第08讲-因动点产生的面积问题-专题讲义 2027年人教版中考数学二轮复习

因动点产生的面积问题 人教版中考数学二轮复习 · 第08讲 · 专题讲义（学生版） 知识纵横 因动点产生的面积问题主要有两类解决方案：一、借助面积列等式求解；二、把面积问题转化为边的问题． 分三角形和四边形面积问题： 主要有三种方法： 1） 直接法（三角形，一般少高作高，利用相似来求） 2） 割补法（分割或组合成规则图形来计算面积） 3） 万能法：盒子（矩形减去三个直角三角形的面积） 注意以下两点： 1、常见图形面积公式 2、学会灵活地将非特殊图形的面积转化为特殊图形的面积，将同底（或等高）的两个三角形面积之比转化为它们高（或底）之比，将相似三角形面积之比转化为相似比（或周长的比、对应边上的高的比、对应边上的中线的比等）的平方． 例题解析 例1．如图所示，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（﹣3，﹣4），线段OB绕原点逆时针旋转后与x轴的正半轴重合，点B的对应点为点A． （1）直接写出点A的坐标，并求出经过A，O，B三点的抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点C，使BC+OC的值最小？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如果点P是抛物线上的一个动点，且在x轴的上方，当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？求出此时点P的坐标和△PAB的最大面积． 例2．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x． （1）用含x的代数式表示△MNP的面积S； （2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切； （3）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ 例3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，CD＝4cm，BC＝BD＝10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题： （1）当t为何值时，PE∥AB； （2）设△PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使S△PEQS△BCD？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由； （4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由． 课堂练习 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线的对称轴l与x轴相交于点M． （1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴； （2）设点P为抛物线（x＞5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标； （3）连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点为A（m﹣4，0）和B（m，0），与直线y＝﹣x+p相交于点A和点C（2m﹣4，m﹣6）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P在抛物线上，且以点P和A，C以及另一点Q为顶点的平行四边形面积为12，求点P，Q的坐标； （3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当△PQM的面积最大时，请求出△PQM的最大面积及点M的坐标． 3．已知抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，其顶点为D． （1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴； （2）连接BC，过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E．求证：四边形ODBE是等腰梯形； （3）抛物线上是否存在点Q，使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 家庭作业 1．如图，已知长方形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，OA＝18，OC＝12，D、E分别为OA、BC上的两点，将长方形OABC沿直线DE折叠后，点A刚好与点C重合，点B落在点F处，再将其打开、展平． （1）点B的坐标是　 　； （2）求直线DE的函数表达式； （3）设动点P从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿折线D→A→B→C向终点C运动，运动时间为t秒，求当S△PDE＝2S△OCD时t的值． 2．如图，将OA＝6，AB＝4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP． （1）点B的坐标为　 　；用含t的式子表示点P的坐标为　 　； （2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜6），并求t为何值时，S有最大值？ （3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 因动点产生的面积问题 人教版中考数学二轮复习 · 第08讲 · 专题讲义（含解析） 知识纵横 因动点产生的面积问题主要有两类解决方案：一、借助面积列等式求解；二、把面积问题转化为边的问题． 分三角形和四边形面积问题： 主要有三种方法： 1） 直接法（三角形，一般少高作高，利用相似来求） 2） 割补法（分割或组合成规则图形来计算面积） 3） 万能法：盒子（矩形减去三个直角三角形的面积） 注意以下两点： 1、常见图形面积公式 2、学会灵活地将非特殊图形的面积转化为特殊图形的面积，将同底（或等高）的两个三角形面积之比转化为它们高（或底）之比，将相似三角形面积之比转化为相似比（或周长的比、对应边上的高的比、对应边上的中线的比等）的平方． 例题解析 例1．如图所示，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（﹣3，﹣4），线段OB绕原点逆时针旋转后与x轴的正半轴重合，点B的对应点为点A． （1）直接写出点A的坐标，并求出经过A，O，B三点的抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点C，使BC+OC的值最小？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如果点P是抛物线上的一个动点，且在x轴的上方，当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？求出此时点P的坐标和△PAB的最大面积． 【分析】（1）首先求出OB的长，由旋转的性质知OB＝OA，即可得到A点的坐标，然后用待定系数法即可求得该抛物线的解析式； （2）由于O、A关于抛物线的对称轴对称，若连接AB，则AB与抛物线对称轴的交点即为所求的C点，可先求出直线AB的解析式，联立抛物线对称轴方程即可求得C点的坐标； （3）可过P作y轴的平行线，交直线AB于M；可设出P点的横坐标（根据P点的位置可确定其横坐标的取值范围），根据抛物线和直线AB的解析式，可表示出P、M的纵坐标，即可得到PM的长，以PM为底，A、B纵坐标差的绝对值为高即可得到△PAB的面积，从而得出关于△PAB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质及自变量的取值范围，即可求得△PAB的最大面积及对应的P点坐标． 【解答】解：（1）点A的坐标（5，0）， 设抛物线的解析式为y＝ax2+bx， ∴， ∴，， ∴ （2）由于A、O关于抛物线的对称轴对称，连接AB， 则AB与抛物线对称轴的交点即为所求的C点； 易求得直线AB的解析式为：yx， 抛物线的对称轴为， 当x时，y； ∴点C的坐标为（，）； （3）过P作直线PM∥y轴，交AB于M， 设P（x，x2x），则M（x，x）， ∴PMx2x﹣（x）x2x， ∴△PAB的面积：S＝S△PAM+S△PBM PM•（5﹣x）PM•（x+3） （x2x）×（5+3） x2x+10 （x﹣1）2， 所以当x＝1，即P（1，）时，△PAB的面积最大，且最大值为． 例2．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x． （1）用含x的代数式表示△MNP的面积S； （2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切； （3）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ 【分析】（1）由于三角形PMN和AMN的面积相当，那么可通过求三角形AMN的面积来得出三角形PMN的面积，求三角形AMN的面积可根据三角形AMN和ABC相似，根据相似比的平方等于面积比来得出三角形AMN的面积； （2）当圆O与BC相切时，O到BC的距离就是MN的一半，那么关键是求出MN的表达式，可根据三角形AMN和三角形ABC相似，得出MN的表达式，也就求出了O到BC的距离的表达式，如果过M作MQ⊥BC于Q，那么MQ就是O到BC的距离，然后在直角三角形BMQ中，用∠B的正弦函数以及BM的表达式表示出MQ，然后让这两表示MQ的含x的表达式相等，即可求出x的值； （3）要求重合部分的面积首先看P点在三角形ABC内部还是外面，因此可先得出这两种情况的分界线即当P落到BC上时，x的取值，那么P落点BC上时，MN就是三角形ABC的中位线，此时AM＝2，因此可分两种情况进行讨论： ①当0＜x≤2时，此时重合部分的面积就是三角形PMN的面积，三角形PMN的面积（1）中已经求出，即可的x，y的函数关系式．②当2＜x＜4时，如果设PM，PN交BC于E，F，那么重合部分就是四边形MEFN，可通过三角形PMN的面积﹣三角形PEF的面积来求重合部分的面积．不难得出PN＝AM＝x，而四边形BMNF又是个平行四边形，可得出FN＝BM，也就有了FN的表达式，就可以求出PF的表达式，然后参照（1）的方法可求出三角形PEF的面积，即可求出四边形MEFN的面积，也就得出了y，x的函数关系式．然后根据两种情况得出的函数的性质，以及对应的自变量的取值范围求出y的最大值即可． 【解答】解：（1）∵MN∥BC， ∴∠AMN＝∠B，∠ANM＝∠C． ∴△AMN∽△ABC． ∴，即； ∴ANx； ∴S＝S△MNP＝S△AMN•x•xx2．（0＜x＜4） （2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO＝ODMN． 在Rt△ABC中，BC5； 由（1）知△AMN∽△ABC， ∴，即， ∴MNx ∴ODx， 过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ＝ODx， 在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角， ∴△BMQ∽△BCA， ∴， ∴BMx，AB＝BM+MAx+x＝4 ∴x， ∴当x时，⊙O与直线BC相切； （3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连接AP，则O点为AP的中点． ∵MN∥BC， ∴∠AMN＝∠B，∠AOM＝∠APB， ∴△AMO∽△ABP， ∴， ∵AM＝MB＝2， 故以下分两种情况讨论： ①当0＜x≤2时，y＝S△PMNx2， ∴当x＝2时，y最大4， ②当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F， ∵四边形AMPN是矩形， ∴PN∥AM，PN＝AM＝x， 又∵MN∥BC， ∴四边形MBFN是平行四边形； ∴FN＝BM＝4﹣x， ∴PF＝x﹣（4﹣x）＝2x﹣4， 又∵△PEF∽△ACB， ∴， ∴S△PEF（x﹣2）2； y＝S△MNP﹣S△PEFx2（x﹣2）2x2+6x﹣6， 当2＜x＜4时，yx2+6x﹣6（x）2+2， ∴当x时，满足2＜x＜4，y最大＝2． 综上所述，当x时，y值最大，最大值是2． 例3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，CD＝4cm，BC＝BD＝10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题： （1）当t为何值时，PE∥AB； （2）设△PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使S△PEQS△BCD？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由； （4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由． 【分析】（1）若要PE∥AB，则应有，故用t表示DE和DP后，代入上式求得t的值； （2）过B作BM⊥CD，交CD于M，过P作PN⊥EF，交EF于N．由题意知，四边形CDEF是平行四边形，可证得△DEQ∽△BCD，得到，求得EQ的值，再由△PNQ∽△BMD，得到，求得PN的值，利用S△PEQEQ•PN得到y与t之间的函数关系式； （3）利用S△PEQS△BCD建立方程，求得t的值； （4）易得△PDE≌△FBP，故有S五边形PFCDE＝S△PDE+S四边形PFCD＝S△FBP+S四边形PFCD＝S△BCD，即五边形的面积不变． 【解答】解：（1）当PE∥AB时， ∴． 而DE＝t，DP＝10﹣t， ∴， ∴， ∴当（s），PE∥AB． （2）∵线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动， ∴EF平行且等于CD， ∴四边形CDEF是平行四边形． ∴∠DEQ＝∠C，∠DQE＝∠BDC． ∵BC＝BD＝10， ∴△DEQ∽△BCD． ∴． ． ∴． 过B作BM⊥CD，交CD于M，过P作PN⊥EF，交EF于N， ∵BC＝BD，BM⊥CD，CD＝4cm， ∴CMCD＝2cm， ∴cm， ∵EF∥CD， ∴∠BQF＝∠BDC，∠BFG＝∠BCD， 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 又∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD， ∴∠BQF＝∠BFG， ∵ED∥BC， ∴∠DEQ＝∠QFB， 又∵∠EQD＝∠BQF， ∴∠DEQ＝∠DQE， ∴DE＝DQ， ∴ED＝DQ＝BP＝t， ∴PQ＝10﹣2t． 又∵△PNQ∽△BMD， ∴． ∴． ∴． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴S△PEQEQ•PN． （3）S△BCDCD•BM4×48， 若S△PEQS△BCD， 则有t2t8， 解得t1＝1，t2＝4． （4）在△PDE和△FBP中， ∵DE＝BP＝t，PD＝BF＝10﹣t，∠PDE＝∠FBP， ∴△PDE≌△FBP（SAS）． ∴S五边形PFCDE＝S△PDE+S四边形PFCD＝S△FBP+S四边形PFCD＝S△BCD＝8． ∴在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变． 课堂练习 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线的对称轴l与x轴相交于点M． （1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴； （2）设点P为抛物线（x＞5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标； （3）连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴； （2）由已知，可求得P（6，4），由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO＝4、OM＝3，又知点P的坐标中x＞5，所以MP＞2，AP＞2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，则分析求解即可求得答案； （3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2t+4）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案． 【解答】解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣5）， 将点A（0，4）代入上式解得：a， 即可得函数解析式为：y（x﹣1）（x﹣5）x2x+4（x﹣3）2， 故抛物线的对称轴是：x＝3； （2）P点坐标为：（6，4）， 由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO＝4、OM＝3， 又∵点P的坐标中x＞5， ∴MP＞2，AP＞2； ∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意， ∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况， 在Rt△AOM中，AM5， ∵抛物线对称轴过点M， ∴在抛物线x＞5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5， 即PM＝5，此时点P横坐标为6，即AP＝6； 故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立， 即P（6，4）； （3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大． 设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2t+4）（0＜t＜5）， 过点N作NG∥y轴交AC于G，作AM⊥NG于M， 由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：yx+4； 把x＝t代入yx+4，则可得G（t，t+4）， 此时：NGx+4﹣（t2t+4）t2+4t， ∵AM+CE＝CO， ∴S△ACN＝S△ANG+S△CGNAM×NGNG×CENG•OC（t2+4t）×5＝﹣2t2+10t＝﹣2（t）2， ∴当t时，△CAN面积的最大值为， 由t，得：yt2t+4＝﹣3， ∴N（，﹣3）． 2．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点为A（m﹣4，0）和B（m，0），与直线y＝﹣x+p相交于点A和点C（2m﹣4，m﹣6）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P在抛物线上，且以点P和A，C以及另一点Q为顶点的平行四边形面积为12，求点P，Q的坐标； （3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当△PQM的面积最大时，请求出△PQM的最大面积及点M的坐标． 【分析】（1）把点A（m﹣4，0）和C（2m﹣4，m﹣6）代入直线y＝﹣x+p上得到方程组，求出方程组的解，得出A、B、C的坐标，设抛物线y＝ax2+bx+c＝a（x﹣3）（x+1），把C（2，﹣3）代入求出a即可； （2）AC所在直线的解析式为：y＝﹣x﹣1，根据平行四边形ACQP的面积为12，求出AC边上的高为2，过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K，求出DK、DN，得到PQ的解析式为y＝﹣x+3或y＝﹣x﹣5，求出方程组的解，即可得到P1（3，0），P2（﹣2，5），根据ACQP是平行四边形，求出Q的坐标；同法求出以AC为对角线时Q的坐标； （3）设M（t，t2﹣2t﹣3），（﹣1＜t＜3），过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线于点T，则T（t，﹣t+3），求出MT＝﹣t2+t+6，过点M作MS⊥PQ所在直线于点S，求出MS（t）2，即可得到答案． 【解答】解：（1）∵点A（m﹣4，0）和C（2m﹣4，m﹣6）在直线y＝﹣x+p上 ∴， 解得：， ∴A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3）， 设抛物线y＝ax2+bx+c＝a（x﹣3）（x+1）， ∵C（2，﹣3），代入得：﹣3＝a（2﹣3）（2+1）， ∴a＝1 ∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3． 答：抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3． （2）解：A（﹣1，0），C（2，﹣3），由勾股定理得：AC3， AC所在直线的解析式为：y＝﹣x﹣1，∠BAC＝45°， ∵平行四边形ACQP的面积为12， ∴平行四边形ACQP中AC边上的高为2， 过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K，DK＝2， ∴DN＝4， ∵四边形ACQP，PQ所在直线在直线ADC的两侧，可能各有一条， ∴根据平移的性质得出直线PQ的解析式为①y＝﹣x+3或②y＝﹣x﹣5， ∴由①得：， 解得：或，由②得：，方程组无解， 即P1（3，0），P2（﹣2，5）， ∵ACQP是平行四边形，A（﹣1，0），C（2，﹣3）， ∴当P（3，0）时，当以AC为边时，Q1（6，﹣3），Q2（0，3），当AC为对角线时Q3（﹣2，﹣3） ∴满足条件的P，Q点是P1（3，0），Q1（6，﹣3）或P2（﹣2，5），Q2（1，2），Q3（﹣2，﹣3） 当P（﹣2，5）时，当以AC为边时，Q4（1，2），Q5（﹣5，8），当AC为对角线时，Q6（3，﹣8） 以AC为对角线时， 答：点P，Q的坐标是P1（3，0），Q1（6，﹣3）或（0，3）或（﹣2，﹣3） 或P2（﹣2，5），Q2（1，2）或（﹣5，8）或（3，﹣8）． （3）解：设M（t，t2﹣2t﹣3），（﹣1＜t＜3）， 过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线于点T，则T（t，﹣t+3）， MT＝（﹣t+3）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+t+6， 过点M作MS⊥PQ所在直线于点S， MSMT（﹣t2+t+6）（t）2， 则当t时，M（，），△PQM中PQ边上高的最大值为， ∵P1（3，0），Q1（6，﹣3）或P2（﹣2，5），Q2（1，2）． ∴当P（3，0），Q（6，﹣3）时，PQ3． 当P（﹣2，5），Q（1，2）时，PQ3， ∴S△PQMPQ．答：△PQM的最大面积是，点M的坐标是（，）． 3．已知抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，其顶点为D． （1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴； （2）连接BC，过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E．求证：四边形ODBE是等腰梯形； （3）抛物线上是否存在点Q，使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的对称轴方程； （2）设抛物线的对称轴DE与x轴的交点为F，根据抛物线的对称轴方程即可求得F点的坐标；根据抛物线的解析式可求出C、D的坐标，即可证得△OBC、△BDF都是等腰直角三角形，那么∠DBF＝∠CBA＝∠EOB＝45°，由此可证得OE∥BD，然后再根据O、D、B、E四点坐标求出OD、BE的长，即可证得所求的结论； （3）首先求出四边形ODBE的面积，进而可得到△OBQ的面积，由于OB的长为定值，根据△OBQ的面积即可确定Q点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中即可求得Q点的坐标． 【解答】（1）解：分别把A（1，0）、B（3，0）两点坐标代入y＝x2+bx+c得到关于b、c的方程组， 解之得：b＝﹣4，c＝3， ∴抛物线的对称轴为：直线x＝2； （2）证明：抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3， 当x＝0时，y＝3 ∴C点坐标为（0，3）， 而y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线顶点D点坐标为（2，﹣1）． ∴tan∠DOF； 设抛物线的对称轴DE交x轴于点F， ∴F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BE． ∵△OBC是等腰直角三角形，OE⊥BC， ∴∠EOB＝45°，而OF＝2，EF⊥OB， ∴EF＝2， ∴E点坐标为（2，2）， ∴tan∠FBE＝2， ∴∠DOF≠∠FBE， ∴DO与EB不平行． 而△DFB也是等腰直角三角形， ∴∠BOE＝∠OBD＝45°， ∴OE∥BD， ∴四边形ODBE是梯形．（5分） 在Rt△ODF和Rt△EBF中， OD，BE， ∴OD＝BE， ∴四边形ODBE是等腰梯形．（7分） （3）解：存在．理由如下：（8分） 由题意得：S四边形ODBE．（9分） 设点Q坐标为（x，y）． 由题意得：S三角形OBQ，S四边形ODBE， ∴y＝±1． 当y＝1时，即x2﹣4x+3＝1， ∴，， ∴Q点坐标为（2，1）或（2，1）（11分） 当y＝﹣1时，即x2﹣4x+3＝﹣1， ∴x＝2， ∴Q点坐标为（2，﹣1），即为顶点D． 综上所述，抛物线上存在三点Q1（2，1），Q2（2，1），Q3（2，﹣1）． 使得S三角形OBQS四边形ODBE．（12分） 家庭作业 1．如图，已知长方形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，OA＝18，OC＝12，D、E分别为OA、BC上的两点，将长方形OABC沿直线DE折叠后，点A刚好与点C重合，点B落在点F处，再将其打开、展平． （1）点B的坐标是　（18，12）　； （2）求直线DE的函数表达式； （3）设动点P从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿折线D→A→B→C向终点C运动，运动时间为t秒，求当S△PDE＝2S△OCD时t的值． 【分析】（1）根据矩形的性质可得AB＝OC＝12，BC＝AO＝18，可求点B坐标； （2）由折叠的性质可得AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，根据勾股定理可求OD＝5，即CD＝AD＝13，根据等腰三角形的性质可求CE＝13，即可得点D，点E的坐标，则用待定系数法可求直线DE的函数表达式； （3）分点P在AD上，AB上，BC上三种情况讨论，根据三角形面积的求法可求t的值． 【解答】解：（1）∵四边形ABCO是矩形， ∴AB＝OC，BC＝AO， ∵OA＝18，OC＝12， ∴AB＝12，BC＝18， ∴点B坐标（18，12） 故答案为：（18，12） （2）∵折叠 ∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE， ∵OC2+OD2＝CD2， ∴144+OD2＝（18﹣OD）2， ∴OD＝5， ∴CD＝13，点D坐标为（5，0）， ∵BC∥AO， ∴∠CED＝∠EDA，且∠ADE＝∠CDE， ∴∠CED＝∠CDE， ∴CE＝CD＝13， ∴点E坐标为（13，12）， 设直线DE的函数表达式为y＝kx+b， ∴ 解得：k，b ∴解析式yx （3）∵S△PDE＝2S△OCD， ∴S△PDE＝2OC×OD＝12×5＝60 当点P在AD上时，S△PDEPD×12＝60， ∴PD＝10 ∴t10， 当点P在AB上时，S△PDE＝S梯形ABED﹣S△PBE﹣S△APD＝1085×（12﹣AP）13×AP＝60 ∴AP ∴t 当点P在BC上时，S△PDEPE×12＝60 ∴PE＝10 ∴t40 综上所述：当S△PDE＝2S△OCD时，t的值为10，，40． 2．如图，将OA＝6，AB＝4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP． （1）点B的坐标为　（6，4）　；用含t的式子表示点P的坐标为　（t，t）　； （2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜6），并求t为何值时，S有最大值？ （3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由OA＝6，AB＝4，易得点B的坐标为（6，4）；由图可得，点P的横坐标＝CN＝t，纵坐标＝4﹣NP，NP的值可根据相似比求得； （2）由（1）的结论易得△OMP的高为t，而OM＝6﹣AM＝6﹣t，再根据三角形的面积公式即可求得S与t的函数关系式，再由二次函数的最值求法，求得t为何值时，S有最大值； （3）由（2）求得点M、N的坐标，从而求得直线ON的函数关系式；设点T的坐标为（0，b），可得直线MT的函数关系式，解由两个关系式组成的方程组，可得点直线ON与MT的交点R的坐标；由已知易得S△OCN4×3＝6，S△ORTS△OCN＝2；然后分两种情况考虑：①当点T在点O、C之间时，②当点T在点OC的延长线上，从而求得符合条件的点T的坐标． 【解答】解：（1）延长NP交OA于H，如图1所示： ∵矩形OABC， ∴BC∥OA，∠OCB＝90°， ∵PN⊥BC， ∴NH∥OC， ∴四边形CNHO是平行四边形， ∴OH＝CN， ∵OA＝6，AB＝4， ∴点B的坐标为（6，4）； 由图可得，点P的横坐标＝0H＝CN＝t，纵坐标＝4﹣NP， ∵NP⊥BC， ∴NP∥OC， ∴NP：OC＝BN：CB， 即NP：4＝（6﹣t）：6， ∴NP＝4t， ∴点P的纵坐标＝4﹣NPt， 则点P的坐标为（t，t）；故答案为：（6，4）；（t，t）； （2）∵S△OMPOMt， ∴S（6﹣t）tt2+2t（t﹣3）2+3（0＜t＜6）．∴当t＝3时，S有最大值． （3）存在．理由如下： 由（2）得，当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4）， 则直线ON的函数关系式为：yx． 设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：yx+b， 解方程组得， ∴直线ON与MT的交点R的坐标为（，）， ∵S△OCN4×3＝6，∴S△ORT S△OCN＝2， ①当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是△OR1T1， 如图2所示，作R1D1⊥y轴，D1为垂足，则S△OR1T1RD1•OT••b＝2． ∴3b2﹣4b﹣16＝0， 解得：b（负值舍去）．∴b，此时点T1的坐标为（0，）． ②当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是△R2NE，如图，设MT交CN于点E， 由①得点E的横坐标为，作R2D2⊥CN交CN于点D2，则 S△R2NE•EN•R2D2•（3）•（42． ∴b2+4b﹣48＝0， 解得：b＝±22（负值舍去）． ∴b＝22． ∴此时点T2的坐标为（0，2）． 综上所述，在y轴上存在点T1（0，），T2（0，22）符合条件． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $