精品解析：江苏省南通市旅游中等专业学校等2026-2027学年职教高二上学期期中数学试卷

机密★启用前 2026年江苏省职教高二年级第一学期期中 数学 试卷 本试卷4页，三大题．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必按照规定要求填涂答题卡上的姓名，考试号等项目. 2.用2B铅笔把答题卡上相应题号中正确答案的标号涂黑，用黑色水笔在答题卡规定的答题区域书写答案，答案不涂写在答题卡上无效. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.） 1. 已知向量，且，则向量与的夹角为（　　） A. B. C. D. 2. 双曲线的实轴长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 设，，，则（ ） A. 20 B. C. D. 0 4. 点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 5. 已知为抛物线：的焦点，纵坐标为5的点在C上，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 6. 若a，b表示不同的直线，表示不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或5 D. 8. 已知抛物线的焦点为F，是抛物线上一点，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 9. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点．若，则椭圆的方程为（    ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（    ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，） 11. 若，，，则___________. 12. 若抛物线上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的标准方程为________． 13. 已知直线和平面，且平面，则“”是“”的___________条件 14. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是_____________． 15. 设椭圆的左、右焦点分别是，，点在该椭圆上，且，则的面积是________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知向量与的夹角，且． （1）若与垂直，求； （2）求与的夹角的余弦值． 17. 求满足下列条件的曲线的标准方程： （1）长轴在x轴上，长轴长为12，离心率为的椭圆的标准方程； （2）焦点在直线上的抛物线的标准方程； （3）与椭圆有相同的焦点，且一个顶点为的双曲线的标准方程． 18. 已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为. （1）求抛物线的方程； （2）若抛物线上一点到的距离是4，求的坐标. 19. 已知抛物线顶点在原点，焦点在轴上，又知此抛物线上一点到焦点的距离为4． （1）求此抛物线的方程． （2）若此抛物线方程与直线相交于不同的两点，且中点横坐标为4，求的值． 20. 已知中心在原点的双曲线C的准线方程为，双曲线其中一个顶点坐标为． （1）求双曲线C的标准方程； （2）过双曲线C的右焦点且斜率为的直线l与双曲线C交于两点，求线段的长． 21. 已知焦距为的双曲线的焦点在轴上，且过点. （1）求该双曲线方程 ； （2）若直线经过该双曲线的右焦点且斜率为，求直线被双曲线截得的弦长. 22. 已知椭圆：的离心率为，椭圆上长轴顶点和短轴顶点的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的左焦点且斜率为2的直线交椭圆于，两点，求． 23. 已知椭圆C：的一个顶点为，离心率为.直线与椭圆C交于不同的两点. （1）求椭圆的方程； （2）当的面积为时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 2026年江苏省职教高二年级第一学期期中 数学 试卷 本试卷4页，三大题．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必按照规定要求填涂答题卡上的姓名，考试号等项目. 2.用2B铅笔把答题卡上相应题号中正确答案的标号涂黑，用黑色水笔在答题卡规定的答题区域书写答案，答案不涂写在答题卡上无效. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.） 1. 已知向量，且，则向量与的夹角为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两向量的夹角公式，结合夹角的范围计算即得. 【详解】设向量与的夹角为θ，则， 又，故. 故选：B. 2. 双曲线的实轴长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】将双曲线方程化为标准方程后，求出，据此可得解. 【详解】双曲线方程可变形为， 所以，，从而实轴长. 故选：C 3. 设，，，则（ ） A. 20 B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示求出，结合平面向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】因为，，， 则， 则， 故选：. 4. 点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出渐近线方程，用点到直线距离公式求出b再算离心率即可. 【详解】由双曲线方程可知，即， 渐近线方程为. 取渐近线， 点到该直线的距离. ，化简得. 两边平方，得即， 解得. ，即. . 故选：A. 5. 已知为抛物线：的焦点，纵坐标为5的点在C上，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】套用抛物线焦半径公式代入数值计算即可. 【详解】抛物线的准线方程为. 由抛物线定义，抛物线上点到焦点距离等于到准线距离， . 将，代入， 得.，解得. 故选：D. 6. 若a，b表示不同的直线，表示不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系判断ABC；根据线面平行的判定定理和性质定理判断D. 【详解】选项A：若，则平面与平面可能平行，也可能相交，故A错误； 选项B：若，则直线与直线的位置关系有三种：平行、相交或异面，故B错误； 选项C：若，则直线与直线可能平行，也可能异面，故C错误； 选项D：若， 过直线作平面与平面相交于直线，如图， 又因为，根据线面平行的性质定理可知, 又因为，所以，而，， 根据线面平行的判定定理可得，故D正确. 故选：D. 7. 已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线焦点在轴上时的标准方程求解. 【详解】∵方程表示焦点在轴上的双曲线， 可以得到，解得． 故选：D. 8. 已知抛物线的焦点为F，是抛物线上一点，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合抛物线方程求得p的值，结合抛物线的概念，即可求解. 【详解】因为抛物线，所以， 又是抛物线上一点，且， 所以， 所以，解得. 故选：A. 9. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点．若，则椭圆的方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合椭圆的性质及离心率公式得到，求出的坐标，结合平面向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】椭圆的离心率为， 则，即， 分别为椭圆的左、右顶点，则， 为椭圆的上顶点，则， 所以，， ，则， 联立方程组，解得， 所以椭圆方程为. 故选：. 10. 已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（    ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据两个双曲线的渐近线相同设出双曲线的方程，分类讨论和，结合题意及双曲线的定义求出的值即可得解. 【详解】双曲线与双曲线有共同的渐近线， 设双曲线的方程为， 点为上的一点，且，则，即， 当时，双曲线的焦点在轴上， 此时双曲线的标准方程为，所以，解得， 所以双曲线的标准方程为； 当时，双曲线的焦点在轴上， 此时双曲线的标准方程为，所以，解得， 所以双曲线的方程为即， 综上所述，双曲线的方程为或， 故选：. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，） 11. 若，，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据内积的运算律计算即可. 【详解】已知，，， 则 . 故答案为：. 12. 若抛物线上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的标准方程为________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用抛物线定义列式，代入坐标求解参数即可. 【详解】抛物线的对称轴为轴， 因为抛物线上一点到抛物线对称轴的距离为6， 所以设该点坐标为. 由抛物线定义，抛物线上点到焦点距离等于到准线的距离，得. 又点在抛物线上，故， 即，化简得. 联立，消掉得，， 即，解得或. 当时，抛物线方程为. 当时，抛物线方程为. 故答案为：或. 13. 已知直线和平面，且平面，则“”是“”的___________条件 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】依据线面垂直判定定理，双向推导判断充分必要性即可. 【详解】若，， 由线面垂直性质可得，必要性成立. 若，， 不能推出，充分性不成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 14. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式及离心率公式即可得解. 【详解】因为双曲线的右焦点，渐近线即， 右焦点到一条渐近线的距离的距离为， 所以，因此，， 所以离心率， 故答案为：2． 15. 设椭圆的左、右焦点分别是，，点在该椭圆上，且，则的面积是________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意结合椭圆的标准方程及椭圆的定义求出，代入三角形的面积公式即可得解. 【详解】 椭圆，则，， ，解得，则， 因为点在该椭圆上，且， 则， 解得， 所以的面积是， 故答案为：. 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知向量与的夹角，且． （1）若与垂直，求； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直等价于数量积为0的性质，结合向量数量积的定义列方程求解参数k即可； （2）利用向量夹角的余弦公式，计算对应向量的数量积和模长后代入求值. 【小问1详解】 因为向量与的夹角，且． 所以， 因为与垂直，则， 则，即，解得； 【小问2详解】 设与的夹角为， . . 根据向量夹角余弦公式. 17. 求满足下列条件的曲线的标准方程： （1）长轴在x轴上，长轴长为12，离心率为的椭圆的标准方程； （2）焦点在直线上的抛物线的标准方程； （3）与椭圆有相同的焦点，且一个顶点为的双曲线的标准方程． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质，离心率公式即可求解. （2）根据焦点的位置分类讨论即可求解. （3）根据椭圆的标准方程求得焦点坐标，结合双曲线的性质即可求解. 【小问1详解】 ∵长轴在轴上，∴焦点在轴上， 设椭圆标准方程为 ∵，∴， 则. ∴椭圆的标准方程是. 【小问2详解】 由题意得，令，则，解得，则焦点为， 令，则，解得，则焦点为. ①当焦点是时，抛物线标准方程是， ②当焦点是时，抛物线标准方程是. 综上所述：抛物线标准方程是或. 【小问3详解】 由椭圆得，则焦点为， 即双曲线的焦点为，所以， 设双曲线的标准方程是， ∵双曲线的顶点为，∴ ∴，则双曲线的标准方程是. 18. 已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为. （1）求抛物线的方程； （2）若抛物线上一点到的距离是4，求的坐标. 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）由双曲线方程求出渐近线方程，根据点到直线的距离公式结合题意列式即可求解. （2）根据抛物线的定义结合题意求出点的横坐标，代入抛物线方程即可求解. 【小问1详解】 由双曲线方程可知，则， 所以双曲线的渐近线方程为，即， 因为抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为， 取其中一条渐近线为，则， 因为，所以，所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知抛物线方程为，则准线为， 因为抛物线上一点到的距离是4， 则抛物线上一点到准线的距离是4，设， 则，解得，将代入抛物线方程中得， 解得或，所以点的坐标为或. 19. 已知抛物线顶点在原点，焦点在轴上，又知此抛物线上一点到焦点的距离为4． （1）求此抛物线的方程． （2）若此抛物线方程与直线相交于不同的两点，且中点横坐标为4，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离结合题意列式即可求解. （2）联立直线方程和抛物线方程，，结合线段中点坐标公式列式即可求解. 【小问1详解】 由题可设抛物线方程为，则抛物线的准线方程为， 因为抛物线上一点到焦点的距离为4，即抛物线上一点到准线的距离为4， 则，解得，所以， 则抛物线方程为. 【小问2详解】 联立方程为，整理为， 因为抛物线与直线有两交点，则，解得， 设，则，因为中点横坐标为4， 即，解得或（舍去）. 20. 已知中心在原点的双曲线C的准线方程为，双曲线其中一个顶点坐标为． （1）求双曲线C的标准方程； （2）过双曲线C的右焦点且斜率为的直线l与双曲线C交于两点，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标确定的值，再由准线方程求出的值，最后由的关系确定的值即可. （2）首先由点和斜率确定直线方程，设，再联立直线与双曲线方程，并由韦达定理得出的值，再由弦长公式求值即可. 【小问1详解】 已知双曲线的顶点坐标为， 设双曲线的方程为， 得，由准线方程为， 则，即，解得， 所以， 所以双曲线方程为. 【小问2详解】 由（1）可得，双曲线方程为， ，则右焦点为，且直线斜率为， 则，即， 则联立方程组得，即， 整理得，即， 设，则， 所以 . 21. 已知焦距为的双曲线的焦点在轴上，且过点. （1）求该双曲线方程 ； （2）若直线经过该双曲线的右焦点且斜率为，求直线被双曲线截得的弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设双曲线方程为，由焦距可得，将点代入方程结合双曲线中的关系即可求解. （2）由题可知直线的方程为，联立直线方程和双曲线方程，结合弦长公式即可求解. 【小问1详解】 因为双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为， 因为双曲线过点，代入为①， 又因为双曲线的焦距为4，则，所以②， 联立①②式整理为，令， 则上式为，解得(舍去)或， 则， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 因为在双曲线中，所以右焦点坐标为， 则直线的方程为，即， 联立直线与双曲线方程为，整理为， 设交点，由韦达定理可知， 所以弦. 22. 已知椭圆：的离心率为，椭圆上长轴顶点和短轴顶点的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的左焦点且斜率为2的直线交椭圆于，两点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆离心率、长轴与短轴的顶点距离的已知条件，结合椭圆中的关系联立求解参数得椭圆方程； （2）先写出过左焦点的直线方程，联立椭圆方程后借助韦达定理和弦长公式计算弦长.  【小问1详解】 由题意得，椭圆离心率，整理得. 长轴顶点与短轴顶点的距离为，由两点间距离公式得. 又椭圆满足基本关系，将代入得，即. 将，代入， 得，解得， 因此，. 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 由（1）可知椭圆左焦点坐标为，直线斜率为， 由点斜式得直线的方程为. 设，， 联立直线与椭圆方程， 将代入椭圆方程消去，整理得. 由韦达定理得，. 由弦长公式可得. 23. 已知椭圆C：的一个顶点为，离心率为.直线与椭圆C交于不同的两点. （1）求椭圆的方程； （2）当的面积为时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标和离心率求的值，即可得到椭圆方程. （2）先联立椭圆和直线方程求，再求点到直线的距离，通过三角形的面积求得参数. 【小问1详解】 因为椭圆的顶点为，则，又离心率为， 即，所以，则， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 由直线可知直线过定点，又,所以， 联立方程，整理为， 设，则， 所以， 又点到直线的距离为， 所以的面积为， 整理为，令，则该式为， 解得或(舍去)，则，解得或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $