30.4二次函数与一元二次方程的关系教学设计2026-2027学年冀教版数学九年级下册

基本信息

姓    名

王雪

学    校

石家庄市第四十中学

学    科

数    学

年    级

九年级

学习模块

数与代数

单元教学规划

单元学习主题

二次函数

主题架构

二次函数是“数与代数”领域函数主线的重要内容，也是初中阶段学习的最后一类核心函数。学生在此前已经学习了一次函数、反比例函数和一元二次方程，本章在此基础上系统研究二次函数的概念、图象与性质、二次函数的确定方法以及二次函数的实际应用。

本章最后研究二次函数与一元二次方程的关系，把函数的图象与方程的根连接起来，使学生初步体会函数与方程这两类数学对象之间的内在联系，为高中阶段研究函数与方程、不等式的关系积累经验。

本单元有助于培养学生的模型观念、几何直观、运算能力、推理能力和应用意识，是发展数学核心素养的重要载体。

思想方法

本单元的核心思想是数形结合思想和函数与方程思想。

数形结合思想：二次函数的图象与解析式相互印证，图象的开口方向、对称轴、顶点以及与坐标轴的公共点都对应着系数的数量特征；本节课中，抛物线与x轴公共点的个数、公共点的横坐标与一元二次方程的根的对应关系，正是数形结合思想的集中体现。

函数与方程思想：把“方程的根”的问题转化为“函数图象与x轴的公共点”的问题，借助图象直观估计方程的近似解，实现数与形的相互转化，感悟转化与化归的思想。

育人价值

进一步体会数学与实际生活的联系：抛物线在喷泉水柱、投篮飞行、桥梁设计等生活现象中广泛存在，用二次函数刻画这类现象并借助图象解决实际问题，能够深化学生的应用意识，养成用数学的眼光观察世界的习惯。

有助于学生认识数学内容之间的联系：本节课把“方程”纳入“函数”的视野，引导学生建立函数与方程的联结，使认知结构化、整体化，进一步形成学科思维。

进一步发展运算能力和推理能力：借助判别式进行“正向判断公共点个数”与“反向求字母系数取值范围”的双向推理，有助于学生体会运算与推理在建立数学体系中的重要价值。

发展几何直观与严谨求实的科学态度：在用图象逐步逼近估计方程近似解的过程中，体会估算的严谨性与实用性，养成实事求是、精益求精的态度。

课标分析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求：体会二次函数与一元二次方程之间的联

系；能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

要求：能够借助具体实例和图象直观，理解抛物线与x轴公共点的横坐标与相应一元二次方程的根之间的对应关系；能够利用判别式判断抛物线与x轴公共点的个数；能够借助图象，用逐步逼近的方法估计一元二次方程的近似解，发展几何直观和运算能力；注重对函数与方程联系的感悟，避免繁琐的技巧训练。

单元学习目标

基础概念的深入理解与巩固：理解二次函数的概念，熟练掌握二次函数的图象与性质，会确定二次函数的解析式，能运用二次函数解决简单的实际问题。

联系与转化的意识建立：理解二次函数与一元二次方程之间的关系，能利用图象求方程的近似解，体会函数与方程、不等式的内在联系，形成结构化的知识网络。

核心素养的发展：在图象的观察与运用中发展几何直观；在建立函数模型解决实际问题的过程中发展模型观念与应用意识；在判断与推理中发展运算能力和推理能力。

课程安排

30.1　二次函数（1课时）

30.2　二次函数的图像和性质（3课时）

30.3　由不共线三点的坐标确定二次函数（1课时）

30.4　二次函数的应用（2课时）

30.5　二次函数与一元二次方程的关系（1课时）

回顾与反思（1课时）

课时教学设计

课    题

30.5　二次函数与一元二次方程的关系

课    型

新授课☑　　章/单元复习课□　　专题复习课□　　习题/试卷讲评课□　　学科实践活动课□　　其他□

课时内容

本节课是第30章“二次函数”单元的第8课时。学生在此前已经学习了二次函数的概念、图象与性质、由不共线三点的坐标确定二次函数以及二次函数的应用，初步掌握了研究函数“概念—图象—性质—应用”的基本路径。本节课在此基础上研究二次函数与一元二次方程的关系，主要解决两个问题：一是抛物线与x轴公共点的横坐标和相应一元二次方程的根之间的对应关系；二是抛物线与x轴公共点的个数与判别式符号之间的关系，并在此基础上学习用图象估计一元二次方程近似解的方法。

本节课以喷泉水柱、烟花燃放等真实情境为载体，通过“作图观察—列表比较—归纳结论—应用巩固”的探究路径，引导学生在数与形的转化中感悟函数与方程的联系，发展几何直观、运算能力和推理能力，为全章“回顾与反思”以及高中阶段学习函数与方程、不等式的关系奠定基础。

学情分析

本节课采用教学回顾、主观调研、客观测验等方式进行分析。

教学回顾

在九年级上册，学生学习了一元二次方程，能够运用配方法、公式法和因式分解法解方程，理解了判别式与根的情况之间的关系；在本章前几节课中，学生系统学习了二次函数的概念、图象与性质，能够画出二次函数的图象，理解抛物线与x轴公共点的含义。这些为本节课的学习提供了知识与方法上的双重准备。

主观调研

通过与部分学生面对面调研发现，学生能够较熟练地解一元二次方程、画出抛物线的草图，但普遍把“方程”与“函数”当作两个孤立的对象来认识，缺乏从图象的角度看待方程的根的意识；对“公共点的横坐标就是方程的根”缺少主动联结，在“由公共点个数反求字母系数的取值范围”这类需要双向思考的问题中，容易出现漏解或忽略临界情形的问题。

客观测验

单元前测中，一元二次方程解法部分的得分率为91.2%，二次函数图象与性质部分的得分率为86.5%，整体认知基础良好，不存在明显的知识漏洞。在此基础上开展二次函数与一元二次方程关系的学习，时机是成熟的。

目标设置

1．通过观察抛物线与x轴的公共点并求解相应的一元二次方程，理解抛物线与x轴公共点的横坐标就是相应一元二次方程的根，能由方程的根写出公共点的坐标，发展几何直观与推理能力。

2．经历“作图—比较—归纳”的探究过程，掌握抛物线与x轴公共点个数与判别式符号之间的对应关系，会利用判别式判断公共点的个数，并能由公共点个数确定字母系数的取值范围，发展运算能力和分类讨论的意识。

3．会利用二次函数的图象，通过列表、观察、逐步逼近的方法估计一元二次方程的近似解，进一步体会数形结合思想，发展应用意识，感受图象法解决实际问题的价值。

教学重难点

教学重点：二次函数与一元二次方程之间的对应关系；利用判别式判断抛物线与x轴公共点的个数。

教学难点：利用图象逐步逼近估计方程近似解的方法；由抛物线与x轴公共点个数反向确定字母系数取值范围时对临界情形（判别式等于0）的讨论。

教学策略

教学材料

以新教材30.5节的探究活动为素材，选取喷泉水柱、烟花燃放等真实情境，选用2026年各地中考模拟试题改编为当堂检测与作业，素材贴近生活、贴近中考。

教学方法

采用启发式与探究式教学，借助图象演示，组织学生经历“独立作图—观察比较—归纳表述—变式应用”的完整探究过程；针对学生容易忽略临界情形的问题，通过变式追问强化分类讨论。

问题串设计