四点共圆证明知多少-《中学生数理化》高二数学2026年10月刊

教材引申 四点共圆证明知多少 一道教材习题的多解探究 ■云南省建水县临安高级中学陈晓 教材中的典型习题是命题思路的 则A,B,C三点构成△ABC。设 重要来源，它们不仅蕴含基础而多元的 △ABC外接圆的方程为x2+y2+ 解题思维，更是巩固知识、拓展思路的 Dx十Ey十F=O,其中D,E,F均为待 关键载体。下面以人教A版《数学选 定常数。将点A(0,1),B(2,1),C(3, 择性必修第一册》第88页第6题为例， 4)代入外接圆的方程可得 从多个角度探索解题方法，系统梳理四 1+E+F=0, 点共圆的常用判定方式，旨在帮助同学 5+2D+E+F=0, 解 得 们吃透基础题型，拓宽解题视野，进而 25+3D+4E+F=0, 提升灵活应对解析几何问题的能力。 D=-2, 好题采撷：平面直角坐标系中有 E=一6，故△ABC外接圆的方程为 A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2) F=5。 四点，这四点是否在同一个圆上？为什 x2+y2一2x一6y+5=0。将点 么？ D(一1,2)代入外接圆的方程得(-1) 题目分析：本题以平面内四个定点 +22-2×(-1)-6×2+5=0,故点D 的位置关系为载体，聚焦四点共圆的判 定。题目设问开放，解法多元，不囿于 的坐标满足△ABC外接圆的方程。因 单一模式，可运用圆的方程、几何性质、 此A,B,C,D四点在同一个圆上。 向量运算、解三角形及平面几何定理 解法2：易知A,B,C三点不共线， 求解。 则A,B,C三点构成△ABC。设 思路一：判断四个点是否在同一个 △ABC外接圆的方程为(x-a)2+ 圆上，可先求出其中任意三点所构成三 (y-b)2=r2,其中a,b,r均为待定常 角形的外接圆方程，再验证第四点坐标 数。将A,B,C三点坐标代入外接圆的 是否满足该方程。若满足，则四点共 a2+(1-b)2=r2, 圆；若不满足，则四点不共圆。 方程可得(2-a)2+(1-b)2=r2,解得 解法1：易知A,B,C三点不共线， (3-a)2+(4-b)2=r2, 10 教材引申 a=1, (0,π)，所以角B,D互补。因此A,B, b=3,故△ABC外接圆的方程为(x C,D四点在同一个圆上。 r2=5, 解法4：因为A(0,1),B(2,1), -1)2+(y-3)2=5。将点D(-1,2) C(3,4),D(-1,2),所以BA=(-2, 代入外接圆的方程得（一1一1）2+(2一 0),BC=(1,3),DA=(1,-1),DC= 3)2=5,故点D的坐标满足△ABC外 (4,2)。故cosB=cos(BA,BC〉= 接圆的方程。因此A,B,C,D四点在 BA·BC √/10 同一个圆上。 IBABC 10c0s D 评注：解法1利用圆的一般方程， 解法2利用圆的标准方程，两种解法均 cos(DA,DC)= DA·DC √10 IDADC 10° 结合待定系数法求解，解题思路直观清 从而cosB=一cosD,又B,D∈(0， 晰，能够有效锻炼同学们方程构建、代 π)，所以角B,D互补。因此A,B,C, 数运算与逻辑验证的能力。 D四点在同一个圆上。 思路二：判断四个点是否在同一个 解法5：因为A(0,1),B(2,1), 圆上，可运用如下结论：若凸四边形（四 C(3,4),D(一1,2)，所以斜率kAB=0, 个内角均小于180)的一组对角互补， 则这个四边形的四个顶点共圆。据此， kx=3,knm=-1,kD=2。在四边形 可利用解三角形中的余弦定理、平面向 ABCD中，由到角公式得tanB= 量中的夹角公式或解析几何中的到角 公式进行判定。 kAB一ke=一3，lanD=1十k cok DA kcD一kDA=3, 1十kABk BC 解法3：因为A(0,1),B(2,1), 故tanB=一tanD。又因为B,D∈(0， C(3,4),D(一1,2)，所以根据两点间 π)，所以角B,D互补。因此A,B,C,D 距离公式可得|AB|=2,|BC|=√/10， 四点在同一个圆上。 IAC|=3√2，|AD|=√2，ICD|= 评注：解法3利用余弦定理，解法 2√5。在△ABC中，由余弦定理得 4利用平面向量夹角公式，解法5利用 22+(10)2-(3√2)2 直线的到角公式，分别推导对角互补关 cos B 2X2X√10 系，实现了几何推理、向量运算与解析 √10 公式的灵活运用，能够有效锻炼同学们 10° 在△ACD中，由余弦定理得 多角度分析问题、多工具解题的能力， (2)2+(25)2-(3√2)2 拓宽四，点共圆问题的解题路径。 cos D= 2X√2X25 思路三：判断四个点是否在同一个 √/10 圆上，即能否找到一个定点，使得这四 10。 故cosB=-cosD,又B,D∈ 个点到该定点的距离相等。若能找到， 11 教材引申 则这四个点共圆，此时“定点”为圆心， 思路四：判断四个点是否在同一 “距离”为半径；若找不到，则这四个点 个圆上，可以考虑托勒密定理的逆定 不共圆。这一思路充分揭示了问题的 理在解题中的灵活运用。托勒密定 本质。 理：圆内接四边形的两组对边乘积之 解法6：由点A(0,1),C(3,4),得 和等于两条对角线的乘积。托勒密定 直线AC的斜率kAc=1,所以线段AC 理的逆定理：若凸四边形的两组对边 的中垂线的斜率为一1。易知线段AC 乘积之和等于两条对角线的乘积，则 的巾点坐标为（侣，》所以线段AC 该四边形内接于圆，即该四边形的四 个顶点共圆。 的中垂线方程为y一 解法7：因为A(0,1),B(2,1), C(3,4),D(一1,2)，所以根据两点间 即x+y-4=0。由点B(2,1), D(一1,2)，得直线BD的斜率kD= 距离公式可得|AB|=2,|BC|=√10， 3,所以线段BD的中垂线的斜率为 ICD|=25,|AD|=√2，|AC|= 32,IBD|=√10。故|AB|·ICD 3。易知线段BD的中点坐标为 +IBC|·|AD|=65,IACI·IBDI (份，)，所以线段5D的中垂线方程 =65,即|AB|·ICD|+|BC|· 为y--3(-2》,即y=3x.联立 |AD=|AC|·IBD|。结合图形可 知四边形ABCD为凸四边形，根据托 y=3x, x=1, 解得 所以线段 勒密定理的逆定理可得A,B,C,D四 x+y-4=0, y=3, 点在同一个圆上。 AC的中垂线和BD的中垂线的交点 评注：本解法利用托勒密定理的逆 坐标为M(1,3)。分别计算点M到点 定理，通过两点间的距离公式计算边长 A,B,C,D的距离得|AM|=5, 与对角线长度，再验证等量关系即可完 |BM|=5,|CM|=5,|DM=√5， 成判定，逻辑清晰、方法独特，能够拓宽 故A,B,C,D四点在同一个圆上。 同学们的解题视野，提升定理迁移与综 评注：本解法紧扣圆的定义本质， 合运用的能力。 依据圆上任意点到圆心距离相等的性 通过对教材习题的多思路、多方法 质解题，通过求解两条弦的中垂线交点 探究，有助于同学们提升灵活运用所学 确定圆心，再逐一验证四点到定点的距 数学知识及思想方法解题的能力，同时 离相等，推理直观、逻辑简洁，能够有效 有效培养同学们的直观想象、数学运算 培养同学们洞察几何本质、活用几何性 和逻辑推理等数学核心素养。 质解题的能力。 (责任编辑赵倩) 12