专题2.7 弧长及扇形的面积（8大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级下册

专题2.7 弧长及扇形的面积 教学目标 1. 理解弧长和扇形面积公式的推导原理，掌握公式中各字母的含义。 2. 能熟练运用弧长公式和扇形面积公式进行计算。 3. 运用弧长和扇形面积公式解决基础几何计算问题，做到代入准确、计算规范。 教学重难点 1.重点 （1）弧长和扇形面积公式的推导过程，明确公式中圆心角n、半径R与弧长l、扇形面积S的对应关系。 （2）运用弧长和扇形面积公式解决基础几何计算问题，做到代入准确、计算规范。 2.难点 （1） 理解弧长和扇形面积公式的推导逻辑，将圆的周长和面积公式与弧长、扇形面积建立关联。 （2）处理不规则图形面积问题时，准确分割或补全图形，灵活选择公式进行组合运算。 知识点01 弧长 弧长的计算 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l＝． 【即学即练】1．（2026·安徽六安·二模）如图，的直径为，点在圆上，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽合肥·三模）如图，为的直径，，劣弧的长，则弦的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．6 3．（2026·河南新乡·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且点，在上．若，则的长为______． 知识点02 扇形的面积 与扇形有关的面积计算 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形(弧长为l)面积的计算公式为：S扇形＝ ＝ l R 【即学即练】4．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，．以为圆心长为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，，分别以点、为圆心，、的长为半径作弧，与交于点、．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河南驻马店·二模）如图，正五边形的边长为2，经过点A，D，则阴影部分的面积为______． 题型01 求弧长 【典例1】（2026·安徽合肥·三模）如图，是半圆的直径，为半圆弧上一点，已知，则长为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·贵州安顺·二模）如图，在半径为6的中，为弦，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西·中考真题）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．若，则的长为_________． 【变式3】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，四边形是正方形，曲线…叫做“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按，，，循环，当时，的长为__________． 题型02 求扇形半径 【典例1】（2026·广东深圳·二模）如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 【变式1】（2025·福建厦门·二模）如图，切于点，弦，若，劣弧的弧长为，则线段的长为(   ) A． B． C． D． 【变式2】（24-25六年级下·上海长宁·期中）如果一条弧长为，圆弧所对的圆心角是，那么这条弧所在圆的半径是 _______ （π取）． 【变式3】（2026·江苏苏州·一模）“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林围墙上的花窗（如图1），其形状是扇形的一部分（如图2所示，阴影部分为花窗），若，，，则花窗（阴影部分）的面积为__________． 题型03 求圆心角 【典例1】（2026·广东深圳·三模）如图，在直径为2的圆内有一个圆心角为的扇形，其面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·四川广安·期末）一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若一个扇形所在的圆的半径为6，扇形面积为，则这个扇形的圆心角是_______°． 【变式3】（24-25九年级下·四川成都·阶段检测）若半径为3的扇形弧长为，则该扇形的圆心角度数为___________． 题型04 求某点的弧形运动路径长度 【典例1】（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，中，，，，若以A为旋转中心，将其按顺时针方向旋转到位置，则B点经过的路线长为（    ） A．π B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·重庆忠县·期末）如图，矩形的边在直线l上，已知，，若矩形每次都以右下角的顶点为中心在直线l上顺时针旋转，如第1次旋转以C为中心，旋转后点D、A、B分别旋转到点、、位置；如第2次旋转以为中心，旋转后点C、、分别旋转到点、、位置；以此类推，则第2026次旋转后点D运动的总路程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东临沂·二模）如图，将边长为的等边三角形沿直线向右翻动不滑动，点从开始到结束，所经过路径的长度为______． 【变式3】（2024八年级下·广西·竞赛）如图，菱形的边长为，，将菱形绕点顺时针旋转，使与重合，则在旋转过程中，点所走的路径的长为___________（结果不取近似值） 题型05 求扇形面积 【典例1】（2026·河南信阳·模拟预测）如图，的半径为2，于点E，，则扇形的面积为（     ） A． B．π C． D．2π 【变式1】（2026·广西百色·三模）广西陆上风电产业具有技术先导性强、经济体量大和产业关联度大的特点．如图1所示的是陆上风力发电装置（有3个相同叶片），若风叶片的长为，转子叶片图案绕中心旋转后第一次与原图案重合，则此时一片叶片扫过的扇形区域（图2）面积是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此扇形的面积是__________． 【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，的夹角为，的长为，的长为，求扇面（阴影部分）的面积． 题型06 求弓形面积 【典例1】（23-24九年级下·四川眉山·阶段检测）如下图，点A、B、C在圆O上，，直线．点O在上，若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·广东湛江·期末）已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，半径，水面宽为，则阴影部分面积为______． 【变式2】（2026·山东东营·模拟预测）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行吕剧演出，该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是12米．从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆的距离是6米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳________名观众同时观看演出．（取3，取） 【变式3】（2026·河南周口·二模）如图，是的直径，是弦，连接，过点的切线交的延长线于点，且． (1)求劣弧的长． (2)求阴影部分弓形的面积． 题型07 求其他不规则图形的面积 【典例1】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、D、E分别在、、上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分面积是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，点经过的路径为，与交于点，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河南平顶山·三模）如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 【变式3】（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，是的弦，，垂足为，交于点，点在上，且，． (1)求的长； (2)求阴影部分的面积． 题型08 求图形旋转后扫过的面积 【典例1】（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，在中，，，．将绕点顺时针方向旋转至，点恰好在射线上，则边扫过的阴影面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，一个半径为的小圆盘沿着一个直径为的大圆盘外侧做无滑动的滚动．当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动后，小圆盘运动过程中扫过的面积是___________． 【变式3】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图是网格，网格中每个小正方形的边长均为，的顶点都在格点上． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出； (2)在（1）中，求线段扫过部分的面积． 一、单选题 1．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）在半径为的中，的圆周角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·期末）如图，在中，，，以为直径的交于点，若点恰好为的中点，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转，得到，则下列说法错误的是（    ） A．的长为 B． C． D． 4．（2025·安徽·模拟预测）如图，在中，，AC为⊙O的直径，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）如图①是卧室门锁的局部图，图②是其示意图，其中点到门框的距离为，且，当开门时，提起门把手绕点顺时针旋转点到达点的位置，此时点到门框的距离为，则门把手划过的区域面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）扇形的半径为，圆心角为，则扇形的弧长为 ，面积为 （结果保留π）． 7．（25-26九年级上·山东东营·期中）某小区有的护栏上有一块宣传版面（如图1所示），其形状是扇形的一部分．图2是其平面示意图，和都是半径的一部分，测得，，，则这块宣传版面的面积是 ． 8．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ，弧的长为 （结果保留根号及） 9．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·月考）如图，已知是的直径，点，在上，且，过点作交于点，垂足为．则求阴影部分的面积为    10．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在正六边形中，以点为圆心，长为半径画弧，连结、．若，则图中阴影部分的面积是 ． 三、解答题 11．（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为，截面中有水部分弓形的高为，求截面中有水部分弓形的面积． 12．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线上，为等边三角形，，与分别交于，两点，点，是上两点，，过作于点，交于点，交于点．已知，，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 13．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，是的直径，是的弦，延长到点，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 14．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点，，，点、点、点的坐标分别为，，． (1)该圆弧所在圆的圆心坐标为______． (2)求的长．（结果保留） 15．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，点在上，在的延长线上取一点，连接，使． (1)求证：直线是的切线． (2)若，则图中阴影部分图形的面积为___________．（结果保留） 一、单选题 1．（2026·新疆喀什·二模）如图，是的直径，点C是上一点，连接，，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江舟山·二模）如图，在等腰三角形中，，以为圆心，为半径作，与相切于点，则阴影部分（与重合区域）的面积为（     ）． A． B． C． D． 3．（2026·广东河源·一模）等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果，那么这个等宽曲线的周长是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是4，则剩余部分的面积是（     ） A． B． C． D． 5．（2022·浙江温州·二模）如图，在扇形中，，在弧上依次取点B，C，且．则图中两个阴影弓形面积和最小值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2026·吉林长春·二模）物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长，，则的长是_________． 7．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域(图中阴影部分)的面积为______． 8．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则的长为________．（结果保留） 9．（2026·河南平顶山·三模）如图，在中， 分别以为直径作半圆，两个半圆交于边上的点D处，则两个半圆的重叠部分（图中阴影部分）的面积为___________． 10．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点，…；按此规律，则的值为________________． 三、解答题 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为的直径，弦垂直平分半径，垂足为C，弦与半径相交于点P，连接，．若，，求图中阴影部分的面积． 12．（2026·河南周口·二模）如图，是的直径，是弦，连接，过点的切线交的延长线于点，且． (1)求劣弧的长． (2)求阴影部分弓形的面积． 13．（2026·河南开封·模拟预测）在中国传统园林中，月洞门是一个极具辨识度的造型元素，并逐渐演化成东方特有的美学符号．下面是月洞门及相关示意图，其中曲线部分为圆弧，C为的中点，且弦，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)将该圆弧所在圆的圆心记为O，若，求阴影部分的面积． 14．（2026·江苏无锡·三模）【生活感知】随着生活水平的提高，汽车已进入百姓家．我们乘坐汽车发现：家用汽车转向时一般采用“前轮转向”方案，具体约束条件如下： ①前轮转动方向，后轮方向不变，当方向盘保持一定角度时，汽车做圆周运动； ②为了安全平稳地转向，所有车轮都绕同一个转向中心滚动； ③如图1，转向中心在后轮触地点连线的延长线上，与前轮触地点的连线始终垂直于该前轮的前进方向； ④当前轮转角最大时，到前外轮触地点之间的距离称为车辆的最小转弯半径．    【探究解决】 (1)①在汽车转向时，前内轮转角，前外轮转角，前内轮的转动速度 前外轮转动速度；（填写“”，“”或“”） ②已知汽车轴距为，轮距为，若该汽车转向前内轮转角为，则此时前外轮转角的正切值是 （用含，和的式子表示）； (2)已知某汽车的轴距为，轮距为，前内轮转角最大为，求该汽车的最小转弯半径．（精确到）．（参考数据：，，，） 15．（2026·广东佛山·三模）某纸杯的尺寸（单位：）如图是所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． (1)弧的长为__________，__________． (2)记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小．图是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与弧相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，求出，的值． 16．（2026·河北唐山·二模）如图1，为的外接圆，为的半径． (1)当所在的直线垂直于时，写出图中一对相等的量：_______； (2)若，，求的长； (3)随着点A在上方的圆弧上移动，与的和是否发生变化？请说明理由； (4)在图1中添加条件：，交于点E，于点H，得到图2．若，直接写出的长． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.7 弧长及扇形的面积 教学目标 1. 理解弧长和扇形面积公式的推导原理，掌握公式中各字母的含义。 2. 能熟练运用弧长公式和扇形面积公式进行计算。 3. 运用弧长和扇形面积公式解决基础几何计算问题，做到代入准确、计算规范。 教学重难点 1.重点 （1）弧长和扇形面积公式的推导过程，明确公式中圆心角n、半径R与弧长l、扇形面积S的对应关系。 （2）运用弧长和扇形面积公式解决基础几何计算问题，做到代入准确、计算规范。 2.难点 （1） 理解弧长和扇形面积公式的推导逻辑，将圆的周长和面积公式与弧长、扇形面积建立关联。 （2）处理不规则图形面积问题时，准确分割或补全图形，灵活选择公式进行组合运算。 知识点01 弧长 弧长的计算 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l＝． 【即学即练】1．（2026·安徽六安·二模）如图，的直径为，点在圆上，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过圆周角定理求出度数，然后再求出的度数，最后用弧长计算公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， 为直径， ， 的长为． 2．（2025·安徽合肥·三模）如图，为的直径，，劣弧的长，则弦的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，勾股定理； 先利用弧长公式求出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接， 设的度数为， ∵， ∴半径， 则， ∴， ∴弦， 故选：C． 3．（2026·河南新乡·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且点，在上．若，则的长为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆的相关知识，涉及勾股定理，同弧所对的圆心角与圆周角的2倍关系，以及弧长的计算．利用点的对称，结合，推出圆心在轴上，设圆心，设半径，根据勾股定理求出半径的长度，利用圆周角定理求出圆心角的度数，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：点，的坐标分别是，， ， 垂直平分， 圆心在轴上． 如图，设所在圆的圆心为，连接，． 设的半径为， 在中，，即，解得． ， ， 的长为． 知识点02 扇形的面积 与扇形有关的面积计算 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形(弧长为l)面积的计算公式为：S扇形＝＝lR 【即学即练】4．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，．以为圆心长为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，求扇形面积等知识，先根据等腰直角三角形的性质得出，再根据扇形面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵以为圆心长为半径画圆， ∴， 故选C． 5．（2026·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，，分别以点、为圆心，、的长为半径作弧，与交于点、．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形公式、解直角三角形计算，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意易得、，再利用进行计算阴影部分面积即可． 【详解】解：在中，，， ， 、 则图中阴影部分的面积为． 6．（2026·河南驻马店·二模）如图，正五边形的边长为2，经过点A，D，则阴影部分的面积为______． 【答案】/ 【分析】先根据正多边形内角公式求得，然后根据扇形面积公式解答即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形，边长为2， ∴，， ∴阴影部分的面积为． 题型01 求弧长 【典例1】（2026·安徽合肥·三模）如图，是半圆的直径，为半圆弧上一点，已知，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据题意判定为等边三角形，求出圆心角的度数，进而求出的度数，最后利用弧长公式计算即可． 【详解】解：连接，如图， 是半圆的直径，为半圆弧上一点， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 的长为． 【变式1】（2026·贵州安顺·二模）如图，在半径为6的中，为弦，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，构造弧对应的圆心角，因为要求弧长需要先确定圆心角和半径，所以首先明确弧长公式为，其中是圆心角度数，是圆的半径．利用圆周角定理，因为圆周角和圆心角对应同一段弧，所以可由已知的的度数求出的度数．将得到的圆心角的度数和已知的半径代入弧长公式，计算弧的长度． 【详解】连接、， ， ． 半径， ， 因此的长为． 【变式2】（2026·陕西·中考真题）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，由角平分线的定义和圆周角定理得到，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 【变式3】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，四边形是正方形，曲线…叫做“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按，，，循环，当时，的长为__________． 【答案】 【分析】由题意可得所在圆的半径为，再结合弧长公式计算得出规律（为正整数），由此计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴所在圆的半径为， ∴， 同理可得，，…， 依次类推，可得（为正整数）， ∴． 题型02 求扇形半径 【典例1】（2026·广东深圳·二模）如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】B 【分析】连接，由切线定理及四边形内角和可得，然后根据弧长计算公式进行求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，分别切于点A，B， ∴， ∵，且， ∴， ∵的长为， ∴， 解得：． 【变式1】（2025·福建厦门·二模）如图，切于点，弦，若，劣弧的弧长为，则线段的长为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，弧长公式，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质；连接，根据切线的性质得出，根据含度角的直角三角形的性质得出，进而得出是等边三角形，则，根据劣弧的弧长为，设，得出，进一步即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵切于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∵劣弧的弧长为，设， ∴ 解得： ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25六年级下·上海长宁·期中）如果一条弧长为，圆弧所对的圆心角是，那么这条弧所在圆的半径是 _______ （π取）． 【答案】15 【分析】的圆心角所对的弧长，再设出圆的半径，代入已知条件列方程即可求解． 【详解】解：设这条弧所在圆的半径为， 根据弧长公式，得． 整理计算得 ． 解得 ． 【变式3】（2026·江苏苏州·一模）“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林围墙上的花窗（如图1），其形状是扇形的一部分（如图2所示，阴影部分为花窗），若，，，则花窗（阴影部分）的面积为__________． 【答案】 【分析】根据弧长公式求出扇形的半径，再分别求出扇形面积和扇形的面积，最后用扇形的面积减去扇形面积即可求得阴影部分的面积． 【详解】解：，弧长公式为，， 在扇形中有， ， ，，， ， ，， ， ． 题型03 求圆心角 【典例1】（2026·广东深圳·三模）如图，在直径为2的圆内有一个圆心角为的扇形，其面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，由勾股定理得出，根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得， 由勾股定理得， ∴， ∴扇形面积为． 【变式1】（25-26九年级上·四川广安·期末）一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了扇形面积的计算以及弧长的计算．利用扇形的弧长与面积公式确定出所求圆心角即可． 【详解】解：设这个扇形的半径为r，圆心角是n，面积为S，弧长为l， 由题意得：，即， 解得：， 又由可得：， 解得：， 故选：D． 【变式2】（23-24七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若一个扇形所在的圆的半径为6，扇形面积为，则这个扇形的圆心角是_______°． 【答案】 【分析】利用得方程，解此方程即可求得答案． 【详解】解：设该扇形的圆心角度数为， 扇形的面积为，半径为， ， 解的：， 该扇形的圆心角度数为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了扇形面积的计算．此题比较简单，注意熟记公式与性质是解此题的关键． 【变式3】（24-25九年级下·四川成都·阶段检测）若半径为3的扇形弧长为，则该扇形的圆心角度数为___________． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查了弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键． 设该扇形的圆心角度数为，根据弧长公式建立方程即可求解． 【详解】解：设设该扇形的圆心角度数为， 根据弧长公式得：，解得，即圆心角度数为． 故答案为：． 题型04 求某点的弧形运动路径长度 【典例1】（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，中，，，，若以A为旋转中心，将其按顺时针方向旋转到位置，则B点经过的路线长为（    ） A．π B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴B点经过的路线长． 【变式1】（25-26九年级上·重庆忠县·期末）如图，矩形的边在直线l上，已知，，若矩形每次都以右下角的顶点为中心在直线l上顺时针旋转，如第1次旋转以C为中心，旋转后点D、A、B分别旋转到点、、位置；如第2次旋转以为中心，旋转后点C、、分别旋转到点、、位置；以此类推，则第2026次旋转后点D运动的总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，发现规律是解决问题的关键．首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可． 【详解】解：在矩形中，， ∴对角线长为， ∴转动一次的路线长是：， 转动第二次的路线长是：， 转动第三次的路线长是：， 转动第四次的路线长是：0， 转动五次的路线长是：， 以此类推，每四次循环， 故顶点转动四次经过的路线长为：， 顶点转动2026次经过的路线长为：． 故选：D． 【变式2】（2025·山东临沂·二模）如图，将边长为的等边三角形沿直线向右翻动不滑动，点从开始到结束，所经过路径的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为也考查了旋转的性质．点从开始到结束，所经过路径为两段弧，第一段是以点为圆心，为半径，圆心角为的弧，第二段是以点为圆心，为半径，圆心角为的弧，然后根据弧长公式计算． 【详解】解：为等边三角形， ， 每次旋转的度数为， 点从开始到结束，所经过路径的长度． 故答案为． 【变式3】（2024八年级下·广西·竞赛）如图，菱形的边长为，，将菱形绕点顺时针旋转，使与重合，则在旋转过程中，点所走的路径的长为___________（结果不取近似值） 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、弧长的计算方法；熟练掌握菱形的性质并能进行推理计算是解决问题的关键．连接，交于，再证明是等边三角形，得出，再求出，根据弧长公式即可得出结果． 【详解】解：连接，交于，如图所示： 菱形的边长为，， ，，， ， 与重合， ， 是等边三角形， ，，， ， 点所走的路径的长为； 故答案为： 题型05 求扇形面积 【典例1】（2026·河南信阳·模拟预测）如图，的半径为2，于点E，，则扇形的面积为（     ） A． B．π C． D．2π 【答案】C 【分析】由题意易得，，然后可得，则有，进而根据扇形面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2026·广西百色·三模）广西陆上风电产业具有技术先导性强、经济体量大和产业关联度大的特点．如图1所示的是陆上风力发电装置（有3个相同叶片），若风叶片的长为，转子叶片图案绕中心旋转后第一次与原图案重合，则此时一片叶片扫过的扇形区域（图2）面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】陆上风力发电装置有3个相同叶片，转子叶片图案绕中心旋转后第一次与原图案重合，可解得，求出圆心角为的扇形面积即可求解． 【详解】解：∵陆上风力发电装置有3个相同叶片，转子叶片图案绕中心旋转后第一次与原图案重合， ∴， 解得， ∵扇形， ∴一片叶片扫过的扇形区域面积． 【变式2】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此扇形的面积是__________． 【答案】 【分析】直接代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形， ∴此扇形的面积是． 【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，的夹角为，的长为，的长为，求扇面（阴影部分）的面积． 【答案】 【分析】利用扇形的面积减去扇形的面积即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵外侧两竹条，的夹角为，即， ∴扇面（阴影部分）的面积为 ． 题型06 求弓形面积 【典例1】（23-24九年级下·四川眉山·阶段检测）如下图，点A、B、C在圆O上，，直线．点O在上，若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求弓形的面积，连接，利用扇形的面积减去三角形的面积进行求解即可． 【详解】解：连接，作，则：， ∴, ∵，直线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为； 故选A． 【变式1】（25-26九年级上·广东湛江·期末）已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，半径，水面宽为，则阴影部分面积为______． 【答案】 【分析】本题考查圆中求线段长、求不规则图形面积等知识，涉及圆的对称性、垂径定理、勾股定理、含直角三角形性质、扇形面积公式及间接法求不规则图形面积，锐角三角函数的应用．如图，过作交于，交于，由图形可知，，在中求解从而得到，由扇形面积公式及三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图，过作交于，交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 故答案为： 【变式2】（2026·山东东营·模拟预测）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行吕剧演出，该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是12米．从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆的距离是6米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳________名观众同时观看演出．（取3，取） 【答案】248 【分析】过点O作于点C，则，根据直角三角形的边长关系求出的角度，阴影面积即为，即可求出容纳观众的数量． 【详解】解：如图，过点O作于点C，则， 根据题意得：米，米， ∴米， ∴，米， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为平方米， ∴最多可容纳名观众同时观看演出． 【变式3】（2026·河南周口·二模）如图，是的直径，是弦，连接，过点的切线交的延长线于点，且． (1)求劣弧的长． (2)求阴影部分弓形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由切线的性质可得是等腰直角三角形，即得，再根据弧长公式计算即可求解； （）过点作于，解直角三角形可得，再根据解答即可求解． 【详解】（1）解：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴劣弧的长； （2）解：如图，过点作于， ∵， ∴，， ∴． 题型07 求其他不规则图形的面积 【典例1】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、D、E分别在、、上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】阴影部分的面积正好等于长方形的面积，先根据正方形的性质求出扇形的半径，从而求出的长，即可求出长方形的面积． 【详解】解：连接， ∵正方形的边长为1，， ∴，， ∴，，， ，， ∵ ∴， ∴四边形是矩形， ． 【变式1】（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，点经过的路径为，与交于点，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，推出，，进而得到，由旋转可得，，推出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， ，， ， 由旋转可得，，，， ， ． 【变式2】（2026·河南平顶山·三模）如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 【答案】 【分析】记与半圆O交于点C，连接，由旋转的性质，可知两个半圆的面积相等，，则，根据计算即可． 【详解】解：记与半圆O交于点C，连接，如图所示． 由旋转的性质可知两个半圆的面积相等，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，是的弦，，垂足为，交于点，点在上，且，． (1)求的长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理可得，再根据锐角三角函数可求出的长．即可求解； （2）根据垂径定理可得，然后根据阴影部分的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵是的弦，，， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 题型08 求图形旋转后扫过的面积 【典例1】（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，在中，，，．将绕点顺时针方向旋转至，点恰好在射线上，则边扫过的阴影面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，扇形面积公式，含的直角三角形的相关计算，求旋转图形扫过的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键；先求出，再由旋转性质得，求出旋转角，根据扇形面积计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， 由旋转性质可知，，即，， ∴， ∴边扫过的阴影面积为， 故选B． 【变式1】（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质、扇形的面积、勾股定理等知识点，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 利用勾股定理求出，利用旋转的性质可得，进而求出和，再结合图形即可解答． 【详解】解：， ， 将绕点A逆时针旋转后得到， ， ， ． 故选：C． 【变式2】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，一个半径为的小圆盘沿着一个直径为的大圆盘外侧做无滑动的滚动．当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动后，小圆盘运动过程中扫过的面积是___________． 【答案】 【分析】小圆盘运动过程中扫过的面积由两部分组成：一部分是一个圆环的面积的四分之一，另一部分是小圆盘自身的面积（起始位置和终止位置各露出半个小圆，合起来为一个完整的小圆），据此求解即可． 【详解】解：大圆半径为，小圆半径为， 圆环区域的外半径为，内半径为， 圆环的面积的四分之一为， 小圆的面积为， 故小圆盘运动过程中扫过的面积为． 【变式3】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图是网格，网格中每个小正方形的边长均为，的顶点都在格点上． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出； (2)在（1）中，求线段扫过部分的面积． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点、，再顺次连接即可； （2）利用勾股定理求出的长，再根据列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意可得：， 由旋转可得，， 线段扫过部分的面积为： ． 一、单选题 1．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）在半径为的中，的圆周角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题综合考查了圆周角定理和弧长公式，解题的关键是熟记定理和弧长公式．首先根据圆周角定理求得弧所对的圆心角的度数，再进一步根据弧长的公式计算即可． 【详解】解：根据圆周角定理，得弧所对的圆心角是， 根据弧长的公式． 故选：． 2．（23-24九年级上·全国·期末）如图，在中，，，以为直径的交于点，若点恰好为的中点，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论、等腰三角形的判定和性质以及扇形的面积公式，证明是等腰三角形，求出的度数是解题的关键． 首先证明是等腰三角形，求出，然后根据圆周角定理求出，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接，如图所示， 是直径， ，即， 为的中线， 是等腰三角形， ， ， ， 半径为2， ， 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转，得到，则下列说法错误的是（    ） A．的长为 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是旋转的性质、弧长的计算，掌握旋转变换的性质是解题的关键． 根据旋转变换的性质、弧长公式，逐项分析判断即可． 【详解】解：由旋转的性质可知：，， ∴的长为：，， 则选项A、B、D说法正确，不符合题意；选项C说法错误，符合题意； 故选：C． 4．（2025·安徽·模拟预测）如图，在中，，AC为⊙O的直径，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据等腰三角形三线合一得出点是的中点，从而得出是的中位线，于是，根据同底等高得到和的面积相等，从而阴影部分的面积转化为扇形的面积，根据扇形面积公式计算出扇形的面积即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，， 为的直径， ， ， ， 即点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积，圆周角定理，中位线定理，平行线间的距离相等，等腰三角形的三线合一，不规则图形的面积求法，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． 5．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）如图①是卧室门锁的局部图，图②是其示意图，其中点到门框的距离为，且，当开门时，提起门把手绕点顺时针旋转点到达点的位置，此时点到门框的距离为，则门把手划过的区域面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质与判定，旋转的性质，含30度直角三角形的性质及扇形面积公式，熟练掌握矩形的性质与判定，旋转的性质，含30度直角三角形的性质及扇形面积公式是解题的关键；过点B分别作，，垂足分别为点C，D，则有四边形是矩形，然后可得，进而根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：过点B分别作，，垂足分别为点C，D，如图所示： 由题意得：，， ∴四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∴， ∴； 故选B． 二、填空题 6．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）扇形的半径为，圆心角为，则扇形的弧长为 ，面积为 （结果保留π）． 【答案】 π 【分析】本题主要考查扇形的弧长和面积计算，掌握弧长公式和扇形面积公式（ 为圆心角度数，为半径）是解题的关键． 根据弧长公式  和扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵半径 ，圆心角 ， ∴弧长 ． 扇形面积 ． 故答案为：π，． 7．（25-26九年级上·山东东营·期中）某小区有的护栏上有一块宣传版面（如图1所示），其形状是扇形的一部分．图2是其平面示意图，和都是半径的一部分，测得，，，则这块宣传版面的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，勾股定理，等边三角形的性质和判定， 延长交于点O，可得是等边三角形，进而得出，再作，即可根据勾股定理求出，接下来求出，最后用扇形的面积减去三角形面积得出答案． 【详解】解：如图所示， 延长交于点O， 由题意，点O是圆弧所在的圆的圆心， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ∵， ∴． 过点O作于点H，则， ∴． ∵， ∴， 所以这块宣传板的面积为：． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ，弧的长为 （结果保留根号及） 【答案】 【分析】此题考查的是垂径定理，可连接、，分别作弦、的垂线，根据垂径定理知，弦的垂直平分线经过圆心；则两条弦的垂直平分线的交点必为圆弧所在圆的圆心，然后再判断其坐标即可．设圆心为M，连接，过M作的垂线，设垂足为D；根据点M的坐标，可得出、的长，再由勾股定理即可求出的半径，再由定理得出，故可得出的度数，由弧长公式即可得出结论，能够根据垂径定理来确定出圆弧所在圆的圆心，是解答此题的关键． 【详解】解：连接、，分别作弦、的垂线，根据垂径定理知，弦的垂直平分线经过圆心；则两条弦的垂直平分线的交点必为圆弧所在圆的圆心，该圆弧所在圆的圆心如图所示，该圆弧所在圆的圆心坐标为； 设圆弧所在圆的圆心为M，连接；过M作于D，则，； 在中，根据勾股定理，得：； 该圆弧所在圆的半径为， 在与中， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ， 故答案为：，． 9．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·月考）如图，已知是的直径，点，在上，且，过点作交于点，垂足为．则求阴影部分的面积为    【答案】 【分析】连接，由，则，，，所以，由圆周角定理可得，所以，从而可得是等边三角形，则有，然后证明，故有，则，然后代入即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 10．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在正六边形中，以点为圆心，长为半径画弧，连结、．若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、圆周角定理以及扇形面积，作正六边形的外接圆，圆心为点，连接交于点，连接，先求出，再利用圆周角定理得到，得到后，利用勾股定理求出，代入扇形面积公式即可． 【详解】解：作正六边形的外接圆，圆心为点，连接交于点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积：， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为，截面中有水部分弓形的高为，求截面中有水部分弓形的面积． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理、扇形及三角形的面积，掌握相关结论解答此题的关键．连接，作，由题意得：，，推出，求出即可求解； 【详解】解：连接，作，如图所示： 由题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴截面中有水部分弓形的面积 12．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线上，为等边三角形，，与分别交于，两点，点，是上两点，，过作于点，交于点，交于点．已知，，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用垂径定理求值、求其他不规则图形的面积、三角函数等知识点，掌握相关结论是解题关键； （1）连接，推出，得，即可求解； （2）由（1）可知：,推出，根据为等边三角形，求出，，结合，即可求解； 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可知：, ∵． ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积 13．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，是的直径，是的弦，延长到点，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的证明及性质，勾股定理，不规则图形的面积的计算，掌握不规则图形的面积的计算是正确解答的前提． （1）由三角形中位线的性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质可得，进而求出答案； （2）过D作，根据圆周角和等腰三角形三线合一的性质，得出为等边三角形，再用扇形的面积减去的面积即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过D作， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积， 又∵扇形的面积， ∴阴影部分面积． 14．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点，，，点、点、点的坐标分别为，，． (1)该圆弧所在圆的圆心坐标为______． (2)求的长．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了弧长的计算、坐标与图形性质、勾股定理及垂径定理，熟知弧长的计算公式及根据图形得出圆心的位置是解题的关键． （1）分别作出弦和的垂直平分线，得出交点即为圆心，据此求出圆心坐标即可； （2）先用勾股定理求出圆的半径，再结合弧长的计算公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，分别作出弦和的垂直平分线，交于点，点即为所在圆的圆心， 所以圆心的坐标为． 故答案为：． （2）如图，连接，， ∵点、点、点的坐标分别为，，， ∴小正方形网格的边长为1． 由勾股定理得，． 由网格可知，， 则的长为：． 15．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，点在上，在的延长线上取一点，连接，使． (1)求证：直线是的切线． (2)若，则图中阴影部分图形的面积为___________．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质，扇形面积公式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）连接．由是直径，可得，再证，从而有，即可证明； （2）阴影部分的面积即为的面积减去扇形的面积． 【详解】（1）解：证明：连接， 是直径， ， ，， ， ， ， 是的半径， 直线是的切线； （2）解：，， ， ， ， ， 在中，， ， ， 阴影部分的面积． 故答案为：． 一、单选题 1．（2026·新疆喀什·二模）如图，是的直径，点C是上一点，连接，，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据圆周角定理求出，求出半径，再根据弧长公式求出答案即可． 【详解】解：如图，连接， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的长为． 2．（2026·浙江舟山·二模）如图，在等腰三角形中，，以为圆心，为半径作，与相切于点，则阴影部分（与重合区域）的面积为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据切线的性质得出 ，结合等腰三角形性质得出 ，最后利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解： 与 相切于点 ， ，即 ， ， 为等腰直角三角形 ， ， 阴影部分为扇形，半径 ，圆心角 ， ． 3．（2026·广东河源·一模）等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果，那么这个等宽曲线的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质得到，，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴的长为，的长为，的长为， ∴这个等宽曲线的周长为． 4．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是4，则剩余部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设小圆半径为，大圆半径为，通过切线条件利用勾股定理建立方程求出半径的平方，进而求得剩余部分的面积． 【详解】解：设小圆半径为，大圆半径为， 切线平行于大圆直径且与小圆相切， 大圆圆心到切线的距离等于小圆半径， 设的中点为，连接，， 则，，， ∵点是的中点，点为圆心， 由垂径定理的推论可得：， 在中，由勾股定理得：， ， 剩余部分的面积为 ． 5．（2022·浙江温州·二模）如图，在扇形中，，在弧上依次取点B，C，且．则图中两个阴影弓形面积和最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理，得出，作于，作于，根据三角函数得出，，根据，设，得出当即时，最大，此时阴影部分面积的和最小． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 作于，作于， 中，， ， 同理， ， 设， ，即，， 当，即时，最大，此时阴影部分面积的和最小， 此时， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 6．（2026·吉林长春·二模）物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长，，则的长是_________． 【答案】 【分析】根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴的长为． 7．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域(图中阴影部分)的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积计算．根据含度角的直角三角形的性质求出，根据计算即可． 【详解】解：，， ， ， 则边扫过区域的面积为： 故答案为：． 8．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则的长为________．（结果保留） 【答案】 【分析】连接，，则，利用垂径定理得出，根据圆周角定理得到，则，得到，根据勾股定理可得，进而利用弧长公式解答即可． 【详解】解：连接，， 是的直径，弦于点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为． 9．（2026·河南平顶山·三模）如图，在中， 分别以为直径作半圆，两个半圆交于边上的点D处，则两个半圆的重叠部分（图中阴影部分）的面积为___________． 【答案】 【分析】设的中点分别为，连接．证明 为等边三角形， 为顶角为的等腰三角形，标记．则，根据即可求出答案． 【详解】解：如图，设的中点分别为，连接． 在中， ∴．， ∴． ∵，， ∴，， ∴． ∴ 为等边三角形， 为顶角为的等腰三角形， 如图，标记． ∵， ∴ 10．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点，…；按此规律，则的值为________________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质，得到、、、、都是等腰直角三角形，分别求出 ，，，利用扇形面积求出，抽象概括出相应的数字规律，进而得出结论即可． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转到，交x轴于点 ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 同理可得：、、、都是等腰直角三角形，，…， ∴ ，，，，； ∴， ∴. 三、解答题 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为的直径，弦垂直平分半径，垂足为C，弦与半径相交于点P，连接，．若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】根据垂径定理得的长，根据已知平分得，解直角三角形以及运用圆周角定理求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接． ∵直径， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，． ∴的半径为2． 在中， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． 12．（2026·河南周口·二模）如图，是的直径，是弦，连接，过点的切线交的延长线于点，且． (1)求劣弧的长． (2)求阴影部分弓形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由切线的性质可得是等腰直角三角形，即得，再根据弧长公式计算即可求解； （）过点作于，解直角三角形可得，再根据解答即可求解． 【详解】（1）解：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴劣弧的长； （2）解：如图，过点作于， ∵， ∴，， ∴． 13．（2026·河南开封·模拟预测）在中国传统园林中，月洞门是一个极具辨识度的造型元素，并逐渐演化成东方特有的美学符号．下面是月洞门及相关示意图，其中曲线部分为圆弧，C为的中点，且弦，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)将该圆弧所在圆的圆心记为O，若，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂直平分线的作图步骤作图即可； （2）连接，由、，可知为等腰直角三角形，得，半径．则圆心角，分别计算：扇形面积、面积，进而即可计算阴影的面积． 【详解】（1）解：略 （2）解：由题意得，（1）中所作垂直平分线与的交点为圆心O， 连接，如图， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 14．（2026·江苏无锡·三模）【生活感知】随着生活水平的提高，汽车已进入百姓家．我们乘坐汽车发现：家用汽车转向时一般采用“前轮转向”方案，具体约束条件如下： ①前轮转动方向，后轮方向不变，当方向盘保持一定角度时，汽车做圆周运动； ②为了安全平稳地转向，所有车轮都绕同一个转向中心滚动； ③如图1，转向中心在后轮触地点连线的延长线上，与前轮触地点的连线始终垂直于该前轮的前进方向； ④当前轮转角最大时，到前外轮触地点之间的距离称为车辆的最小转弯半径．    【探究解决】 (1)①在汽车转向时，前内轮转角，前外轮转角，前内轮的转动速度 前外轮转动速度；（填写“”，“”或“”） ②已知汽车轴距为，轮距为，若该汽车转向前内轮转角为，则此时前外轮转角的正切值是 （用含，和的式子表示）； (2)已知某汽车的轴距为，轮距为，前内轮转角最大为，求该汽车的最小转弯半径．（精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】(1) ①，② (2)解：， ， ， ， 最小转弯半径为． 【分析】（1）①根据切线的性质可知，，根据直角三角形的两个锐角互余，可知，，因为，所以； 由旋转可知，，可知外轮运动的路程大于内轮运动的路程，又因为内外轮运动的时间相同，可知内轮运动的速度小于外轮运动的速度； ②根据边形是矩形，可知，，在中，在中，代入即可求出结果； （2）由的正切可知，即可求出，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）①解：如下图所示，、是的切线， ， ，， ，， ，， ，， ， ；    如下图所示， 由旋转可知， ，， ， ， 设汽车运动的时间为， 内轮的速度为，外轮的速度为， 内轮的速度外轮的速度；    ②解：如下图所示， 四边形是矩形， ，， ， 由①可知，， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 整理可得：；    （2）略． 15．（2026·广东佛山·三模）某纸杯的尺寸（单位：）如图是所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． (1)弧的长为__________，__________． (2)记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小．图是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与弧相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，求出，的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用纸杯上下底的圆周长分别等于展开的扇环两条弧长，据此求出弧的长，设小扇形半径与圆心角，根据弧长公式列方程组求出； （2）结合切线性质推出四边形、是矩形，则，再根据推出为等边三角形，进而得到，然后用三角函数算出，，，得到矩形短边，分段累加水平方向三段长度，求得矩形长边． 【详解】（1）解：据图可知，纸杯上底半径为，下底半径为，， 则的长度为，的长度为， 设，，则， 可得， 解得， 故． （2）解：如图，延长，交于点，扇环纸片与相切于点，连接，交于点， 据（1）可知，，，， 则为等边三角形，，， 四边形为矩形， ， ， 四边形、是矩形， ， ， ， ， ，， ，， ， 综上，，． 16．（2026·河北唐山·二模）如图1，为的外接圆，为的半径． (1)当所在的直线垂直于时，写出图中一对相等的量：_______； (2)若，，求的长； (3)随着点A在上方的圆弧上移动，与的和是否发生变化？请说明理由； (4)在图1中添加条件：，交于点E，于点H，得到图2．若，直接写出的长． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)解：当点在上方的圆弧上移动时，总有与的和不变，为定值， 证明如下： 连接，如图所示： 由圆周角定理知， ， ， 在中，由三角形内角和定理可得， 则， ，即当点在上方的圆弧上移动时，总有与的和为定值； (4) 【分析】（1）根据题意，作出图形，结合垂径定理、中垂线的判定与性质及等腰三角形性质即可得到答案； （2）连接，如图所示，根据题意，由圆周角定理求出，再由弧长公式代值求解即可得到答案； （3）连接，如图所示，由圆周角定理、等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得证； （4）由两个三角形相似的判定定理得到，得到相似比；再由得到，联立代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：延长，交于点，如图所示： 当所在的直线垂直于时，即， 由垂径定理可知， 是线段的垂直平分线，则，则， 由等腰三角形三线合一性质可知，平分， ∴； （2）解：连接，如图所示： ，， 由圆周角定理可得， ， 的长为； （3）解：略； （4）解：连接，如图所示： 由圆周角定理可得， ，， 由等腰三角形三线合一性质可得平分，即， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， 解得． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $