山东省济南第一中学2026-2027学年高三上学期10月阶段性学情检测数学试题

济南一中2024级高三10月阶段性学情检测 数学试题 说明：本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，共11题，第Ⅱ卷为第3页至第4页，共8题。请将答案按要求填写在答题纸相应位置，答在其它位置无效，考试结束后将答题卡上交。试题满分150分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则的真子集个数为 A. 3 B. 4 C. 7 D. 2.已知幂函数的图象过点，则= A. B. C. D. 3. 已知函数，则的值为 A． B．5 C． D． 4. 若，则 A. B. C. D. 5.函数的部分图象大致是 A． B． C． D． 6.已知，则的解是 A． B． C． D． 7．已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则 A. ， B. ， C. ， D. ， 8 若曲线在点处的切线也是曲线在点处的切线，则 A. B. C. D. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则 A. B. C. D. 10.已知函数为奇函数，则下列结论正确的是 A. 的定义域为 B. C. 的单调递减区间为 D. 的值域 11．已知函数，则 A．当时，函数有最大值 B．若函数图象的对称中心为，则 C．函数在上一定存在减区间 D．函数可能有2个零点 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的最小值为________． 13. 已知复数的虚部为，，在复平面内对应的点位于第二象限，则________. 14. 设函数在R上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 关于的不等式的解集记为．关于的不等式的解集记为． (1)求集合； (2)若“”是 “”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数（且）. (1)当时，求的极小值点与极小值； (2)讨论函数的单调性； 17. 已知函数． (1)已知曲线在处的切线方程为，求和的值； (2)设，，是否存在，使得函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18．已知函数． （1）若在处的切线斜率为，求； （2）若恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围； （3）设，证明：. 高三数学试题第 页共 4 页1 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南一中2024级高三10月阶段性学情检测 数学试题 说明：本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为第**页至第**页，共**题，第Ⅱ卷为第**页至第**页，共**题。请将答案按要求填写在答题纸相应位置，答在其它位置无效，考试结束后将答题卡上交。试题满分**分，考试时间**分钟。 第Ⅰ卷（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题集合可得集合， 集合的真子集个数为，故的真子集个数为. 2.已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点(,),则k+α=(　　) A. B.1 C. D.2 3.已知函数，则的值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【详解】， 故， 所以． 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】利用对数公式：， 对数相等，底数相同，则真数相等：， 而，所以， ， 即. 5.函数的部分图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】定义域为，， 则是偶函数，排除A选项； 当时，，则， 当时，，则； 当时，，则，排除CD选项. 故选：B 6.已知，则的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 分情况讨论不等式的解： 当时，，不等式， 与前提矛盾，故此时不等式无解； 当时，，对其求导得. 当时，，即在上单调递增. 又， 因此. 综上，的解为. 将代入得，解得，即. 7．已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】，则，，即周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得，又根据知，而， 则，于是， 即，解得 故选：D 8 若曲线在点处的切线也是曲线在点处的切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的几何意义计算即可. 【详解】易知，所以曲线在点处的切线为， 同理，所以在点处的切线为， 由题意知两条切线重合，所以， 两边同时取以为底的对数得， 则. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】A选项：由得，则，故选项A正确； B选项：当，时，，，此时，故选项B错误； C选项：由得，则，即，故选项C错误； D选项：由得，则，即，故选项D正确. 10.已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（     ） A. 的定义域为 B. C. 的单调递减区间为 D. 的值域 【答案】ABD 【解析】A.由，得，所以的定义域为，故正确； B. 因为函数是定义域为的奇函数，所以， 即，解得，经检验，符合题意，正确； C. 当时，，且在上递增，则在上递减， 所以在上递减，又是奇函数， 所以的单调递减区间为和，错误； D.由选项B可知，，当时，，则， 所以，又是奇函数，当时，， 所以的值域，正确. 故选：ABD 11．已知函数，则（    ） A．当时，函数有最大值 B．若函数图象的对称中心为，则 C．函数在上一定存在减区间 D．函数可能有2个零点 【答案】BC 【详解】对于A，当时，， 当时，在上单调递增， 当无限趋于正无穷大时，也无限趋于正无穷大，所以没有最大值，故A错误； 对于B，法一：，令，则， 结合三次函数对称性可知，，所以，故B正确； 法二：若函数图象的对称中心为，则对任意实数，恒有， 代入化简得，解得，故B正确； 对于C，，令， 解得或， 当时，所以在上单调递减，故C正确； 对于D，， 令，又， 所以有两个不为0的根，所以有3个零点，故D错误. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以根据基本不等式的性质可得 ，当且仅当，即时等号成立， 此时取最小值为. 13. 已知复数的虚部为，，在复平面内对应的点位于第二象限，则________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意设， 因为，所以，解得（舍去）或， 所以. 14. 设函数在R上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数的取值范围为 . 【详解】 令，即，则为奇函数， 当时，，则在区间上单调递增， 故在区间上单调递增，则在R上单调递增， ∵，即， ∴，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 关于的不等式的解集记为．关于的不等式的解集记为． (1)求集合； (2)若“”是 “”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解二次不等式即可得到集合； （2）根据题意求出集合，再由“”是 “”的必要不充分条件，得到集合是集合的真子集，则，解不等式即可． 【详解】（1）不等式， 即，解得， ；（6分） （2）不等式， 即，解得， 所以集合， 又因为“”是 “”的必要不充分条件， 集合是集合的真子集， ，解得， 则实数的取值范围是．（15分） 16已知函数（且）. (1)当时，求的极小值点与极小值； (2)讨论函数的单调性； 【详解】（1）当时，，其定义域为， 对求导，可得， 2分 令，即，因为，所以，解得， 当时，，，，则，单调递减； 当时，，，，则，单调递增， 4分 所以是的极小值点，极小值为. 5分 （2）的定义域为． 当时，恒成立，所以在上单调递减； 6分 当时，； 当时，，所以单调递减； 在上，，所以单调递增；   8分 综上所得，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 9分 17. 已知函数． (1)已知曲线在处的切线方程为，求和的值； (2)设，，是否存在，使得函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【详解】（1），由题意， 解得， 1分 ，解得． 3分 8分 （2），，求导， ①，此时恒成立，在上单调递减， 最小值在处，即， 令，得，与矛盾，舍去； 10分 ②，即，此时在上为负，单调递减； 在上为正，单调递增， 最小值在处，即， 令，得，满足，成立； 13分 ③，即此时在上恒成立，单调递减， 最小值在处，即， 令，得，与矛盾，舍去； 综上，存在，使得在上的最小值为2． 18．已知函数． （1）若在处的切线斜率为，求； （2）若恒成立，求的取值范围． 【小问1详解】 因为， 所以，依题意，解得； 【小问2详解】 因为的定义域为， 又， 所以恒成立， 令，，则， 令，，则，所以在上单调递增， 又，， 所以使得，即，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 即实数取值范围为. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围； （3）设，证明：. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时，， 求导得， 当时，，所以在上单调递减，无单调递增区间； 【小问2详解】 求导得， 令， 当时，又，所以，则， 所以在上单调递增，所以，不符合题意； 当时，令， 对于二次函数，判别式， 设的两根为，不妨设，则，， 所以的两根均为正数，又对称轴， 所以，结合，， 即有两个正根，， 当时，，所以在上单调递增，所以，不符合题意； 当时，，故，所以， 所以在上单调递减，所以，符合题意； 综上所述：的取值范围为； 【小问3详解】 （3）由时，在上单调递减，故， 即当时，，所以， 取，得， 所以，，，，， 累加得； 设，求导得， 所以在上单调递增， 由，得，所以， 取，可得， 又因为，有，所以， 所以， 所以，，，，，， 累加得； 所以 高三数学试题第 页共 4 页1 学科网（北京）股份有限公司 $济南一中2024级高三10月阶段性学情检测 数学试题 说明：本试题分为第1卷和第川卷两部分，第丨卷为第1页至第3页，共 11题，第川卷为第3页至第4页，共8题。请将答案按要求填写在答题纸相应 位置，答在其它位置无效，考试结束后将答题卡上交。试题满分150分，考试 时间120分钟。 第1卷（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1.若集合A={x∈N-1<x<3},则A的真子集个数为 A.3 B.4 C.7 D.15 2已知幂函数f①)=k·x“的图象过点(5，)，则+心 1 A. 2 B.1 Q、3 2 D.2 3.已知函数fx)=(2x-1)2f'()-1,则f")的值为 A.-5 B.5 c D.5 4.若xl0g34=1og6,则2+2x= c.5v6 6 5函数才=(e-e凹的部分图象大致是 x2-1 高三数学试题第1页共4页 6.已知f(x)= ex,x≤-l e,r>-1,则f(2a+)>e的解是 A.(2o) B.(0,+0) c(2 D.(-0,0) 7.已知函数f(x)为偶函数，且满足f(x)+f(x-2)=0,且当x∈ f(x)=x2+ax+b,则 A.a=-2,b=-3 B.a=-2,b=3 C.a=-4,b=-3 D.a=-4,b=3 8若曲线y=e在点(x,e)处的切线也是曲线y=ln(x+1)在点(x2,ln(:2+1)处的切 线，则x(x+)= A.-1 8、1 2 D.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.若a>b>0,则 A11 a+1b+1 B.la-2>b-2 C.ab<b2 D.40>2a+b 0已知函数广心)三a牛为奇函数，则下列结论正确的是 A.f(x)的定义域为{xx≠O) B.a=2 3 C.f(x)的单调递减区间为(-∞，1)，(1，+w) 0)引[经】 高三数学试题第2页共4页 1.已知函数f(y)-+a-xaeR),则 A.当a=0时，函数f(x)有最大值 B.若函数f(x)图象的对称中心为(1，f1),则a=-1 C.函数f(x)在R上一定存在减区间 D.函数f(x)可能有2个零点 第川卷（共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分： 12.若x>0,则x+二的最小值为一一 13.已知复数z的虚部为√3，=2，在复平面内z对应的点位于第二象限，则 z=_ 14.设函数f()在R上存在导函数∫'(x),对任意的x∈R有f(x)+f(-x)=x2,且在 [0,+o)上f'(x)>x,若f(2-a)+2a>f(a)+2,则实数a的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15.关于x的不等式x+2<3(x+2)的解集记为4.关于y的不等式”-a <0的解集记为B. y+1 (1)求集合A; (2)若“x∈A"是“x∈B"的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 16.已知函数f(y)=X-2nx(aeR且a≠0). (1)当a=1时，求∫(x)的极小值点与极小值： (2)讨论函数∫(x)的单调性： 高三数学试题第3页共4页 1.已知函数f()=5m-nr+ba.beR. (1)已知曲线∫(x)在(1，f(1)处的切线方程为y=3,求a和b的值； (2)设g(x)=f'(x),x∈(0，e],是否存在a,使得函数g(x)的最小值为2？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 18.已知函数f=e-血x+0-1. (1)若在(1，f(1)处的切线斜率为-1，求a: (2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围. 19.已知函数f(x)=nx-ax-) x (1)当a=1时，求f(x)的单调区间； (2)当x>1时，f(x)<0,求a的取值范围： (3)设neN,证明：】 <na+la+2< 2 2 名k(k+2) 高三数学试题第4页共4页