专题2.6 直线与圆的位置关系（9大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级下册

专题2.6 直线与圆的位置关系 教学目标 1. 理解直线与圆相交、相切、相离的概念，掌握圆心到直线的距离d与半径r的数量关系判定方法。 2. 掌握切线的判定定理和性质定理，能规范完成切线相关作图与简单计算。 3. 体会数形结合思想，提升几何直观与逻辑推理能力，能解决基础实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）直线与圆三种位置关系的定义，以及通过公共点个数或d与r的大小关系进行判定。 （2）切线的核心定理（判定与性质），明确“过半径外端且垂直于半径”的双重条件。 2.难点 （1）理解d与r的数量关系和直线与圆位置关系的对应逻辑，复杂图形中准确计算圆心到直线的距离。 （2）灵活运用切线定理解决几何证明或计算问题，把握定理应用的严谨性与条件完整性。 知识点01 直线与圆的三种位置关系 直线与圆的位置关系 1.直线和圆有几种位置关系 如图（a），直线L和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线． 如图（b），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，�这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点． 如图（c），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．[ 2.切线的判定和性质 1、切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径 2、推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 【即学即练1】1．（25-26九年级上·山东聊城·期中）已知的半径为，点在直线上．若，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相离或相切或相交 【答案】C 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系、垂线段最短等知识，正确理解直线与圆的三种位置关系是解题的关键．设点到直线的距离为，根据垂线段最短，可得，根据直线与圆的位置关系即可得答案． 【详解】解：设点到直线的距离为， ∵点在直线上，且， ∴，（垂线段最短）， ∵的半径为， ∴当时，直线与相交； 当时，直线与相切； ∴直线与的位置关系是相交或相切． 故选：C． 2．（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，在中，，O是上一点，与相切于点E，交于点F，连接，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形斜边中线的性质，平行线的性质等，连接，根据圆周角定理和切线的性质得出，，然后根据直角三角形斜边中线的性质得出，求得，得出，然后根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：连接， ∵与相切于点E， ∴， ∵交于点F， ∴是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵，即 ∴, ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，四边形内接于，且为直径，过点D作的垂线，交的延长线于点H，且平分 (1)求证：是的切线； (2)若，，求、的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练运用上述性质是解题的关键． （1）利用角平分线的概念，证明，即可得到，即可解答； （2）证明四边形是矩形，再结合勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：连接，则， ， 平分， ， ， ， 交的延长线于点H， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：作于点E， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， 、的长分别是20、. 题型01 判断直线与圆的位置关系 【典例1】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）若的半径为 3，圆心到直线的距离为 4，则直线与的位置关系是（     ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆相离，据此即可解答． 【详解】解：∵的圆心O到直线的距离，的半径，， ∴直线与相离． 【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）中，，，，以C为圆心，r为半径作圆，此圆与直线只有一个公共点，则（   ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键，根据圆与直线相切时只有一个公共点，因此半径r等于点C到直线的距离即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴由勾股定理，. 设点C到直线的距离为d， ∵，且， ∴， ∴. ∵圆与直线相切， ∴. 故选：C. 【变式2】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与有公共点_____个． 【答案】2 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，能根据圆心到直线的距离d与圆的半径r关系判断位置关系是解题关键． 由，得到，故直线l与相交，则有两个公共点． 【详解】解：∵的半径，点O到直线l的距离， ∴，故直线l与相交，有两个公共点， 故答案为：2． 【变式3】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，并且方程无实数根，则直线l与的位置关系是______． 【答案】相交 【分析】本题考查根的判别式，判断直线和圆的位置关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．通过方程无实数根的条件，利用判别式得到d与r的关系，再根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆的位置关系即可． 【详解】解：∵方程无实数根， ∴，即． ∵圆心到直线的距离小于半径， ∴直线与相交． 故答案为：相交． 题型02 已知直线和圆的位置关系求半径的取值范围 【典例1】（25-26九年级上·江苏宿迁·开学考试）已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4，则的半径可能是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟知判断直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离是解题的关键．根据，圆和直线相交即可求解， 【详解】解：直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4， 的半径大于4， 故选：． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课堂例题）在中，，若与相离，则半径为r满足（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆与直线的位置关系，过C作于D，含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，等积法求出的长，根据圆与直线相离得到，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过C作于D， ∵， ∴， ∵与相离， ∴半径r满足， 故选：C． 【变式2】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）在中，，，．的半径为r，若边与有公共点，则半径r的取值范围为______． 【答案】 【分析】要使线段与有公共点，半径的取值范围为：点到的最短距离上的点到点的最长距离，结合，即可推导范围． 【详解】解：∵，，上的点到点的最长距离为的长度， ∴； ∵点到线段的距离的最小值等于的长度，要使与有公共点，至少需要等于， ∴； 综上可得的取值范围是． 【变式3】（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，，是上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形，直角三角形的存在性，数形结合思想，分类讨论思想等内容；设的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形，需要分情况讨论，当点D是直角顶点时，过点D作的垂线；当点E是直角顶点时，点E是以长为直径的圆与直角边的交点，当此圆与直角边相切时，为临界状态，此时这样的点有2个，当此圆过点C时，也为临界状态，点D和点B重合，不符合题意． 【详解】解：在中，， ∴， 设的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形， ①当点D是直角顶点时，过点D作的垂线；②当点E是直角顶点时，点E是以长为直径的圆与直角边的交点， 如图所示，当此圆与直角边有3个交点时，符合题意； 当以为直径的圆与相切时，如图所示， 设圆的半径为r，即， ∵，， ∴， ∴，解得； ∴； 综上，的长的取值范围为：． 故答案为：． 题型03 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【典例1】（25-26九年级上·吉林延边·期末）已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断直线和圆的位置关系，已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离． 直线与圆有两个公共点，说明直线与圆相交，因此圆心到直线的距离小于半径． 【详解】解：∵直径为， ∴半径 ∵与直线有个公共点， ∴直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， ∴选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 【变式1】（2024·上海·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线和圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，得到答案． 【详解】解：根据题意，得圆必须和直线相交，设直线和圆相切于点E， 连接，则，， 又∵， ∴此时． 根据梯形的中位线定理，得 ， ∴， ∴， ∴直线要和圆相交，则． 故选D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课前预习）已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系．根据直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：因为直线l与圆没有交点，所以直线l与圆相离， 所以圆心到直线的距离大于圆的半径，即． 故答案为：. 【变式3】（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为_____． 【答案】 【分析】如图所示，设直线与交于，过点作于，连接，先证明当点与点重合时，最小，即此时最小，再由求出，可得，解得． 【详解】解：如图所示，设直线与交于，过点作于，连接， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最小时，最大. ∵， ∴当点与点重合时，最大， ∵直线关于的“圆截距”的最小值为，即， ∴， ∴. ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，垂径定理，一次函数与几何综合，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 题型04 判断或补全条件使直线为切线等条件 【典例1】（23-24九年级上·河北衡水·阶段检测）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的切线的判定、平行线的判定与性质，逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； B、∵， ∴，则， ∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； C、当时，， ∵， ∴， ∴，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； D、当时，由得到， ∴是等腰三角形，无法确定， ∴不能得到切于点C，该选项不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查切线的判定，平行线的判定与性质，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键． 【变式1】（2024·湖北·模拟预测）如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【答案】D 【分析】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．根据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”逐项进行判断即可． 【详解】解：是的直径，且是的切线 又 直线与相切 故选项A、B可以判定，不符合题意； C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意； D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意； 故选：D． 【变式2】（21-22九年级上·北京·期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是________．（写一个条件即可） 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可． 【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ∵∠ABT=∠ATB=45°， ∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径， ∴AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，CD是的直径，BD是的弦，延长DC到点A，使．有下列三个条件：①；②；③．其中只需添加一个条件就能使AB成为的切线的是________（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】分析题意，连接，若使是的切线，只需证明即可；若添加条件①，由是的直径得到结合，只要证明即可；根据是的一个外角得知，推理可得是等边三角形，至此可判断①的正误；对于②，若，则是等边三角形，，继而可以求得的度数，从而可以作出判断；对于③，根据得到，由三角形内角和定理可得，结合得到，接下来可以得到的度数，从而完成解答． 【详解】解：如图，连接． 是的直径， ． ， ． ①， ， ． 又， 是等边三角形， ， ， ， 是的切线． ∴①正确； ②，， 是等边三角形， ． ， ， ， 是的切线． ∴②正确； ③， ． ， ． ， ． ， ， ， 是的切线． ∴③正确； 综上所述，能使成为的切线的是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了切线的判定，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 题型05 证明某直线是圆的切线 【典例1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，以的边为直径的恰好过的中点D，过点D作于点E，连接，则下列结论：①；②；③；④是的切线．其中结论正确的是________．（直接填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，切线的判定，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，，则可判断①；根据圆的性质可得，则，则可判断③；可证明，则可判断④；根据现有条件无法证明，则可判断②． 【详解】解：为中点，点为的中点， 为的中位线， ，，故①正确； ∵， ∴，即，故③正确； ∵，， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线，故④正确； 根据现有条件无法证明，故②错误； 故答案为：①③④． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，内接于，为的直径，延长至点F，连接，，求证：是的切线． 【答案】证明：内接于，为的直径， ， ． ， ， ，即． ∵为的直径， ∴是的切线． 【分析】根据直径所对的圆周角为直角得出，根据直角三角形两锐角互余得出，根据，得出，即，根据切线的判定即可证明结论． 【详解】略 【变式2】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，O为上一点，以点O为圆心，长为半径作圆，过点C作的垂线，交的延长线于点D．若．求证：是的切线． 【答案】证明：如图，过点O作于点E． ， ． ， ． ， ， ， ∴为的平分线． ， ， ∴为的半径， ∴是的切线． 【分析】过点O作于点E，证明为的平分线，得到，即可得证． 【详解】略 【变式3】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，四边形内接于，是的直径，点在的延长线上，延长交的延长线于点，点是的中点，． 求证： (1)是的切线； (2)是等腰三角形． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵点是的中点，点是的中点，   ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵是的半径，   ∴是的切线； (2)证明：∵为的直径， ∴，即， 又∵点是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】（）由三角形中位线的性质可得，即得，进而得到，再利用圆周角定理证明即可求证； （）先证是的垂直平分线，得到，即得，再利用圆内接四边形的性质及邻补角性质推出，进而得到，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 题型06 切线性质的应用 【典例1】（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（  ） A．20m B． C． D．10m 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，圆的切线性质，理解题意是解题的关键．根据题意画出图形，解即可． 【详解】解：如图，记直径为，过点作于点， 由题意得，，，，与圆相切于点N， ∴， ∴， ， ， 故选：C． 【变式1】（23-24九年级下·江苏连云港·阶段检测）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走6里到达城堡边，再往前走4里到达树下．则该城堡的外围直径为（    ）里 A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，解直角三角形，切线的性质，切线长定理，由切圆于D，切圆于C，连接，得到，里，由勾股定理求出，由，求出（里），即可得到答案． 【详解】解：如图，表示圆形城堡，    由题意知：切圆于D，切圆于C，连接， ∴，里， ∵里， ∴里， ∴， ∵， ∴， ∴（里）． ∴城堡的外围直径为（里）． 故选：B． 【变式2】（23-24九年级下·河南南阳·期中）小明对出自秦九韶《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走到达城堡边，再往前走到达树下，则该城堡的外围周长为________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、锐角三角函数的定义、切线的性质、切线长定理等知识，设圆形城堡的圆心为，则切于点，切于点，连接，得出，， ，再求出，然后由勾股定理求出，由锐角三角函数的定义得出，求出，最后由圆周长公式即可得出结果，关键是理解题意，由锐角的正切求出的长． 【详解】解：如图，表示圆形城堡，连接， 由题意可知，切于点D，切于点C，则，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，即， ∴， 在中，， 在中，， ∴，即， ∴，∴城堡的外围周长． 故答案为：． 【变式3】（2025·江苏南京·模拟预测）如图，是一圆形铁片（）平放在一个三棱柱盒子底面（）上的俯视图，铁片可以在盒内贴着盒底自由移动．若，的半径是1，则该盒子底面上，不能被该圆形铁片到达的部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质．圆O与相切时的角落时到达不了的地方，设，，则，，再有等积法求a的值，再求面积即可． 【详解】解：与相切时的角落是到达不了的地方， ，过点作交于点，过点作， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 故不能被该圆形铁片到达的部分的面积是． 故答案为：． 题型07 切线的判定和性质的综合应用 【典例1】（2024·广东·模拟预测）如图，P为的直径延长线上的一点，与相切，切点为C，点D是上一点，连结．已知．下列结论：（1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】（1）连接、，根据圆的切线的性质判定，得到，即可判断；（2）结合（1）证明，推出，即可判断；（3）连接，根据直径得到，进而证明，推出是等边三角形，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半，即可判断；（4）根据菱形和等腰三角形的性质，即可判断． 【详解】解：（1）连接、， 与相切，切点为， ， 在和中， ， ， ， 又是半径， 与相切，（1）结论正确； （2）由（1）得：， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形是菱形，（2）结论正确； （3）连接， ， ， 是直径， ， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，（3）结论正确； （4）四边形是菱形，， ，， ， ，（4）结论错误； 即正确个数有3个， 故选：C 【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，圆周角，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 【变式1】（25-26九年级上·重庆綦江·期末）如图，在四边形中，为对角线，，，，过、两点的⊙与相切于点．为中点，连接并延长，交于点，则的长度为_____________________；⊙的半径为_________． 【答案】 【分析】本题综合考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、解直角三角形及等腰三角形的性质等知识点．首先连接、，设与交于点，利用垂径定理可得，通过三角函数可求得、，并得到．在等腰三角形中求出腰长．随后在中求出，从而得到．最后设，结合切线性质推出，用含的式子表示半径，再在中通过勾股定理建立方程，从而求解得出圆的半径． 【详解】解：如图，连接、，设与交于点，过点作． ∵是中点， ∴，且， ∴， 在中，，，， ∴， ， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，，在中，， ∴． 设，则， ∴． ∵是切线， ∴，即． ∵， ∴． 又， ∴在中，，即， 解方程得(取正根)， 代入得半径：． 故答案为：；． 【点睛】解决圆与直角三角形结合的问题，核心在于灵活运用辅助线与几何性质的联动：遇到弦的中点时，连接圆心与弦中点可触发垂径定理，遇到切线时连接圆心与切点可得到垂直关系，这是打开解题突破口的关键．解题过程中要善于利用平行线、等腰三角形等条件传递角度，将已知角转化到目标三角形中，从而简化三角函数或边长的计算．当半径等关键线段未知时，可通过设未知数，结合勾股定理或三角函数建立方程求解，这是处理此类几何计算的常用思路． 【变式2】（2026·陕西西安·三模）如图，在中，，O为边上一点，以点O为圆心，长为半径的交于点P，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：连接，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； (2)的半径为 【分析】（1）连接，则由半径相等得到，由外角可得，继而证明得到，再由直角三角形的性质即可求证； （2）先由勾股定理求解，设半径为，则，，证明即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，， ， ， 设半径为，则， ， ， ， 解得， 的半径为． 【变式3】（2026·四川达州·中考真题）已知：如图，P为外一点，与相切于点A．连接，，为的直径、连接． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为、，求的长． 【答案】(1)与相切，理由如下： 连接， ∵与相切， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质说明，然后根据“边角边”证明，可得，进而得出答案； （2）作，根据垂径定理得，再根据勾股定理求出，然后说明，可得，则此题可解． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，过点O作于点D， ∴． 在中，， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 题型08 求平移到直线相切时圆心经过的距离 【典例1】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论． 分圆心在轴的左侧和轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可． 【详解】解：当位于轴的左侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为； 当位于轴的右侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为． 故选：B． 【变式1】（2025·河南濮阳·一模）如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为________． 【答案】 【分析】此题重点考查平移的性质、切线的性质定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 当移动到与相切时，设圆心为，切点为，由，，，得，最后求解即可． 【详解】解：当移动到与相切时，设圆心为，切点为，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴圆心移动的距离为． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·四川广安·期末）如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则___________秒时与直线相切． 【答案】2或6 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与圆有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质和直角三角形的性质．分类讨论：当点在 点左侧，与相切时，过作于，根据切线的性质得到，再利用得到，则的圆心在直线上向右移动了后与相切，即可得到移动所用的时间；当点在 点右侧，与相切，同前面一样易得到此时移动所用的时间． 【详解】解：当点在 点左侧，与相切时，过作于，如图， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）； 当点在 点右侧，与相切，如图， 同理，得的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）． 故答案为：2或6． 【变式3】（2023·浙江衢州·一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为___________秒．    【答案】2或10 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】解：当位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； ∴(秒)； 当位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． ∴(秒)； 故答案为：2或10 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 题型09 求直线平移到与圆相切时运动的距离 【典例1】如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移(　　) A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】B 【分析】作出OC⊥AB，利用垂径定理求出BC＝4，再利用勾股定理求出OC＝3，即可求出要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移的长度． 【详解】解：作OC⊥AB， 又∵⊙O的半径为5cm，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm ∴BO＝5，BC＝4， ∴由勾股定理得OC＝3cm， ∴要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移2cm． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了切线的性质定理与垂径定理，根据图形求出OC的长度是解决问题的关键． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键．作于点，由垂径定理即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，再分点向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可． 【详解】解：连接，作于点，由垂径定理得： ， 在直角中，由勾股定理得：， 即， ， 的半径是2． 将向上平移，当与轴相切时，平移的距离； 将向下平移，当与轴相切时，平移的距离． 故选：D 【变式2】如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移 cm时与⊙O相切． 【答案】4 【分析】根据垂径定理可求出，再利用勾股定理可得，从而，再由l与⊙O相切，则点 到直线l的距离等于OC=10cm，从而得到l沿OC所在直线向下平移的距离等于，即可求解． 【详解】解：∵直线l⊥OC，AB=16cm， ∴ ， ， ∵ ， 在 中，由勾股定理得 ， ∴ ， 若l与⊙O相切， 则点 到直线l的距离等于OC=10cm， ∴l沿OC所在直线向下平移的距离等于 即l沿OC所在直线向下平移时与⊙O相切． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式3】如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为 时，与直线相切． 【答案】或 【分析】在射线上或在射线上，设对应的圆的圆心分别在M，根据切线的性质，在中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得的长，进而求得的长，从而求得由P到M移动的时间；根据，即可求得，也可以求得由P到M移动的时间． 【详解】解：当在射线上，设与相切于点E，P移动到M时，连接． ∵与直线相切， ∴， ∵在中，，， ∴， 则， ∵以的速度沿由A向B的方向移动， ∴移动时与直线相切． 当在射线上时，同理可求移动时与直线相切． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，注意已知圆的切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点，本题中注意到分两种情况讨论是解题的关键． 一、单选题 1．（25-26九年级上·北京·期中）如图，是的内切圆，切点分别为．若，则的周长为（   ） A．8 B．10 C．20 D．36 【答案】D 【分析】本题主要考查了切线长定理，根据切线长定理可得，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵是的内切圆，切点分别为， ∴， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：D． 2．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，，是的切线，切点分别为A，B，若，，则的半径为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理，熟练掌握切线长定理是解答本题的关键． 根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，可知的度数，连接，，，可知，故在中，根据角所对的直角边等于斜边的一半可表示出，然后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：连接，， ∵为的切线， ∴， ∵为的切线，， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得 , ∴ 故选：B． 3．（25-26九年级上·湖北荆门·月考）如图，、、是的切线，点、、是切点，分别交、于、两点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了切线的性质和全等三角形的性质，掌握切线的性质是解题的关键．连接，根据切线性质，，再根据为切线可知，即可求解出的度数． 【详解】解：如图，连接， 由切线性质得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 则的度数为． 故选：D． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴相切于点，与轴交于两点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作于，连接，由点的坐标可得，，进而由垂径定理得，即得，又根据切线的性质可得四边形是矩形，即得，，得到，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：过点作于，连接，则， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵与轴相切于点， ∴轴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选A． 5．（25-26九年级上·山西朔州·月考）如图，与相切于点C，，，，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查切线的性质，直角三角形的性质以及勾股定理等知识，连接，则，由得，得出，由勾股定理得；由，得，即是等腰直角三角形，可得，运用勾股定理可求出． 【详解】解：连接，如图， ∵与相切于点C， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在反比例函数的图象上，为轴上一点，若的面积为1，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，根据图形面积求比例系数（解析式），切线的性质定理，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用切线的性质说明轴，从而可得出轴，根据的面积为1，得出，进而求得． 【详解】解：∵与轴相切于点， ∴轴， ∴轴， ∵的面积为1， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴设，则，， ∴ ∴，解得：， 故答案为：4． 7．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，切于点A，交于点B．若，，则线段的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了切线的性质，运用圆的切线垂直于过切点的半径和勾股定理是解题关键，先由切线的性质得，再由勾股定理求得圆的半径，进而求出长． 【详解】解：如图，连接， ∵切于A点， ∴， ， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 8．（25-26九年级上·天津河北·期中）如图，点是的外心，点是的内心，连接，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理．连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 点是的内心， 平分， ， ， 点是外接圆的圆心， ， ， ， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，是的直径，是延长线上一点，且，与相切于点，连接，且，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆的切线性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，含角的直角三角形性质．熟练掌握圆的切线性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，含角的直角三角形性质是解题的关键． 连接，由切线性质得，由等腰三角形和外角性质，推出，得到，设半径为，列出方程，求出后再结合求出的长即可． 【详解】解：连接， 与相切于点， ， 设的半径为，则， ， ， ， ， 又， ， ， 在中， ， ， ， ，即， 解得， ． 故答案为． 10．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 ． 【答案】/28度 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．连接，根据切线的性质得，求出的度数，再根据圆周角定理计算的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵切于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的外接圆，是直径，作与过点A的切线交于点D，连接并延长交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查切线性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练掌握圆相关知识是解答的关键． （1）连接，先根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到，然后证明可得结论； （2）先根据切线性质和全等三角形的性质得到，设半径为，利用勾股定理求得，进而可求解． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ，， 且，， ， ； （2）解：是的切线， ， ， 设半径为，则，， ， 解得， ． 12．（25-26九年级上·浙江金华·期中）“板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要运输及交通工具．如图是板车侧面的部分示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，． (1)求证：； (2)若，求直线的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论、切线的性质、三角形内角和、等腰三角形、勾股定理的应用等知识，熟练运用相关定理进行推理和计算是解题的关键． (1)连接，由圆周角定理及其推论，切线的性质可得，，再由即可得到结论； (2)由可得，再由求得，从而求出，再通过勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：连接， 为车轮的直径，与车轮相切于点， ，， ， ， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，, 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 13．（25-26九年级上·云南曲靖·月考）如图，在中，，于点，过点作与边相切于点，交于点，为的直径． (1)求证：； (2)若，求半径的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握圆的切线的性质和相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据圆的切线的性质可得，再根据三角形的中位线定理可得，然后根据平行线的性质即可得证； （2）连接，设半径的长为，则直径，先求出，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：∵与边相切于点， ∴， ∵，于点， ∴，即点是的中点， ∵为的直径， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， 设半径的长为，则直径， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 由（1）已证：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， 所以半径的长为． 14．（25-26九年级上·上海·月考）如图，已知中，，过点作，且，连接交于点． (1)求的长 (2)以点为圆心，以为半径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)直线与相切，理由见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，圆切线的判定，勾股定理，直角三角形的性质，证明是解题的关键． （1）利用直角三角形的性质求出，根据题意易证，进而证明，利用相似三角形的性质即可求解； （2）利用勾股定理求出，再求出，由（1）知，利用相似三角形的性质求出，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，得到，结合是的半径，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：直线与相切，理由如下： ∵， ∴， ∵，，， ∴， 由（1）知， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切． 15．（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，四边形内接于，是直径，的延长线与相交于点，其中，． (1)求证：是切线； (2)若点是圆弧的中点，则 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、圆内接四边形的性质． (1)根据圆内接四边形的性质可知，根据三角形内角和定义可以求出，因为，根据三角形内角和定理可以求出，又因为点在圆上，可证是切线； (2)因为点是圆弧的中点，根据圆周角定理可知，根据直径所对的圆周角是直角，可知，根据三角形内角和定理可得． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接，则， 四边形内接于，， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线； （2）解：如下图所示，连接， 点是的中点， ， ， 由(1)得， ， 是的直径， ， ． 故答案为：． 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，内接于，是的直径，是的切线，C为切点，与线段的延长线相交于点D，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出，再求出的度数，然后利用切线的性质得出，最后求出的度数． 【详解】解：∵是的直径， ， 在中，， ， ∵是的切线，为切点， ， ， 在中，， ． 2．（26-27九年级上·北京·课前预习）如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分两种情况考虑即可． 【详解】解：如图，过点P作于点C，则， 即当时，此时与射线只有一个公共点； 如图，当时，则与射线只有一个公共点，此时; 综上，当或时，与射线只有一个公共点． 3．（2026·湖南长沙·二模）如图，是的内切圆，若的周长为8，面积为4，则的半径是（  ） A．1 B． C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】连接圆心与三角形三个顶点，将大三角形分割为三个小三角形，利用三角形面积公式（其中为周长，为内切圆半径）建立等量关系求解． 【详解】解：设的半径为， 连接， ∵是的内切圆， ∴点到的距离都等于， ∴ ， ∵的周长为8，面积为4， ∴， 解得． 4．（2026·湖北武汉·一模）如图，为地球示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，，是在点处的切线．则点处的太阳高度角（即光线与切线所成的锐角）的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据角的和差关系求出的度数，再利用平行线的性质求出的度数，最后根据切线的性质及角的和差关系计算的大小； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·河南平顶山·三模）如图，与相切于点A，B是上一点，交于另一点C，交于点D，连接． 若，，，则的半径为（     ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】连接，根据圆周角定理以及切线的性质可得，再证明，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即的半径为3． 二、填空题 6．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，则的内切圆半径_____ ． 【答案】 【分析】首先求出的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示和，而它们的和等于，得到关于的方程，即可求出． 【详解】解：如图，设的内切圆与各边相切于，，，连接，，， 则，，， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵的内切圆半径为， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，解得． 即的内切圆的半径为 ． 7．（2026九年级上·江苏南京·专题练习）如图，与相切，为切点，的延长线交于点，连接.若，则 __________ （用含的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】连接，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 与相切， ， ， ， ， ， ． 8．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图，、切于、两点，且切线长，切于点，分别交、于点、，则的周长为_____；若，则_____． 【答案】 【分析】对于第一空，由切线长定理得到，，，再根据三角形的周长公式和线段的和差关系求解即可；对于第二空，连接，由切线的性质和角平分线的判定定理可证明平分，平分，求出的度数，再根据角平分线的定义和角的和差关系求解即可． 【详解】解：由切线长定理得，，， ∴的周长 ； 如图所示，连接， 由切线的性质可得， 又∵， ∴平分，平分， ∴； ∵， ∴， ∴． 9．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的斜边与x轴重合，，， D为边的中点，以点B为圆心、长为半径作，将沿x轴向左平移得到，当边与相切于点P时，恰好也与y轴相切，则点P的坐标为_____________． 【答案】 【分析】先由勾股定理求出，连接，过点P作于Q，先证明，则，，即可求出、，进而可求，即可得解． 【详解】解：在中，， 如图，连接，过点P作于Q． ∵D为边的中点， ∴， ∵与相切， ， ， ， ，， ∴，， ∵将沿x轴向左平移得到， ∴， ，， 又， ， ∴点P的坐标为． 10．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在菱形中，，则以为圆心，为半径的与直线的位置关系是______；点为菱形所在平面内一动点，且，连接，，取的中点，连接．则线段最小值为______． 【答案】 相离 【分析】连接，交于点，交于点，由菱形的性质可得，，然后通过直角三角形的性质得，再与半径比较即可判断与直线的位置关系；连接，，交于点，由菱形的性质可得，，，然后通过是的中位线，得，所以点在以为圆心，为半径的圆上运动，故当点在线段上时，取得最小值． 【详解】解：如图，连接，交于点，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴以为半径的与直线的位置关系是相离； 如图，连接，，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点，点为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点在线段上时，取得最小值，如图， 此时最小值为． 三、解答题 11．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知：如图，分别为的切线，切点分别为，，，求的长． 【答案】 【分析】根据切线长定理得到，根据得到为等边三角形，继而得到． 【详解】解：分别为的切线， ， ， 为等边三角形， ． 12．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，、、． (1)经过A、B、C三点，则点M的坐标是 ，半径为 ； (2)直线l经过点C，且平行于y轴，请判断直线l与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)；； (2)相交，理由如下： 设直线交轴于点，则， ， 直线与相交． 【分析】（1）分别作，的垂直平分线，交点即为点M的位置； （2）设直线交轴于点，根据圆心到直线的距离与半径的关系判断位置关系即可． 【详解】（1）解：如图即为点M的位置： ， 连接，根据勾股定理可得， 即半径为； （2）略． 13．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，点O在菱形的对角线上，与相切于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接，过点O作于点F． ∵四边形是菱形， ∴平分． ∵与相切于点E， ． 又， ， ∴是的半径， ∴是的切线． (2) 【分析】（1）连接，过点O作于点F，根据菱形的性质，切线的性质以及角平分线的性质，推出，即可得证； （2）连接交于点G，证明，得到，在中，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接交于点G，如图，则，且G是的中点． ， ． 由（1）知， ． 又， ， ． 在中，， 由勾股定理，得， 即的半径为． 14．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，为的直径，，分别切于点B，D，直线交的延长线于点E，的延长线交于点 G，于点 F．若，． (1)求的半径长； (2)求线段的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）连接，先由切线长定理可知，再根据切线的性质在直角三角形中应用勾股定理即可求解； （2）说明，利用相似比即可求解． 【详解】（1）解：连接， ，分别切于点B，D， ，， 为的直径， ， ，， ，， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，由勾股定理可得 解得， 即的半径为； （2）由（1）得，，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 15．（2026·江苏南京·三模）如图，在四边形中，．过点的与相切于点与交于点． (1)连接，求证：四边形是矩形； (2)求证：； (3)若，则的长为__________． 【答案】(1)证明：连接． ， 为直径． ． ∵， ． ∴ 四边形是矩形． (2)证明：四边形是矩形， ． ． 与相切， ，即． ， ， ， ． ． (3) 【分析】（1）连接，由题意易得为直径，然后根据圆的基本性质及平行线的性质可得，进而问题可求证； （2）由（1）可知，则根据切线的性质可得，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求证； （3）由勾股定理可得，然后根据（2）可得，进而根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在中，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 16．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图所示的平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，以M为圆心的交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点．直线l过点C，，垂足为点P． (1)如图1，当平分时，试说明：直线l与相切； (2)如图2，当直线l与相交时，且另一个交点E在弧上时，连接、与． ①求证：； ②连接，证明：． (3)如图3，当直线l与相交，且另一个交点E在弧上时，连接、与．（2）中的两个结论是否仍成立？若成立，请直接回答成立；若不成立，请直接写出结果． 【答案】(1)解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切． (2)证明：①连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径，且， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 由圆周角定理推论得：， ∴． ②如图，过点作于点，连接， ∴， 由圆周角定理推论得：， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． (3)①仍成立；② 【分析】（1）先得出，，则可得，再得出，进而可得，然后得出，由此即可得； （2）①连接，先得出，再得出，由此即可得证； ②过点作于点，连接，分别证出，，根据全等三角形的性质、线段和差即可得证； （3）①仍成立；②；证明过程：过点作于点，连接，得出即可得；分别证出，，根据全等三角形的性质、线段和差即可得证． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：①仍成立；②． 如图，过点作于点，连接， ∵是的直径，且， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6 直线与圆的位置关系 教学目标 1. 理解直线与圆相交、相切、相离的概念，掌握圆心到直线的距离d与半径r的数量关系判定方法。 2. 掌握切线的判定定理和性质定理，能规范完成切线相关作图与简单计算。 3. 体会数形结合思想，提升几何直观与逻辑推理能力，能解决基础实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）直线与圆三种位置关系的定义，以及通过公共点个数或d与r的大小关系进行判定。 （2）切线的核心定理（判定与性质），明确“过半径外端且垂直于半径”的双重条件。 2.难点 （1）理解d与r的数量关系和直线与圆位置关系的对应逻辑，复杂图形中准确计算圆心到直线的距离。 （2）灵活运用切线定理解决几何证明或计算问题，把握定理应用的严谨性与条件完整性。 知识点01 直线与圆的三种位置关系 直线与圆的位置关系 1.直线和圆有几种位置关系 如图（a），直线L和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线． 如图（b），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，�这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点． 如图（c），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．[ 2.切线的判定和性质 1、切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径 2、推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 【即学即练1】1．（25-26九年级上·山东聊城·期中）已知的半径为，点在直线上．若，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相离或相切或相交 2．（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，在中，，O是上一点，与相切于点E，交于点F，连接，若，则的度数是 ． 3．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，四边形内接于，且为直径，过点D作的垂线，交的延长线于点H，且平分 (1)求证：是的切线； (2)若，，求、的长． 题型01 判断直线与圆的位置关系 【典例1】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）若的半径为 3，圆心到直线的距离为 4，则直线与的位置关系是（     ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）中，，，，以C为圆心，r为半径作圆，此圆与直线只有一个公共点，则（   ） A．6 B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与有公共点_____个． 【变式3】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，并且方程无实数根，则直线l与的位置关系是______． 题型02 已知直线和圆的位置关系求半径的取值范围 【典例1】（25-26九年级上·江苏宿迁·开学考试）已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4，则的半径可能是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（24-25九年级上·全国·课堂例题）在中，，若与相离，则半径为r满足（　　） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）在中，，，．的半径为r，若边与有公共点，则半径r的取值范围为______． 【变式3】（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，，是上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是_______． 题型03 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【典例1】（25-26九年级上·吉林延边·期末）已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·上海·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课前预习）已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是________． 【变式3】（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为_____． 题型04 判断或补全条件使直线为切线的条件 【典例1】（23-24九年级上·河北衡水·阶段检测）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2024·湖北·模拟预测）如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【变式2】（21-22九年级上·北京·期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是________．（写一个条件即可） 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，CD是的直径，BD是的弦，延长DC到点A，使．有下列三个条件：①；②；③．其中只需添加一个条件就能使AB成为的切线的是________（填序号）． 题型05 证明某直线是圆的切线 【典例1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，以的边为直径的恰好过的中点D，过点D作于点E，连接，则下列结论：①；②；③；④是的切线．其中结论正确的是________．（直接填序号） 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，内接于，为的直径，延长至点F，连接，，求证：是的切线． 【变式2】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，O为上一点，以点O为圆心，长为半径作圆，过点C作的垂线，交的延长线于点D．若．求证：是的切线． 【变式3】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，四边形内接于，是的直径，点在的延长线上，延长交的延长线于点，点是的中点，． 求证： (1)是的切线； (2)是等腰三角形． 题型06 切线性质的应用 【典例1】（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（  ） A．20m B． C． D．10m 【变式1】（23-24九年级下·江苏连云港·阶段检测）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走6里到达城堡边，再往前走4里到达树下．则该城堡的外围直径为（    ）里 A．3 B．6 C．8 D．10 【变式2】（23-24九年级下·河南南阳·期中）小明对出自秦九韶《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走到达城堡边，再往前走到达树下，则该城堡的外围周长为________． 【变式3】（2025·江苏南京·模拟预测）如图，是一圆形铁片（）平放在一个三棱柱盒子底面（）上的俯视图，铁片可以在盒内贴着盒底自由移动．若，的半径是1，则该盒子底面上，不能被该圆形铁片到达的部分的面积是______． 题型07 切线的判定和性质的综合应用 【典例1】（2024·广东·模拟预测）如图，P为的直径延长线上的一点，与相切，切点为C，点D是上一点，连结．已知．下列结论：（1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（25-26九年级上·重庆綦江·期末）如图，在四边形中，为对角线，，，，过、两点的⊙与相切于点．为中点，连接并延长，交于点，则的长度为_____________________；⊙的半径为_________． 【变式2】（2026·陕西西安·三模）如图，在中，，O为边上一点，以点O为圆心，长为半径的交于点P，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【变式3】（2026·四川达州·中考真题）已知：如图，P为外一点，与相切于点A．连接，，为的直径、连接． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为、，求的长． 题型08 求平移到直线相切时圆心经过的距离 【典例1】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 【变式1】（2025·河南濮阳·一模）如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为________． 【变式2】（25-26九年级上·四川广安·期末）如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则___________秒时与直线相切． 【变式3】（2023·浙江衢州·一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为___________秒．    题型09 求直线平移到与圆相切时运动的距离 【典例1】如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移(　　) A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【变式2】如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移 cm时与⊙O相切． 【变式3】如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为 时，与直线相切． 一、单选题 1．（25-26九年级上·北京·期中）如图，是的内切圆，切点分别为．若，则的周长为（   ） A．8 B．10 C．20 D．36 2．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，，是的切线，切点分别为A，B，若，，则的半径为（    ） A． B． C．2 D． 3．（25-26九年级上·湖北荆门·月考）如图，、、是的切线，点、、是切点，分别交、于、两点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴相切于点，与轴交于两点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·山西朔州·月考）如图，与相切于点C，，，，则（   ） A． B． C． D．3 二、填空题 6．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在反比例函数的图象上，为轴上一点，若的面积为1，则 ． 7．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，切于点A，交于点B．若，，则线段的长为 ． 8．（25-26九年级上·天津河北·期中）如图，点是的外心，点是的内心，连接，．若，则的度数为 ． 9．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，是的直径，是延长线上一点，且，与相切于点，连接，且，则的长为 ． 10．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 ． 三、解答题 11．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的外接圆，是直径，作与过点A的切线交于点D，连接并延长交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 12．（25-26九年级上·浙江金华·期中）“板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要运输及交通工具．如图是板车侧面的部分示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，． (1)求证：； (2)若，求直线的长． 13．（25-26九年级上·云南曲靖·月考）如图，在中，，于点，过点作与边相切于点，交于点，为的直径． (1)求证：； (2)若，求半径的长． 14．（25-26九年级上·上海·月考）如图，已知中，，过点作，且，连接交于点． (1)求的长 (2)以点为圆心，以为半径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由． 15．（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，四边形内接于，是直径，的延长线与相交于点，其中，． (1)求证：是切线； (2)若点是圆弧的中点，则 ． 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，内接于，是的直径，是的切线，C为切点，与线段的延长线相交于点D，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·北京·课前预习）如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 3．（2026·湖南长沙·二模）如图，是的内切圆，若的周长为8，面积为4，则的半径是（  ） A．1 B． C．1.5 D．2 4．（2026·湖北武汉·一模）如图，为地球示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，，是在点处的切线．则点处的太阳高度角（即光线与切线所成的锐角）的大小是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·河南平顶山·三模）如图，与相切于点A，B是上一点，交于另一点C，交于点D，连接． 若，，，则的半径为（     ） A．1 B． C．2 D．3 二、填空题 6．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，则的内切圆半径_____ ． 7．（2026九年级上·江苏南京·专题练习）如图，与相切，为切点，的延长线交于点，连接.若，则 __________ （用含的代数式表示）． 8．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图，、切于、两点，且切线长，切于点，分别交、于点、，则的周长为_____；若，则_____． 9．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的斜边与x轴重合，，， D为边的中点，以点B为圆心、长为半径作，将沿x轴向左平移得到，当边与相切于点P时，恰好也与y轴相切，则点P的坐标为_____________． 10．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在菱形中，，则以为圆心，为半径的与直线的位置关系是______；点为菱形所在平面内一动点，且，连接，，取的中点，连接．则线段最小值为______． 三、解答题 11．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知：如图，分别为的切线，切点分别为，，，求的长． 12．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，、、． (1)经过A、B、C三点，则点M的坐标是 ，半径为 ； (2)直线l经过点C，且平行于y轴，请判断直线l与的位置关系，并说明理由． 13．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，点O在菱形的对角线上，与相切于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 14．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，为的直径，，分别切于点B，D，直线交的延长线于点E，的延长线交于点 G，于点 F．若，． (1)求的半径长； (2)求线段的长． 15．（2026·江苏南京·三模）如图，在四边形中，．过点的与相切于点与交于点． (1)连接，求证：四边形是矩形； (2)求证：； (3)若，则的长为__________． 16．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图所示的平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，以M为圆心的交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点．直线l过点C，，垂足为点P． (1)如图1，当平分时，试说明：直线l与相切； (2)如图2，当直线l与相交时，且另一个交点E在弧上时，连接、与． ①求证：； ②连接，证明：． (3)如图3，当直线l与相交，且另一个交点E在弧上时，连接、与．（2）中的两个结论是否仍成立？若成立，请直接回答成立；若不成立，请直接写出结果． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $