12 计数原理学习任务单-2027届高三数学一轮复习

艺考生数学基础默写清单（十二）

主题：计数原理（闯关自查 · A4 打印 · 附答案页）

使用说明：本卷依据人教A版《选择性必修 第三册》第六章"计数原理"编写，共七关，先遮住答案页逐关默写，每关 5-10 分钟。判断改错题要先判断对错、再把错的说法改正过来。带 ▲ 的条目是历年最易丢分点。约定： 表示排列数， 表示组合数。

第一关　概念辨析 · 判断改错

（判断对错，错的必须改写出来才算过关）

1. 分类加法计数原理中，各类办法之间互不重复。（　　）

2. 分步乘法计数原理中，每一步都完成，事情才算完成。（　　）

3. 排列与组合的区别在于：排列与顺序有关，组合与顺序无关。（　　）

4. 。（　　）

5. 的二项展开式共有 n 项。（　　）▲

6. 。（　　）

7. 展开式的第 k 项是 。（　　）▲

8. 元素必须相邻用插空法，元素不相邻用捆绑法。（　　）▲

9. （即先选后排）。（　　）

10. 展开式中，奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等。（　　）

11. 三位数字的密码锁（各位数字可重复），共能组成 个密码。（　　）

12. 5 人排队，甲不站排头的方法数用间接法：。（　　）

13. 与 中都要求 。（　　）

14. 。（　　）

15. 4 名男生、2 名女生站成一排，2 名女生相邻的排法数为 。（　　）

第二关　两个原理与排列组合 · 教材定义与公式

1. 教材原理填空：完成一件事有 n 类办法，各类办法____________，且每一类办法都能________完成这件事，若第 i 类办法有 种方法，则完成这件事的方法总数 ；若完成一件事需要 n 个步骤，做每一步骤有 种方法且缺一不可，则总数 。▲

2. 教材定义填空：从 n 个不同元素中取出 （）个元素的______不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的______；排列与元素的______有关，组合与元素的______无关。▲

3. 公式表：

项目	内容
排列数	；全排列
组合数
组合数性质①	（对合对称）
组合数性质②（递推）
选排关系

▲辨析：需要"排队、选人排位"用______；只要"选人组队"用______。

4. 模仿教材例题：从 6 名运动员中选 3 人参加百米、跳高、铅球三项比赛（每人限报一项），共有______种报名方法；若只选 3 人（不排项目），共有______种选法。

5. 两个原理的综合使用：先______后______，即先看完成这件事有"并列的哪几类"，每一类里再"依次经过哪几步"。例：从甲地到乙地每天有 3 班汽车、2 班火车，从乙地到丙地每天有 2 班汽车，则从甲地经乙地到丙地每天共有______种走法。

第三关　解题方法 · 对号入座表

题型特征	方法
特殊元素、特殊位置优先	____________
某些元素必须相邻	______法（先捆后排）

某些元素不相邻	______法（先排别的再插空）
相同元素分组、每组至少一个	______法
正面情况复杂	______法（正难则反，用总数减）
至多至少型	分类讨论或______法

1. 定序问题缩倍法：n 个元素全排列中某 m 个元素顺序固定，排法总数=。

2. 隔板法适用前提：元素______相同、分成____组、每组至少____个，n 个球 m 块板，分法数=。

3. 分组分配问题：6 本不同的书分成三堆，每堆 2 本（均匀分组），共有________________种分法（先分堆再除以堆数的全排列）；若分给甲、乙、丙三人每人 2 本，共有________________种分法（不用除）。▲

4. 涂色问题：给含 4 个区域的图形涂色，每个区域一种颜色、相邻区域不同色，按________（或区域）顺序逐个分类讨论。

5. 模仿教材例题：4 名同学从 3 项不同的社会实践活动中各选 1 项（可以重复选择），共有______种选法（每人 3 种选法，分步相乘）。

6. 排队问题模板：n 人排队，"甲必须站第 1 位"用________法，排法 ；"甲不站两端"用______法，排法 。

7. 数字问题模板：用 0～9 十个数字组成无重复数字的三位数，共有________________个（总数 减去首位为 0 的 个）。

8. 已知系数求参数：已知 的展开式中 的系数为 6，则 。

第四关　二项式定理 · 教材通项与性质

1. 教材定理填空：二项式定理 ，其中 叫做第 项的____________。

2. 教材通项填空：（）叫做二项展开式的通项，通项为展开式的第____项，展开式共____项。▲