山东济南市天桥区2026-2027学年第一学期八年级数学期中试题

2026—2027学年度第一学期八年级阶段性诊断 数学试题 注意事项： 本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上． 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5 mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题　共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．） 1．16的算术平方根是 A．4 B．16 C． D． 2．下列运算正确的是 A． B． C． D． 3．褐马鸡是我国的珍稀鸟类，如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点的坐标为，表示尾部点的坐标为，则表示足部点的坐标为 A． B． C． D． 4．已知点和点关于x轴对称，则的值是 A． B． C． D．0 5．在下列条件下不是直角三角形的是 A． B． C． D． 6．关于函数，下列结论错误的是 A．图象经过点 B．y随着x的增大而减小 C．图象与直线平行 D．图象经过第一、三、四象限 7．已知是关于x、y的方程的解，则代数式的值是 A．19 B．29 C． D．1 8．直线和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能 A． B． C． D． 9．如图，直线与x轴和y轴分别交于、两点，射线于点．若点是射线上的一个动点，点是x轴上的一个动点，且以，，为顶点的三角形与全等，则的长为 A．4或 B．4或 C．4或 D．3或 10．甲骑电动车，乙骑自行车从同一起点出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差关于函数图象如图②所示，下列说法错误的是 A．甲的速度是，乙的速度是 B．乙出发时，甲追上乙 C．图②中， D．甲乙两人相距7.5 时，乙出发时间为或 第Ⅱ卷（非选择题　共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11．若表示教室里第3列第2排的位置，则教室里第4列第3排的位置表示为_______． 12．比较大小：_______5（填>或<）． 13．在平面直角坐标系中，已知点在x轴上，求点的坐标_______． 14．已知关于，的方程组，则的值为_______． 15．如图，在平面直角坐标系中，将沿x轴向右无滑动的滚动到的位置，再到的位置…依次进行下去，若已知点，，则点的坐标_______． 三、解答题（本大题共9个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题满分16分）计算： （1） （2） （3） （4） 17．（本题满分8分）解方程组： （1） （2） 18．（本题满分8分） 为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“勾股定理在风筝场景中的应用”的项目式学习活动．请阅读资料并解决下列问题． 资料：牵线放风筝的手与风筝的水平距离为12米，根据手中余线长度计算出为15米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离为1.8米，且四边形为长方形． （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）如果小明想让风筝沿方向再上升7米，长度不变，那么他应该再放出多少米的线？ 19．（本题满分9分） 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，， （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点关于y轴的对称点的坐标_______； （2）点为y轴上一动点，且使得周长最小，直接写出周长的最小值_______； （3）点在x轴上，若，请直接写出点的坐标：______． 20．（本题满分9分） 项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案 某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购A款智能机器人模型与B款科创笔记本共120件，已知A款机器人模型单价25元/件，B款科创笔记本单价20元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务： 任务一：建立总费用函数模型 （1）设购买A款智能机器人模型的数量为x件，购买两种奖品的总费用为y元．请求出总费用y与A款机器人模型数量x之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 （2）此次科普展计划购买40件A款智能机器人模型，剩余奖品均为B款科创笔记本，计算本次采购总费用． 任务三：最优采购方案设计 （3）结合活动预算与奖品购置要求，规定A款智能机器人模型的购买数量不少于50件且不多于80件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 21．（本小题满分8分）． 如图，反映了甲离开A地的时间与离A地的距离的关系，反映了乙离开A地的时间与离A地的距离之间的关系，根据图象填空： （1）当t为0时，甲离A地______千米； （2）甲的速度为______时，乙的速度为______时； （3）当t为______时，甲、乙两人离A地距离相等； （4）当时，乙离开A地的时间是______时； 22．（本小题满分8分）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： （1）仿照上面的解题过程化简：______； （2）化简______； （3）利用上面所提供的方法，求的值． 23．（本题满分12分） 【提出问题】 （1）将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为______； 【初步思考】 （2）将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴方向向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为______，______，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为______． 【解决问题】 （3）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．将一次函数的图象关于轴对称，所得图象对应的函数表达式为____________； 【深度思考】 （4）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题： ①如图1，将直线绕点逆时针旋转，则所得图象对应的函数表达式为______． ②如图2，将直线绕点逆时针旋转．则所得图象对应的函数表达式为______． 【拓展应用】 （5）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，请求出点的坐标． 24．（本题满分12分） 数形结合和建模思想是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素 材 一 【提出问题】求代数式的最小值． 素 材 二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，，，问题就转为“在上求点，使最小”问题． 素 材 三 【解答过程】如图2，连接，交于点，此时．的值最小，将延长至点，使得，连接．，，在中，，，的最小值是13． （1）任务一：【解决问题】代数式的最小值为______． （2）任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄点到河岸的垂直距离为，村庄点到河岸的垂直距离为，且点，到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥PQ，使得从到，过桥，再从到的路程最短，则最短路程为______km． （3）任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期八年级阶段性诊断数学试题 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C B B D C A C D 二．填空题 11． 12．＞． 13．． 14．1． 15． 三．解答题 16．解：（1） 原式 -----------------------------------------------3分 -----------------------------------------------4分 （2） 原式 ------------------2分 ------------------3分 -------------------4分 （3） 原式 ------------------3分 ------------------4分 （4） 原式 ------------------2分 ------------------3分 ------------------4分 17. （1） 解：①-②得： ------------------------1分 将代入①得： ------------------------2分 ∴原方程组的解是 ------------------------4分 （2） 先化简方程组： ------------------------5分 由③-④得： ------------------------6分 将代入④得： ------------------------7分 ∴原方程组的解是 ------------------------8分 18． （1）解：∵四边形为长方形，米， ∴米，， 在中，米，米， ∴米，---------------------------------2分 ∴米； ---------------------------------4分 （2）解：∵风筝沿方向再上升7米， ∴此时米， ∵长度不变，即米， ∴米， ---------------------------------6分 ∴再放出米的线 ---------------------------------8分 19．（1）解：如图，作出点、、三个顶点的对称点、、，顺次连接，则即为所求；   ---------------------------------2分 点关于轴的对称点的坐标为； 故答案为：；---------------------------------3分 （若没写如图所示，可酌情扣分。） （2）∵点关于轴的对称点， ∴， ∴， ∴当、、在同一直线上时，最小， ∴此时最小， ∴此时的周长最小，周长最小值为.---------------------------------5分 （3）解：设， ， ∴ ∴， ∴点的坐标或， 故答案为：或．---------------------------------9分（只写一个答案，得2分） 20．（1）解：根据题意，得， 其中，且为整数， 故总费用（元）与机器人模型的数量（件）之间的关系式为（，且为整数）． -----------------3分 （2）解：当时，． 答：当购买了件A款智能机器人模型时，总费用是元． -----------------6分 （3）解：由题意，得， 由（1）可知，， ，且， 随的增大而增大， ∴当时，的最小值为元， -----------------7分 款科创笔记本为（件）， ----------------8分 答：总费用最少的采购方案是A款智能机器人模型件，B款科创笔记本件，总费用最少是元． ----------------9分 21. （1）10 （2分） （2）2,4 （4分） （3）5 （6分） （4）7 （8分） 22.（1）解：；----------------2分 （2）解：；----------------4分 （3）解：， ， ， ， ．----------------8分 23.解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为． 故答案为：； ----------------1分 （2）∵，， ∴将它们沿着x轴向左平移3个单位长度， 得到点、点的坐标分别为、，----------------3分 设直线的一次函数解析式为， ∴． ∴． ∴过点、的直线对应的函数表达式为．----------------4分 故答案为：，，； （3）设一次函数的图象与y轴的交点为点A，与x轴的交点为点B， ∵， 当时，， ∴点， 当时，，解得， ∴点． 如图， ∵一次函数的图象关于x轴对称，， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为；----------------5分 （4）①如图，设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为；----------------6分 ②如图，过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E， ∵将直线绕点A逆时针旋转， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为；----------------8分 （5）当A为直角顶点时，过C作轴于M，过B作轴于N，如图， 则， 又， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 当B为直角顶点时，过B作轴于N，过C作于M，如图， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， 综上，C的坐标为或．----------------12分 24. （1）解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，则，， ∴， ∴当三点共线时，最小， 作，则， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为；----------------4分 （2）解：由题意，为总路程， ∵， ∴要求的最小值，只需求得的最小值． 如图1，将点A向上平移得到，连接，，则， ∴， ∴当三点共线时，此时的最小值为． 过点B作射线垂直河岸，过点A向右作水平线，两线交于点D． 由题意，可得，， ∴的最小值为， ∴最短路程为．----------------8分 （3）如图2，构造，，垂足为D，．----------------10分 设，则， ∴．----------------10分（能构造得2分） ∵， ∴，----------------11分 ∴，解得， ∴x的值为7.2．----------------12分 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $