专题2.5 不在同一条直线上的三点作圆（7大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级下册

专题2.5 不在同一条直线上的三点作圆 教学目标 1. 知识目标：理解点与圆的位置关系，掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”的定理，明确三角形外接圆、外心的定义与性质。 2. 能力目标：通过尺规作图提升几何操作能力，能运用定理解决找圆心、画外接圆等问题，培养逻辑推理与空间想象能力。 3. 素养目标：体会“从特殊到一般”的探究思路，感受几何严谨性，养成规范描述作图与证明过程的习惯。 教学重难点 1.重点 （1）核心定理：深刻理解并掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”，明确定理中“不共线”的关键条件。 （2）概念与应用：掌握三角形外接圆、外心的定义及外心的性质，能规范完成三角形外接圆的尺规作图。 2.难点 （1） 逻辑理解：难点在于理解“确定一个圆”的双重含义（存在性与唯一性），以及共线三点无法确定圆的推理过程。 （2）实际应用：难以灵活运用定理解决实际问题（如破损圆形物件的圆心确定），且易混淆不同类型三角形外心的位置。 知识点01 确定圆的条件 1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆； 2.一个三角形能画一个外接圆，一个圆中有无数个内接三角形。 3.三角形的外接圆与外心 示意图 三角形的外接圆与外心 经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心．从三角形外心的定义知:三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等． 如图,分别作出线段AB的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2,设它们的交点为O,则OA＝OB＝OC．于是以点O为圆心,OA(或OB、OC)为半径,便可作出经过A、B、C三点的圆．因为过A、B、C三点的圆的圆心只能是点O,半径等等于OA,所以这样的圆只有一个． 1）经过一个已知点A可画无数个圆。 2）经过已知两点A，B作圆，可画无数个，它们的圆心在线段AB的垂直平分线上 3）经过同一直线上三个点A、B、C的圆是不存在的。 4）经过不在同一直线上的三个点A、B、C可画一个圆，而且只能作一个圆。 【即学即练1】1．（25-26九年级上·山西运城·月考）下列说法：①过三点可以作圆：②相等的圆心角所对的弧相等；③垂直于弦的直径平分这条弦；④平分弦的直径垂直于弦．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）点是平面直角坐标系上一点，以点为圆心，长为半径作圆并与坐标轴交于不与原点重合的、两点，则的长为 ． 3．（25-26九年级上·吉林·期中）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均是格点，的外接圆的圆心记为点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，标出圆心． (2)在图②中，的外接圆上找出一点，使得． (3)在图③中，的外接圆上找出一点，使得． 题型01 判断确定圆的条件 【典例1】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）下列条件中，可以确定一个圆的是（     ） A．以点为圆心 B．以为半径 C．以点为圆心，为半径 D．经过已知点 【变式1】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）下列叙述不正确的是（     ） A．矩形的四个顶点在同一个圆上 B．直角三角形的三个顶点在同一个圆上 C．三角形的三个顶点在同一个圆上 D．菱形的四个顶点在同一个圆上 【变式2】（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）下列命题中假命题的是（     ） A．直径是圆中最长的弦 B．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 【变式3】（26-27九年级上·全国·期中）经过不在同一条直线上的三个点可以确定____________个圆． 题型02 确定圆心（尺规作图） 【典例1】（25-26九年级下·四川南充·期中）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三个格点，那么所对的圆心角的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，三点，那么这条圆弧所在圆的圆心的坐标为___________． 【变式2】（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，边长均为的个正方形，、、三点在圆上，则圆的半径为________． 【变式3】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点、、． (1)利用网格线画出经过，，三点的圆弧所在圆的圆心（保留痕迹），且点的坐标为_________； (2)的半径为_________，的度数为_________． 题型03 求确定圆的个数 【典例1】（26-27九年级上·全国·期中）经过一个已知点作圆，可以作的圆有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（     ） A．3个 B．4个 C．2个 D．0个 【变式2】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【变式3】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为___________个． 题型04 画圆（尺规作图） 【典例1】（26-27九年级上·全国·期中）如图，已知． (1)用尺规作的外接圆（保留作图痕迹，标出圆心O） (2)说明圆心O为什么是的垂直平分线的交点． 【变式1】（26-27九年级上·全国·期中）如图，在中，． (1)用尺规作的外接圆（保留作图痕迹，标出圆心O） (2)求的外接圆的半径． 【变式2】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）根据题目条件，解答下列各题 (1)如图，用无刻度的直尺和圆规作出的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若等腰的外接圆的半径为，底边，则的长为________． 【变式3】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知． (1)尺规作图：求作，使经过，，三点； (2)仅用没有刻度的直尺作的内接矩形．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 题型05 三角形的外接圆 【典例1】（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图所示，在的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的外心 C．的外心 D．的外心 【变式1】（2026·山东德州·一模）如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是的外接圆，若，则的值为_______． 【变式3】（2026·河北石家庄·二模）如图，O是的外心，则________． 题型06 求三角形外心坐标 【典例1】（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点、点、点，则的外心的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·北京大兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，，则外接圆的圆心坐标是_______． 题型07 求三角形外接圆的半径 【典例1】（26-27九年级上·全国·期中）直角三角形的两条直角边分别为和，则它的外接圆的半径为（     ） A．5 B．6 C．6.5 D．13 【变式1】（2026·广西南宁·二模）如图，大和小分别是等边的外接圆和内切圆，笑笑随意向水平放置的大内部区域抛一个飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·全国·期中）直角三角形的两条直角边分别为6和8，则它的外接圆的半径为____________． 【变式3】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·福建莆田·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．三角形的外心到三角形三条边的距离相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 3．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为 个． 7．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 8．（2025·辽宁·一模）如图，在中，，，，分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，连接弧的两个交点；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，连接弧的两个交点，取所作两条直线的交点，以该交点为圆心，该交点到的距离为半径作弧交于，则弧的长为 ． 9．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 ． 10．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）如图，与x轴交于点，，与y轴的正半轴交于点C．若． （1）圆心P的坐标为 ； （2）点C的纵坐标为 ． 三、解答题 11．（25-26九年级上·浙江·月考）如图，一个弓形零件，高为，长． (1)请用直尺和圆规画出弓形所在圆的圆心． (2)请计算弓形所在圆的半径长． 12．（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知等腰三角形，如图． (1)用直尺和圆规作的外接圆； (2)设的外接圆的圆心为，若，，则的外接圆的半径为 ． 13．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，， ，解答下列问题： (1)请在图中确定该圆弧所在圆心点的位置，则点坐标为_______． (2)连结，，求出的度数． 14．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，于点D，，． (1)求的长； (2)若，求外接圆的半径． 15．（25-26九年级上·江西新余·月考）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作的外接圆圆心O． (2)在图2中作的外接圆圆心P． 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·期中）经过两个已知点A、B作圆，圆心（    ） A．在线段上 B．在线段的垂直平分线上 C．在直线上 D．只能在的中点 2．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）点O是的外心，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 4．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，图中外接圆的圆心坐标是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·河南三门峡·一模）如图，在中，．观察图中尺规作图的痕迹，则的半径是（   ） A． B．5 C．6 D．10 二、填空题 6．（26-27九年级上·全国·期中）等边三角形的边长为，则它的外接圆的半径为____________． 7．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列有关圆的一些结论：①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③圆内接四边形对角互补；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等．正确的有________________．（填序号） 8．（2026·江苏扬州·二模）如图，是的外接圆，，则的度数等于________． 9．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，是的内接三角形，，，D是边上一点， 连接并延长交于点E．若，，则的半径为______． 10．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外接圆的半径为_____________． 三、解答题 11．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）在网格中（每个小正方形的边长都为个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系． (1)请在图中标出的外接圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连结，求的度数． 12．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆的面积． 13．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）： (1)利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为______； (2)连接，的半径为______，的度数为______． 14．（2026·河北保定·三模）如图，在平行四边形中，，点，点分别从点，点同时出发，在线段上做等速运动，到达点，点后运动停止． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，求的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 不在同一条直线上的三点作圆 教学目标 1. 知识目标：理解点与圆的位置关系，掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”的定理，明确三角形外接圆、外心的定义与性质。 2. 能力目标：通过尺规作图提升几何操作能力，能运用定理解决找圆心、画外接圆等问题，培养逻辑推理与空间想象能力。 3. 素养目标：体会“从特殊到一般”的探究思路，感受几何严谨性，养成规范描述作图与证明过程的习惯。 教学重难点 1.重点 （1）核心定理：深刻理解并掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”，明确定理中“不共线”的关键条件。 （2）概念与应用：掌握三角形外接圆、外心的定义及外心的性质，能规范完成三角形外接圆的尺规作图。 2.难点 （1） 逻辑理解：难点在于理解“确定一个圆”的双重含义（存在性与唯一性），以及共线三点无法确定圆的推理过程。 （2）实际应用：难以灵活运用定理解决实际问题（如破损圆形物件的圆心确定），且易混淆不同类型三角形外心的位置。 知识点01 确定圆的条件 1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆； 2.一个三角形能画一个外接圆，一个圆中有无数个内接三角形。 3.三角形的外接圆与外心 示意图 三角形的外接圆与外心 经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心．从三角形外心的定义知:三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等． 如图,分别作出线段AB的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2,设它们的交点为O,则OA＝OB＝OC．于是以点O为圆心,OA(或OB、OC)为半径,便可作出经过A、B、C三点的圆．因为过A、B、C三点的圆的圆心只能是点O,半径等等于OA,所以这样的圆只有一个． 1）经过一个已知点A可画无数个圆。 2）经过已知两点A，B作圆，可画无数个，它们的圆心在线段AB的垂直平分线上 3）经过同一直线上三个点A、B、C的圆是不存在的。 4）经过不在同一直线上的三个点A、B、C可画一个圆，而且只能作一个圆。 【即学即练1】1．（25-26九年级上·山西运城·月考）下列说法：①过三点可以作圆：②相等的圆心角所对的弧相等；③垂直于弦的直径平分这条弦；④平分弦的直径垂直于弦．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查确定圆的条件、圆心角与弧的关系、垂径定理及其推论．根据相关性质逐一判断每个说法的正确性． 【详解】解：①过三点不一定可以作圆（三点共线时不能），故说法错误； ②相等的圆心角所对的弧相等必须在同圆或等圆中，故说法错误； ③垂直于弦的直径平分这条弦（垂径定理），故说法正确； ④平分弦的直径不一定垂直于弦（当弦为直径时，平分但不垂直），故说法错误． ∴ 正确的只有1个． 故选：A． 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）点是平面直角坐标系上一点，以点为圆心，长为半径作圆并与坐标轴交于不与原点重合的、两点，则的长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，由点A坐标求长作为半径，则，设与x轴交于点，与y轴交于点，则，，即可求出b、c，在中利用勾股定理求的长即可． 【详解】解：点到原点O的距离， 故圆的半径为10， ∴， 设与x轴交于点，与y轴交于点， ∴，， ∵、两点不与原点重合，即，， ∴，， ∴在中，，，由勾股定理得， 则． 故答案为：20． 3．（25-26九年级上·吉林·期中）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均是格点，的外接圆的圆心记为点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，标出圆心． (2)在图②中，的外接圆上找出一点，使得． (3)在图③中，的外接圆上找出一点，使得． 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)见详解． 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理等知识，熟练掌握网格的特点是解题的关键． （1），作中点即可； （2）过作（取格点）即可； （3）作的垂直平分线即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； ； （2）点即为所求； ； （3）如图，点即为所求． 题型01 判断确定圆的条件 【典例1】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）下列条件中，可以确定一个圆的是（     ） A．以点为圆心 B．以为半径 C．以点为圆心，为半径 D．经过已知点 【答案】C 【分析】确定一个圆需同时明确圆心和半径两个必要条件． 【详解】解：A仅给出圆心、B仅给出半径，均不能确定一个圆． C同时给出圆心和半径，可以确定一个圆． D仅给出经过的点，圆心与半径均不确定，不能确定一个圆． 【变式1】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）下列叙述不正确的是（     ） A．矩形的四个顶点在同一个圆上 B．直角三角形的三个顶点在同一个圆上 C．三角形的三个顶点在同一个圆上 D．菱形的四个顶点在同一个圆上 【答案】D 【详解】解：∵ 不在同一条直线上的三个点确定一个圆， ∴任意三角形的三个顶点共圆, ∴ B、C正确； ∵矩形的四个角都是直角， ∴矩形的对角互补， ∴矩形的四个顶点在同一个圆上， ∴A正确； ∵菱形对角相等，一般菱形的对角和不为, ∴菱形的四个顶点不一定共圆， ∴D错误． 【变式2】（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）下列命题中假命题的是（     ） A．直径是圆中最长的弦 B．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 【答案】C 【分析】根据圆的相关性质和三角形外心的定义逐一分析每个选项即可． 【详解】解：A、B、D均为圆的基本性质，是真命题． C. 相等的圆心角所对的弧相等需以同圆或等圆为前提，该命题缺少条件，是假命题． 【变式3】（26-27九年级上·全国·期中）经过不在同一条直线上的三个点可以确定____________个圆． 【答案】1 【分析】核心条件为不在同一条直线上的三个点，结合确定圆的条件判断可确定的圆的数量． 【详解】解：根据确定圆的基本规则，不在同一条直线上的三个点，有且只有一个圆同时经过这三个点，因此可以确定1个圆． 题型02 确定圆心（尺规作图） 【典例1】（25-26九年级下·四川南充·期中）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三个格点，那么所对的圆心角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作，的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可． 【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，如图， 它们都经过，则点为这条圆弧所在圆的圆心． 连接，， 在与中 ， ， ，， ， ， ， 即所对的圆心角的大小是． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，三点，那么这条圆弧所在圆的圆心的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心． 【详解】解：作线段和的垂直平分线，交于点，即为弧的圆心，如图： 【变式2】（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，边长均为的个正方形，、、三点在圆上，则圆的半径为________． 【答案】 【分析】作出解图的辅助线，确定圆心O，设，利用勾股定理得到，即，解方程得到，再用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作的垂直平分线，交于点Q，交的延长线于点P，作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O， 4个正方形的边长均为2， ，，， 设，则， ，即， ， 即， 解得，即， ， ． 【变式3】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点、、． (1)利用网格线画出经过，，三点的圆弧所在圆的圆心（保留痕迹），且点的坐标为_________； (2)的半径为_________，的度数为_________． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）作、的垂直平分线，它们的交点就是圆心； （2）利用网格特点，结合勾股定理求出半径，再利用勾股定理的逆定理即可得到． 【详解】（1）解：图略，点的坐标为； （2）解： ∵，，， ∴，的半径为， ∴． 题型03 求确定圆的个数 【典例1】（26-27九年级上·全国·期中）经过一个已知点作圆，可以作的圆有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】D 【详解】解：圆由圆心和半径确定.过点的圆，只需圆心到点的距离等于半径，圆心的位置有无数种可能，因此可以作无数个圆. 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（     ） A．3个 B．4个 C．2个 D．0个 【答案】A 【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 【详解】解：依题意，，；，；，加上点可以画出一个圆， ∴共有3个． 【变式2】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图、确定圆的条件，熟练掌握与圆有关的性质是解答本题的关键．连接，作线段的垂直平分线，以点（或）为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点，分别以为圆心，线段的长为半径画圆即可． 【详解】解：如图，满足题意． 这样的圆可以作2个． 故选：B． 【变式3】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为___________个． 【答案】3 【分析】本题考查了确定圆的条件. 根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【详解】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故答案为：3． 题型04 画圆（尺规作图） 【典例1】（26-27九年级上·全国·期中）如图，已知． (1)用尺规作的外接圆（保留作图痕迹，标出圆心O） (2)说明圆心O为什么是的垂直平分线的交点． 【答案】(1)如图所示 (2)连接， ∵， ∴点O在的垂直平分线上，且在的垂直平分线上， ∴圆心O是的垂直平分线的交点． 【分析】（1）分别以点B，C为圆心，以为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线，同理作的垂直平分线，两条直线交于点O，则点O即为所求； （2）根据线段垂直平分线的性质定理解答． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1】（26-27九年级上·全国·期中）如图，在中，． (1)用尺规作的外接圆（保留作图痕迹，标出圆心O） (2)求的外接圆的半径． 【答案】(1)如图所示 (2)5 【分析】（1）分别以点B，C为圆心，以为半径画弧，两弧交于点D，E，作直线，再以点A，C为圆心，以为半径画弧，两弧交于点G，H，作直线，两直线交于点O，以点O为圆心，以为半径画弧，则即为所求作； （2）根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：根据勾股定理，得， ∴， 所以的外接圆的半径是5． 【变式2】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）根据题目条件，解答下列各题 (1)如图，用无刻度的直尺和圆规作出的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若等腰的外接圆的半径为，底边，则的长为________． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线得到圆心，以为半径画圆就得到的外接圆． （2）作等腰三角形底边上的高，由三线合一得，连接半径，在直角三角形中算出，分圆心在三角形内部、外部两种情况求出高为 9 或者 1，再用勾股定理算出长为或者． 【详解】（1）略． （2）解：过点作于点，连接． 是等腰三角形，，， ． ， ． 等腰三角形外接圆圆心在高上，外接圆半径． 在中，由勾股定理， ． 分两种情况讨论： ① 当圆心在内部时， ． 在中， ． ② 当圆心在外部时， ． 在中， ． 的长为或． 【变式3】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知． (1)尺规作图：求作，使经过，，三点； (2)仅用没有刻度的直尺作的内接矩形．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)分别作线段，的垂直平分线 两条垂直平分线交于点，以点为圆心，的长为半径画圆 ∴即为所求 (2)作直径，，连接、、 矩形即为所求 【分析】（1）分别作线段，的垂直平分线，两条垂直平分线交于点，以点为圆心，的长为半径画圆即可； （2）作直径，，连接、、，则矩形即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 题型05 三角形的外接圆 【典例1】（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图所示，在的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的外心 C．的外心 D．的外心 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】解：由勾股定理可知：， ， 所以点是△的外心． 【变式1】（2026·山东德州·一模）如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据得出，即可求出，利用三角形外角的性质即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是的外接圆圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是的外接圆，若，则的值为_______． 【答案】 /70度 【分析】连接，根据圆周角定理结合等边对等角，进行求解即可. 【详解】解：连接， ∵是的外接圆，， ∴，， ∴. 【变式3】（2026·河北石家庄·二模）如图，O是的外心，则________． 【答案】/90度 【分析】根据圆的外心定义和等腰三角形的性质得到，，，再根据三角形的内角和定理和周角定义求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，则． 题型06 求三角形外心坐标 【典例1】（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心． 依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，观察图象，可直接得出外心的坐标． 【详解】解：∵三角形的外心是各边的垂直平分线的交点， 图中已明确出各边垂直平分线以及其交点， 观察图象，可直接得出外心坐标为， 故选A． 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点、点、点，则的外心的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点，可得点是的外心． 【详解】解：如图，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点， 点是的外心， 的外心的坐标为． 【变式2】（25-26九年级上·北京大兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    【答案】 【分析】本题主要考查三角形外接圆的相关知识点，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；因此此题可分别作出线段的垂直平分线，然后问题可求解． 【详解】解：分别作线段的垂直平分线，如图所示：      ∴由坐标系可知：的外接圆的圆心坐标为； 故答案为． 【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，，则外接圆的圆心坐标是_______． 【答案】 【分析】三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，所以需分别画出和的垂直平分线，再求其交点坐标． 【详解】解：如下图， 分别作出与的垂直平分线交于点E，则点E的横坐标为3，纵坐标为3， 外接圆的圆心坐标是． 题型07 求三角形外接圆的半径 【典例1】（26-27九年级上·全国·期中）直角三角形的两条直角边分别为和，则它的外接圆的半径为（     ） A．5 B．6 C．6.5 D．13 【答案】C 【分析】解题关键是明确直角三角形外接圆直径等于斜边长． 【详解】解：由勾股定理得，直角三角形斜边长为， ∵直角三角形外接圆的直径等于斜边长， ∴外接圆半径为． 【变式1】（2026·广西南宁·二模）如图，大和小分别是等边的外接圆和内切圆，笑笑随意向水平放置的大内部区域抛一个飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记与小相切于点，与小相切于点，连接，，，根据等边三角形的性质可知，，根据含角的直角三角形的性质可知，设，则，根据圆的面积公式求出阴影圆与大的面积比即为飞镖落在阴影区域的概率． 【详解】解：如下图所示，记与小相切于点，与小相切于点，连接，，， 为等边三角形， ， ，， ， 设，则， 飞镖落在阴影区域的概率为． 【变式2】（26-27九年级上·全国·期中）直角三角形的两条直角边分别为6和8，则它的外接圆的半径为____________． 【答案】5 【分析】先通过勾股定理求出直角三角形的斜边长，再结合直角三角形外接圆直径等于斜边长的性质计算半径． 【详解】解：直角三角形的两条直角边分别为6和8， 由勾股定理得斜边长为， 直角三角形的外接圆直径等于其斜边长， 外接圆半径为． 【变式3】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的外心，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；根据三角形的外心可分别作出线段的垂直平分线，它们的交点即为三角形的外心，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：的外心坐标是； 故选B． 2．（25-26九年级上·福建莆田·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．三角形的外心到三角形三条边的距离相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 【答案】D 【分析】本题考查圆的性质和三角形外心的概念，根据定义和定理逐项判断即可． 【详解】解：A.∵在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，∴错误； B.∵三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到顶点距离相等，到边距离相等的是内心，∴错误； C.∵垂径定理指出平分弦（非直径）的直径垂直于弦，未指定非直径，∴错误； D.∵在同圆或等圆中，相等圆心角所对的弦相等，是圆心角定理，∴正确； 故选D． 3．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的外心，关键是熟练掌握三角形的外心的概念．根据三角形的外心是三边的垂直平分线的交点，再结合图形进行判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三边的垂直平分线的交点， 三角形的外心到三个顶点的距离相等． 由图可知，设网格中每个小正方形的边长为， 则点到三个顶点的距离均为， 即点到三个顶点的距离相等， 的外心是点． 故选：C． 4．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆内接四边形性质，根据圆周角定理得到，即可求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵为的外接圆，且是的直径，， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故选：． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和勾股定理解题是关键． 连接、，过点作，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角形内角和为得到，再利用垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理即可求出的半径． 【详解】解：连接、，过点作， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， 在中，利用勾股定理得，． 故选：． 二、填空题 6．（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为 个． 【答案】3 【分析】本题考查了确定圆的条件. 根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【详解】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故答案为：3． 7．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了不共线三点确定一个圆，求一次函数解析式，解一元二次方程等知识；根据题意求出直线的解析式，把点C的坐标代入函数解析式中，求得m的值，则当m不取这些值时，三点不共线，能确定一个圆． 【详解】解：直线的解析式为， 则有， 解得：， ∴直线的解析式为， 把点C的坐标代入得：， 即， 解得：， ∴当或时，A、B、C三点能确定一个圆； 故答案为：4或． 8．（2025·辽宁·一模）如图，在中，，，，分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，连接弧的两个交点；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，连接弧的两个交点，取所作两条直线的交点，以该交点为圆心，该交点到的距离为半径作弧交于，则弧的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理、三角形的外接圆、弧长公式等知识，由作图可知点O为的外接圆圆心是解题的关键．由作图可知，点O为的外接圆圆心，连接，由圆周角定理求出，得到，利用弧长公式即可求出答案． 【详解】解：如图，由作图可知，点O为的外接圆圆心，连接， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴弧的长为， 故答案为： 9．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心．连接、，根据圆周角定理得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接、，则， ， ， ，即， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）如图，与x轴交于点，，与y轴的正半轴交于点C．若． （1）圆心P的坐标为 ； （2）点C的纵坐标为 ． 【答案】 / 【分析】（1）连接，，，过点作于，于，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，由垂径定理得到，解直角三角形得到，，，即可求出圆心P的坐标； （2）根据勾股定理得到的长，于是得到结论． 【详解】解：（1）连接，，，过点作于，于， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，，， 四边形是矩形， ，， ∴圆心P的坐标为． 故答案为：； （2）∵， ， ， 点的纵坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 三、解答题 11．（25-26九年级上·浙江·月考）如图，一个弓形零件，高为，长． (1)请用直尺和圆规画出弓形所在圆的圆心． (2)请计算弓形所在圆的半径长． 【答案】(1)图见详解 (2)弓形所在圆的半径长为． 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）在上取一点E，连接，作线段，的垂直平分线交于点O，点O即为所求； （2）设，的垂直平分线交于点C，交于点D．利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：设，的垂直平分线交于点C，交于点D． ， ， ∵， ∴， 在中，则有， 解得， ∴弓形所在圆的半径长为． 12．（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知等腰三角形，如图． (1)用直尺和圆规作的外接圆； (2)设的外接圆的圆心为，若，，则的外接圆的半径为 ． 【答案】(1)图见详解； (2)2 【分析】（1）本题考查了尺规作图及外接圆性质，根据外接圆到各个顶点的距离相等作出、的垂直平分线，找到交点即为外接圆圆心，再画圆即可得到答案； （2）本题考查圆周角定理及圆内接四边形对角互补，根据，求出，再根据垂径定理求出即可得到答案； 【详解】（1）解：作、的垂直平分线交点即为外接圆圆心，如图所示， ； （2）解：∵，， ∴， ， ∴， ∵等腰三角形的外接圆的圆心为， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 13．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，， ，解答下列问题： (1)请在图中确定该圆弧所在圆心点的位置，则点坐标为_______． (2)连结，，求出的度数． 【答案】(1)图形见解析， (2) 【分析】本题主要考查确定圆的条件、勾股定理的逆定理、平面直角坐标系： （1）作线段和线段的垂直平分线，两条直线的交点即为点； （2）利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，作线段和线段的垂直平分线，两条直线的交点即为点． 故答案为： （2）如图所示，连接． ∵，，， ∴． ∴． 14．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，于点D，，． (1)求的长； (2)若，求外接圆的半径． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，外接圆的半径，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先解求出，再由勾股定理求解； （2）在中运用勾股定理求解，再根据直角三角形外接圆半径等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）解：∵于点D，，， ∴, ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴外接圆的半径． 15．（25-26九年级上·江西新余·月考）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作的外接圆圆心O． (2)在图2中作的外接圆圆心P． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作中垂线与边交于点即为所求．可证明是直角三角形，由垂直平分线的性质可知，则，可证，则，所以，则即为所求； （2）根据方格作的垂直平分线，其交点即为点，根据垂直平分线的性质可证，所以即为所求． 【详解】（1）解：作中垂线与斜边交于点即为所求； 由勾股定理可知：， ， ∴是直角三角形， 作中垂线与斜边交于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故点即为所求； （2）解：作垂直平分线的交点即为所求； ∵在的垂直平分线上， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， 故点即为所求． 【点睛】本题考查方格纸作图，三角形的外接圆，线段的垂直平分线，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·期中）经过两个已知点A、B作圆，圆心（    ） A．在线段上 B．在线段的垂直平分线上 C．在直线上 D．只能在的中点 【答案】B 【详解】解：∵圆的圆心到圆上任意一点的距离等于半径． ∴经过，两点的圆的圆心到点，点的距离相等． ∵到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． ∴圆心在线段的垂直平分线上． 2．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）点O是的外心，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形的外心是三边垂直平分线的交点，也就是外接圆的圆心；同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍． 【详解】解：点O是的外心， 点O是外接圆的圆心. 与对同一条弧，且是圆心角、是圆周角. ． 3．（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 4．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，图中外接圆的圆心坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，先根据、坐标确定边的垂直平分线，再利用圆心到顶点距离相等列方程求解． 【详解】解：由图可知，， ， 线段的中点坐标为，且垂直于轴 线段的垂直平分线为直线 外接圆圆心的纵坐标为， 设圆心坐标为 圆心到点、的距离相等 整理得 解得 外接圆的圆心坐标是． 5．（2026·河南三门峡·一模）如图，在中，．观察图中尺规作图的痕迹，则的半径是（   ） A． B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】由作法得：点O为的三边垂直平分线的交点，则为的外接圆，连接，由圆周角定理可得，可得为等边三角形，即可求解． 【详解】解：由作法得：点O为的三边垂直平分线的交点，则为的外接圆， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 即的半径是5． 二、填空题 6．（26-27九年级上·全国·期中）等边三角形的边长为，则它的外接圆的半径为____________． 【答案】4 【详解】解：设等边三角形为，边长，为边上的高，其外接圆圆心在上，连接， 是等边三角形，， ， 在中，由勾股定理得， 设外接圆半径为，则，， 在中，， 由勾股定理得， 代入对应线段长度得， 展开等式右侧：， 两边消去，得， 解得． 7．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列有关圆的一些结论：①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③圆内接四边形对角互补；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等．正确的有________________．（填序号） 【答案】③⑤ 【分析】逐一验证每个结论，注意圆相关定理的前提限制条件，即可得到正确结果． 【详解】解：①只有不共线的三点才能确定一个圆，共线三点无法确定一个圆，故①错误； ②只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，缺少前提条件，故②错误； ③圆内接四边形对角互补，符合圆的性质，故③正确； ④只有当被平分的弦不是直径时，平分弦的直径才垂直于弦，且平分弦所对的弧，若被平分的弦是直径，结论不成立，缺少前提条件，故④错误； ⑤三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离都相等，符合外心的性质，故⑤正确； 综上，正确的结论是③⑤． 8．（2026·江苏扬州·二模）如图，是的外接圆，，则的度数等于________． 【答案】/度 【分析】利用是的外接圆，可得，再根据等腰三角形底角相等和三角形的内角和为，可求得的大小，最后再利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可解答． 【详解】解：如图：连接， 是的外接圆， ， ， ， 根据圆周角定理可知，． 9．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，是的内接三角形，，，D是边上一点， 连接并延长交于点E．若，，则的半径为______． 【答案】 【分析】连接，根据等腰三角形性质求出，利用圆周角定理得出，从而证得为等边三角形，得到；再证明，利用对应边成比例求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的半径为． 10．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外接圆的半径为_____________． 【答案】 【分析】根据点、的坐标特征确定线段的垂直平分线，设出圆心坐标，利用圆心到点、的距离相等建立方程求出圆心纵坐标，最后利用两点间距离公式计算半径即可． 【详解】解：点，的纵坐标相同， 线段平行于轴，且中点横坐标为， 线段的垂直平分线为直线， 的外接圆圆心在线段的垂直平分线上， 设外接圆圆心坐标为， 点到点、的距离相等，且， ， ， ， ， ， ， ， 外接圆圆心坐标为， 外接圆半径． 三、解答题 11．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）在网格中（每个小正方形的边长都为个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系． (1)请在图中标出的外接圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连结，求的度数． 【答案】(1)圆心位置如图所示： (2) 【分析】（1）利用外心是三边垂直平分线交点，在网格中作两条边的垂直平分线即可确定圆心； （2）计算 、、，由 判定两腰相等，由 判定顶角为直角，从而得到等腰直角三角形，求出底角 ． 【详解】（1）解：三角形外接圆圆心（外心）是三边垂直平分线的交点．分别作线段、的垂直平分线，两条垂直平分线交于点． 由网格格点坐标可得外接圆圆心为，以为圆心、为半径画圆即得的外接圆． （2）解：连接、、． 由图知 、、，由两点间距离的平方公式： ∴，即． 又． 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，且． ∵， 是等腰直角三角形． ． 12．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆的面积． 【答案】(1)如图所示，点即为所求． (2)外接圆的面积为 【分析】（1）三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心； （2）连接，利用勾股定理求得半径，再计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ， 故外接圆的面积为． 13．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）： (1)利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为______； (2)连接，的半径为______，的度数为______． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）分别作线段和线段的垂直平分线，二者的交点即为圆心D点的位置； （2）连接，利用两点间的距离公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接， 由（1）和题意得， ∴，， ， ∴的半径为； ∵， ∴， ∴是直角三角形，即． 14．（2026·河北保定·三模）如图，在平行四边形中，，点，点分别从点，点同时出发，在线段上做等速运动，到达点，点后运动停止． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，求的取值范围． 【答案】(1)证明：点E，点F分别从点B，点C同时出发，在线段上做等速运动， ， ，即， ， ， 在和中， ， ； (2) (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外心、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据题意可得，进而得到，根据等腰三角形的性质得到，利用“”证明即可； （2）先由，结合等腰三角形内角和计算的度数，再结合（1）的全等结论得到角的等量关系，进而推导的度数； （3）根据三角形外心在内部的性质，判断为锐角三角形，得到三个内角均小于的约束，求解出的取值范围，再根据与的等量关系得到最终范围． 【详解】（1）略； （2）解：， ， 由（1）知，， ，， ， ； （3）解：的外心在其内部， 是锐角三角形， ， ， ， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $