第06讲-二次函数动点问题巩固复习-专题讲义 2027年人教版中考数学二轮复习

二次函数动点问题巩固复习 人教版九年级数学二轮复习·第06讲·专题讲义（学生版） 例题解析 例1.如图，抛物线y=(x-1)2+k与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左侧)，与y轴相交于 点C(0,-3),P为抛物线上一点，横坐标为m,且m>0. (1)求此抛物线的解析式： (2)当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值； (3)设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为. ①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围： ②当h=9时，直接写出△BCP的面积， 0 C 例2。如图。在平面直角坐标系中，直线)一c44与抛物线)=子-交于A、B两点。 (1)直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标： (2)点P在抛物线上，当仁·2时，解决下列问题： ①在直线AB下方的抛物线上求点P,使得△PAB的面积等于20： 第1页1共8页 ②连接OA,OB,OP,作PC⊥x轴于点C,若△POC和△ABO相似，请直接写出点P的坐标. B B 0 (备用图) 例3。如图，抛物线)2式+br-2与c轴交于4、B两点，与y轴交于C点，且A(-1,0), (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标： (2)判断△ABC的形状，证明你的结论： (3)点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM周长最小时，求点M的坐标及△ACM的最 小周长 D 例4.如图，抛物线y=x+b+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为(3,0)，与y轴交于点C(0, 3). (1)求抛物线y=x+bx+c的表达式： (2)点D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标： (3)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F, 第2页1共8页 求PE+EF的最大值， A\:B OA:B 备用图 例5.如图，二次函数y=x+bx+c的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,且关于直线x=1 对称，点A的坐标为（-1,0)· (1)求二次函数的表达式： (2)连接BC,若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度； （3)当a≤x≤a+1时，二次函数y=x+b.x+c的最小值为2a,求a的值. y个x-1 x=1 B 0 C 备用图 等腰存在性 例6.已知：二次函数y=x+bx+c的图象与x轴交于A,B两点，其中A点坐标为(-3,0)，与y 轴交于点C,点D（-2,-3)在抛物线上. (1)求抛物线的解析式： 第3页1共8页 (2)抛物线的对称轴上有一动点P,求△PAD周长的最小值； (3)抛物线的对称轴上有一动点M,当△MAD是等腰三角形时，直接写出M点坐标. 例7.如图，在平面直角坐标系中，己知点C(0,4),点A、B在x轴上，并且OA=OC=4OB,动 点P在过A、B、C三点的抛物线上. (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P,使得△PAC的面积最大？若存在，求出P点坐 标及△PAC面积的最大值；若不存在，请说明理由. (3)在x轴上是否存在点Q,使得△ACQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标：若 不存在，请说明理由. A 备用图 例8.如图，己知二次函数y=-x+b.x+c(c>0)的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左 侧)，与y轴交于点C,且OB=OC=3,顶点为M. 第4页1共8页 (1)求二次函数的解析式： (2)点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ,垂足为Q,若OQ=m,四边形 ACPQ的面积为S,求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围： (3)探索：线段BM上是否存在点N,使△MC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标； 如果不存在，请说明理由. 7 O 直角存在性 例9.如图，抛物线y=x2-2mx-3m(m>0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点. (1)请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示）及A、B两点的坐标； (2)经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值： (3)是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出此时m的值；如果不存在，请 说明理由. 第5页1共8页 四边形存在性 例10.己知如图，矩形OABC的长OA=3,宽OC=1,将△4OC沿AC翻折得△4PC. (1)求∠PCB的度数； （2)若卫4两点在抛物线)=手r+brc上，求b,c的值，并说明点C在此抛物线上： (3)(2)中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D,与x轴相交于另外一点E,若点M是x轴 上的点，N是y轴上的点，以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、N的坐 标。 家庭作业 1.如图①，抛物线y=ax+bx+c与x轴相交于O、A两点，直线y=-x+3与y轴交于B点，与该抛 第6页1共8页 物线交于A,D两点，己知点D横坐标为-1.(1)求这条抛物线的解析式： (2)如图①，在线段OA上有一动点H(不与O、A重合)，过H作x轴的垂线分别交AB于P 点，交抛物线于Q点，若x轴把△PO2分成两部分的面积之比为1：2，请求出H点的坐标； (3)如图②，在抛物线上是否存在点C,使△ABC为直角三角形？若存在，求出点C的坐标； 若不存在，请说明理由 图① 图② 备用图 2.如图1，抛物线y=ax+b+c（a≠0)的顶点为C（1,4),交x轴于A、B两点，交y轴于点D, 其中点B的坐标为(3,0)· (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为2，若直线 PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H,使D、G,H、 F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说 明理由； (3)如图3，在抛物线上是否存在一点T,过点T作x轴的垂线，垂足为点M,过点M作 MN∥BD,交线段AD于点N,连接MD,使△DMM∽△BMD?若存在，求出点T的坐标；若不 存在，请说明理由. 第7页1共8页 ⊙ y不 y个 c y个 C D D E D F A B A B A B g 图1 图2 图3 第8页1共8页 二次函数动点问题巩固复习 人教版九年级数学二轮复习 · 第06讲 · 专题讲义（含解析） 例题解析 例1．如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0． （1）求此抛物线的解析式； （2）当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值； （3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h． ①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围； ②当h＝9时，直接写出△BCP的面积． 【分析】（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k即可； （2）易求A（﹣1，0），B（3，0），抛物线顶点为（1，﹣4），当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值； （3））①当0＜m≤1时，h＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m；当1＜m≤2时，h＝﹣3﹣（﹣4）＝1；当m＞2时，h＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）＝m2﹣2m+1； ②当h＝9时若﹣m2+2m＝9，此时△＜0，m无解；若m2﹣2m+1＝9，则m＝4，则P（4，5），△BCP的面积8×45×1（4+1）×3＝6； 【解答】解：（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k， 得k＝﹣4， ∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3； （2）令y＝0，x＝﹣1或x＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝4； 抛物线顶点为（1，﹣4）， 当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值， S8； （3）①当0＜m≤1时，h＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m； 当1＜m≤2时，h＝﹣3﹣（﹣4）＝1； 当m＞2时，h＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）＝m2﹣2m+1； ②当h＝9时 若﹣m2+2m＝9，此时△＜0，m无解； 若m2﹣2m+1＝9，则m＝4， ∴P（4，5）， ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴△BCP的面积8×45×1（4+1）×3＝6； 例2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣4k+4与抛物线yx2﹣x交于A、B两点． （1）直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标； （2）点P在抛物线上，当k时，解决下列问题： ①在直线AB下方的抛物线上求点P，使得△PAB的面积等于20； ②连接OA，OB，OP，作PC⊥x轴于点C，若△POC和△ABO相似，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）变形为不定方程k（x﹣4）＝y﹣4，然后根据k为任意不为0的实数得到x﹣4＝0，y﹣4＝0，然后求出x、y即可得到定点的坐标； （2）通过解方程组得A（6，3）、B（﹣4，8）； ①如图1，作PQ∥y轴，交AB于点Q，设P（x，x2﹣x），则Q（x，x+6），则PQ＝（x+6）﹣（x2﹣x），利用三角形面积公式得到S△PAB（x﹣1）220，然后解方程求出x即可得到点P的坐标； ②设P（x，x2﹣x），如图2，利用勾股定理的逆定理证明∠AOB＝90°，根据三角形相似的判定，由于∠AOB＝∠PCO，则当时，△CPO∽△OAB，即；当时，△CPO∽△OBA，即，然后分别解关于x的绝对值方程即可得到对应的点P的坐标． 【解答】解：（1）∵y＝kx﹣4k+4＝k（x﹣4）+4， 即k（x﹣4）＝y﹣4， 而k为任意不为0的实数， ∴x﹣4＝0，y﹣4＝0，解得x＝4，y＝4， ∴直线过定点（4，4）； （2）当k时，直线解析式为yx+6， 解方程组得或，则A（6，3）、B（﹣4，8）； ①如图1，作PQ∥y轴，交AB于点Q， 设P（x，x2﹣x），则Q（x，x+6）， ∴PQ＝（x+6）﹣（x2﹣x）（x﹣1）2， ∴S△PAB（6+4）×PQ（x﹣1）220， 解得x1＝﹣2，x2＝4， ∴点P的坐标为（4，0）或（﹣2，3）； ②设P（x，x2﹣x），如图2， 由题意得：AO＝3，BO＝4，AB＝5， ∵AB2＝AO2+BO2， ∴∠AOB＝90°， ∵∠AOB＝∠PCO， ∴当时，△CPO∽△OAB， 即， 整理得4|x2﹣x|＝3|x|， 解方程4（x2﹣x）＝3x得x1＝0（舍去），x2＝7，此时P点坐标为（7，）； 解方程4（x2﹣x）＝﹣3x得x1＝0（舍去），x2＝1，此时P点坐标为（1，）； 当时，△CPO∽△OBA， 即， 整理得3|x2﹣x|＝4|x|， 解方程3（x2﹣x）＝4x得x1＝0（舍去），x2，此时P点坐标为（，）； 解方程3（x2﹣x）＝﹣4x得x1＝0（舍去），x2，此时P点坐标为（，） 综上所述，点P的坐标为：（7，）或（1，）或（，）或（，）． 例3．如图，抛物线yx2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论； （3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM周长最小时，求点M的坐标及△ACM的最小周长． 【分析】（1）直接将（﹣1，0），代入解析式进而得出答案，再利用配方法求出函数顶点坐标； （2）分别得出AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，进而利用勾股定理的逆定理得出即可； （3）利用轴对称最短路线求法得出M点位置，再求△ACM周长最小值． 【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线yx2+bx﹣2上， ∴（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2＝0， 解得：b， ∴抛物线的解析式为yx2x﹣2． y（x）2， ∴顶点D的坐标为：（，）； （2）当x＝0时y＝﹣2，∴C（0，﹣2），OC＝2． 当y＝0时，x2x﹣2＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝4， ∴B （4，0）， ∴OA＝1，OB＝4，AB＝5． ∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形． （3）如图所示：连接AM， 点A关于对称轴的对称点B，BC交对称轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知， MC+MA的值最小，即△ACM周长最小， 设直线BC解析式为：y＝kx+d，则， 解得：，故直线BC的解析式为：yx﹣2， 当x时，y，∴M（，）， △ACM最小周长是：AC+AM+MC＝AC+BC23． 例4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式； （2）点D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标； （3）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值． 【分析】（2）如图1，设D（2，y），利用两点间的距离公式得到BC2＝32+32＝18，DC2＝4+（y﹣3）2，BD2＝（3﹣2）2+y2＝1+y2，然后讨论：当BD为斜边时得到18+4+（y﹣3）2＝1+y2；当CD为斜边时得到4+（y﹣3）2＝1+y2+18，再分别解方程即可得到对应D的坐标； （3）先证明∠CEF＝90°得到△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图2，△EPG、△PHF都为等腰直角三角形，则PEPG，PFPH，设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），接着利用t表示PF、PE，这样PE+EF＝2PE+PFt2+4t，然后利用二次函数的性质解决问题． 【解答】解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y＝x2+bx+c得，解得， ∴抛物线y＝x2+bx+c的表达式为y＝x2﹣4x+3； （2）如图1，抛物线的对称轴为直线x2， 设D（2，y），B（3，0），C（0，3）， ∴BC2＝32+32＝18，DC2＝4+（y﹣3）2，BD2＝（3﹣2）2+y2＝1+y2， 当△BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2＝BD2，即18+4+（y﹣3）2＝1+y2，解得y＝5，此时D点坐标为（2，5）； 当△BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2＝DC2，即4+（y﹣3）2＝1+y2+18，解得y＝﹣1，此时D点坐标为（2，﹣1）； （3）易得BC的解析式为y＝﹣x+3， ∵直线y＝x+m与直线y＝x平行， ∴直线y＝﹣x+3与直线y＝x+m垂直， ∴∠CEF＝90°， ∴△ECF为等腰直角三角形， 作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图2，△EPG、△PHF都为等腰直角三角形，PEPG，PFPH， 设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3）， ∴PFPHt，PG＝﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+3t， ∴PEPGt2t， ∴PE+EF＝PE+PE+PF＝2PE+PFt2+3ttt2+4t（t﹣2）2+4， 当t＝2时，PE+EF的最大值为4． 例5．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求二次函数的表达式； （2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度； （3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值． 【分析】（1）先根据题意得出点B的坐标，再利用待定系数法求解可得； （2）分点P在点C上方和下方两种情况，先求出∠OBP的度数，再利用三角函数求出OP的长，从而得出答案； （3）分对称轴x＝1在a到a+1范围的右侧、中间和左侧三种情况，结合二次函数的性质求解可得． 【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称， ∴点B的坐标为（3，0）， 代入y＝x2+bx+c，得： ， 解得， 所以二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图所示： 由抛物线解析式知C（0，﹣3）， 则OB＝OC＝3， ∴∠OBC＝45°， 若点P在点C上方，则∠OBP＝∠OBC﹣∠PBC＝30°， ∴OP＝OBtan∠OBP＝3， ∴CP＝3； 若点P在点C下方，则∠OBP′＝∠OBC+∠P′BC＝60°， ∴OP′＝OBtan∠OBP′＝33， ∴CP＝33； 综上，CP的长为3或33； （3）若a+1＜1，即a＜0， 则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a， 解得a＝1（正值舍去）； 若a＜1＜a+1，即0＜a＜1， 则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a， 解得：a＝﹣2（舍去）； 若a＞1， 则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，解得a＝2（负值舍去）； 综上，a的值为1或2． 等腰存在性 例6．已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值； （3）抛物线的对称轴上有一动点M，当△MAD是等腰三角形时，直接写出M点坐标． 【分析】（1）将点A、D的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接PD交函数对称轴与点P，则点P为所求点，即可求解； （3）分AM＝DM、AM＝AD、DM＝AD三种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）将点A、D的坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3； （2）y＝x2+2x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3， 故点B、C的坐标分别为：（1，0）、（0，﹣3）； 函数的对称轴为：x＝﹣1， 点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接PD交函数对称轴与点P，则点P为所求点， 将点D、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：， 故BD的函数表达式为：y＝x﹣1， 当x＝﹣1时，y＝﹣2，即点P（﹣1，﹣2）， △PAD周长的最小值＝PA+PD+AD＝BD+AD3； （3）设点M（﹣1，m），点A、D的坐标分别为：（﹣3，0）、（﹣2，﹣3）， 则AM2＝4+m2，DM2＝1+（m+3）2，AD2＝1+9＝10， 当AM＝DM时，4+m2＝1+（m+3）2，解得：m＝﹣1； 当AM＝AD时，同理可得：m或； 当DM＝AD时，同理可得：m＝0或﹣6（舍去﹣6）； 综上，点M坐标为：（﹣1，﹣1）或（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，0）． 例7．如图，在平面直角坐标系中，已知点C（0，4），点A、B在x轴上，并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P，使得△PAC的面积最大？若存在，求出P点坐标及△PAC面积的最大值；若不存在，请说明理由． （3）在x轴上是否存在点Q，使得△ACQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先确定A（4，0），B（﹣1，0），再设交点式y＝a（x+1）（x﹣4），然后把C点坐标代入求出a即可； （2）作PD∥y轴，如图，易得直线AC的解析式为y＝﹣x+4，设P（x，﹣x2+3x+4）（0＜x＜4），则D（x，﹣x+4），再用x表示出PD，接着根据三角形面积公式得到S△PAC•PD•4＝﹣2x2+8x，然后根据二次函数的性质解决问题； （3）先计算出AC＝4，再分类讨论：当QA＝QC时，易得Q（0，0）；当CQ＝CA时，利用点Q与点A关于y轴对称得到Q点坐标；当AQ＝AC＝4时可直接写出Q点的坐标． 【解答】解：（1）∵C（0，4）， ∴OC＝4， ∵OA＝OC＝4OB， ∴OA＝4，OB＝1， ∴A（4，0），B（﹣1，0）， 设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）， 把C（0，4）代入得a•1•（﹣4）＝4，解得a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣4）， 即y＝﹣x2+3x+4； （2）作PD∥y轴，如图， 易得直线AC的解析式为y＝﹣x+4， 设P（x，﹣x2+3x+4）（0＜x＜4），则D（x，﹣x+4）， ∴PD＝﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+4x， ∴S△PAC•PD•4＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8， 当x＝2时，S△PAC有最大值，最大值为8，此时P点坐标为（2，6）； （3）存在． ∵OA＝OC＝4， ∴AC＝4， ∴当QA＝QC时，Q点在原点，即Q（0，0）； 当CQ＝CA时，点Q与点A关于y轴对称，则Q（﹣4，0）； 当AQ＝AC＝4时，Q点的坐标（4+4，0）或（4﹣4，0）， 综上所述，Q点的坐标为（0，0）或（﹣4，0）或（4+4，0）或（4﹣4，0）． 例8．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M． （1）求二次函数的解析式； （2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围； （3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 【分析】（3）先根据抛物线的解析式求出M的坐标，进而可得出直线BM的解析式，据此可设出N点的坐标，然后用坐标系中两点间的距离公式分别表示出CM、MN、CN的长，然后分三种情况进行讨论：①CM＝MN；②CM＝CN；③MN＝CN．根据上述三种情况即可得出符合条件的N点的坐标． 【解答】解：（1）∵OB＝OC＝3， ∴B（3，0），C（0，3） ∴，解得1分 ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，M（1，4） 设直线MB的解析式为y＝kx+n， 则有解得 ∴直线MB的解析式为y＝﹣2x+6 ∵PQ⊥x轴，OQ＝m， ∴点P的坐标为（m，﹣2m+6） S四边形ACPQ＝S△AOC+S梯形PQOCAO•CO（PQ+CO）•OQ（1≤m＜3） 1×3（﹣2m+6+3）•m＝﹣m2m； （3）线段BM上存在点N（，），（2，2），（1，4）使△NMC为等腰三角形 CM，CN，MN ①当CM＝NC时，， 解得x1，x2＝1（舍去） 此时N（，） ②当CM＝MN时，， 解得x1＝1，x2＝1（舍去）， 此时N（1，4） ③当CN＝MN时， 解得x＝2，此时N（2，2）． 直角存在性 例9．如图，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． （1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示）及A、B两点的坐标； （2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值； （3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出此时m的值；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）直接利用配方法求出顶点坐标，当y＝0，进而求出x的值，得出A，B点坐标； （2）利用S△BCM＝SBDM+SOCMD﹣S△OBC，分别表示出两三角形的面积，进而求出即可； （3）分别利用①当∠BMC＝90°时，②当∠BCM＝90°时，③当∠CBM＝90°时，分别求出即可． 【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣1）2﹣4m． ∴M（1，﹣4m）． 当y＝0，mx2﹣2mx﹣3m＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）； （2）当x＝0时，y＝﹣3m， ∴C（0，﹣3m）． ∴． 过点M作MD⊥x轴于点D，则OD＝1，BD＝2，MD＝4m． ∴S△BCM＝SBDM+SOCMD﹣S△OBC． ∴S△BCM：S△ABC＝1：2． （3）过点C作CN⊥DM于点N，则CM2＝m2+1，BC2＝9m2+9，BM2＝16m2+4． ①当∠BMC＝90°时，CM2+BM2＝BC2，即1+m2+4+16m2＝9m2+9， 解得：（舍去）． ②当∠BCM＝90°时，BC2+CM2＝BM2，即9m2+9+m2+1＝16m2+4． 解得：m1＝1，m2＝﹣1（舍去）． ③当∠CBM＝90°时，BC2+BM2＝CM2，即9m2+9+16m2+4＝m2+1． 此方程无解． 综上所述，存在或m＝1，存在使△BCM为直角三角形的抛物线． 四边形存在性 例10．已知如图，矩形OABC的长OA，宽OC＝1，将△AOC沿AC翻折得△APC． （1）求∠PCB的度数； （2）若P，A两点在抛物线yx2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上； （3）（2）中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D，与x轴相交于另外一点E，若点M是x轴上的点，N是y轴上的点，以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、N的坐标． 【分析】（3）根据抛物线的解析式易求得C、D、E点的坐标，然后分两种情况考虑： ①DE是平行四边形的对角线，由于CD∥x轴，且C在y轴上，若过D作直线CE的平行线，那么此直线与x轴的交点即为M点，而N点即为C点，D、E的坐标已经求得，结合平行四边形的性质即可得到点M的坐标，而C点坐标已知，即可得到N点的坐标； ②DE是平行四边形的边，由于A在x轴上，过A作DE的平行线，与y轴的交点即为N点，而M点即为A点；易求得∠DEA的度数，即可得到∠NAO的度数，已知OA的长，通过解直角三角形可求得ON的值，从而确定N点的坐标，而M点与A点重合，其坐标已知； 同理，由于C在y轴上，且CD∥x轴，过C作DE的平行线，也可找到符合条件的M、N点，解法同上． 【解答】解：（1）在Rt△OAC中，OA，OC＝1，则∠OAC＝30°，∠OCA＝60°； 根据折叠的性质知：OA＝AP，∠ACO＝∠ACP＝60°； ∵∠BCA＝∠OAC＝30°，且∠ACP＝60°， ∴∠PCB＝30°． （2）过P作PQ⊥OA于Q； Rt△PAQ中，∠PAQ＝60°，AP； ∴OQ＝AQ，PQ， 所以P（，）； 将P、A代入抛物线的解析式中，得： ， 解得； 即yx2x+1； 当x＝0时，y＝1，故C（0，1）在抛物线的图象上． （3）①若DE是平行四边形的对角线，点C在y轴上，CD平行x轴， ∴过点D作DM∥CE交x轴于M，则四边形EMDC为平行四边形， 把y＝1代入抛物线解析式得点D的坐标为（，1） 把y＝0代入抛物线解析式得点E的坐标为（，0） ∴M（，0）；N点即为C点，坐标是（0，1）； ②若DE是平行四边形的边， 过点A作AN∥DE交y轴于N，四边形DANE是平行四边形， ∴DE＝AN2， ∵tan∠EAN， ∴∠EAN＝30°， ∵∠DEA＝∠EAN， ∴∠DEA＝30°， ∴M（，0），N（0，﹣1）； 同理过点C作CM∥DE交y轴于N，四边形CMDE是平行四边形， ∴M（，0），N（0，1）． 家庭作业 1．如图①，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于O、A两点，直线y＝﹣x+3与y轴交于B点，与该抛物线交于A，D两点，已知点D横坐标为﹣1．（1）求这条抛物线的解析式； （2）如图①，在线段OA上有一动点H（不与O、A重合），过H作x轴的垂线分别交AB于P点，交抛物线于Q点，若x轴把△POQ分成两部分的面积之比为1：2，请求出H点的坐标； （3）如图②，在抛物线上是否存在点C，使△ABC为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（2）设H（x，0），得出P（x，﹣x+3），Q（x，x2﹣3x），求出PH和QH，根据三角形的面积得出和2，代入求出即可； （3）分为三种情况：①若∠BAC＝90°，设C（x，x2﹣3x），tan∠OAC＝1，代入求出即可；②若∠ABC＝90°时，得出求出直线BC的解析式，和抛物线的解析式得出方程组，求出方程组的解即可；③若∠ACB＝90°时，设C（n，k），根据勾股定理得出AC2+BC2＝AB2，代入得到（n﹣3）2+k2+n2+（k﹣3）2＝18，求出即可． 【解答】（1）解：y＝﹣x+3， 当x＝0时，y＝3， ∴B（0，3）， 把x＝﹣1代入y＝﹣x+3得：y＝4， ∴D（﹣1，4）， 当y＝0时，0＝﹣x+3， ∴x＝3， ∴A（3，0）， ∵抛物线过A（3，0），O（0，0）， 把D（﹣1，4）代入y＝ax2+bx+c＝a（x﹣0）（x﹣3）得：4＝a（﹣1﹣0）（﹣1﹣3）， ∴a＝1， ∴y＝（x﹣0）（x﹣3）， 即抛物线的解析式是y＝x2﹣3x． （2）解：设H（x，0）， 则P（x，﹣x+3），Q（x，x2﹣3x）， ∴PH＝﹣x+3，QH＝3x﹣x2， ∵x轴把△POQ分成两部分的面积之比为1：2， ∴或2， 即或2， 解得：x1＝2，x2＝3（舍去），x3＝3（舍去），x4，∴H点的坐标是（2，0）或（，0）． （3）解：分为三种情况： ①若∠BAC＝90°，设C（x，x2﹣3x）， ∵△AOB是等腰直角三角形， ∴∠BAO＝45°， ∴∠OAC＝45°， ∴tan∠OAC＝1， ∴1， 解得：x1＝1，x2＝3（舍去）， ∴C（1，﹣2）； ②若∠ABC＝90°时， ∵∠OBA＝45°， ∴∠OBC＝45°， 设直线BC交于x轴于E，其解析式是y＝kx+3， ∴OE＝OB＝3， ∴E（﹣3，0）， 代入得：0＝﹣3k+3， ∴k＝1， ∴y＝x+3， 解方程组得：，， ∴C（2，5）或（2，5）； ③若∠ACB＝90°时，设C（n，k）， AC2+BC2＝AB2， 即（n﹣3）2+k2+n2+（k﹣3）2＝18， n2﹣3n+k2﹣3k＝0， ∵k＝n2﹣3n， 代入求出k1＝0，k2＝2， ∴n2﹣3n＝0，n2﹣3n＝2， 解得：n1＝0，n2＝3（舍去），n3，n4， ∴C（0，0）或（，2）或（，2）， 综合上述：存在，点C的坐标是（1，﹣2）或（2，5）或（2，5）或（0，0）或（，2）或（，2）． 2．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点 E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线 PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（2）作F关于x轴的对称点F′（0，﹣1），连接EF′交x轴于H，交对称轴x＝1于G，四边形DFHG的周长即为最小，则根据题意即可求得这个最小值及点G、H的坐标； （3）首先设M的坐标为（a，0），求得BD与DM的长，由平行线分线段成比例定理，求得MN的长，然后由相似三角形对应边成比例，即可得DM2＝BD•MN，则可得到关于a的一元二次方程，解方程即可求得答案． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+4， ∵点B的坐标为（3，0）． ∴4a+4＝0， ∴a＝﹣1， ∴此抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3； （2）存在． 抛物线的对称轴方程为：x＝1， ∵点E的横坐标为2， ∴y＝﹣4+4+3＝3， ∴点E（2，3）， ∴设直线AE的解析式为：y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线AE的解析式为：y＝x+1， ∴点F（0，1）， ∵D（0，3）， ∴D与E关于x＝1对称， 作F关于x轴的对称点F′（0，﹣1）， 连接EF′交x轴于H，交对称轴x＝1于G， 四边形DFHG的周长即为最小， 设直线EF′的解析式为：y＝mx+n， ∴， 解得：， ∴直线EF′的解析式为：y＝2x﹣1， ∴当y＝0时，2x﹣1＝0，得x， 即H（，0）， 当x＝1时，y＝1， ∴G（1，1）； ∴DF＝2，FH＝F′H，DG， ∴使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小值为：DF+FH+GH+DG＝22+2； （3）存在． ∵BD3， 设M（c，0）， ∵MN∥BD， ∴， 即， ∴MN（1+c），DM， 要使△DNM∽△BMD， 需，即DM2＝BD•MN， 可得：9+c2＝3（1+c）， 解得：c或c＝3（舍去）． 当x时，y＝﹣（1）2+4． ∴存在，点T的坐标为（，）． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $