数学文化与三角函数、解三角形试题的融合探究-《中学生数理化》高三数学2026年10月刊

数学文化 数学文化与三角函数、解三角形试题的融合探究 ■河南省安阳市第三中学 张玉宝 以数学文化为情境命制的高考试 以盛水桶P刚浮出水面时（图2中的 题体现了数学的应用价值与育人功能， 点P。)开始计时，h与时间t(单位：s) 突显了国家“立德树人，教育强国”的核 之间的关系为h=Asin(wt十e)+kA 心教育理念。本文立足数学文化视角， 以三角函数、解三角形为载体，帮助同 >0m>0,l< ,则盛水桶P第一 学们体会文化与知识交融之美，感受中 华优秀传统文化之魅力，实现从“会解 次到达最高点需用时( )。 题”到“会解决问题”的深刻转变。 A.15sB.20sC.25sD.30s 一、数学文化与三角函数的融合 三角函数是描述现实世界中周期 现象的一种基本而有效的数学模型，有 着深厚的古今数学文化底蕴。新高考 注重结合古代典籍、几何工艺、天文历 图1 图2 法、生活实际等数学文化情境命制三角 A+k=4.5, 解析：由题意知 函数试题，重点考查数学建模、直观想 -A+k=-1.5, 象、数学运算等核心素养。 A=3, 解得 由T=2 k=1.5。 =60得ω= 例1筒车是我国古代发明的一 种水利灌溉工具，既经济又环保。明朝 30 已知当t=0时，h=0,所以3sin9 科学家徐光启在《农政全书》中用图画 描绘了筒车的工作原理（图1）。假定 1 +1.5=0,即sin9=-2。又1g|< 在水流量稳定的情况下，筒车上的每一 个盛水筒都做匀速圆周运动。一个半 令，则g=-吾，放&=3sim5-》 径为3m的筒车按逆时针方向每分钟 十1.5。又当点P第一次到达最高点 转动一圈，转轮的中心O到水面的距 离为1.5m,设筒车上的某个盛水桶P 时h=4.5,所以3sim(-）+1.5- (视为质点)到水面的距离为h(单位： 4.5,即sin m)(若水桶在水面下则h为负数)，若 27 数学文化 2,解得1=20。故选B. 满足tana= 3 ,则这块四边形木板周 4 点睛：本题以我国古代发明的水利 长的最大值为( )。 灌溉工具筒车的应用为例，以正弦型函 A.20 cm B.30 cm 数为载体，以三角函数为工具实现了几 C.20√2cm D.203 cm 何到代数的转化，突出了三角函数的核 心优势：描述周期变化。要求同学们在 相应教材学习中经历并掌握匀速圆周 运动的建模过程及数学模型，了解正弦 型函数的周期性模型现实背景，熟悉函 数式h=Asin(wt十p)十k中参数h、 图3 图4 A、ω、9、的几何意义及物理意义，体 会三角函数与现实世界的紧密联系，进 解析：由图4知，圆形木板的直径 一步巩固三角函数的图像和性质。 为√/102+52=5√5(cm)。 二、数学文化与解三角形的融合 如图5所示，设截得 三角形是处理边角关系的重要几 的四边形木板为ABCD, 何模型，被广泛应用于建筑、桥梁、支架 不妨令锐角A=a,AB 等测量和设计中，蕴含着深厚的数学文 c,AD=6;BD=a;BC= 化和中国智慧，源于生活又服务于生 图5 n,DC=m,由tana= 活。新高考注重结合古典建筑、天文测 4 量、工匠技艺、农耕文明等数学文化情 sin a 且sin2a+cos2a=1,可解得 cos a 境命制解三角形试题，重点考查数学建 3 4 模、直观想象、数学运算、逻辑推理等核 sin a= 5 cos a=. 0 心素养。 在△ABD中，由正弦定理得a 例2“不以规矩，不能成方圆”出 sin a 自《孟子·离娄章句上》。“规”指圆规， =5√5，解得a=3√5。 “矩”指由相互垂直的长短两条直尺构 在△ABD中，由余弦定理得a2= 成的方尺，是古人用来测量、画圆或方 45=b2+c2- c=(6+c)2_ 8 18 bc≥ 5 形图案的工具。敦煌壁画就有伏羲女 娲手执“规矩”的记载（如图3）。今有 (b+c)2- (b+c)2 10 ，所以 一块圆形木板，以“矩”量之，如图4。 (b+c)2≤450,0<b+c≤152①， 若将这块圆形木板截成一块四边形的 15W2 木板，且这块四边形木板的一个内角α 当且仅当b=c= 2 时等号成立。 28