30.4 二次函数的应用(第1课时) 教学设计 2026-2027学年冀教版九年级数学下册

年级

九年级

学科

数学

教师

课题

30.4 二次函数的应用(第1课时)——建立适当的坐标系解决抛物线形实际问题

教学

目标

数学建模

能从拱桥、隧道等实际情境中抽象出二次函数模型,建立适当的平面直角坐标系,用待定系数法求出抛物线的解析式,体会数学建模的基本过程。

直观想象

通过对抛物线形实物轮廓的分析,能选择合理的建系方式,发展用图形刻画实际问题的直观想象素养。

数学运算

会利用抛物线的解析式进行计算,求出水面宽度、高度等实际问题中的未知量,发展运算能力。

应用意识

感受二次函数与现实生活的密切联系,体会数学的应用价值,培养应用意识与创新意识。

教学

重难点

1.建立适当的直角坐标系,用待定系数法求抛物线的解析式,解决抛物线形实际问题(重点)。

2.根据实际问题合理选择坐标系的建立方式,将实际问题转化为二次函数问题(难点)。

教学过程

教师活动

学生活动

导入新课

教师：同学们,2022年北京冬奥会国家跳台滑雪中心“雪如意”惊艳世界,它跳台赛道的侧面轮廓近似一条抛物线。生活中的拱桥桥拱、隧道顶部、悬索桥的主缆,也常常呈现抛物线形。前面我们已经学习了二次函数的图象和性质,那么,怎样才能把“抛物线形”的实际问题转化为二次函数问题来解决呢?今天我们就一起学习第30章30.4二次函数的应用的第1课时——建立适当的坐标系解决抛物线形实际问题。(板书课题)

问题：要把一座抛物线形拱桥“搬”到平面直角坐标系中,原点、x轴、y

小组讨论,交流各自的看法,初步感知“建系”是解决问题的关键一步。

轴可以怎样选取?不同的选取方式会带来什么影响?

新课讲授 一、建立适当的坐标系解决拱桥(抛物线形)问题

教师：问题1：以拱顶为原点、抛物线的对称轴为y轴、水平方向为x轴建立直角坐标系,抛物线可以设成什么形式?

学生：可以设为的形式。

教师：问题2：要确定这个解析式,还需要什么条件?

学生：还需要抛物线上一个已知点的坐标,用待定系数法求出a。

教师：问题3：如果以对称轴与水面的交点为原点建系,解析式又是什么形式?建系方式不同,会影响问题的最终结果吗?

学生：此时可设或一般式;建系方式不同,所得解析式不同,但实际问题的结果(如水面宽度)不会改变。建系时应尽量使关键点的坐标简单。

师生：归纳总结：

(1)解决抛物线形实际问题的一般步骤：

①审清题意,建立适当的平面直角坐标系;

②根据条件写出抛物线上关键点的坐标;

③设出抛物线的解析式,用待定系数法求出解析式;

④利用解析式进行计算,求出数学问题的结果;

⑤检验结果的合理性,写出实际问题的答案。

(2)建系原则：尽量以抛物线的顶点、对称轴为参考建立坐标系,使关键点的坐标尽可能简单,计算更简便。

例1　一座抛物线形拱桥,当水面宽为4 m时,拱顶离水面2 m。若水面下降1 m,则水面宽度增加多少(结果保留根号)?

解：以拱顶为原点,抛物线的对称轴为y轴,水平方向为x轴,建立平面直角坐标系。

学生思考并回答问题,在练习本上尝试建系并求解,小组内互相核对。

设抛物线的解析式为。

由题意,点(2,−2)在抛物线上,将其代入,得。

所以抛物线的解析式为。

当水面下降1 m时,水面所在的高度为y=−3。令,解得。

此时水面的宽度为2 m,比原来增加了 m。

答：水面宽度增加()m。

新课讲授 二、用二次函数解决隧道(涵洞)问题

教师：下面再看一类问题——隧道(涵洞)的横截面,常常由矩形和抛物线拱组合而成。请同学们带着以下问题阅读教材相关内容：

1.组合图形中,如何选择原点,使关键点的坐标最简单?

2.已知顶点坐标时,设解析式应采用什么形式?

3.判断车辆能否通过隧道,应比较哪两个量?

教师：聆听学生回答,点评总结。

学生：以地面与对称轴的交点为原点,关键点坐标最简单;已知顶点时,可设的形式;应比较隧道在车辆最外侧处的高度与车辆的高度。

例2　某隧道横截面的下部为矩形,上部为抛物线拱。隧道地面的宽为8 m,两侧墙的高均为3 m,拱顶离地面5 m。以地面宽度的中点O为原点,地面所在直线为x轴,过点O的竖直方向为y轴建立平面直角坐标系。

(1)求该抛物线的解析式;

(2)一辆宽4 m、高3.6 m的货运汽车(其横截面为矩形,且中线与抛物线的对称轴重合),能否安全通过该隧道?请说明理由。

解：(1)由题意,抛物线的顶点坐标为(0,5),且抛物线经过点(4,3)。

设抛物线的解析式为。将(4,3)代入,得。

学生根据教师提出的问题阅读教材,分小组交流讨论,选出代表发表见解。