专题2.8 正多边形与圆（7大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级下册

专题2.8 正多边形与圆 教学目标 1.认识正多边形概念，理清正多边形与圆的内在联系，掌握中心、半径、中心角等概念，会计算中心角、内角。 2. 经历性质探究过程，发展逻辑推理能力，能在几何图形中综合运用本节知识，体会转化思想，提升分析几何综合题的能力。 教学重难点 1.重点 （1）圆内接四边形的概念与核心性质，熟练运用对角互补、外角等于内对角进行角度推导与几何证明，实现圆周角相关知识的综合运用。 （2）正多边形与圆的关系，掌握正多边形相关概念，熟练开展中心角、内角计算，理解正六边形外接圆半径与边长相等的特殊规律。 2.难点 （1）在复杂几何图形中识别圆内接四边形，灵活利用性质实现角的等量转化，区分四点共圆条件，解决综合性几何推理问题。 （2）理解正多边形依托圆生成的原理，结合半径、边心距构造直角三角形进行计算，灵活运用正多边形性质解决圆的相关综合题型。 知识点01 正多边形 1.正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心．外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应正多边形． 2.每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，正多边形的边心距就是内切圆的半径．研究正多边形往往构造等腰三角形，并结合勾股定理、三角函数等解决． 【即学即练】1．（2026·山东泰安·三模）如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点作，求出的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴，， ∴，， ∴， 过点作于点，则：， 设圆锥的底面圆的半径为，则：， ∴． 2．（2026·云南红河·一模）五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边形中，连接，若，则正六边形的边长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质；解题的关键是掌握正六边形对顶点连线（长对角线）的长度等于边长的2倍．由正六边形的对称性知对顶点连线经过中心，长度为2倍边长，由直接求得边长为9． 【详解】解：设正六边形的边长为， 正六边形的六个顶点均匀分布在圆周上，中心角为， 正六边形的对顶点连线（长对角线）经过中心，长度为边长的2倍， 为正六边形的一组对顶点， ， ， ， ． 3．（2026·上海闵行·三模）已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 【答案】 【分析】先利用内角与外角互为邻补角求出外角的度数，再根据多边形外角和定理求出正多边形的边数，最后根据正多边形中心角的性质计算中心角度数． 【详解】解：该正多边形的一个内角为， 该正多边形的一个外角为， 任意多边形的外角和为， 该正多边形的边数， 正多边形的中心角和为， 该正多边形的中心角为． 题型01 已知圆内接正多边形求角度 【典例1】（2026·河南漯河·一模）如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正六边形的中心为，连接，由正多边形的性质，得到，，则，再根据三角形外角的性质求解即可. 【详解】解：设正六边形的中心为，连接， 则，， ∴， ∴. 【变式1】（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，为正五边形的外接圆，过C点的切线交的延长线于点F，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形与圆，三角形内角和定理，切线的性质，熟练掌握以上知识点是做题的关键．先求出中心角的度数，即可求出的度数，再根据切线的性质可得，然后根据正多边形的外角和定理求出的度数，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，， 为正五边形的外接圆， ． ， ． 是的切线， ， ， ． 为正五边形的外角， ， ． 故选：D． 【变式2】（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，是正五边形的外接圆，P为上的一点，则的度数为_______． 【答案】/度 【分析】先计算正五边形的内角的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出的度数． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 【变式3】（2026·江苏南京·一模）已知是正五边形的外接圆，点在上，则的度数为_______． 【答案】36 【分析】先求出正五边形边长所对弧的度数，再根据圆周角定理计算即可求解． 【详解】解：是正五边形的外接圆， 弧的度数为， 是弧所对的圆周角， 根据圆周角定理可得． 题型02 求正多边形的中心角 【典例1】（2026·河南商丘·二模）正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形中心角的计算． 利用正n边形中心角的计算方法，代入正方形边数即可求出结果． 【详解】解：∵正边形所有中心角的和为，每个中心角的度数为， 又∵正方形是边数的正多边形， ∴正方形中心角的度数为． 【变式1】（25-26九年级上·河南商丘·期末）科学家发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点为正六边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质，中心角的计算，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握多边形的性质和中心角的计算是解题的关键．根据点O为正六边形的中心，得到，，继而得到，，解答即可． 【详解】∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（2026·上海闵行·三模）已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 【答案】 【分析】先利用内角与外角互为邻补角求出外角的度数，再根据多边形外角和定理求出正多边形的边数，最后根据正多边形中心角的性质计算中心角度数． 【详解】解：该正多边形的一个内角为， 该正多边形的一个外角为， 任意多边形的外角和为， 该正多边形的边数， 正多边形的中心角和为， 该正多边形的中心角为． 【变式3】（25-26九年级下·山西太原·开学考试）团扇是中国汉族传统的工艺品及艺术品，起源于商代，其雏形可追溯至战国时期的“便面”．团扇融合了绘画、书法、雕刻等艺术形式，象征团圆吉祥，承载中华传统审美与文化内涵．如图1是一款名为“蝶戏芳丛”的刺绣团扇扇面，其外轮廓为如图2所示的正八边形，已知该正八边形的中心为点，则的度数为___________． 【答案】 【分析】根据正多边形的中心角定义进行解答即可． 【详解】解：由正八边形的性质，可得． 题型03 已知正多边形的中心角求边数 【典例1】（26-27九年级上·全国·单元复习）若正边形的中心角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查正多边形中心角的计算公式．正边形的中心角有个，每个中心角度数为． 【详解】解：已知正边形的中心角为，代入公式得． 【变式1】（2026·河南濮阳·一模）如图，是内接正边形的一条边，，这个正边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用等腰三角形的定义结合三角形内角和定理求出，即可求出，再利用多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴这个正边形的内角和是． 【变式2】（2022·上海浦东新·二模）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为______． 【答案】10 【分析】用除以单个中心角的度数即可得到正多边形的边数． 【详解】解：根据正多边形中心角与边数的关系，得： 该正多边形的边数为：． 【变式3】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在正n边形中，，则的值是______． 【答案】12 【分析】本题考查正多边形和圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，即可求出n的值． 【详解】解：设点O为正n边形外接圆的圆心，连接，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 题型04 正多边形和圆的综合 【典例1】（24-25九年级上·云南德宏·期末）公园里有一个亭子，它的地基是边长为米的正六边形，则这个正六边形的边心距是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】连接、，作于点，容易判断是等边三角形，利用等边三角形的性质与勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，连接、，作于点， ∵六边形是边长为米的正六边形， ∴，米， 又∵， ∴是等边三角形， ∴米， ∵， ∴米， 在中，（米）， ∴这个正六边形的边心距是米． 【变式1】（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，交于点G，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，求出的度数，再由弧与圆心角之间的关系和圆周角定理求出的度数，最后由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知四边形为的内接正四边形，若的半径为1，则正四边形的边长为______，边心距为______． 【答案】 【分析】根据四边形为的内接正四边形得出，，利用勾股定理求出，可得正四边形的边长，根据等腰直角三角形的性质得出即可得出边心距． 【详解】解：如图，连接、，过点作于， ∵四边形为的内接正四边形，的半径为1， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，即正四边形的边长为， ∵， ∴，即边心距为． 【变式3】（2026·河北唐山·模拟预测）将一个正六边形和一个正八边形按如图所示方式拼在一起，，，，为顶点，连接交正六边形一边于点，若，则的长为__________． 【答案】 【分析】设正六边形和正八边形的中心分别为，延长，交于点，则，根据正多边形的内角和，求出正六边形，正八边形的内角，根据等腰三角形的判定，可得是等腰直角三角形，求出，利用解直角三角形，求出，得到是角平分线，利用角平分线的性质，可得，根据勾股定理，求出，推出，根据，解出，即可． 【详解】解：如图，设正六边形和正八边形的中心分别为，是正六边形和正八边形的边， ∴， ∵正六边形的内角和为：， ∴； ∵， ∴， 延长，交于点，则， ∵正八边形的内角和为：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：； ∵， ∴， ∵ ∴； 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线， 过点作交于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 题型05 尺规作图--正多边形 【典例1】（25-26九年级上·北京·课堂例题）如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断 【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知， 六边形是正六边形，即甲同学的作业正确． 由乙同学的作业可知．依次画弧可得． 六边形为正六边形，即乙同学的作业正确． 故选C 【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键． 【变式1】（2026九年级上·江苏·专题练习）作图与证明：如图，已知和上的一点A，请完成下列任务： (1)作的内接正六边形； (2)连接，．判断四边形的形状并加以证明． 【答案】(1)解：如图，正六边形即为所求； (2)解：四边形是矩形，理由如下， 如图，连接， 六边形是正六边形， ，． ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ，， 是等边三角形， ， ． ， ， ， 平行四边形是矩形． 【分析】（1）由正六边形的中心角为，可得是等边三角形，继而可得正六边形的边长等于半径，则可画出的内接正六边形； （2）连接，由六边形是正六边形，则，故，则可得，证得四边形是平行四边形，然后由，，求得，则可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2】（2026·江苏徐州·一模）按照要求进行尺规作图（保留作图痕迹，不写作图过程） (1)在图①中作正方形，且顶点都在圆上． (2)在图②中将圆的面积6等分． 【答案】(1) 如图，正方形即为所求； (2) 如图所示： 【分析】（1）在圆上任意找一点A，作弦，，分别作，的垂直平分线，则两条垂直平分线的交点即为圆心O，作直径，过点O作的垂直平分线，与交于B、D两点，顺次连接A、B、C、D，则四边形即为所求作的正方形． （2）根据解析（1）的方法，先找出圆心O，然后在上任意找一点A，以点A为圆心为半径画弧，交于点B，然后以点B为圆心为半径画弧，交于点C，依次找出点D、E、F，连接、、、、、，即可将圆的面积6等分． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作内嵌于正方形的正八边形吗?甲同学给出了正八边形内嵌于正方形的一种情形，如图①所示． (1)若正方形的边长为a，则正八边形的边长是多少? (2)如图②，已知，正方形，你能用尺规作内嵌于正方形的正八边形吗（要求：正八边形的八个顶点均在正方形四条边上）? (3)如图③，已知，正方形，你能用尺规作内嵌于正方形的正八边形吗（要求：正八边形中只有四个顶点在正方形四条边上）? 【答案】(1) (2)如图，即为所求． (3)如图，即为所求． 【分析】（1）由是正八边形和四边形是正方形，可得，，，四个三角形均为等腰直角三角形，设，则，再由，即可求解； （2）连接，交于点，分别以，，，为圆心，，，，为半径画弧，分别交正方形的边于点，则即为所求； （3）连接，交于点，作，的垂直平分线，分别交正方形的边于点，再以为圆心，为半径作圆，分别交，于点，则即为所求． 【详解】（1）解：∵是正八边形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，，，四个三角形均为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ， ， ， ∴正八边形的边长为． （2）略 （3）略 题型06 圆与三角形的综合 【典例1】（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，是的直径，点在上，过点作的切线交的延长线于点．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得，根据三角形内角和是求得，根据等角对等边可得，设，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列出一元二次方程，解方程求出的值，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 整理得：， 解得：，（舍去）， 即的半径为． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等．掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【变式1】（2020年浙江省富阳中学提前招生数学模拟试卷）如图，内接于，过中点D作平行于的直线l，l交于E，交于G、F，交在A点的切线于P，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弦切角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，是综合性题目． 根据利用平行线的性质，证出且．再由弦切角定理证出，从而得出，可得，最后利用题中数据计算线段的比，即可算出的长． 【详解】解：连接，，，作的直径，连接， ∵ ∴，且， ∴ 是的中点， ， ∵为的直径， ∴， ∴， 又切圆于点， ∴， ∴， ∵， ，可得． ， ∴，可得， ． 由此解出． ∵，， ∴， ∴， ， ， ∵，， ∴， ∴， ， ． 故选：B． 【变式2】（2026·安徽阜阳·一模）如图，是的切线，点是上一点，连接，，连接并延长交于点，的延长线交于点，若，，则________． 【答案】 【分析】利用切线和平行线可证，结合推得，再由得，根据三角形外角的性质推出，最后由等角对等边求出． 【详解】解：是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ． 【变式3】（2026九年级上·全国·专题练习）已知，如图，为的直径，内接于，，点P是的内心，延长交于点D，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 【答案】(1)证明：∵为直径， ∴， ∵点P是的内心， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． (2)或 【分析】（1）由圆周角定理得出，由内心得出，，，由三角形的外角性质得出，即可得出结论； （2）连接，过点B作于H，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由勾股定理可求的长，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：连接，过点B作于H，如图所示： ∵是直径，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 题型07 圆与四边形的综合 【典例1】（2026·河南郑州·一模）如图，正方形的对角线交于点O，为正方形的外接圆，为直径．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，再结合扇形面积公式以及三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵与正方形均为中心对称图形，且正方形的对角线交于点O，为正方形的外接圆，为直径， ∴， ∵， ∴， ∵正方形的对角线交于点O， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 【变式1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 【答案】 【分析】连接、、，由圆内接正方形的性质可得到，，，进而证得是等边三角形，得到，根据勾股定理求出，即可得到． 【详解】解：如图，连接、、， ∵正方形内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，证得是等边三角形是解决问题的关键． 【变式2】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，四边形内接于半径为6.5的，且，，，则___________ 【答案】 【分析】作直径，连接，利用直径所对圆周角是直角及勾股定理求出的长，结合的长得出，进而得到，再由，得出，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：作直径，连接， ∵是的直径， ∴， ∵半径为， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 【变式3】（2026·广东东莞·二模）若四边形是圆内接四边形，且它的一条对角线将其分割成一个等腰三角形和一个直角三角形，则称该四边形为“等直共圆四边形”．    (1)以下哪些图形一定是“等直共圆四边形”：________（填序号）； ①正方形  ②矩形  ③含角的菱形  ④含角的等腰梯形 (2)如图1，四边形是“等直共圆四边形”，．若E是上中点，，求的长； (3)如图2，是的直径，点A在上，请用无刻度的直尺和圆规在上求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是“等直共圆四边形”．当时，求的长． 【答案】(1)① (2) (3)或或 【分析】（1）根据特殊四边形的性质以及“等直共圆四边形”的定义判断即可； （2）由同弧可得，，则．设，则．证明，利用对应边成比例求出，则，设，，利用勾股定理列方程求解即可． （3）分别作的三条角平分线，根据等角得到对应弦相等，从而得到等腰三角形，完成作图；情况①：过B作交于点E．由圆周角可得，，再结合锐角三角函数求解即可；情况②：连接交于点E，连接，则垂直平分，再结合勾股定理求解即可；情况③：连接交于点E，连接，则垂直平分，再结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：只有正方形的对角线可以将其分割成一个等腰三角形和一个直角三角形， 即一定是“等直共圆四边形”的是正方形； （2）解：， ． 四边形是的内接四边形，， ． ， ． ． ， ． ． ， 即． ． 是上中点，， 设，则． ， ． ，即． ． 解得． ． 设． 在中，，即． 解得． ． （3）解：作图分三种情况：如下图，点D为所求． 在中，， ． 情况①：如图，过B作交于点E．   是的直径， ， ， ． ． ，． 在中，． ． 情况②：如图，连接交于点E，连接．   ， 垂直平分． ． ， 在中，． ， 在中，． 情况③：如图，连接交于点E，连接． ， 垂直平分． ． 在中，． ． 在中，． 综上所述，的长度为或或． 一、单选题 1．（2026·江苏南京·二模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵是所对的圆周角， ∴的度数 = ． 2．（2026·重庆·二模）如图，四边形为的内接四边形，，的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的内接四边形对角互补求解即可． 【详解】∵四边形为的内接四边形， ∴ ∵ ∴． 3．（2026·北京顺义·二模）如图，，是上两点，，．若，是正边形的两条邻边，则的值为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】作出圆心，连接，由圆周角定理得到，利用弦相等则弧相等得出 ，最后根据正多边形中心角公式求解． 【详解】解：作出圆心，连接 ∴ ∴ 是正边形的两条邻边 正边形的一边所对的圆心角为 ． 4．（2026·甘肃白银·三模）如图，已知四边形是的内接四边形．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆内接四边形对角互补的性质求出的度数，再利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， 和是同弧所对的圆心角与圆周角， ． 5．（2026·福建福州·模拟预测）小明捡到一个量角器碎片，按如图的方式测量的度数，他让点落在量角器圆弧上，并将角的两边与量角器圆弧的交点分别记为，．若点，对应的刻度分别为、，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接设的直径为，根据角的和差关系求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，再根据圆内接四边形的性质，求出的度数即可. 【详解】解：连接设的直径为，如图， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 二、填空题 6．（2026年5月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷）如图，为的一条弦，且，C为劣弧上一点，连接，则的度数为_____． 【答案】/120度 【分析】在优弧上构造圆周角，利用同弧所对圆周角等于圆心角的一半求出该角，再利用圆内接四边形对角互补求出． 【详解】解：在优弧上任取一点，连接，． ， ． 四边形内接于 ， ， ． 7．（2026·北京房山·二模）如图，点、、、在上，．若，则_________°． 【答案】 【分析】连接，由圆内接四边形的性质得，再根据等弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ． ∵， ． 8．（2026·陕西·一模）如图，四边形内接于是的直径，连接．若的半径为2，，则的长为_____． 【答案】 【分析】连接，根据圆内接四边形的性质，圆周角定理，得到为等腰直角三角形，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径，的半径为2， ∴， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 9．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，边长为2的正六边形的中心为，则该正六边形的边心距为______． 【答案】 【分析】如图：连接，过O作于H，易得是等边三角形，然后根据等边三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接，过O作于H， ∵点O是正六边形的中心，且正六边形的边长为2， ∴,, ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即该正六边形的边心距为． 10．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中是由绕着点按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为________． 【答案】 【分析】根据正八边形的性质求出中心角的度数，结合旋转的性质确定旋转角为，即可求解． 【详解】解：∵ 俯视图呈正八边形， ∴ 正八边形的中心角为 ， 即 ， ∵ 是由 绕着点按逆时针方向旋转得到的， ∴ 线段 旋转后的对应线段为 ，线段旋转后的对应线段为， ∴ 旋转角为， ∴ 旋转角 ． 三、解答题 11．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】本题主要考查圆内接四边形，同弧或等弧所对圆周角相等，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）根据圆内接四边形的性质得到，则，由同弧所对圆周角相等即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点，连接，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据已知可得，根据圆周角定理可得，进而根据圆内接四边形对角互补，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴ 13．（四川绵阳市游仙区2025-2026学年九年级下学期学情自测数学试题）如图，四边形内接于一圆，是边的延长线． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，根据同角的补角相等证明结论； （2）根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 14．（2026·天津北辰·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上． （1）线段的长为________； （2）若点A，B，C是圆上的点，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，满足，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）________ 【答案】 取圆与格线的交点,取格点，连接,其中交圆于，连接，交于点，连接并延长交圆于，连接交于，连接并延长，交圆于点，即为所求点． 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）取圆与格线的交点,取格点，连接,其中交圆于，连接，交于点，连接并延长交圆于，连接交于，连接并延长，交圆于点，即为所求点． 【详解】解：（1）； （2）图略． 取圆与格线的交点,取格点，连接,其中交圆于，连接，交于点， 因为， 所以为直径，所以为圆心， 连接并延长交圆于，所以为直径， 连接交于，连接并延长，交圆于点，连接， 根据作图可知垂直平分，点和点关于对称，则，故， ∵， ∴． 15．（2026·江苏南京·二模）如图，在中，过，，三点的交于点． (1)求证； (2)若点为中点，，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∵四边形是的内接四边形 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，根据圆内接四边形的性质可得，得出，根据等角对等边，即可得证； （2）过点作于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，根据为中点，得出，根据，求得，进而勾股定理求得，设，则，进而在，中，勾股定理分别表示出，根据建立方程，求得的值，进而求得的半径． 【详解】（1）略 （2）如图，过点作于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形， ∵为中点， ∴ 由（1）可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ 设，则 ∵， ∴， ∴ 在中，， 在中，, ∵ ∴ ∴ 解得： ∴，即的半径为． 一、单选题 1．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）某商场的橱窗设计中，用下列四种基础图形进行装饰，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形 【答案】C 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； C．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D．正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 2．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）正方形内接于，若半径为2，则正方形边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】连接，，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵半径为2， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 正方形的边长是． 3．（25-26九年级上·云南德宏·期末）如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，由的周长等于，可得的半径，再求得正六边形的中心角，进而可得是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求得答案． 【详解】解：连接，， ∵的周长等于， ∴的半径为， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴正六边形的边长为6． 4．（2026·山东菏泽·一模）如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正多边形内角公式求出的度数，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意，， ∴． 5．（2026·宁夏银川·二模）如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、、，设扇形半径与、分别交于点、，过点作于点，根据正六边形性质得出和为等边三角形，证明，得出重叠部分面积等于四边形的面积，最后用扇形面积减去重叠部分面积即可． 【详解】解：如图，连接、、，设扇形半径与、分别交于点、，过点作于点 六边形为正六边形， ，，，， 和为等边三角形，， ∴，， ∴，， 扇形圆心角为， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 二、填空题 6．（26-27九年级上·江苏·单元测试）如图，是的内接正多边形的一条边，连接，，，则这个正多边形的边数为________． 【答案】 【分析】圆内接正多边形的每个中心角相等，且所有中心角之和为，据此进行计算． 【详解】解：圆内接正多边形的中心角之和为，且每个中心角相等． 已知该正多边形的一个中心角，设正多边形的边数为，则： ． 7．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的周长是______． 【答案】 【分析】设正六边形的中心为点，连接、，求出中心角，证明是等边三角形，得出，再求出周长即可． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为点，连接、， 则， ∴中心角， ∴是等边三角形， ∴， ∴它的周长是． 8．（2022·河北承德·模拟预测）如图，正五边形内接于半径为的，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，，由正五边形求出圆心角，结合半径为利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴的长为：． 9．（2026·四川成都·一模）如图，正八边形内接于，连接，若的半径为2，则的面积为_____． 【答案】 【分析】连接，过点作于点先求出，再求出，则，即可解答． 【详解】解：如图，连接，过点作于点 ∵多边形是正八边形， ， 的半径为是的直径， ，， ． 10．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，在中，直径，是弦，，点在上，点在上，且，当点在上移动时，则长的最大值为______．  【答案】/ 【分析】连接，根据勾股定理以及垂线段最短，得到当时，的值最小，此时的值最大，再根据特殊角的直角三角形的性质得到此时，继而得到． 【详解】解：如图2，连接， ∵ ，为定值，即， 当时，的值最小，此时的值最大， ， 此时， 在中，． 三、解答题 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）按要求作图： (1)在图1中画的内接正三角形； (2)在图2中画的内接正八边形． 【答案】(1)解：以圆的半径长为半径，在圆周上依次截取得到6个等分点，先画的内接正六边形，再在正六边形的基础上，选择不相邻的三个顶点，顺次连接，即可作正三角形．如图，是的内接正三角形． (2)解：先画圆的两条互相垂直的直径，4个端点顺次连接，画出圆的内接正方形，再在正方形的基础上，用圆规分别作的垂直平分线，交圆于点，依次连接8个点，即可作正八边形．如图，八边形是的内接正八边形． 【分析】（1）利用正六边形的每个角都是，每段弧所对应的圆周角是，间隔选取这两个点，则能保证圆弧所对应的圆周角是，即可作出正三角形． （2）先作出互相垂直的两条直径，是为了将每段弧等于，再利用垂直平分得到的弧，即可得到圆周上的8个等分点，依次连接即可作出正八边形． 【详解】（1）略 （2）略 12．（26-27九年级上·福建三明·阶段检测）如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形． 已知，点为正方形的对角线交点，正八边形内嵌于正方形，点，分别在，上，且过点． (1)请你在图（1）中补全正八边形（画图工具不限）； (2)若改变正八边形的大小和位置，使得正八边形的所有顶点都恰好落在正方形边上，如图（2）所示，若此时，求的长． 【答案】(1)所求图形如下： (2) 【分析】（1）根据正八边形的性质即可求解； （2）连接，得到等腰直角三角形，求出即可求出，根据正八边形的性质，可得，从而求出，再根据，可以求出，最后即可求出，进而求出． 【详解】（1）略． （2）解：连接， 是正方形对角线的交点 在正八边形中，， 同理 ． 13．（2026九年级上·全国·专题练习）已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 【答案】(1)证明：∵为的直径， ， 点是的内心， ，， ， ，， ， ． (2) 【分析】（1）由圆周角定理得出，由内心得出，，，由三角形的外角性质得出，即可得出结论； （2）连接，过点作于，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由，，推出，得到，根据勾股定理可求的长，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，过点作于， 为的直径，的半径是，， ，是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ∴． 14．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，内接于，于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，作的直径，连接，若，求证：为等腰三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，，，求线段的长． 【答案】(1)证明：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2)证明：作直径交于点，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵是直径 ∴由垂径定理可得垂直平分线段， ∴， ∴为等腰三角形． (3)． 【分析】（1）连接，由“等边对等角”证明，利用三角形内角和表示出，利用垂直条件得到互余，利用圆周角定理得到角度间的关系，通过角度转化证明结论． （2）构造直径，利用“直径所对圆周角是直角”及“两直线平行，同位角相等”可得，由“垂径定理”易证，即可证结论． （3）设半径为，，结合已知条件利用勾股定理可得，又由可得，化简后得到①，利用角等证明，得到，即②，联立①②可得方程，解方程得(舍去)，从而得到结果． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：设半径为，， 则， 由勾股定理可得， 又由（2）知， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， 即， 化简后得到①， ∵， ∴， ∴，即②， 联立①②可得， 化简得， 解方程得(舍去)， ∴． 15．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：四边形内接于，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长、相交于点E，点F在弦上，连接、，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点O作于点H，连接、，若，，求的面积． 【答案】(1)证明：连接，如图所示， ， ， ， ． (2)证明：，， 四边形为等腰梯形， ， ，， ， ． ， ， 为等边三角形， ． ， ，， ， 为等边三角形， ，， 在和中， ， ． (3)15 【分析】（1）根据同圆中相等的弦所对的弧相等和等弧所对的圆周角相等推出，根据内错角相等，两直线平行即可证明． （2）利用等腰梯形的判定和性质推出，结合邻补角定义和等腰三角形的性质推出结合已知条件，推出等边，结合平行线的性质推出等边三角形，最后利用证明，即可推出． （3）根据垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质和勾股定理求出的长度，利用等边三角形的性质求出关系，设参数，，结合勾股定理表示出关系，利用完全平方公式求出和的值即可求出相应的线段，面积从而求出最后利用等底同高即可求出面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ， ， ，， ，， ， 在中，，， ． ，， ． 和为等边三角形，，， ， 设，则，，，，， ， 在和中，， ， 在和中，，， ， ， ①，②， ②-①得，则， ， 即， 即， ，， ． ，是和的高， ． 【点睛】本题考查了圆与内接四边形的综合，解题的关键是要设和参数，利用整体化思想和完全平方公式求出长度． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.8 正多边形与圆 教学目标 1.认识正多边形概念，理清正多边形与圆的内在联系，掌握中心、半径、中心角等概念，会计算中心角、内角。 2. 经历性质探究过程，发展逻辑推理能力，能在几何图形中综合运用本节知识，体会转化思想，提升分析几何综合题的能力。 教学重难点 1.重点 （1）圆内接四边形的概念与核心性质，熟练运用对角互补、外角等于内对角进行角度推导与几何证明，实现圆周角相关知识的综合运用。 （2）正多边形与圆的关系，掌握正多边形相关概念，熟练开展中心角、内角计算，理解正六边形外接圆半径与边长相等的特殊规律。 2.难点 （1）在复杂几何图形中识别圆内接四边形，灵活利用性质实现角的等量转化，区分四点共圆条件，解决综合性几何推理问题。 （2）理解正多边形依托圆生成的原理，结合半径、边心距构造直角三角形进行计算，灵活运用正多边形性质解决圆的相关综合题型。 知识点01 正多边形 1.正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心．外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应正多边形． 2.每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，正多边形的边心距就是内切圆的半径．研究正多边形往往构造等腰三角形，并结合勾股定理、三角函数等解决． 【即学即练】1．（2026·山东泰安·三模）如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（    ） A．1 B． C． D．3 2．（2026·云南红河·一模）五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边形中，连接，若，则正六边形的边长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 3．（2026·上海闵行·三模）已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 题型01 已知圆内接正多边形求角度 【典例1】（2026·河南漯河·一模）如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，为正五边形的外接圆，过C点的切线交的延长线于点F，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，是正五边形的外接圆，P为上的一点，则的度数为_______． 【变式3】（2026·江苏南京·一模）已知是正五边形的外接圆，点在上，则的度数为_______． 题型02 求正多边形的中心角 【典例1】（2026·河南商丘·二模）正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·河南商丘·期末）科学家发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点为正六边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·上海闵行·三模）已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 【变式3】（25-26九年级下·山西太原·开学考试）团扇是中国汉族传统的工艺品及艺术品，起源于商代，其雏形可追溯至战国时期的“便面”．团扇融合了绘画、书法、雕刻等艺术形式，象征团圆吉祥，承载中华传统审美与文化内涵．如图1是一款名为“蝶戏芳丛”的刺绣团扇扇面，其外轮廓为如图2所示的正八边形，已知该正八边形的中心为点，则的度数为___________． 题型03 已知正多边形的中心角求边数 【典例1】（26-27九年级上·全国·单元复习）若正边形的中心角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·河南濮阳·一模）如图，是内接正边形的一条边，，这个正边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2022·上海浦东新·二模）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为______． 【变式3】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在正n边形中，，则的值是______． 题型04 正多边形和圆的综合 【典例1】（24-25九年级上·云南德宏·期末）公园里有一个亭子，它的地基是边长为米的正六边形，则这个正六边形的边心距是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式1】（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，交于点G，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知四边形为的内接正四边形，若的半径为1，则正四边形的边长为______，边心距为______． 【变式3】（2026·河北唐山·模拟预测）将一个正六边形和一个正八边形按如图所示方式拼在一起，，，，为顶点，连接交正六边形一边于点，若，则的长为__________． 题型05 尺规作图--正多边形 【典例1】（25-26九年级上·北京·课堂例题）如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【变式1】（2026九年级上·江苏·专题练习）作图与证明：如图，已知和上的一点A，请完成下列任务： (1)作的内接正六边形； (2)连接，．判断四边形的形状并加以证明． 【变式2】（2026·江苏徐州·一模）按照要求进行尺规作图（保留作图痕迹，不写作图过程） (1)在图①中作正方形，且顶点都在圆上． (2)在图②中将圆的面积6等分． 【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作内嵌于正方形的正八边形吗?甲同学给出了正八边形内嵌于正方形的一种情形，如图①所示． (1)若正方形的边长为a，则正八边形的边长是多少? (2)如图②，已知，正方形，你能用尺规作内嵌于正方形的正八边形吗（要求：正八边形的八个顶点均在正方形四条边上）? (3)如图③，已知，正方形，你能用尺规作内嵌于正方形的正八边形吗（要求：正八边形中只有四个顶点在正方形四条边上）? 题型06 圆与三角形的综合 【典例1】（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，是的直径，点在上，过点作的切线交的延长线于点．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2020年浙江省富阳中学提前招生数学模拟试卷）如图，内接于，过中点D作平行于的直线l，l交于E，交于G、F，交在A点的切线于P，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·安徽阜阳·一模）如图，是的切线，点是上一点，连接，，连接并延长交于点，的延长线交于点，若，，则________． 【变式3】（2026九年级上·全国·专题练习）已知，如图，为的直径，内接于，，点P是的内心，延长交于点D，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 题型07 圆与四边形的综合 【典例1】（2026·河南郑州·一模）如图，正方形的对角线交于点O，为正方形的外接圆，为直径．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 【变式2】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，四边形内接于半径为6.5的，且，，，则___________ 【变式3】（2026·广东东莞·二模）若四边形是圆内接四边形，且它的一条对角线将其分割成一个等腰三角形和一个直角三角形，则称该四边形为“等直共圆四边形”．    (1)以下哪些图形一定是“等直共圆四边形”：________（填序号）； ①正方形  ②矩形  ③含角的菱形  ④含角的等腰梯形 (2)如图1，四边形是“等直共圆四边形”，．若E是上中点，，求的长； (3)如图2，是的直径，点A在上，请用无刻度的直尺和圆规在上求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是“等直共圆四边形”．当时，求的长． 一、单选题 1．（2026·江苏南京·二模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·二模）如图，四边形为的内接四边形，，的度数是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·北京顺义·二模）如图，，是上两点，，．若，是正边形的两条邻边，则的值为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．（2026·甘肃白银·三模）如图，已知四边形是的内接四边形．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·福建福州·模拟预测）小明捡到一个量角器碎片，按如图的方式测量的度数，他让点落在量角器圆弧上，并将角的两边与量角器圆弧的交点分别记为，．若点，对应的刻度分别为、，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2026年5月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷）如图，为的一条弦，且，C为劣弧上一点，连接，则的度数为_____． 7．（2026·北京房山·二模）如图，点、、、在上，．若，则_________°． 8．（2026·陕西·一模）如图，四边形内接于是的直径，连接．若的半径为2，，则的长为_____． 9．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，边长为2的正六边形的中心为，则该正六边形的边心距为______． 10．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中是由绕着点按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为________． 三、解答题 11．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 12．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点，连接，求的度数． 13．（四川绵阳市游仙区2025-2026学年九年级下学期学情自测数学试题）如图，四边形内接于一圆，是边的延长线． (1)求证：； (2)若，求的度数． 14．（2026·天津北辰·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上． （1）线段的长为________； （2）若点A，B，C是圆上的点，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，满足，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）________ 15．（2026·江苏南京·二模）如图，在中，过，，三点的交于点． (1)求证； (2)若点为中点，，，求的半径． 一、单选题 1．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）某商场的橱窗设计中，用下列四种基础图形进行装饰，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形 2．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）正方形内接于，若半径为2，则正方形边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（25-26九年级上·云南德宏·期末）如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·山东菏泽·一模）如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·宁夏银川·二模）如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 二、填空题 6．（26-27九年级上·江苏·单元测试）如图，是的内接正多边形的一条边，连接，，，则这个正多边形的边数为________． 7．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的周长是______． 8．（2022·河北承德·模拟预测）如图，正五边形内接于半径为的，则的长为______． 9．（2026·四川成都·一模）如图，正八边形内接于，连接，若的半径为2，则的面积为_____． 10．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，在中，直径，是弦，，点在上，点在上，且，当点在上移动时，则长的最大值为______．  三、解答题 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）按要求作图： (1)在图1中画的内接正三角形； (2)在图2中画的内接正八边形． 12．（26-27九年级上·福建三明·阶段检测）如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形． 已知，点为正方形的对角线交点，正八边形内嵌于正方形，点，分别在，上，且过点． (1)请你在图（1）中补全正八边形（画图工具不限）； (2)若改变正八边形的大小和位置，使得正八边形的所有顶点都恰好落在正方形边上，如图（2）所示，若此时，求的长． 13．（2026九年级上·全国·专题练习）已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 14．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，内接于，于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，作的直径，连接，若，求证：为等腰三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，，，求线段的长． 15．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：四边形内接于，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长、相交于点E，点F在弦上，连接、，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点O作于点H，连接、，若，，求的面积． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $