函数数学文化试题赏析-《中学生数理化》高一数学2026年10月刊

教学女北 函数数学文化试题赏析 ■甘肃省郭嘉镇槐川中学 刘娟娟 数学文化是指数学的思想、精神、 语言、方法、观点及其形成和发展，还包 我金为·1-》a斤- 括数学在人类生活、科学技术、社会发 斤，第三关收税金为是·(1-)： 展中的价值和意义。下面就请同学们 赏析三道函数数学文化试题。 (1- )·a斤=3·a斤，以此类 1 例1我国古代数学著作《九章算 术》中有如下问题：“今有人持金出五 推得第四关收税金为·a斤，第五 关，前关二而税一，次关三而税一，次关 四而税一，次关五而税一，次关六而税 关收税金为文6·口斤，所以a十 一，并五关所税，适重一斤。问本持金 1 1 1 几何。”其意思为“今有人持金出五关， 2X3a+3X4a+4X5a+5X6a=1, 第一关收税金为持金的2，第二关收税 即[-》+哈》+（合》+ 金为剩余金的？，第三关收税金为剩余 (是-+（传-】·a=1-)a 金的，第四关收税金为剩余金的， =1,解得a= 。又因为f(2)= 10x+1,x>1, 第五关收税金为剩余金的后，五关所收 所以f(a)= 1-5x,0<x≤1， 税金之和恰好重1斤。问原来持金多 少。”记这个人原来持金为a斤，设函数 f)=10×号+1=13。应选C 10x+1,x>1, 点评：本题以我国古代经典名著 f(x)= 则f(a)= 1-5x,0<x≤1， 《九章算术》中记载的问题为背景，重点 ( ）。 考查数学抽象、数学建模和数学运算等 A.-5 B.7 核心素养。 C.13 D.26 例2（多选题）德国数学家狄利 解：由题意知这个人原来持金为a 克雷(1805一1859)在1837年提出：“如 斤。第一关收税金为0斤，第二关收 果对于x的每一个值，y总有一个完全 确定的值与之对应，那么y是x的函 31 教学女化 数。”这个定义较清楚地说明了函数的 A.函数y=[x],x∈R的图像关 内涵。只要有一个法则，使得取值范围 于原点对称 中的每一个x,有一个确定的y和它对 B.函数y=x一[x],x∈R的值域 应就行了，不管这个法则是用公式还是 为[0,1) 用图像、表格等形式表示。例如狄利克 C.对于任意的x,y∈R,不等式 雷函数D(x):当自变量取有理数时， [x]+[y]≤[x+y]恒成立 函数值为1；当自变量取无理数时，函 D.不等式6[x]2-17[x]+7<0 数值为0。则下列结论中成立的是 的解集为{x|1≤x<3 ()。 解：对于A,当x= 2时，y A.函数D(x)的值域为[0,1] B.若D(xo)=1,则D(xo十1)=1 =0,当x=-时y=[ C.若D(x1)一D(x2)=0,则x1 x2∈Q -1,即点（分0），(-2，-1都在函数 D.]x∈R,D(x+√2)=1 y=[x]的图像上，它们关于原点不对 解：对于A,函数D(x)的值域为 称，即函数y=[x](x∈R)的图像关于 {0,1},A错误。对于B,若D(x)=1, 原点不对称，A错误。对于B,由取整 则x。∈Q,x。+1∈Q,所以D(x。+1) 函数的定义知[x]≤x<[x]+1,则0 =1,B正确。对于C,D(2π)-D(π)= ≤x-[x]<1,因此函数y=x-[x] 0一0=0，但2π一π=πQ,C错误。对 (x∈R)的值域为[0,1)，B正确。对于 于D,当x=一√2时，D(x十√2)= C,由取整函数的定义知，Hx,y∈R, D(一√2+√2)=D(0)=1,则3x∈R, [x]≤x,[y]≤y,则[x]+[y]=[x] D(x十√2)=1，D正确。应选BD。 +[y]≤[x+y],C正确。对于D,由 点评：本题以狄利克雷函数为背 6Lx]2-17[x]+7<0,可得(2[x]-1)· 景，考查了函数的概念及特称命题真假 a2]-)<,解得}[<H 的判断，意在考查数学抽象、逻辑推理 [x]∈Z,则[x]=1或[x]=2,因此 和数学运算等核心素养。 1≤x<3,即不等式6[x]2一17[x]+ 例3（多选题）对于任意的x∈ 7<0的解集为{x|1≤x<3},D正确。 R,[x]表示不超过x的最大整数。18 应选BCD。 世纪，y=[x]被“数学王子”高斯采用， 点评：本题以高斯函数为背景，考 因此得名为高斯函数，而人们更习惯称 查了函数的概念与性质，重点考查数学 其为“取整函数”。下列说法中正确的 抽象与逻辑推理素养。超 是( )。 32