函数单调性的证明&函数单调性的逆用-《中学生数理化》高一数学2026年10月刊

夯基固本 函数单调性的证明 ■甘肃省秦安县第二中学 罗文军 函数的单调性是函数的重要性质 之一，它直观且有效地反映了函数的变 化趋势。 y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x十y), 一、利用定义证明函数的单调性 且当x>0时，f(x)<0。求证：f(x) 例1根据函数单调性的定义，证 在R上是减函数。 明f(x)=x3一1在(-∞，+∞)上是 证明：设x1>x2,x1,x2∈R,则 增函数。 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)- 证明：任取x1,x2∈(-∞，十∞)， f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2) 且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(xi =f(x1-x2)。当x>0时，f(x)<0, 1)-(x8-1)=x3-x3=(x1-x2)· 因为x1-x2>0,所以f(x1-x2)<0, (x+x1x2十x2)=（x1-x2)· 即f(x1)<f(x2),所以f(x)在R上 e++ 是减函数。 由x1<x2得 评注：解答本题的关键是函数单调 z1-x<0,因为(+)与 3 性的定义和配凑法的应用，本题意在培 养同学们的数学抽象、数学运算和逻辑 不能同时为0（否则x1=x2=0,与x1 推理素养。 <:矛婚)，所以++ >0,所以f(x1)-f(x2)<0,即 判断函数f(x)=x-8x-4 (x f(x1)<f(x2),所以f(x)=x3-1在 (一∞，+∞)上是增函数。 >0)的单调性。 评注：通过取值、作差、变形、判断 提示：易得f(c)=x2-8-4。因 符号和下结论这五个步骤即可证明函 为y=x2-8在(0，十∞)上为增函数， 数的单调性，本题主要考查逻辑推理能 4 力与数学运算素养。 y=二在(0，十∞)上为减函数，所以 二、利用配凑法证明抽象函数的单 调性 f(x)=x2-8-4=x3-8x-4 在(0， 例2已知函数f(x)对任意x, 十∞)上是增函数。® 9 夯基固本 C.(-∞，1) D.(1,+∞) 解：(1)由定义在[-2,2]上的函数 函数单调性的逆用 f(x)是增函数，且f(x)>f(2x一1)， -2≤x≤2， 可得-22x-1≤2，解得-号<< x>2x-1, 1。应选C。 (2)因为f(x)是偶函数，所以Hx ■河南省商丘市夏邑县佳合高中 ∈R,都有f(x)=f(-x)=f(xI)。 张振继（特级教师） 所以f(x)>f(2x-1)台f(|x|)> f(|2x一1|)。由题意得f(x)在[0， 一、解不等式 +∞)上单调递增，所以f(|x|) 解题依据：若函数f(x)在区间D f(2x-1|)台|x|>|2x-1|,所以 上单调递增，Hx1,x2∈D,则f(x1)> |x|2>|2x-1|2,即3x2-4x+1<0, f(x2)台x1>x2,f(x1)<f(x2)台x1 <x2。若函数f(x)在区间D上单调 解得}<x<1,应述A. 递减，Hx1,x2∈D,则f(x1)>f(x2) 二、解方程（组） 台x1<x2,f(x1)<f(x2)台x1>x2 解题依据：若函数f(x)在区间D 例1(1)已知定义在[-2,2]上 上单调，x1,x2∈D,则f(x1)= 的函数f(x)是增函数，且f(x)一 f(x2)台x1=x2。 f(2x一1)，则实数x的取值范围是 例2解方程：(x+6)3+x3十2x ）。 +6=0。 A.（-∞，1) Q 解：原方程等价于(.x+6)3+x+6 =-x3-x,即(x十6)3十x十6= c-川 D.[-1,1] (一x)3十(-x)。构造函数f(x)=x 十x,则f(x)在R上是增函数，且f(x (2)已知f(x)是定义在（一∞， +6)=f(一x),所以x十6=一x,解得 十∞)上的偶函数，Hx1,x2∈[0， x=-3,即方程(x+6)3+x3+2x+ +∞)，都有f(x)-f(x2) >0恒成 6=0的解集为{x|x=一3}。 x1-x2 立，若f(x)>f(2x一1)，则实数x的 三、比较自变量的大小 取值范围是( 解题依据：借助奇偶性化简式子， )。 利用单调性推导自变量的大小。 B.(-1,1) 例3已知a,b∈R,满足a2+|a 10