专题2.4 圆周角（7大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级下册

专题2.4 圆周角 教学目标 1. 理解圆心角、圆周角的定义，能准确识别圆中不同位置的圆心角与圆周角，明确二者的区别与联系。 2. 掌握圆心角与圆周角的关系定理及推论，能运用定理进行角度的计算与几何证明。 3. 经历定理的探究过程，感悟分类讨论、转化的数学思想，提升逻辑推理与几何直观能力。 教学重难点 1.重点 （1）圆心角与圆周角的关系定理，即同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，以及相关推论。 （2）运用圆心角与圆周角的关系定理，解决圆中角度计算、弧相等证明等几何问题，掌握解题思路。 2.难点 （1）对圆心角与圆周角关系定理进行分类证明，理解不同位置（圆心在角内、角上、角外）的情况。 （2）结合圆周角定理的推论，综合运用圆的相关性质解决复杂几何问题，学会构造辅助线转化条件。 知识点01 圆周角定理及推论 1）推论1：同弧或等弧所对圆周角相等 ∵同弧或等弧所对圆心角相等 ∴同弧或等弧所对圆周角相等 2）圆周角、圆心角、弧长、弦长关系总结： 在同圆或等圆中，有如下关系： 即在同圆或等圆的情况下，圆周角、圆心角、弦长、弧长中任一个相等，则另外几个条件也相等。 3）推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90°。（因为圆心角为180°） 4）推论3：两直角三角形共斜边，这四点共圆 证明：∵∠A=90° ∴△ACB外接圆的圆心在CB上，且CB为直径 ∵∠D=90° ∴△BCD外接圆的圆心在CB上，且CB为直径 ∴四点共圆 【即学即练】1．（2026·山东淄博·三模）如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用菱形性质得到，结合半径相等推导出、为等边三角形，求出圆心角，再依据圆周角定理求出． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 2．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，在中，，，则______． 【答案】 【分析】先由弧、弦、圆心角的关系得，所以，再通过三角形内角和定理可得，最后由圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·辽宁·中考真题）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，根据等角对等边及三角形内角和得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； （2）如图，过点作于点，根据等角对等边推出，证明得，然后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，所对的圆周角为、， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 题型01 圆周角的概念 【典例1】（25-26九年级上·全国·课堂例题）如图，是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角的概念：顶点在圆周上，且两边都与圆相交的角叫圆周角就可判断． 【详解】解：A、B顶点没在圆上，C虽然顶点在圆上，但一条边没有与圆相交，D符合圆周角的概念， 故选：D． 【点睛】此题考查了圆周角的概念，解题的关键是熟练掌握圆周角的概念． 【变式1】（24-25九年级下·全国·课后作业）下列各图中，为圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 根据由圆周角的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、的边不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； B、的边、都不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； C、的顶点没在圆上，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； D、符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（2024·重庆·模拟预测）如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，延长交于点，根据平行线的性质得出，根据邻补角得出，根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 故选：B． 【变式3】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，OH=1，则⊙O的半径是______． 【答案】2 【分析】连接OC，利用半径相等以及三角形的外角性质结合已知的垂直条件求得∠COH=60°，∠OCH=30°，利用30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接OC， ∵OA=OC，∠A=30°， ∴∠COH=2∠A=60°， ∵弦CD⊥AB于H， ∴∠OHC=90°， ∴∠OCH=30°， ∵OH=1， ∴OC=2OH=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质和含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握半径相等是解题的关键． 题型02 圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半 【典例1】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，直接计算的度数． 【详解】解：， ． 【变式1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，中，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得，且，故得． 【详解】 解：， ， ∵， ∴， ∵， ． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 【变式2】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知为上三个不同的点，且，则的度数是_________． 【答案】或 【分析】点的位置未确定，需分点在优弧和点在劣弧两种情况，根据圆周角度数等于所对弧度数的一半计算． 【详解】解：∵点是上任意不同于的点，位置不确定，分两种情况讨论 ①当点在优弧上时， ∵圆周角的度数等于它所对弧度数的一半， ∴ ②当点在劣弧上时 ∵所对的弧为优弧，优弧的度数为 ∴ 综上，的度数为或 【变式3】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，四边形内接于为的延长线上的一点．若，则的度数是___________． 【答案】 【详解】解：∵四边形内接于且， ∴， ∴， 又∵为的延长线上的一点． ∴． 题型03 用同弧或等弧所对的圆周角相等 【典例1】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由是的直径得，再根据同弧所对圆周角相等和直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知四边形内接于半径为4的，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵四边形内接于半径为4的 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是的直径 ∴ ∴ ∴ ∴． 【变式2】（2027九年级下·全国·专题练习）如图，在中，弦与弦交于点M，且，则______． 【答案】 【分析】连接、，证明即可解答； 【详解】解：连接、，如图所示， ∵，， ∴， ， ． 【变式3】（2026·山东淄博·中考真题）如图，是的直径，，是上的点，，平分，交于点，垂足为，则______． 【答案】 【分析】利用圆周角定理求出的度数，结合等腰三角形性质求出，再根据角平分线定义求出，最后利用垂径定理推导，通过角的和差关系求解． 【详解】解： 与分别是中所对的圆周角和圆心角， ， ， ， ， 平分， ， ，是的直径， ， ， ． 题型04 直径所对的圆周角上直角 【典例1】（26-27九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图，是的直径，点C、D在上，．则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，结合直径所对圆周角为直角，在直角三角形中求解． 【详解】解：∵与均为所对的圆周角， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 【变式1】（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，点 D、E 分别是 的中点，以为直径作 交 于点 F、G，则的长为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出的长，得到圆的半径，过点O作，过点C作，连接，结合垂径定理即可求解 【详解】解：∵， ∴， ∵D、E 分别是 的中点， ∴ 是 的中位线， ∴，， ∴ 的半径为 ． 过点O作，过点C作，交于点H，连接，则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【变式2】（26-27九年级上·江苏常州·期中）如图，是的直径，是的弦，，则___________． 【答案】/度 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角求得的度数，再根据同弧所对的圆周角相等可得到答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的直径，点D是的中点，、的延长线相交于点P．若，，则和之间的数量关系为________________． 【答案】 【分析】连接，则，根据直角三角形的性质和圆内接四边形的性质求出的度数，证明，结合可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 题型05 90°的圆周角所对的弦上直径 【典例1】（2024·安徽宿州·三模）如图，是的外接圆，．若，，则的半径为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，连接，根据直角所对的弦为直径，以及同弧所对的圆周角相等，得到为直径，，进而求出的长即可． 【详解】解：连接，则：， ∵， ∴， ∴为的直径， ∵，，， ∴， ∴的半径为； 故选A． 【变式1】（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，四边形是的内接四边形，，，则的半径为_____． 【答案】 【分析】延长交于点E，根据圆内接四边形的性质可得，由含30度角的直角三角形的性质得，由勾股定理得，求出，再由勾股定理求出即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点E，连接， ∵四边形是⊙O的内接四边形，， ∴，是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 【变式2】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，是的外接圆，是边上的高，且，过点作交于点，若，则的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】连接，过点作的垂线，交于点，交于点，设的半径为，容易判断出为的直径，进而判断出是等腰直角三角形，则，只需求出半径的最小值即可．利用垂径定理可计算出弓形的高为，结合，可求出半径的最小值，进而得到的最小值． 【详解】解：如图，连接，过点作的垂线，交于点，交于点，设的半径为， ∵， ∴， ∴为的直径， ∵， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在直角中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查圆周角定理和垂径定理的应用，由弓形高推测出半径的最小值是解题关键． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，点在圆上，，连接． (1)判断的形状，并证明你的结论． (2)若，求圆的半径． 【答案】(1) 是等边三角形． 证明：， ． 同理，， ， 是等边三角形． (2) 【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得，进而可得出结论； （2）根据的圆周角所对的弦是直径，得出是直径，再结合第（1）问的结论，可得是含的直角三角形，列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1），得． ， 线段为圆的直径． 在中，， ∴， 设，则， ∵， 即， 解得：， ∴圆的半径是． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理及其推论是解题关键． 题型06 圆周角定理的实际应用 【典例1】（2026·广东深圳·二模）数学来源于生活，又服务于生活，以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（    ）． A．图（1）工人用直角曲尺检查工件恰好为半圆形，是利用了的圆周角所对的弦是直径 B．图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性 C．图（3）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为1的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法 D．图（4）体育课测量跳远的成绩是利用了垂线段最短 【答案】C 【分析】根据圆周角定理、三角形的特性、垂线段的性质、全等三角形的判定方法，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A．图（1）工人用直角曲尺检查工件恰好为半圆形，是利用了的圆周角所对的弦是直径，解释正确，不合题意； B．图（2）中用数学原理为：三角形具有稳定性，解释正确，不合题意； C．图（3）中编号为1的部分满足两个角和夹边是完整的，根据全等三角形的判定方法“”，能够得到要配的三角形模具和原来的三角形模具是全等的，因此该选项解释错误，符合题意； D．图（4）中用数学原理为：垂线段最短，解释正确，不合题意． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，用制作的表盘模型，其中点A，B分别与整钟点“3时”，“11时”重合，要使，则点C应位于表盘的（    ） A．“7时”处 B．“8时”处 C．“9时”处 D．“10时”处 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握直径对直角是解题的关键；根据直径对直角可知，当是直径时，，据此即可得解． 【详解】解：连接，延长交于C，连接， 是直径， ， 点C应位于表盘的“9时”处， 故选：． 【变式2】（2026·福建厦门·一模）古代工匠确定圆形器具的圆心时，如图通常把角尺的直角顶点放在圆周上，即可找出该圆形器具的一条直径，进而找出圆心，这种方法的数学依据是________． 【答案】的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查了圆周角定理的应用，根据的圆周角所对的弦是直径解答即可． 【详解】解：这种方法的数学依据是的圆周角所对的弦是直径． 故答案为：的圆周角所对的弦是直径． 【变式3】（23-24九年级上·山东菏泽·期中）如图，一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的半径为______． 【答案】5 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点，连接，根据，得出是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接， ∵，且是圆周角， ∴是圆形镜面的直径， 由勾股定理得：， 所以圆形镜面的半径为， 故答案为：5． 题型07 圆周角定理与三角板的综合运用 【典例1】（2026·河南南阳·一模）如图，以点为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在量角器上对应的刻度为，可知，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，所以点是外接圆的圆心，可得，所以可知点、、、四点共圆，根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接、， 点在量角器上对应的刻度为， ， 由图可知点是的中点， 点是外接圆的圆心， ， 点、、、四点共圆， ． 【变式1】（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，小明为了测量圆形鼓面的直径，将直角三角板角的顶点落在鼓面圆上任意一点，三角板的两边分别交圆于点、，若测量得到弦的长为，则鼓面圆的直径为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质等知识；设鼓面圆的圆心为，连接、，则，因为，所以是等边三角形，则，所以的直径为，于是得到问题的答案． 【详解】解：设鼓面圆的圆心为，连接、，则， ，， ， 是等边三角形， ， 的半径为， 的直径为， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·湖北恩施·期末）如图，以点为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放．量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么__________． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由题意可得，再由圆周角定理即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接， ∵点在量角器上对应的刻度为， ∴， 由圆周角定理可得， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级下·安徽池州·期中）如图，一副三角板中的等腰直角三角板放在量角器上，是量角器所在圆的直径，点是圆心，点分别是直角边，斜边与量角器的交点．若直径，点分别对应和刻度线，则的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质性质、直径所对的圆周角是直角等知识，熟练掌握勾股定理和圆周角定理是解题的关键．连接、，由题意可知，，，进而证明是等边三角形，得，再由圆周角定理得，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、， 由题意可知，，， 是等边三角形， ， 是量角器所在圆的直径， ， ， 故答案为：． 题型08 已知圆内接四边形求角度 【典例1】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，A，B，C，D是上的四点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆内接四边形对角互补，进行计算即可． 【详解】解：∵A，B，C，D是上的四点， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（2026·重庆·三模）如图，点，，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理可知，根据圆内接四边形对角互补即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 【变式2】（26-27九年级上·江苏泰州·期中）四边形内接于，若，则的度数为__________． 【答案】100 【详解】解：∵四边形内接于， ∴，， ∴． 【变式3】（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）如图，点，，，，在上，，则所对的圆周角度数为________． 【答案】 【分析】先连接，根据圆内接四边形的性质得到，再结合已知条件得出，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 点，，，，在上， ∴四边形是圆内接四边形， ，即． ， ， 即所对的圆周角度数为． 题型09 求四边形外接圆的直径 【典例1】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明，结合圆内接四边形的性质得到，再利用含角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：四边形内接于，是直径， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 则的半径长为； 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的两个根分别是矩形的长和宽，则这个矩形的外接圆的直径是______________． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，矩形外接圆的性质等知识，设矩形的长和宽分别为a、b，根据根与系数的关系得到，利用勾股定理得到矩形的对角线长，再利用完全平方公式和整体代入的方法可计算出矩形的对角线长，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵一个矩形的长和宽分别是一元二次方程的两个实数根， ∴设矩形的长和宽分别为a、b，则， ∴矩形的对角线长， ∴这个矩形的外接圆的直径是， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段检测）在四边形中，，⊙O是△ABD的外接圆，若，则=________． 【答案】5 【分析】根据已知条件得到点A，B，C，D四点共圆，推出点C在上，然后利用勾股定理可得，于是得到结论． 【详解】解：∵如图，在四边形ABCD中，， ∴点A，B，C，D四点共圆， ∵是的外接圆， ∴点C在上， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 【变式3】（2025·四川巴中·模拟预测）如图，为圆的直径，，为圆上的两点，过点作于点，交圆于点，延长交的延长线于点，连接，． (1)求证：． (2)若，，， ①求的长； ②求圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)①8；② 【分析】（1）连接，由垂径定理及等腰三角形的性质可得，再利用圆内接四边形的性质及圆周角定理可证明结论； （2）①证明列比例式可求解的长； ②连接，证明可得，设，则，证明可用表示，，利用勾股定理可得关于的方程，解方程可求解，的长，再证明可求解的长，即可求得的长，进而可求解圆的半径． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是圆的直径，， ， ， ， ∴， ， 由圆周角定理得：， ∴． （2）解：①，， ， 由（1）可知，， ∴， ，即， 解得； ②连接， ∵， ， ， 设，则， ，， ∴， ，即， 解得， 是圆的直径，， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列方程的解， ∴，， ∴， 是圆的直径，， ， ， ， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 所以圆的半径为． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识的综合运用，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25九年级上·江西赣州·期末）下列图形中的是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案． 【详解】解：由圆周角的定义可知，A、B、D中的都不是圆周角，C中的是圆周角， 故选C． 【点睛】此题考查了圆周角定义．此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 2．（2026·湖南长沙·一模）如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的内接四边形的性质求出，根据圆周角定理即可计算出答案． 【详解】解：四边形内接于， ， 由圆周角定理可得：． 3．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图，圆的两条弦，相交于点，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴． 4．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得，则有，然后根据圆周角的性质及三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 5．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，都是的半径，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心角定理可得，再根据，可得，结合等腰三角形的性质和三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 二、填空题 6．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）圆内接四边形中，，则______． 【答案】 /108度 【分析】利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知的三个内角的比例关系，设未知数求出每份对应的角度，即可推导得到的度数． 【详解】解：∵圆内接四边形的对角互补， ∴，， ∵， ∴设，则，， 将上述角度代入，得， 解得， ∴， 将代入，得． 7．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是___________． 【答案】/度 【分析】此题考查了圆周角定理，直角三角形两锐角互余的性质，熟记圆周角定理是解题的关键．连接，根据是的直径，得到，利用直角三角形两锐角互余求出，根据圆周角定理得到． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ， ． 8．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，是的直径，点C、D都在上，且在的异侧，连接交于点Q，连接．若，，，则的半径为___________． 【答案】 【分析】连接，三角形的外角求出，圆周角定理求出，进而求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴的半径为2． 9．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知为四边形的外接圆，，，则半径长______． 【答案】 【分析】连接、、，过点作于点，由题意可得是等边三角形，进而得出，在中，利用建立方程即可求出半径长为． 【详解】解：如图所示，连接、、，过点作于点， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴，即半径长为． 10．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，以为圆心，2为半径的圆交x轴于A、B两点，交y轴于C，D两点，点E为上的动点（不与点A、C重合），连接，于点F，连接，点E在上运动的过程中，线段长度的最小值为___________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，作于点，连接， ． 以为圆心，半径为的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点， ，， ． ， ，． 在中，，， ， 在中，取的中点，连接， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ， ， ，． ， ， 点在以为直径的上， 的半径为， 当点在的延长线上时，的长最小，此时最小值为． 三、解答题 11．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，点C在上，． (1)求的度数； (2)若点D是弧的中点（点D与点C在的两侧），求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角为90度，然后利用三角形内角和定理即可求解； （2）根据题意得出弧是半圆，弧的度数是，再由圆周角定理即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴． 在中，． （2）解：∵是的直径， ∴弧是半圆， ∵点D是弧的中点， ∴弧的度数是． ∵是弧所对的圆周角， ∴． 12．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，为的一条弦，连接并延长交于点，为上一点，连接，交于点，连接．若，且． (1)求证：为中点； (2)求的长． 【答案】(1)证明：∵是的直径， ∴即， ∵， ∴， ∴，即为中点； (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，结合已知可得，根据垂径定理即可得证； （2）先根据得，接着设，在中根据勾股定理进行列式，得，解出，从而可由三角形中位线的性质推出，最后在中利用勾股定理即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴ ∵是直径， ∴， ∴在中，． 13．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，四边形内接于，为延长线上一点，平分． (1)求证：； (2)如图，若为直径，过点作于，且，求的半径． 【答案】(1)证明：平分， ． 四边形内接于， ． 又， ． ． (2) 【分析】（1）由角平分线得到，利用圆内接四边形外角等于内对角得到，再利用同弧所对圆周角相等得到，推导出，等角对等边证得． （2）连接延长交于，交圆于，由得到垂直平分，结合直径得，证明四边形为矩形，得到，算出，在中用勾股定理算出直径，进而得到圆半径为． 【详解】（1）略． （2）解：如图，连接并延长，交于点，交于点， 则． ，经过圆心， ，则， ，． 是的直径， ，即． ，， ． 四边形是矩形． ． ， ． ， ． 在中，，，， 由勾股定理得． 的半径为． 14．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在中，点O是上一点，以点O为圆心、为半径作，与交于点D，且D为弧的中点，与交于点E，与交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：为弧的中点， ， ， 、都是的半径， ， ， ∴， ； (2)的半径为4 【分析】（1）由D为弧中点得，可推出；结合半径相等，由等边对等角得，等量代换得到内错角，即可证； （2）借助，可证；设半径为r，表示出、、，代入相似比例式列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为r，则． ∴，， ∵， ， ∴， ∵，，，， ∴ 解得，（半径不为负数，舍去）， 将代入原方程分母，得， ∴是原分式方程的解； 的半径为． 15．（26-27九年级上·江苏常州·期中）如图， 为的外接圆，是直径，，，点D是上的动点，且点、分别位于的两侧． (1)求的半径； (2)当时，求的度数； (3)连接，设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出的最大值． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）结合直径所对的圆周角是90度，得，利用勾股定理求出即可． （2）连接，，证明，，可得结论． （3）如图中，连接，．证明，推出点的运动轨迹是以为直径的，连接，，求出，的值，根据，可得结论． 【详解】（1）解：是直径， ， ，， ， ∴ 的半径为． （2）解：如图中，连接，． ，， ， ， ∵ ， ， 是等边三角形， ， ． （3）解：如图中，连接，，．    ∵的中点为 ， ， 点的运动轨迹是以为直径的， 连接，，可知 是等边三角形，， ， ， ， 的最大值为． 一、单选题 1．（2026·云南·中考真题）如图，是的弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆周角定理，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍求解． 【详解】解：． 2．（2026·湖北荆州·二模）如图，为的直径，点为延长线上一点，以点为圆心，以的长为半径画弧；再以点为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接与相交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明是等腰三角形，再证明，即，利用直角三角形的性质求出，最后由圆周角定理即可解答． 【详解】解：由作图知，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 3．（2026·福建三明·二模）如图，是⊙的直径，、是⊙上异于、的两点，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用等弧转化与的关系，结合题干条件把用表示，再根据圆周角定理得到与的关系式，最后利用求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ∵是⊙的直径，， ， ∴． 4．（2026·广东茂名·二模）如图，是的内接三角形，，，连接，，则的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，由垂径定理求出，根据圆周角求出圆心角，然后算出，设短直角边为，则斜边即圆的半径为，用勾股定理列方程求解半径． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得或（不合题意，舍去）， ， 故的半径是． 5．（2026·江苏连云港·二模）如图，半圆O的直径，弦，平分，则的长为（） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，作于，于，利用圆周角定理和角平分线性质证明，进而证得，求出和的长，最后在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，，作于，于， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，． 二、填空题 6．（2026·江苏宿迁·二模）如图，在半圆中，是直径，、是半圆上两点，，，则_______°． 【答案】 【分析】如图：连接，利用等腰三角形性质求出，再利用平角定义求出，最后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 7．（2026·海南三亚·模拟预测）以为中心点的量角器与直角三角板按如图的方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么__________度． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理及平角的定义. 根据量角器读数确定圆心角的度数，利用互补关系求出，再根据圆周角定理计算的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ，为的直径 点在上 由题意得： 与分别是所对的圆周角和圆心角 ． 8．（2026·江苏南通·二模）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，的直径为寸，矩形内接于，若寸，则______寸． 【答案】 【分析】连接，由矩形的性质得，即得是的直径，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是的直径， ∴寸， ∵寸， ∴(寸)． 9．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，内接于，连接，，若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】先根据圆周角定理，由的度数求出的度数，再结合已知条件求出的度数，最后再次利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：∵与分别是中所对的圆周角和圆心角，， ∴， ∵ ∴， ∵与分别是中弧所对的圆周角和圆心角， ∴． 10．（25-26九年级上·山东泰安·期末）如图，点、、在上，是弧的中点，交于点．若，，则的度数是______． 【答案】/95度 【分析】连接，设与交于点，由圆心角、弧、弦的关系定理推出，由圆周角定理得到，然后由三角形外角的性质求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵是弧的中点，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 11．（2026·吉林松原·模拟预测）如图是由边长为1的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，格点A、B、C在同一个圆上．只用无刻度的直尺分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，画出圆心O； (2)在图②中，在上画点D，使． 【答案】(1)如图①，点O即为所求 (2)如图②，点D即为所求． 【分析】（1）连接和相交于点，根据两条直径的交点即为圆心，即可得到点就是圆心； （2）取格点，连接交圆于点，根据全等三角形的判定和性质得到，再根据垂径定理即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 12．（2026·江苏泰州·二模）四边形中，． (1)如图1，经过、、三点作，求证：点在上； (2)如图2，连结、，若，求证：． 【答案】(1)证明：连接， ，且经过、、三点， 为直径， ， 点在上． (2)证明：取中点O，连接，， ∵， ∴ ， 垂直平分 ． 【分析】（1）连接，由，且经过、、三点，得到为直径，再根据，得到点在上． （2）取中点O，连接，，由直角三角形斜边中线得到，即可得到垂直平分，得到． 【详解】（1）略 （2）略 13．（25-26九年级下·河南驻马店·期中）如图，在中,，以为直径作，交于点D，交于点E． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图：连接，由圆周角定理可得，即，再利用等腰三角形三线合一的性质即可证明结论； （2）先利用等边对等角以及三角形内角和定理可求得，由圆周角定理可得，再利用直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵是的直径， ∴，即， 又∵， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 14．（2026·山东济宁·二模）如图，四边形内接于，，，垂足为，点在的延长线上，且，连接、． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）先证明，然后由三角形内角和定理得到，再由互余关系得到，即可证明； （2）先证明，继而得到是线段的中垂线，．设，即可由勾股定理求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又 ∴， ∴， 又， ∴， ∴是线段的中垂线， ∵， ∴， 又， 设， 由，得， 解得， ∴． 15．（2026·安徽安庆·二模）如图，是的外接圆，为直径，点D在上，且，延长交于点E，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的直径，为上一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，则，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，进而得到，再利用圆周角定理可得结论； （2）连接，利用（1）的结论和圆周角定理得到，，可得，然后利用勾股定理计算的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由（1）可知， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知四边形内接于，连接、，； (1)如图1，求证：是的直径； (2)如图2，点在上，连接、，且，，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，若，，，求的半径长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是的直径； (2)证明： ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即平分； (3) 【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等可得，，，结合已知进而证明，从而得出是的直径； （2）根据，结合已知得出，根据等边对等角可得，进而可得平分； （3）延长、交于点，过点，分别作的垂线，垂足分别为，证明四边形是矩形，证明，得出，，设，在中，勾股定理求得，在中，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长、交于点，过点，分别作的垂线，垂足分别为， ∵ ， ∵ ∴ 由（2）知， 设，则， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴ 又， ∴ ∴， 又∵已知， ∴ ∴， 设 ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 在中，，， ∵ ∴ 解得： ∴且， ∴ ∴ ∴ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.4圆周角 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01圆周角定理及推论 2.知识清单 题型01圆周角的定义 题型02圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半 题型03同弧或等弧所对的圆周角相等 圆周角 题型04直径所对的圆周角是直角 题型0590的圆周角所对的弦是直径 3题型精讲 题型06圆周角定理的实际应用 题型07圆周角定理与三角板的综合应用 题型08已知圆内接四边形求角度 题型0？求四边形外接圆的直径 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.理解圆心角、圆周角的定义，能准确识别圆中不同位置的圆心角与圆周角，明确 二者的区别与联系。 2. 掌握圆心角与圆周角的关系定理及推论，能运用定理进行角度的计算与几何证 教学目标 明。 3.经历定理的探究过程，感悟分类讨论、转化的数学思想，提升逻辑推理与几何直 观能力。 1.重点 (1)圆心角与圆周角的关系定理，即同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 教学重难点 的一半，以及相关推论。 (2)运用圆心角与圆周角的关系定理，解决圆中角度计算、弧相等证明等几何问 1/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题，掌握解题思路。 2.难点 (1)对圆心角与圆周角关系定理进行分类证明，理解不同位置（圆心在角内、角 上、角外)的情况。 (2)结合圆周角定理的推论，综合运用圆的相关性质解决复杂几何问题，学会构造 辅助线转化条件。 知识清单 知识点O1圆周角定理及推论 1)推论1：同弧或等弧所对圆周角相等 ,同弧或等弧所对圆心角相等∴.同弧或等弧所对圆周角相等 2)圆周角、圆心角、弧长、弦长关系总结： 在同圆或等圆中，有如下关系： 圆心角相等 弧长相等◆→圆周角相等 弦长相等 即在同圆或等圆的情况下，圆周角、圆心角、弦长、弧长中任一个相等，则另外几个条件也相等。 3)推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90°。（因为圆心角为180°） 4)推论3：两直角三角形共斜边，这四点共圆 证明：，∠：90°.△ACB外接圆的圆心在CB上，且B为直径 ,∠90°∴.△BCD外接圆的圆心在CB上，且CB为直径.四点共圆 【即学即练】1.(2026山东淄博三模)如图，点A,B,C,D在⊙0上，四边形OABC是菱形，则 ∠D的度数是() 2/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.45° B.50° C.60° D.65 2.(2026黑龙江绥化中考真题)如图，在⊙0中，AB=AC,∠ABC=70°，则LB0C= 3.(2026辽宁中考真题)如图，A,B,C,D是⊙0上的四个点，AC为⊙O的直径，且AB=BC, 连接AB,BC,BD,CD,过点A作AE⊥BD,垂足为E, B (I)求∠BDC的度数： (2)若BE=2,求CD的长 题型精讲 题型01 圆周角的概念 【典例1】(25-26九年级上全国课堂例题)如图，∠APB是圆周角的是() D B 【变式1】(24-25九年级下.全国课后作业)下列各图中，∠BAC为圆周角的是() 3/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D 【变式2】(2024重庆模拟预测)如图，在⊙0中，弧AB所对的圆周角∠ACB=55°若D为弧AB上一点， ∠AOD=75°，OD∥CB,则∠OAC的度数为() B D A.19° B.20° C.21° D.22° 【变式3】(24-25九年级上湖南长沙期末)如图所示，AB是⊙O的直径，弦CDLAB于H,∠A=30°， OH=1,则⊙0的半径是 0 D 题型02 圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半 【典例1】(26-27九年级上福建福州阶段检测)如图，在⊙0中，∠ABC=60°，则∠A0C等于（) B 0 C A.120° B.135° C.145o D.150° 【变式1】(26-27九年级上黑龙江哈尔滨阶段检测)如图，⊙0中，OA⊥BC,∠OBC=40°，则∠ADC 4/22 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的度数为() A A.50 B.25 C.30 D.35 【变式2】(26-27九年级上·浙江杭州阶段检测)已知A,B,C为⊙0上三个不同的点，且AB=120°，则 ∠ACB的度数是 【变式3】(26-27九年级上江苏无锡阶段检测)如图，四边形ABCD内接于⊙O,E为BC的延长线上的 一点.若∠BOD=130°，则∠DCE的度数是」 D 题型03用同弧或等弧所对的圆周角相等 【典例1】(26-27九年级上福建福州阶段检测)如图，AB是O0的直径，弦CD交AB于点E,连接 AC、AD.若∠D=64°，则∠BAC=() B D A.32° B.30° C.28° D.260 【变式1】(26-27九年级上浙江杭州阶段检测)已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙0，且∠C=2∠A, 则BD=() 5/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4v5 B.25 C.22 D.4v2 【变式2】(2027九年级下·全国专题练习)如图，在⊙0中，弦AB与弦CD交于点M,且 CM:BM=3:2,则DM:AM=一. o°M 【变式3】(2026山东淄博中考真题)如图，AB是⊙0的直径，C,D是⊙0上的点，∠ABC=58°， CD平分∠ACO,DE⊥AB交O0于点E,垂足为F,则∠COE=. B 题型04直径所对的圆周角上直角 【典例1】(26-27九年级上山东菏泽阶段检测)如图，AB是⊙0的直径，点C、D在⊙0上， ∠CDA=56°.则LBAC=() A.45 B.34 C.36 D.44° 【变式1】(26-27九年级上江苏泰州期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,点D、E 6/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分别是ACBC的中点，以DE为直径作OO交AB于点R、G,则FG的长为() G 6 A.1 B.5 【变式2】(26-27九年级上江苏常州期中)如图，AB是O0的直径，CD是⊙0的弦，∠ABD=60°，则 ∠C= A 6 【变式3】(26-27九年级上·浙江杭州阶段检测)如图，AB是⊙O的直径，点D是AC的中点，DC、 AB的延长线相交于点P.若LCAB=a,∠BPC=B,则a和P之间的数量关系为 O B 题型05 90的圆周角所对的弦上直径 【典例1】(2024安徽宿州三模)如图，⊙0是△BCD的外接圆，AB⊥BC.若BC=4,∠BDC=30°， 则⊙0的半径为() D 0 7/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.2V2 c.25 D.8 【变式1】(24-25九年级上山东聊城期中)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形， ∠B=90°，∠BCD=120°，AB=4,AD=5,则⊙0的半径为一 B D 【变式2】(25-26九年级上江苏泰州期末)如图，⊙0是△ABC的外接圆，CD是AB边上的高，且 CD=1,过B点作BE⊥AB交O0于点E,若∠BCE=45°，则BE的最小值为 E 【变式3】(2025九年级全国专题练习)如图，点A,P,B,C在圆上，∠APC=∠CPB=60°，连接 AB,BC,AC A (1)判断△ABC的形状，并证明你的结论. (2)若∠PAC=90°，AC=25,求圆的半径. 题型06 圆周角定理的实际应用 【典例1】(2026广东深圳二模)数学来源于生活，又服务于生活，以下四幅图中用数学原理解释不正 确的是()· 8/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ○ BC9 拉杆 (1) (2) (3) (4) A.图(1)工人用直角曲尺检查工件恰好为半圆形，是利用了90°的圆周角所对的弦是直径 B.图(2)人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性 C.图(3)一块三角形模具打碎为三块，只带编号为1的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一 样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法SAS D.图(4)体育课测量跳远的成绩是利用了垂线段最短 【变式1】(25-26九年级上：浙江温州期中)如图，用⊙0制作的表盘模型，其中点A,B分别与整钟点 “3时”，“11时”重合，要使∠ABC=90°，则点C应位于表盘的() 10.B .2 8 °4 6 A.“7时”处B.“8时”处 C.“9时”处 D.“10时”处 【变式2】(2026福建厦门一模)古代工匠确定圆形器具的圆心时，如图通常把角尺的直角顶点放在圆 周上，即可找出该圆形器具的一条直径，进而找出圆心，这种方法的数学依据是 【变式3】(23-24九年级上·山东菏泽·期中)如图，一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜 面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=&cm,BC=6cm,则圆形镜面的半径为 cm B 9/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型07 圆周角定理与三角板的综合运用 【典例1】(2026河南南阳一模)如图，以点O为中心的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量 角器的直径与直角三角板的斜边AB重合，如果点D在量角器上对应的刻度为11O°，连接CD.那么 ∠ACD的度数为() 432 D A.55 B.45° C.35 D.25 【变式1】(23-24九年级上·江苏扬州·期中)如图，小明为了测量圆形鼓面的直径，将直角三角板30°角 的顶点落在鼓面圆上任意一点P,三角板的两边分别交圆于点A、B,若测量得到弦AB的长为l6Cm,则 鼓面圆的直径为() A.16cm B.30cm C.32cm D.36cm 【变式2】(25-26九年级上·湖北恩施期末)如图，以点O为中心的量角器与直角三角板ABC按如图方 式摆放.量角器的直径与直角三角板的斜边AB重合，如果点D在量角器上对应的刻度为120°，连接CD 那么∠BCD= 【变式3】(2425九年级下·安徽池州期中)如图，一副三角板中的等腰直角三角板放在量角器上，AB 10122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是量角器所在圆的直径，点O是圆心，点C,D分别是直角边，斜边与量角器的交点.若直径AB=10Cm, 点A,D分别对应0°和60°刻度线，则DB的长度为 cm D 题型08 已知圆内接四边形求角度 【典例1】(26-27九年级上：江苏盐城阶段检测)如图，A,B,C,D是⊙0上的四点，若∠D=70°，则 ∠B的度数为() B D A.110 B.100° C.80° D.70° 【变式1】(2026重庆三模)如图，点A,B,C,D在⊙0上，∠B0D=120°，则∠C的度数是 () A.60° B.110° C.120° D.100° 【变式2】(26-27九年级上江苏泰州期中)四边形ABCD内接于⊙0，若∠A=80°，则∠C的度数为 【变式3】(26-27九年级上北京海淀阶段检测)如图，点A,B,C,D,E在⊙0上， ∠B+∠E=154°，则CD所对的圆周角度数为 11/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 0。 题型09 求四边形外接圆的直径 【典例1】(25-26九年级上·新疆乌鲁木齐阶段检测)如图，四边形ABCD内接于⊙0，BC是直径，连 接AC、若∠ADC=150,点0到AC的距离为25，则⊙0的半径长为() A.2 B.6 C.4 D.8 【变式1】(25-26八年级上河北唐山阶段检测)已知关于x的一元二次方程x2-5x+5=0的两个根分别 是矩形的长和宽，则这个矩形的外接圆的直径是 【变式2】(24-25九年级上·江苏镇江阶段检测)在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，⊙O是△ABD的 外接圆，若AB=6,AD=8,则OC= 【变式3】(2025四川巴中模拟预测)如图，AB为圆O的直径，D,F为圆O上的两点，过点D作 DE⊥AB于点C,交圆O于点E,延长ED交BF的延长线于点G,连接DF,EF. B (1)求证：∠BFE=∠DFG (2)若FG=4,BF=6,DF=3. ①求EF的长： ②求圆0的半径 12122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 强化训练 基础自测 一、 单选题 1.(2425九年级上江西赣州期末)下列图形中的∠ABC是圆周角的是() A 0 0 C 0 2.(2026湖南长沙一模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，连接OB,OD,若∠BCD=115°，则∠BOD 的度数是() D B A.65° B.115o C.130° D.140° 3.(26-27九年级上北京西城阶段检测)如图，圆的两条弦AB,CD相交于点E,且AD=BC, ∠A=35°，则∠CEB的度数为() A D 13122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ A.50° B.70° C.80° D.90° 4.(26-27九年级上山东东营阶段检测)如图，AB是O0的直径，弦CD交AB于点E,∠ACD=55°， ∠ADC=50°，则∠CEB的度数为() B D A.110° B.105 C.100 D.95° 5.(26-27九年级上浙江杭州阶段检测)如图，OA,OB,OC都是⊙0的半径，连接AB,AC.若 ∠BAC=20°，AB=2BC,则∠OAC的度数为() A.120° B.90° C.60° D.30° 二、填空题 6.(26-27九年级上江苏泰州阶段检测)圆内接四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C=1:2:4,则∠D= 7.(26-27九年级上江苏无锡阶段检测)如图，BC是⊙O的直径，A,D是⊙0上的两点，连接AB, AD,BD,若∠ABC=20°，则∠ADB的度数是 B D 8.(25-26九年级上陕西安康期中)如图，AB是⊙0的直径，点C、D都在O0上，且在AB的异侧， 连接CD交AB于点Q,连接BC、BD.若∠ABD=45°，∠A0D=75°，BC=2,则⊙0的半径为 14122 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 9.(26-27九年级上江苏苏州阶段检测)如图，已知⊙0为四边形ABCD的外接圆，∠BCD=120°， AB=AD=6,则⊙0半径长 A B D 10.(25-26九年级上陕西安康期中)如图，以G(0,1)为圆心，2为半径的圆交x轴于A、B两点，交y轴 于C,D两点，点E为⊙G上的动点（不与点A、C重合），连接AE,CF⊥AE于点F,连接GF,点E 在⊙G上运动的过程中，线段GF长度的最小值为 VA E B D 三、解答题 11.(26-27九年级上江苏泰州期中)如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上，∠ABC=40° B 15122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求∠BAC的度数： (②)若点D是弧AB的中点（点D与点C在AB的两侧），求∠ACD的度数. 12.(26-27九年级上·浙江杭州阶段检测)如图，AB为⊙0的一条弦，连接A0并延长交⊙0于点E,D 为O0上一点，连接DO,交AB于点C,连接EC,EB.若ODI‖BE,且AB=8,CD=2 B D (I)求证：C为AB中点： (2)求EC的长. 13.(26-27九年级上江苏南京·阶段检测)如图1，四边形ADBC内接于⊙0，E为BD延长线上一点， AD平分∠EDC E D B 图1 图2 (①)求证：AB=AC； (2)如图2，若CD为直径，过A点作AE⊥BD于E,且DB=AE=2,求OO的半径. 14.(26-27九年级上江苏常州阶段检测)如图，在△4BC中，点0是AB上一点，以点0为圆心、OA 为半径作O0,与BC交于点D,且D为弧EF的中点，与AB交于点E,与AC交于点F,连接AD. (1)求证：AC∥OD: (2)若AC=6,BE=4,求⊙0的半径 15.(26-27九年级上江苏常州期中)如图，⊙0为Rt△ABC的外接圆，AB是直径，BC=4V3, 16122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC=4,点D是⊙O上的动点，且点C、D分别位于AB的两侧. 备用图 (1)求⊙0的半径： (2)当CD=4W2时，求∠ACD的度数： (3)连接AD,设AD的中点为M,在点D的运动过程中，线段CM是否存在最大值？若存在，求出CM的 最大值. 能力提升 一、单选题 1.(2026云南中考真题)如图，AB是⊙0的弦，点C在⊙0上.若∠ACB=26°，则∠AOB=() B A.10° B.26° C.40 D.52 2.(2026湖北荆州二模)如图，AB为⊙O的直径，点P为BA延长线上一点，以点O为圆心，以AB的 长为半径画弧：再以点P为圆心，以PO的长为半径画弧，两弧交于点D,连接OD与⊙O相交于点C,连 接CP,PD,BC.若∠CPO=36°，则∠B的度数为() 17122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.36 B.54° C.27° D.18° 3.(2026福建三明·二模)如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上异于A、B的两点，且BC=BD, 若<4D-A0D,则∠4的度数为(） B A.22.5° B.25 C.30° D.45° 4.(2026广东茂名二模)如图，△ABC是⊙0的内接三角形，AB=2N5,∠ACB=60°，连接OA,OB, 则⊙0的半径是() A A.1 B.2 C.3 D.5 5.(2026江苏连云港·二模)如图，半圆O的直径AB=10,弦AC=6,AD平分∠BAC,则AD的长为 () B A.9 B.3V10 C.7W2 D.45 二、填空题 6.(2026江苏宿迁·二模)如图，在半圆0中，AB是直径，C、D是半圆上两点，∠BOC=40°， ∠OCD=50°，则∠ABD=_° 18122 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 7.(2026海南三亚·模拟预测)以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图的方式摆放，量角器的 刻度线与斜边AB重合.点D为斜边AB上一点，作射线CD交AB于点E,如果点E所对应的读数为50°， 那么∠BCD= 度 E 8.(2026江苏南通二模)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲 为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，⊙O的直径为25寸，矩形ABCD内接于 ⊙O,若AB=7寸，则BC=寸. 9.(2026陕西榆林模拟预测)如图，△ABC内接于⊙0，连接OA、OB、OC,∠BOC=2∠AOB,若 ∠ACB=20°，则∠BAC的度数为 10.(25-26九年级上山东泰安期末)如图，点A、B、C在⊙0上，D是弧AB的中点，CD交OA于点 E.若∠A0B=100°，∠0BC=20°，则∠0EC的度数是一· 19122 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 三、解答题 11.(2026吉林松原·模拟预测)如图是由边长为1的小正方形组成的6×7的正方形网格，每个小正方形 的顶点称为格点，格点A、B、C在同一个圆上.只用无刻度的直尺分别在给定的网格中按下列要求作图， 保留作图痕迹。 B B 图① 图② (1)在图①中，画出圆心O: (2)在图②中，在⊙0上画点D,使AC=AD 12.(2026江苏泰州·二模)四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90° D 图1 图2 (I)如图1，经过A、B、C三点作⊙O,求证：点D在⊙0上： (2)如图2，连结AC、BD,若AC⊥BD,求证：AB=AD. 13.(25-26九年级下·河南驻马店期中)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作O0,交BC于点 D,交AC于点E. 20122 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B C D (I)求证：BD=DC: (2)若∠BAC=40°，求∠EBC的度数， 14.(2026山东济宁·二模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AB=AC,AC⊥BD,垂足为E,点F在 BD的延长线上，且DF=DC,连接AF、CF. D 0 (I)求证：∠BAC=2∠DAC: (2)若AF=10,BC=4V5,求线段AE的长. 15.(2026安徽安庆二模)如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB为直径，点D在AB上，且AD=AC,延 长CD交⊙0于点E,连接OC,OE. (1)求证：∠A=∠BOE (2)若∠A=30°，AB=8,求CE的长. 16.(2026·黑龙江哈尔滨模拟预测)已知四边形ABCD内接于⊙O,连接AC、BD, ∠ACD+∠ADB+∠CAD=90°： 21122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C B O 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：BC是⊙0的直径： (2)如图2，点E在BD上，连接AE、CE,且AE=CE,∠ABD=2LCAE,求证：CE平分∠ACD: (3)如图3，在(2)的条件下，点F在BD上，连接CF,若∠CFD=2∠ACE,BF=4,AC=16,求⊙O 的半径长 22122