/斤时获得最大利润． 14．二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】先根据二次函数的定义确定二次项系数不为0，再由二次函数图象与横轴有交点，可知对应一元二次方程有实数根，利用根的判别式大于等于0列不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解： 是二次函数， ． 二次函数的图象与坐标系横轴有交点， 一元二次方程 有实数根， 根的判别式 ． 将 代入得， ， 解不等式得 ． 综上， 的取值范围是 且． 15．如图，在中，，，．动点从点出发，沿斜边以每秒2个单位长度向终点运动．过点作于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．设多边形与重叠部分的面积为，点的运动时间为秒． (1)线段的长为__________（用含的代数式表示）； (2)当点恰好落在边上时，则的值为__________； (3)求与之间的函数关系式． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据路程速度时间即可求解； （2）证明和都是等腰直角三角形，利用全等三角形和旋转的性质求解即可； （3）分点在内部（包括边上），在外部两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：根据路程速度时间可得：， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵，， ∴四边形是平行四边形． 当R在内部（包括边上），即时， ∴； 当R在外部，即时，如图： ∵， ∴，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴， 综上所述，． 【点睛】旋转 90° 且 ，可得、，把旋转条件翻译成"两组平行"后，平行四边形的形状完全由 t 决定；分段点就是 R 落在 BC 上的时刻 t = 2，第二段用"整体减截角"即可． 本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，列函数关系式，熟知相关知识，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 16．把一根长为的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，以其中一个正方形的边长为自变量，设两个正方形的面积和为． 写出与的函数关系式及自变量的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意可得另一个正方形的边长为，根据正方形面积计算公式列出对应的函数关系式即可，再根据正方形的边长大于0列出不等式求出自变量的取值范围即可． 【详解】解：由题意另一个正方形的边长为， 故 ， ∵要围成两个正方形，且正方形的边长大于0， ∴， ∴． 17．已知长方体的高是，底面是边长为的正方形，它的表面积是，体积是． (1)分别写出S与x，V与x之间的关系式； (2)对于（1）中的两个函数，S和V分别是关于x的二次函数吗？ 【答案】(1)； (2)和都是关于的二次函数 【分析】（1）直接利用长方体的表面积和体积公式分别求出即可； （2）利用二次函数的定义得出答案． 【详解】（1）解：由题意，得， ； （2）解：根据二次函数的定义，可知是关于的二次函数， 是关于的二次函数， 即和都是关于的二次函数． 18．已知函数（为常数）是二次函数，求的值． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，二次函数要求自变量最高次数为2，并且二次项系数不能等于0，据此列出方程组求解，舍去不符合条件的解． 【详解】解：函数（为常数）是二次函数， 且． 由，得， 解得或． 由，得 ． 综上，． 19．如图，在直角三角形中，直角边，．设P，Q分别为、上的动点，在点P自点A沿方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间为t秒． (1)_______，_______（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，与相似？并说明理由． (3)写出的面积关于移动时间t秒的函数关系式，并写出t的取值范围． 【答案】(1)5； (2)t的值为或 (3) 【分析】（1）在中由勾股定理算出；再根据动点速度与运动时间t，由得出； （2）分两种对应情况：当时，，列比例式求解；当时，，列比例式求解； （3）作辅助线，由证，通过比例式求出高；代入三角形面积公式化简，结合Q点到C点停止的条件，确定t的取值范围即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 由题意得，点P移动速度为，移动时间为t秒， ∴， ∴； （2）解：当时，此时， ∴， ∵，，，， ∴ ， 解得； 当时，此时， ∴， ∵，，，， ∴ 解得， 综上所述，当t的值为或时，与相似； （3）解：过点P作，垂足为H，如图： 则， ， ， ， ， ∴， ∵，，， ∴ 解得， ∴的面积 ， 由题意得，点Q从B移动到C停止，，速度为， ∴t的取值范围是． 20．已知是关于的函数． (1)若这个函数是反比例函数，求的值； (2)若这个函数是二次函数，求的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】（1）根据反比例函数的定义，列式计算即可； （2）根据二次函数的定义，列式计算即可． 【详解】（1）解：∵是关于的反比例函数， ∴， 解得：； （2）解：∵是关于的二次函数， ∴， 解得：． 21．【问题背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的处有一棵古树与墙，的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边且恰好用完），设． 【设计方案】设计一个矩形花园，且要将古树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）． 【解决问题】思路：把矩形的面积用含的代数式表示出来． (1)求出与的解析式并确定的取值范围； (2)花园的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由； (3)若要使古树恰好在矩形的对角线上，求及的值． 【答案】(1)， (2) (3)的值为，的值为 【分析】（1）根据题意列函数关系式并求出的取值范围即可； （2）令，得到，解方程并根据，即可得到答案； （3）过点作于点，得出，求出，． 【详解】（1）解：根据题意得，； 古树与墙，的距离分别是和， 解得； （2）解：令，则， 整理得， 解得，或， ， 答：花园的面积能为，此时的值为； （3）解：如图，过点作于点，则，， ， ， ， 整理得， 解得， 此时， 答：的值为，的值为． 22．如图，矩形的长是、宽是，如果将长和宽都增加，矩形面积变成． (1)求与之间的函数解析式（要求化为一般式）； (2)当长和宽都增加多少时，矩形的面积变成？ 【答案】(1)； (2)当长和宽都增加时，矩形的面积变成． 【分析】，根据题意，直接运用矩形面积，即可得出与的函数表达式； 把代入中求出的表达式，解方程得出边长增加的长度． 【详解】（1）解：由题意得， ∴与之间的函数解析式为； （2）解：令，则， 解得，（负值舍去）， 答：当长和宽都增加时，矩形的面积变成． 23．某粮店经销一种玉米胚芽油，进价为每桶30元．当售价为每桶40元时，每天可售出60桶；市场调查表明，售价每上涨1元，每天的销售量就减少2桶． (1)设每桶售价上涨元，用含的代数式表示该粮店每天的销售利润（元）； (2)若粮店要求每天的销售利润达到750元，且要尽量让利给顾客，求每桶售价应定为多少元． 【答案】(1) (2)45元 【分析】（1）根据每天的销售利润每桶的利润销售量列式求解即可； （2）根据（1）所求建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ． （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或． 当时，售价为45元；当时，售价为55元． ∵要尽量让利给顾客， ∴售价应定为每桶45元 24．【问题探究】 (1)如图1，是等腰直角三角形，，，点为边上一点（不与端点重合），连接，以为直角顶点，在右侧作等腰直角三角形，连接，设，的面积为． ①的长为___________； ②求关于的函数解析式． 【问题解决】 (2)图2是某公园计划修建主题活动区域的示意图，，在上找一点，在上方找一点，连接、、，将区域修建为体育健身活动区域，将区域修建为文艺活动表演区域，根据规划要求，设的长为，的面积为．求与之间的函数关系式，并求出当的值为时，的面积． 【答案】(1)①4；② (2)， 【分析】（1）①根据勾股定理，得； ②首先证明，得到，利用直角三角形的面积公式，求解即可． （2）连接，证明都是等边三角形，过点E作交的延长线于点H，根据，，得到；过点A作于点G，利用等边三角形的性质，勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴． （2）解：如图，连接， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ∵， ∴， ∴， 过点E作交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的长为， ∴，， ∴， ∵的面积为 ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 当时，得， 整理，得， 解得， ∵， ∴舍去， 故， 过点A作于点G， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为：． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 37 页 第 1 页 共 37 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题25.1 认识二次函数 （新教材华东师大版） 知识点一、二次函数的定义 2 知识点二、二次函数的常见表达式 2 知识点三、求二次函数解析式 3 【题型 1 列二次函数的关系式】 3 【题型 2 二次函数的识别】 4 【题型 3 根据二次函数的定义求参数】 5 【题型 4 二次函数的一般形式】 5 【题型 5 一次、二次函数综合辨析与区分】 6 【题型 6 利用二次函数值求自变量/参数】 6 【探究式学习】 7 【课后检测】 9 【复盘笔记】 16 知识点一、二次函数的定义 一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数). 二次函数的3种特殊形式：1)当b＝0时， 2)当c＝0时， 3)当b＝0且c＝0时， 知识点二、二次函数的常见表达式 名称 解析式 前提条件 相互联系 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2) 一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法. 顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 知识点三、求二次函数解析式 1）已知抛物线上任意三点坐标，可设 2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设 3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可设 4）已知抛物线过点时，可设（纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，则抛物线的对称轴可表示为直线h=） 【注意事项】 1)二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式； 2)任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即时，抛物线才可以用交点式表示，二次函数解析式的这三种形式可以互化. 【题型 1 列二次函数的关系式】 核心考点：根据实际问题（面积、利润、运动变化、几何图形）找等量关系，列出二次函数解析式；区分自变量取值范围的实际约束 【例 1】合肥市某高新企业10月份的工业产值为亿元，平均每月产值的增长率为，则该企业12月份的产值关于的函数表达式是（     ） A． B． C． D． 【变式 1‑1】某厂一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年一季度新产品的研发资金（万元）关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式 1‑2】如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【变式 1‑3】长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【题型 2 二次函数的识别】 核心考点：依据二次函数定义（形如y=ax^2+bx+c(a≠0)），区分二次函数、一次函数、反比例函数、非函数整式；化简式子后再判断。 【例 2】下列变量具有二次函数关系的是（     ） A．圆的周长与半径 B．正三角形的周长与边长 C．正方形的面积与边长 D．路程一定，速度与时间 【变式 2‑1】下列函数中是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式 2‑2】下列函数是关于x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式 2‑3】下列每组变量之间的关系为二次函数的是（     ） A．正方形周长y与边长x的关系 B．当菱形的面积S一定时，两条对角线的长a与b的关系 C．当速度v一定时，路程s与时间t的关系 D．圆的面积S与半径r的关系 【题型 3 根据二次函数的定义求参数】 核心考点：区分整式、分式、根式型二次函数的自变量取值；结合实际应用题场景（长度、面积、数量为正数）限定取值范围 【例 3】已知是关于的二次函数，那么的值为（     ） A． B．2 C． D．0 【变式 3‑1】若函数的图象是抛物线，则a的值是（     ） A．或3 B． C．3 D． 【变式 3‑2】若是二次函数，则等于（    ） A． B．2 C． D．不能确定 【变式 3‑3】已知二次函数与一次函数的图象有交点，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【题型 4 二次函数的一般形式】 【例 4】二次函数在范围内的最大值为8，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式 4‑1】已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，则a的值为（    ） A．1 B． C．﹣ D．﹣ 【变式 4‑2】已知二次函数，当时，y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式 4‑3】已知关于的二次函数经过原点和一、二、四象限，那么（     ） A． B． C． D． 【题型 5 一次、二次函数综合辨析与区分】 核心考点：对比一次函数、二次函数的定义、形式、自变量次数特征；判断函数增减变化模型，辨析易混淆函数解析式 【例 5】在同一平面直角坐标系中，函数与（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式 5‑1】在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式 5‑2】抛物线，直线与抛物线有两个交点，且两点之间水平距离为，则______． 【变式 5‑3】若二次函数的图象开口向上，则直线不经过第______ 象限． 【题型 6 利用二次函数值求自变量/参数】 核心考点：已知函数值代入解析式，转化为一元二次方程求解；根据题意取舍方程的解，适配题型基础计算 【例 6】已知二次函数（为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式 6‑1】点在抛物线上，且点到轴的距离为3，此抛物线上满足上述条件的点有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式 6‑2】将抛物线：进行平移得抛物线：，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式 6‑3】已知函数y＝，当a≤x≤b时，﹣≤y≤，则b﹣a的最大值为（　　） A．1 B．+1 C． D． 【探究式学习】 1．某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： (1)与的几组对应值如下表，其中__________． x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 m 0 1 0 … (2)如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补充完整． (3)结合函数图象：解决下列问题： ①当随的增大而减小时，写出的取值范围__________． ②若方程的所有解的和为，则的值为__________． ③不等式的解集为__________． 2．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查，每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，设每件降价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，解答下列问题： (1)请写出x与y之间的函数关系式； (2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 小明解答过程如下： 解：（1）根据题意，可列出表达式： ． 即． （2）∵， ∴当时，y有最大值，． 所以，当降价2．5元时，每星期的利润最大，最大利润为6125． 老师看了小明的解题过程，说小明第（1）问的表达式是正确的，但自变量x的取值范围不准确．（2）问的答案，也都存在问题．请你就老师说的问题，进行探究，写出你认为（1）（2）中正确的答案，或说明错误原因． 【课后检测】 1．下列函数是二次函数的是（） A． B． C． D． 2．下列函数是关于的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 3．二次函数的一次项系数是（     ） A． B． C． D． 4．二次函数的二次项系数是（     ） A．3 B．2 C． D．1 5．已知关于的函数，若时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．下列命题中正确的有（   ）个． ①二元二次方程有无数组解． ②某四边形面积等于两对角线乘积的一半，则这个四边形是菱形． ③“任意作一条直线，并作出它的中点”是必然事件． ④形如的函数为二次函数． A．0 B．1 C．2 D．3 7．王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x，y 的三组对应值如下表，你觉得这三点可以同时位于（   ）的图象上． 1 2 4 ….. A．一次函数和反比例函数 B．二次函数和反比例函数 C．一次函数和二次函数 D．一次函数和二次函数和反比例函数 8．如图，、是反比例函数在第一象限图象上的两点，动点从坐标原点出发，沿图中箭头所指方向匀速运动，即点先在线段上运动，然后在双曲线上由到运动，最后在线段上运动，最终回到点过点作轴，垂足为点，设的面积为，点运动时间为，则关于的函数图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   9．已知函数是关于的二次函数，则的值是（    ） A．或 B． C． D． 10．若函数是二次函数，则___________________． 11．如图，在中，，点O是斜边上一点，四边形是正方形．设，正方形的边长为y，则y与x的函数解析式为___________． 12．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整商品售价，每涨价1元，每星期要少卖出10件．设每件商品涨价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的函数解析式为________________ 13．石林人参果果肉清爽又多汁，是云南的特色水果之一．若将进货价为8元/斤的人参果按10元/斤出售，每日能销售100斤．已知人参果的售价在一定范围内每涨价1元，其日销售量就减少10斤．为实现利润最大化，决定对其涨价x元销售，则每斤的利润为_______元，每日的销量为_______斤，每日获得的总利润____________，当售价为_______元/斤时可获得最大利润． 14．二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________． 15．如图，在中，，，．动点从点出发，沿斜边以每秒2个单位长度向终点运动．过点作于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．设多边形与重叠部分的面积为，点的运动时间为秒． (1)线段的长为__________（用含的代数式表示）； (2)当点恰好落在边上时，则的值为__________； (3)求与之间的函数关系式． 16．把一根长为的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，以其中一个正方形的边长为自变量，设两个正方形的面积和为． 写出与的函数关系式及自变量的取值范围． 17．已知长方体的高是，底面是边长为的正方形，它的表面积是，体积是． (1)分别写出S与x，V与x之间的关系式； (2)对于（1）中的两个函数，S和V分别是关于x的二次函数吗？ 18．已知函数（为常数）是二次函数，求的值． 19．如图，在直角三角形中，直角边，．设P，Q分别为、上的动点，在点P自点A沿方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间为t秒． (1)_______，_______（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，与相似？并说明理由． (3)写出的面积关于移动时间t秒的函数关系式，并写出t的取值范围． 20．已知是关于的函数． (1)若这个函数是反比例函数，求的值； (2)若这个函数是二次函数，求的值． 21．【问题背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的处有一棵古树与墙，的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边且恰好用完），设． 【设计方案】设计一个矩形花园，且要将古树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）． 【解决问题】思路：把矩形的面积用含的代数式表示出来． (1)求出与的解析式并确定的取值范围； (2)花园的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由； (3)若要使古树恰好在矩形的对角线上，求及的值． 22．如图，矩形的长是、宽是，如果将长和宽都增加，矩形面积变成． (1)求与之间的函数解析式（要求化为一般式）； (2)当长和宽都增加多少时，矩形的面积变成？ 23．某粮店经销一种玉米胚芽油，进价为每桶30元．当售价为每桶40元时，每天可售出60桶；市场调查表明，售价每上涨1元，每天的销售量就减少2桶． (1)设每桶售价上涨元，用含的代数式表示该粮店每天的销售利润（元）； (2)若粮店要求每天的销售利润达到750元，且要尽量让利给顾客，求每桶售价应定为多少元． 24．【问题探究】 (1)如图1，是等腰直角三角形，，，点为边上一点（不与端点重合），连接，以为直角顶点，在右侧作等腰直角三角形，连接，设，的面积为． ①的长为___________； ②求关于的函数解析式． 【问题解决】 (2)图2是某公园计划修建主题活动区域的示意图，，在上找一点，在上方找一点，连接、、，将区域修建为体育健身活动区域，将区域修建为文艺活动表演区域，根据规划要求，设的长为，的面积为．求与之间的函数关系式，并求出当的值为时，的面积． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 37 页 第 1 页 共 37 页 学科网（北京）股份有限公司 $