3.4 圆周角(第1课时) 教学设计 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

年级

九年级

学科

数学

教师

课题

3.4 圆周角(第1课时)

教学

目标

抽象能力

从足球射门、海上观测等实际情境中抽象出圆周角的概念，能准确识别圆周角，理解圆周角与圆心角的区别与联系。

几何直观

经历"度量—猜想—分类验证—归纳"探究圆周角定理的全过程，体会分类讨论与转化的数学思想，发展几何直观。

推理能力

掌握圆周角定理及其推论，能运用它们进行简单的证明与角度计算，养成言之有据的推理习惯。

应用意识

能用圆周角定理及其推论解决射门张角、海上观测等实际问题，感受数学与生活、体育的紧密联系。

教学

重难点

1．理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论（重点）。

2．分三种情况验证圆周角定理，体会分类讨论与转化的数学思想（重点）。

3．灵活运用圆周角定理及其推论进行角度计算与简单证明，解决实际问题（难点）。

教学过程

教师活动

学生活动

导入新课

教师：2026年夏天，美加墨世界杯点燃了无数球迷的热情。绿茵场上，进攻球员面对球门AB时，处于离球门较远的C处和贴近球门的D处射门，效果大不相同。球员对球门AB的张角∠ACB越大，可射进球门的角度范围就越大，进球的机会也就越大。假如球员沿着某条曲线跑动，他对球门的张角会发生变化吗？

教师：结合课件演示，画出以球门两端A、B和场上一点C确定的圆。提问：当球员沿这个圆的圆弧跑动时，张角∠ACB的大小变不变？这里面藏着圆的什么性质？让我们带着问题进入今天的学习。

观察课件演示，结合踢球、观赛的生活经验分组讨论，大胆猜想张角的变化情况，明确本节课要研究的问题。

新课讲授 一、圆周角的概念

教师：请大家回忆，顶点在圆心的角叫什么角？

学生：圆心角。

教师：现在让角的顶点"跑"到圆上。如图，在⊙O中，∠BAC的顶点A在圆上，角的两边AB、AC都与⊙O相交，这样的角叫做圆周角。

回忆旧知，跟随教师观察图形，辨析圆周角的两个判定条件，独立完成例1并互评。

教师：问题1：圆周角与圆心角的区别是什么？

学生：圆心角的顶点在圆心，圆周角的顶点在圆上。

教师：问题2：判断一个角是圆周角，需要同时满足哪几个条件？

师生归纳：

(1)圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

(2)判断圆周角的两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交。两者缺一不可。

例1　下列说法中，正确的是(　　)

A．顶点在圆上的角是圆周角

B．圆周角的两边都和圆相交

C．同一条弧所对的圆周角只有一个

D．圆心角是圆周角的特殊情形

答案　B

解析　圆周角必须同时满足"顶点在圆上"和"两边都和圆相交"两个条件，仅有"顶点在圆上"还不够，A错误，B正确；圆上除弧的端点外还有无数个点，每一点处都能形成该弧所对的圆周角，故同一条弧所对的圆周角有无数个，C错误；圆心角的顶点在圆心，不符合圆周角的定义，D错误。

新课讲授 二、圆周角定理

教师：下面我们研究同一条弧所对的圆周角与圆心角之间的关系。请同学们用量角器度量同一条弧BC所对的圆心角∠BOC与圆周角∠BAC的度数，你有什么发现？

学生：∠BOC＝100°，∠BAC＝50°，圆周角的度数恰好是圆心角度数的一半。

教师：由此可以猜想：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。这一猜想对所有的圆周角都成立吗？由于圆心O与圆周角的位置关系有三种可能，我们按圆心O在圆周角的一边上、内部、外部三种情况分类验证（如图）。

动手度量、提出猜想；在教师引导下分三种情况说理验证，完整经历定理的探究过程；独立完成例2、例3，同桌互查书写规范。

情况一：圆心O在圆周角∠BAC的一边AB上。连接OC。因为OA＝OC（都是⊙O的半径），所以∠C＝∠BAC（等边对等角）。因为∠BOC是△OAC的一个外角，所以∠BOC＝∠C＋∠BAC＝2∠BAC，即2∠BAC＝∠BOC。

情况二：圆心O在圆周角∠BAC的内部。画直径AD，连结OB、OC、OD。由情况一可知，2∠BAD＝∠BOD，2∠CAD＝∠COD。所以2∠BAC＝2∠BAD＋2∠CAD＝∠BOD＋∠COD＝∠BOC。

情况三：圆心O在圆周角∠BAC的外部。画直径AD，连结OB、OC、OD。由情况一可知，2∠BAD＝∠BOD，2∠CAD＝∠COD。所以2∠BAC＝2∠CAD－2∠BAD＝∠COD－∠BOD＝∠BOC。

师生归纳（圆周角定理）：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。

教师：由圆周角定理，我们还能得到两个非常实用的推论。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。

推论2：直径（或半圆）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

例2　如图，点A、B、C在⊙O上，圆心角∠BOC＝100°，求圆周角∠BAC的度数。

答案　∠BAC＝50°

解析　∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角。由圆周角定理，得2∠BAC＝∠BOC＝100°，所以∠BAC＝50°。

例3　如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC＝28°，求∠ABC的度数。