第05讲-动态中的函数关系问题-专题讲义 2027年人教版中考数学二轮复习

动态中的函数关系问题 人教版九年级数学二轮复习 · 第05讲 · 专题讲义（含解析） 知识链接 这部分压轴题的主要特征是在图形运动变化的过程中，探求两个变量之间的函数关系，并根据实际情况确定变量的取值范围，进而在一般性的基础上探求符合条件的特殊性。探求符合条件的特殊性一般和数形结合思想联系在一起. 1.相似的基本性质和判定；2.平面几何图形面积的表示方法. 例题解析 例1．已知∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足（如图1所示）． （1）当AD＝2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长； （2）在图1中，连接AP．当AD，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，，其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域； （3）当AD＜AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求∠QPC的大小． 【分析】（1）当AD＝2时，AD＝AB，此时△ABD为等腰直角三角形，易证△BPC也是等腰直角三角形，BC长已知，则PC的长可求； （2）易知点P到AB的距离与到BC的距离的比与BA、AD长度的比相等，即△APQ中AQ边上的高与△PBC中BC边上的高的比可求；AQ＝2﹣x，BC＝3，则△APQ与△BPC的面积可表示出来，利用其面积比为y，可得函数关系式，由于AB＝2，AD，所以，，而点P在线段BD上，所以PC有最大值和最小值，即可确定出PQ的最大值和最小值，即可得出结论． （3）作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，由已知条件可证Rt△PCF∽Rt△PQE，则∠EPQ＝∠FPC，利用角的和差关系可求得∠QPC＝90°． 【解答】解：（1）∵AD∥BC，∠ABC＝90°， 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠A＝∠ABC＝90°． 当AD＝2时，AD＝AB， ∴∠D＝∠ABD＝45°， ∴∠PBC＝∠D＝45°． ∵， ∴PQ＝PC， ∴∠C＝∠PQC＝45°， ∴∠BPC＝90°． ∴PC＝BC•sin45°＝3． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 （2）如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形EBFP是矩形． ∴PF＝BE． 又∵∠BAD＝90°， ∴PE∥AD， ∴Rt△BEP∽Rt△BAD． ∴． 设BE＝4k，则PE＝3k， ∴PF＝BE＝4k． ∵BQ＝x， ∴AQ＝AB﹣BQ＝2﹣x． ∴S△AQPAQ•PE（2﹣x）•3k，S△BPCBC•PF3×4k＝6k． ∵， ∴， 即yx． 过D作BC的垂线DM，在直角△DCM中，DC． 当P在D点时，x最大，则PC＝DC，而，得PQ，利用勾股定理得到AQ，所以此时BQ ∴0≤x． （3）当AD＜AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求∠QPC的大小． 【解答】解：（3）如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形EBFP是矩形． ∴PF＝BE，∠EPF＝90°． 又∵∠A＝90°， ∴PE∥AD． ∴Rt△BEP∽Rt△BAD． ∴， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴Rt△PCF∽Rt△PQE， ∴∠EPQ＝∠FPC． ∵∠EPQ+∠QPF＝∠EPF＝90°， ∴∠FPC+∠QPF＝90°， 即∠QPC＝90°． 例2．已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（10，0），B（8，2），C（0，2），点T在线段OA上（不与线段端点重合），将纸片折叠，使点A落在射线AB上（记为点A′），折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分（图中的阴影部分）的面积为S． （1）求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式； （2）当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围； （3）S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）我们可以用AT的长以及∠BAT的正弦函数表示出PT的长，由此可根据三角形的面积公式得出关于S，t的函数关系式．此时AT即AA′的最大值为AB的长，也就是4，因此AT的取值范围是0＜AT≤4，那么t的取值范围就是6≤t＜10； （2）当重叠部分是四边形时，那么此时A′应该在AB的延长线上，那么此时AA′的最小值应该是AB的长即4，最大的值应该是当P与B重合时AA′的值即8，由于三角形ATA′是个等边三角形，那么AT的取值范围就是4＜AT＜8，那么t的取值就应是2＜t＜6； （3）可分成三种情况进行讨论： ①当A′在AB上时，即当6≤t＜10时，可根据（1）的函数来求出此时S的最大值； ②当A′在AB延长线上但P在AB上时，即当2≤t＜6时，此时重合部分的面积＝三角形AA′T的面积﹣上面的小三角形的面积，根据AT和AB的长，我们可得出A′B的长，然后按（1）的方法即可得出上面的小三角形的面积，也就可以求出重合部分的面积； ③当A′在AB延长线上且P也在AB延长线上时，即当0＜t≤2时，重合部分的面积就是三角形EFT的面积（其中E是TA′与CB的交点，F是TA与CB的交点）那么关键是求出BF，BE的值，知道了AT的长，也就知道了AP，A′P的长，根据AB＝4我们不难得出BP的长，有了BP的长就可以求出A′B，BE的长，在直角三角形BPE中，可根据∠PBF的度数，和BP的长，来表示出BF的长，这样我们就能表示出EF的长了，又知道EF边上的高是OC的长，因此可根据三角形的面积来求出S的值． 然后综合三种情况判断出是否有S的最大值． 【解答】解：（1）∵A，B两点的坐标分别是A（10，0）和B（8，2）， ∴tan∠OAB， ∴∠OAB＝60°， 当点A′在线段AB上时， ∵∠OAB＝60°，TA＝TA′， ∴△A′TA是等边三角形，且TP⊥AA′， ∴TP＝（10﹣t）sin60°（10﹣t），A′P＝APAT（10﹣t）， ∴S＝S△ATPA′P•TP（10﹣t）2， 当A´与B重合时，AT＝AB4，所以此时6≤t＜10； （2）当点A′在线段AB的延长线上，且点P在线段AB（不与B重合）上时， 纸片重叠部分的图形是四边形（如图①，其中E是TA′与CB的交点）， 假设点P与B重合时，AT＝2AB＝8，点T的坐标是（2，0），由（1）中求得当A´与B重合时，T的坐标是（6，0），则当纸片重叠部分的图形是四边形时，2＜t＜6； （3）S存在最大值． ①当6≤t＜10时，S（10﹣t）2， 在对称轴t＝10的左边，S的值随着t的增大而减小， ∴当t＝6时，S的值最大是2； ②当2≤t＜6时，由图①，重叠部分的面积S＝S△A′TP﹣S△A′EB， ∵△A′EB的高是A′B•sin60°， ∴S（10﹣t）2（10﹣t﹣4）2（4）2 （t2+2t+30）（t﹣2）2+4， 当t＝2时，S的值最大是4； ③当0＜t≤2，即当点A′和点P都在线段AB的延长线上是（如图②，其中E是TA´与CB的交点，F是TP与CB的交点）， ∵∠EFT＝∠ETF，四边形ETAB是等腰梯形， ∴EF＝ET＝AB＝4， ∴SEF•OC4×24． 综上所述，S的最大值是4，此时t的值是t＝2． 例3．如图1，已知∠ABC＝90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F． （1）如图2，当BP＝BA时，∠EBF＝　30　°，猜想∠QFC＝　60　°； （2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明； （3）已知线段AB＝2，设BP＝x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式． 【分析】（3）过点F作FG⊥BE于点G，过点Q作QH⊥BC，根据△ABP≌△AEQ得到：设QE＝BP＝x，则QF＝QE+EF＝x+2．点Q到射线BC的距离y＝QH＝sin60°×QF（x+2），即可求得函数关系式． 【解答】证明：（1）∵∠ABC＝90°，∠BAE＝60°， ∴∠EBF＝30°；（1分） 则猜想：∠QFC＝60°；（2分） （2）∠QFC＝60°． （1分） ∵∠BAP＝∠BAE+∠EAP＝60°+∠EAP，∠EAQ＝∠QAP+∠EAP＝60°+∠EAP， ∴∠BAP＝∠EAQ 在△ABP和△AEQ中， ， ∴△ABP≌△AEQ （SAS）　 ∴∠AEQ＝∠ABP＝90° ∴∠BEF＝180°﹣∠AEQ﹣∠AEB＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∴∠QFC＝∠EBF+∠BEF＝30°+30°＝60°； （3）在图1中，过点F作FG⊥BE于点G． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 ∵△ABE是等边三角形， ∴BE＝AB＝2． 由（1）得∠EBF＝30°． 又∵∠QFC＝60° ∴∠EBF＝∠BEF， ∴BF＝EF， ∵FG⊥BE ∴BG， ∴BF2． ∴EF＝2． （1分） ∵在Rt△ABP和Rt△AEQ中， ∴△ABP≌△AEQ． 设QE＝BP＝x， 则QF＝QE+EF＝x+2．（2分） 过点Q作QH⊥BC，垂足为H． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 在Rt△QHF中，y＝QH＝sin60°×QF（x+2）．（x＞0） 即y关于x的函数关系式是：yx． （3分） 课堂练习 1．我们定义：三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，则称这个三角形是2倍角三角形． 定义应用 （1）已知△ABC是2倍角三角形，∠A＝60°，则这个三角形其余两个角的度数分别为　40°、80°或30°、90°　； （2）如果一个等腰三角形是2倍角三角形，则其底角的度数为　45°或72°　； 性质探索 下面我们来探究2倍角三角形三边关系，如图△ABC中，∠ABC等于2∠A，则△ABC的三边存在如下关系：AC2＝BC（AB+BC） 我们可以这样证明： 如图1，作角平分线BD，则有∠1＝∠2＝∠A． 由∠2＝∠A，得AD＝BD， 由∠1＝∠A，∠C＝∠C得△CBD∽△CAB ∴ 由得CB2＝CA•CD ∴CD 请你接着证明下去 性质应用 （1）已知△ABC中，∠C＝2∠B，AB＝12，BC＝10，则AC＝　8　； （2）拓展应用，已知△ABC中，∠ABC＝3∠A，AC＝6，BC＝4，求AB． 【分析】定义应用：根据2倍角三角形的定义，用分类讨论的思想解决问题即可； 性质探索：利用相似三角形的性质，结合已知条件即可证明； 性质应用：应用结论以及相似三角形的性质解决问题即可； 【解答】解：定义应用：（1）如果∠A是∠C的2倍，则∠C＝30°，∠A＝90°， 如果∠B是∠C的2倍，∵∠B+∠C＝120°， ∴∠B＝80°，∠C＝40°， ∴这个三角形其余两个角的度数分别为40°、80°或30°、90° 故答案为40°、80°或30°、90°． （2）当等腰三角形的内角分别为x，x，2x时，4x＝180°，解得x＝45°， 当等腰三角形的内角分别为x，2x，2x时，5x＝180°，解得x＝36°，2x＝72° ∴底角的度数为45°或72° 故答案为45°或72°． 性质探索 由，得BD ∵BD＝AD＝AC﹣CD， ∴AC， ∴AC2﹣BC2＝AB•BC， ∴AC2＝BC（AB+BC） ∴△ABC中，当∠ABC＝2∠A时，AC2＝BC（AB+BC）． 性质应用 （1）由性质探索 可知：AB2＝AC（BC+AC）， ∴AC2+10AC﹣144＝0 解得AC＝8或﹣18（舍弃）． 故答案为8． （2）作∠CBD＝∠A，则∠ABD＝2∠A∴△ABD是2倍角三角形． ∴AD2＝BD（BD+AB）， ∵∠BDC是△ABD 的外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3∠A ∴∠BDC＝∠ABC＝3∠A 又∠C＝∠C， ∴△CBD∽△CAB ∴， ∴CD，， ∴AD＝AC﹣CD 可设BD＝2x，则AB＝3x ∴（）2＝2x（2x+3x）， ∴x， ∴AB＝3x． 2．如图，在锐角三角形ABC中，BC＝12，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与A，B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG． （1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长； （2）设DE＝x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值． 【分析】（1）根据题意，作出图示；分析可得：AM＝8，且△ADE∽△ABC，进而可得，解可得答案． （2）分两种情况：①当正方形DEFG在△ABC的内部时，②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，依据平行线以及正方形的性质，可得二次函数，再根据二次函数的性质，解可得重合部分的面积，比较可得面积的最大值． 【解答】解： （1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图（1），过点A作BC边上的高AM，交DE于N，垂足为M． ∵S△ABC＝48，BC＝12，∴AM＝8， ∵DE∥BC，△ADE∽△ABC， ∴， 而AN＝AM﹣MN＝AM﹣DE，∴， 解之得DE＝4.8．∴当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为4.8， （2）分两种情况： ①当正方形DEFG在△ABC的内部时， 如图（2），△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积， ∵DE＝x，∴y＝x2，此时x的范围是0＜x≤4.8， ②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时， 如图（3），设DG与BC交于点Q，EF与BC交于点P， △ABC的高AM交DE于N，∵DE＝x，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， 即，而AN＝AM﹣MN＝AM﹣EP，∴，解得EP＝8x． 所以y＝x（8x），即yx2+8x，由题意，x＞4.8，且x＜12，所以4.8＜x＜12； 因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积需分两种情况讨论， 当0＜x≤4.8时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82＝23.04， 当4.8＜x＜12时，因为，所以当时， △ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为二次函数的最大值：y最大62+8×6＝24； 因为24＞23.04， 所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P． （1）当∠B＝30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长； （2）若CE＝2，BD＝BC，求∠BPD的正切值； （3）若tan∠BPD，设CE＝x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式． 【分析】（3）过点D作DQ⊥AC于Q，可用未知数表示出QE的长，根据∠BPD（即∠EDQ）的正切值即可求出DQ的长；在Rt△ADQ中，可用QE表示出AQ的长，由勾股定理即可求得EQ、DQ、AQ的长；易证得△ADQ∽△ABC，根据得到的比例线段可求出BD、BC的表达式，进而可根据三角形周长的计算方法得到y、x的函数关系式． 【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝90°， 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠BAC＝60°． ∵AD＝AE， ∴∠AED＝∠CEP＝60°， ∴∠EPC＝30°． ∴△BDP为等腰三角形． ∵△AEP与△BDP相似， ∴∠EPA＝∠BPD＝30°， ∴AE＝EP＝1． ∴在Rt△ECP中，ECEP； 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 （2）设BD＝BC＝x． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 在Rt△ABC中，由勾股定理，得： （x+1）2＝x2+（2+1）2， 解之得x＝4，即BC＝4． 过点C作CF∥DP． ∴△ADE与△AFC相似， ∴，即AF＝AC，即DF＝EC＝2， ∴BF＝DF＝2． ∵△BFC与△BDP相似， ∴，即：BC＝CP＝4． ∴tan∠BPD． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 （3）过D点作DQ⊥AC于点Q． 则△DQE与△PCE相似，设AQ＝a，则QE＝1﹣a． ∴且， ∴DQ＝3（1﹣a）． ∵在Rt△ADQ中，据勾股定理得：AD2＝AQ2+DQ2 即：12＝a2+[3（1﹣a）]2，解之得． ∵△ADQ与△ABC相似， ∴． ∴． ∴△ABC的周长，即：y＝3+3x，其中x＞0． 家庭作业 1．如图，已知抛物线yx2+x+4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B． （1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式； （2）设P（x，y）（x＞0）是直线y＝x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值． 【分析】（1）抛物线的解析式中，令x＝0可求出B点的坐标，令y＝0可求出A点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线AB的解析式； （2）可分别求出当点P、点Q在直线AB上时x的值，即可得到所求的x的取值范围； （3）此题首先要计算出一个关键点：即直线AB过E、F时x的值（由于直线AB与直线OP垂直，所以直线AB同时经过E、F），此时点E的坐标为（x，），代入直线AB的解析式即可得到x； ①当2≤x时，直线AB与PE、PF相交，设交点为C、D；那么重合部分的面积为正方形QEPF和等腰Rt△PDC的面积差，由此可得到关于S、x的函数关系式，进而可根据函数的性质及自变量的取值范围求出S的最大值及对应的x的值； ②当x≤4时，直线AB与QE、QF相交，设交点为M、N；此时重合部分的面积为等腰Rt△QMN的面积，可参照①的方法求出此时S的最大值及对应的x的值； 综合上述两种情况，即可比较得出S的最大值及对应的x的值． 【解答】解：（1）令y＝0， 得x2+x+4＝0，即x2﹣2x﹣8＝0； 解得x＝﹣2，x＝4； 所以A（4，0）； 令x＝0，得y＝4， 所以B（0，4）； 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 则有：， 解得，故此直线的解析式为：y＝﹣x+4； （2）当P（x，y）在直线AB上时，x＝﹣x+4，解得x＝2； 当Q（，）在直线AB上时，4，解得x＝4； 所以正方形PEQF与直线AB有公共点，且2≤x≤4； （3）当点E（x，）在直线AB上时， （此时点F也在直线AB上）x+4，解得x； ①当2≤x时，直线AB分别与PE、PF有交点， 设交点分别为C、D； 此时PC＝x﹣（﹣x+4）＝2x﹣4，又PD＝PC， 所以S△PCDPC2＝2（x﹣2）2； S＝S正方形PEQF﹣S△PCD＝QE2﹣S△PCD＝（x）2﹣S△PCD 从而Sx2﹣2（x﹣2）2x2+8x﹣8（x）2； 因为2， 所以当x时，Smax； ②当x≤4时，直线AB分别与QE、QF有交点，设交点分别为M、N； 此时QN＝（4）x+4，又QM＝QN， 所以S△QMNQN2（x﹣4）2， 即S（x﹣4）2； 当x时，Smax； 综合①②得：当x时，Smax． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 动态中的函数关系问题 人教版九年级数学二轮复习 · 第05讲 · 专题讲义（学生版） 知识链接 这部分压轴题的主要特征是在图形运动变化的过程中，探求两个变量之间的函数关系，并根据实际情况确定变量的取值范围，进而在一般性的基础上探求符合条件的特殊性。探求符合条件的特殊性一般和数形结合思想联系在一起. 1.相似的基本性质和判定；2.平面几何图形面积的表示方法. 例题解析 例1．已知∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足（如图1所示）． （1）当AD＝2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长； （2）在图1中，连接AP．当AD，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，，其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域； （3）当AD＜AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求∠QPC的大小． （2）在图1中，连接AP．当AD，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，，其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域； （3）当AD＜AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求∠QPC的大小． 例2．已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（10，0），B（8，2），C（0，2），点T在线段OA上（不与线段端点重合），将纸片折叠，使点A落在射线AB上（记为点A′），折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分（图中的阴影部分）的面积为S． （1）求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式； （2）当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围； （3）S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由． 例3．如图1，已知∠ABC＝90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F． （1）如图2，当BP＝BA时，∠EBF＝　 　°，猜想∠QFC＝　 　°； （2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明； （3）已知线段AB＝2，设BP＝x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式． 课堂练习 1．我们定义：三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，则称这个三角形是2倍角三角形． 定义应用 （1）已知△ABC是2倍角三角形，∠A＝60°，则这个三角形其余两个角的度数分别为　 　； （2）如果一个等腰三角形是2倍角三角形，则其底角的度数为　 　； 性质探索 下面我们来探究2倍角三角形三边关系，如图△ABC中，∠ABC等于2∠A，则△ABC的三边存在如下关系：AC2＝BC（AB+BC） 我们可以这样证明： 如图1，作角平分线BD，则有∠1＝∠2＝∠A． 由∠2＝∠A，得AD＝BD， 由∠1＝∠A，∠C＝∠C得△CBD∽△CAB ∴ 由得CB2＝CA•CD ∴CD 请你接着证明下去 性质应用 （1）已知△ABC中，∠C＝2∠B，AB＝12，BC＝10，则AC＝　 　； （2）拓展应用，已知△ABC中，∠ABC＝3∠A，AC＝6，BC＝4，求AB． 2．如图，在锐角三角形ABC中，BC＝12，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与A，B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG． （1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长； （2）设DE＝x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P． （1）当∠B＝30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长； （2）若CE＝2，BD＝BC，求∠BPD的正切值； （3）若tan∠BPD，设CE＝x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式． 家庭作业 1．如图，已知抛物线yx2+x+4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B． （1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式； （2）设P（x，y）（x＞0）是直线y＝x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $