专题2.3 圆心角（7大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级下册

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.3圆心角 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01圆的对称性 2.知识清单 题型01由圆心角、弧、弦的关系判断结论正误 题型02由圆心角、弧、弦的关系求线段长度 圆心角 题型03由圆心角、弧、弦的关系求角度 题型04由圆心角、弧、弦的关系求弧度 3.题型精讲 题型05由圆心角、孤、弦的关系求周长 题型06由圆心角、弧、弦的关系求面积 题型07由圆心角、弧、弦的关系证明 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.理解弦、弧、圆心角的定义及相关概念，能准确区分优弧、劣弧与半圆。 教学目标 2.掌握同圆或等圆中弦、弧、圆心角之间的关系定理，会用定理进行简单推理。 3.体会转化思想在几何中的应用，提升观察分析与逻辑推理的数学素养。 1.重点 (1)弦、弧、圆心角的概念辨析，同圆或等圆中三者之间的相等关系定理。 (2)运用三者的关系定理证明弧相等、弦相等，解决基础几何证明与计算问题。 教学重难点 2.难点 (1)理解“同圆或等圆”这一前提条件的必要性，避免定理的滥用。 (2)结合圆的对称性，构造圆心角或弧的等量关系，解决复杂几何问题。 知识清单 1/16 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点01圆的对称性 1.圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线. (2)圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 2.弧、弦、圆心角 (1)顶点在圆心的角叫做圆心角.将整个圆分成360等分，每一份的弧对应1°的圆心角，我们也称这样 的弧为1°的弧.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 (2)圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等， 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量分别相等. 【即学即练】1.如图，点A,B,C,D都在OO上，∠AOB=∠COD,下列说法一定正确的是() D A.AB=AD B.AB=BC C.AB=CD D.AD=BC 2.下列说法：①直径是圆中最长的弦；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④ 三角形的外心是三角形三个内角平分线的交点.其中是真命题的有()个。 A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是OO的弦，且BC=CD=DA,则∠BOD=°. 题型精讲 2/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型01由圆心角、弧、弦的关系判断结论正误 【典例1】(26-27九年级上·全国单元复习)下列说法正确的是() A.过圆心的线段是直径 B.圆既是轴对称图形又是中心对称图形 C.相等的圆心角所对的弧相等 D.半圆是弧，弧也是半圆 【变式1】(26-27九年级上全国课后作业)在同圆或等圆中，若AB的长度等于CD的长度，则下列说法 正确的个数是() ①AB和CD是等弧； ②AB所对的圆心角等于CD所对的圆心角： ③AB所对的弦的长度等于CD所对的弦的长度. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【变式2】(25-26九年级下·黑龙江绥化期中)下列说法正确的个数有() ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ②在同一平面内，垂直于同一直线的两直线垂直 ③相等的圆心角所对的弦相等 ④顶角相等的两个等腰三角形相似 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【变式3】(23-24九年级上浙江杭州阶段检测)如图，PO是直径所在的直线，且PO平分∠BPD, OE⊥AB,OF⊥CD,则：①BE=CF;②AB=CD:③BG=DG;④PA=AE,其中结论正确的是 (填写序号). 夕 题型02由圆心角、弧、弦的关系求线段长度 【典例1】(25-26九年级上陕西西安期中)如图，在半径为4的⊙0中，圆心角∠AOB=90°，则弦AB 的长为() 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4v2 B.8√2 C.4 D.8 【变式1】(25-26九年级上江苏连云港期中)如图，半径为4的⊙0的弦AD=BC,且AD⊥BC于点E, 连接AB、AC,则AB的长为() B D A.4V2 B.4 c.2W2 D.2 【变式2】(26-27九年级上全国课后作业)如图，在⊙0中，若AB=CD,AD=3,则CB的长为一· B 【变式3】(2026九年级上四川南充·专题练习)如图，在⊙0中，AB是弦，半径0A=2cm,点C是弧 AB的中点，OC与AB交于点D.若DC=lcm,求弦AB的长度cm. D B 题型03由圆心角、弧、弦的关系求角度 【典例1】(26-27九年级上江苏连云港阶段检测)如图，AB是半圆O的直径，AC=CD=DE, ∠COD=40°，∠B0E的度数为() 4/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.40° B.60° C.80° D.100° 【变式1】(26-27九年级上全国课后作业)如图，A,B,C,D是⊙0上的点，若 AB=CD,AB=BC,∠BOC=44°，则∠COD的度数为() D A.34° B.44° c.52° D.68° 【变式2】(26-27九年级上全国课后作业)如图，AB是⊙0的直径，点E,D,C在⊙0上，已知 AE=DE,BC=CD,那么∠COE的度数为一 【变式3】(2026陕西咸阳模拟预测)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC是⊙O的直径，点D是AC 的中点，∠B0D=140°，则∠BAC的度数为°. B 题型04由圆心角、弧、弦的关系求弧度 【典例1】(26-27九年级上·浙江杭州阶段检测)如图，在⊙0中，AC是弦，∠AC0=55°，BC的度数 为() 5/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.100° B.110° C.120° D.130° 【变式1】(26-27九年级上江苏盐城阶段检测)如图，⊙0中，弦CD‖直径AB,若AC的度数是50°， 则BD的度数是() B D A.50° B.60° C.80° D.100° 【变式2】(26-27九年级上·浙江杭州阶段检测)如图，在⊙0中，AB=AC,若BC的度数为80°，则 AC的度数为 【变式3】(25-26九年级上山东聊城期末)如图，已知AB,CD是⊙0的两条直径，弦CE∥AB,CE 的度数为70°，则BD的度数为. D 题型05由圆心角、弧、弦的关系求周长 【典例1】(2023四川成都二模)如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC；分别以点 6/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A,B,C为圆心，以AB的长为半径作BC,AC,AB,三条弧所围成的图形就是一个曲边三角形.如果 AB=3,那么这个曲边三角形的周长是()· Aπ B.2π c.2 D.3π 【变式1】(23-24九年级上·全国课后作业)如图所示，AB是半径为3的⊙0上的两点.若 ∠AOB=120°，C是AB的中点，则四边形AOBC的周长为 B 【变式2】(2024河南驻马店三模)如图，在扇形A0B中，∠AOB=90°，B0=2,C为B0的中点，D 为AB上一点，且2BD=AD,连接AC,DC,在OC绕点O旋转的过程中，当CD取最小值时，△ACO的 周长为 B D 【变式3】(2025河南驻马店三模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AB,CD位于点O的异侧，且 1m=lm,E,F,G,H分别为AD,AB,BC,DC的中点.若∠B=60°，⊙O的半径为4，则四边 形EFGH的周长为 DH B 7/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型06 由圆心角、弧、弦的关系求面积 【典例1】(2025广东·一模)已知BC为⊙O的直径，A为圆上（异于B,C)的一点，连接AB,AC, 若点O到直线AB与点O到直线AC的距离相等且均为1，则该圆的周长与面积之比为() 2 A.2 B.2 c.5 .2 【变式1】将⊙0按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，若阴影部分的面积为2，则⊙0的面积为 【变式2】如图，点A,B,C,D,E,F都在OO上，且AB=BC=CD=DE=EF=AF.若⊙O的半径 为4，则△ABF的面积是 【变式3】(2025山东济宁·二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D, 点E是边AB上一点，以AE为直径的OO经过点D,并交边AC于点F. B (1)求证：BC是O0的切线： (2)若点F是AD的中点，⊙0的半径为2，求阴影部分的面积. 题型07由圆心角、弧、弦的关系证明 【典例1】(26-27九年级上·全国课后作业)如图，在⊙0中，若B=2CD,则AB与CD的大小关系为 () 8/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.AB=2CD B.AB<2CD C.AB>2CD D.无法确定 【变式1】(2425九年级下·贵州贵阳阶段检测)如图，AB,CD,EF都是⊙0的直径，且∠I=∠2=∠3， 则OO的弦AC,BE,DF的大小关系是 F 【变式2】(2025重庆巴南二模)如图，四边形ABCE内接于⊙0，连结AC,AC为⊙0的直径，E是 ACB的中点.过点E作⊙O的切线EF,交BC的延长线于点F,且EF⊥BC,EF=3,BF=4,则AE的 长为一，⊙0的半径为 E 【变式3】(26-27九年级上江苏无锡阶段检测)如图，OA、OB、OC是⊙0的半径，且AC=BC,D、 E分别是OAOB的中点 B (I)求证：CD=CE: (2)若CD⊥OA,CE⊥OB,求∠AOB的度数. 9/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(26-27九年级上·吉林长春阶段检测)下列各选项中的∠1是圆心角的是() A O B 0 C 0 D 2.(26-27九年级上山东东营阶段检测)如图，AB是⊙0的直径，BC=CD=DE,若∠C0D=35°，则 ∠AOE的度数是() E A.75° B.65° C.55 D.45° 3.(2026广东广州二模)如图，A,B是⊙0上的两点，C为劣弧AB的中点，∠ACB=120°，若 OA=2,则四边形OACB的面积为() B A.√3 B.2W3 C.35 D.43 4.(2026四川南充一模)如图，在⊙0中，∠A0B=60°，点C为AB的中点，点D是半径01A上一动点. 若OA=1,则BD+CD的最小值为() 10/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1 B.√2 C.3 D.5 5,(2025四川巴中中考真题)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4V2,D为AB中点，点E在线段 CD上，满足CE=2DE,连接AE并延长交BC于点F,当△ABC面积最大时，线段CF等于() A.√2 B.2 C.22 D.4 二、填空题 6.(25-26九年级下广东广州阶段检测)如图，在⊙0中，AB=CD,∠AOB=40°，则∠COD=, B D 7.(25-26九年级上江苏南京阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心， BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,则BD的度数为 B D 8.(2025九年级上·全国专题练习)如图，在半径为5的⊙A中，弦BC,ED所对的圆心角分别是∠BAC, ∠EAD,己知DE=3,∠BAC+∠DAE=180°，则BC的长为一 11/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 9.(25-26九年级上安徽芜湖期中)如图，点C,D在以AB为直径的半圆O上，且OD‖BC.若AD的 度数为36°，则BC的度数为 B 10.(24-25九年级下·广东中山阶段检测)如图，MN是⊙0的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是 岁N的中点，点P是直径Mw一动点.若N2- 3,则APAB周长的最小值是 三、解答题 11.(26-27九年级上江苏盐城阶段检测)如图，在⊙0中，AB=AC,∠A=40°，求∠B的度数. 12.(2026·安徽模拟预测)如图，△ABC为OO的内接三角形，BD为△ABC的高，垂足为D,且 AB=AC. 12116 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B C (1)求证：∠BAC=2∠DBC： (2)若AB=10,BD=6,求⊙O的半径 13.(26-27九年级上全国单元复习)如图，在⊙0中，AB=AC,∠ACB=60°. (1)求证：∠AOB=∠BOC=∠COA: (2)若AB=a,求⊙0的半径. 14.(25-26九年级上北京大兴期末)如图，△ABC内接于⊙0，AD是⊙0直径，AD交BC于点E, BD=CD,连接CD B (I)求证：AD⊥BC: (②)若∠ADC=75°，BC=4,求AE的长. 15.(2026安徽六安·一模)如图，在O0中，直径AB与弦CD相交于点E,EF⊥BD于点F,连接OD与 EF相交于点G. C E y B 0 0 13116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：0G=OE: (2)若CD=BD,求证：DE2=OG·BE 能力提升 一、单选题 1.(25-26九年级上贵州黔西南期末)如图，在⊙0中，点A是BC的中点，∠AOB=50°，则∠OBC的 度数为(). A.25° B.30° C.35° D.40° 2.(2025四川广元·一模)如图，在⊙0中，BD=CA下列结论不正确的是() B A O D C A.AB=CD B.∠BOC=∠BOD C.AB=CD D.S.40=S.cOD 二、填空题 3.(25-26九年级上浙江温州期中)如图，点C,D在以AB为直径的半圆O上，且OD∥BC,若 ∠AOD=40°，则BC的度数为一· D 14116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(22-23九年级下·浙江温州开学考试)如图，点A在半圆O上，BC为直径，若AB=120°，BC=6, 则AC的长是 5.(2025陕西西安·一模)如图，AB是⊙O的直径，AC=CD=DE,若∠BE0=52.5°，则∠AOC的度 数为 6.(25-26九年级上江苏无锡阶段检测)如图：在半圆O中，C是半圆上的一个点，将AC沿弦AC折叠 交直径AB于点D,点E是AD的中点，连接OE，,若OE的最小值为2，则AB=一 B D 三、解答题 7.(25-26九年级下·全国课后作业)如图，AB是直径，BC=CD=DE,∠BOC=40°.求∠AOE的大 小. D E 8.(25-26九年级上·全国·单元测试)如图，∠AOB=90°，C、D是以O为圆心的AB的三等分点，连接 AB分别交OC,OD于点E,F求证：AE=BF=CD 15116 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 9.(2026广东广州·二模)某校有一块圆形劳动教育实践基地，现在其内部规划一个四边形ABCD区域植 鲜花.如图，数学兴趣小组已经确立了A、B、C三点的位置，∠BAC=30°.已知点D在劣弧AC上，且 CD=BC. B ()尺规作图：请在OO上确定点D的位置，并连接AD、CD; (②)已知AC=a,求鲜花种植区域四边形ABCD的面积（请用含a的式子表达） 10.(25-26九年级上江苏泰州阶段检测)如图，△ABC中，∠C=90°，以AC为半径的⊙C与AB相交 于点D. C DB (1)若∠B=35°，求AD的度数 (2)若AC=3,BC=4,求DB的长 16116 专题2.3 圆心角 教学目标 1. 理解弦、弧、圆心角的定义及相关概念，能准确区分优弧、劣弧与半圆。 2. 掌握同圆或等圆中弦、弧、圆心角之间的关系定理，会用定理进行简单推理。 3. 体会转化思想在几何中的应用，提升观察分析与逻辑推理的数学素养。 教学重难点 1.重点 （1）弦、弧、圆心角的概念辨析，同圆或等圆中三者之间的相等关系定理。 （2）运用三者的关系定理证明弧相等、弦相等，解决基础几何证明与计算问题。 2.难点 （1） 理解“同圆或等圆”这一前提条件的必要性，避免定理的滥用。 （2）结合圆的对称性，构造圆心角或弧的等量关系，解决复杂几何问题。 知识点01 圆的对称性 1.圆的对称性 （1）圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线． （2）圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 2.弧、弦、圆心角 （1）顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分成360等分，每一份的弧对应1o的圆心角，我们也称这样的弧为1o的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 【即学即练】1．如图，点A，B，C，D都在上，，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心角，弧，弦的关系判断即可． 【详解】解：∵， ，，，． 2．下列说法：①直径是圆中最长的弦；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心是三角形三个内角平分线的交点．其中是真命题的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据弦的定义，等弧的定义，圆心角与弧的关系，三角形外心的定义，逐一判断命题真假即可得到结果． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦，该命题为真； ②等弧的定义是同圆或等圆中能够完全重合的弧，仅长度相等的两条弧不一定是等弧，该命题为假； ③只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，缺少前提条件，该命题为假； ④三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，三角形内角平分线的交点是内心，该命题为假； 综上，真命题共1个． 3．如图，是的直径，、、是的弦，且，则________． 【答案】 【分析】连接，由得到，根据，得到，即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 题型01 由圆心角、弧、弦的关系判断结论正误 【典例1】（26-27九年级上·全国·单元复习）下列说法正确的是（     ） A．过圆心的线段是直径 B．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．半圆是弧，弧也是半圆 【答案】B 【分析】根据圆相关定义逐项判断即可． 【详解】解：A．过圆心且两端都在圆上的线段是直径，故原说法不正确，不符合题意； B．圆的对称轴为任意过圆心的直线，对称中心为圆心，既是轴对称图形又是中心对称图形，故原说法正确，符合题意； C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法不正确，不符合题意； D．半圆是弧，但弧包含优弧、劣弧、半圆，弧不一定是半圆，故原说法不正确，不符合题意； 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）在同圆或等圆中，若的长度等于的长度，则下列说法正确的个数是（     ） ①和是等弧； ②所对的圆心角等于所对的圆心角； ③所对的弦的长度等于所对的弦的长度． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】以同圆或等圆中弧长相等判定是等弧为基础，结合弧、圆心角、弦的对应关系判断． 【详解】解：在同圆或等圆中，与长度相等， 和是等弧，①正确； 等弧所对的圆心角相等， 所对的圆心角等于所对的圆心角，②正确； 同圆或等圆中，等弧所对的弦相等， 所对的弦长等于所对的弦长，③正确； 故正确的说法有个． 【变式2】（25-26九年级下·黑龙江绥化·期中）下列说法正确的个数有（    ） ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ②在同一平面内，垂直于同一直线的两直线垂直 ③相等的圆心角所对的弦相等 ④顶角相等的两个等腰三角形相似 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据垂线的性质判断①；根据平行线的判定判断②；根据圆心角、弧、弦的关系判断③；根据相似三角形的判定判断④． 【详解】解：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①说法正确； ②在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，故②说法错误； ③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故③说法错误； ④因为等腰三角形的两个底角相等，故顶角相等的两个等腰三角形的底角也相等，故顶角相等的两个等腰三角形相似，④说法正确； 综上所述，正确的有①④，共个． 【变式3】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是直径所在的直线，且平分，，，则：①；②；③；④，其中结论正确的是________（填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查圆综合，涉及角平分线性质、三角形全等的判定与性质、弦和弧的关系、垂径定理、圆周角定理等知识，灵活运用圆的性质进行证明是解决问题的关键． 【详解】解：是直径所在的直线，且平分，，， ， 连接，如图所示： 在和中， ， ， ，， ，， 由垂径定理可得， ，①正确； ， ，则，②正确； 连接，如图所示： 由题意可知，， ， ， ， ，③正确； 对于④，题中条件无法给予证明，故④不正确； 故答案为：①②③． 题型02 由圆心角、弧、弦的关系求线段长度 【典例1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据，的半径为4，可得，是直角三角形，再根据勾股定理即可计算出弦的长． 【详解】解：∵ ，的半径为4， ∴，是直角三角形， ∴， ∴弦的长为． 【变式1】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，半径为4的的弦，且于点，连接、，则的长为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．连接，根据，可得，所以，由，可得，所以，利用勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据在同一个圆中，相等的弧所对的弦相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式3】（2026九年级上·四川南充·专题练习）如图，在中，是弦，半径，点是弧的中点，与交于点．若，求弦的长度______． 【答案】 【分析】连接和，根据，可得，结合，可得，． 【详解】解：如图所示，连接和． ∵点是弧的中点， ∴． ∴． 又∵ ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴． 题型03 由圆心角、弧、弦的关系求角度 【典例1】（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，是半圆O的直径，，，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧、弦、圆心角之间的关系得到，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C，D是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再根据得出，进而求出． 【详解】解：∵， ， ， ， ． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，点E，D，C在上，已知，那么的度数为______． 【答案】/90度 【分析】先根据弧相等得出，再根据是的直径得出，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 即的度数为． 【变式3】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，四边形内接于，是的直径，点是的中点，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据题意，则，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵是的直径， 又∵点是的中点， ∴是整圆的，即， ∴， ∵， ∴． 题型04 由圆心角、弧、弦的关系求弧度 【典例1】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，是弦，，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等边对等角得到的度数，再由三角形外角的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式1】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，中，弦直径，若的度数是，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将弧的度数问题转化为圆心角的度数问题是解题关键，先由的度数得到圆心角的度数，再利用平行线性质和等腰三角形性质求出圆心角的度数，从而得到的度数． 【详解】解：连接、， 的度数是， ， ， ， ， ， ， ， ， 的度数是． 【变式2】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，若的度数为，则的度数为________． 【答案】/140度 【分析】根据在同圆中相等的弦所对的弧相等，可得 ，再结合圆周总度数为 进行计算即可． 【详解】解： 在 中， ， ， 圆周的度数为 ，且 的度数为 ， 的度数为 ． 【变式3】（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，已知，是的两条直径，弦，的度数为，则的度数为______°． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 连接，由求得，根据，得到，即可得到的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 题型05 由圆心角、弧、弦的关系求周长 【典例1】（2023·四川成都·二模）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作，，，三条弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果，那么这个曲边三角形的周长是（　　）． A．π B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等边三角形的定义和性质得出，，从而得出．再根据弧长公式求出，即可求出这个曲边三角形的周长是． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴这个曲边三角形的周长是． 故选：D． 【点睛】本题考查等边三角形的定义和性质，弧、弦、圆心角的关系，弧长公式．掌握弧长公式为是解题关键． 【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示，是半径为3的上的两点．若是的中点，则四边形的周长为______．    【答案】12 【分析】通过等弧所对的圆心角相等和，得到和都是等边三角形，再求出四边形的周长． 【详解】解：连接，    ∵C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴四边形的周长等于为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是等弧所对的圆心角相等；等边三角形的判定和性质，熟练的运用等弧所对的圆心角相等是解本题的关键． 【变式2】（2024·河南驻马店·三模）如图，在扇形中，，，C为的中点，为上一点，且，连接，，在绕点旋转的过程中，当取最小值时，的周长为_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查圆中最值问题，等边三角形的判定以及勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 判断出在的旋转过程中，三点共线时，最短，得出是等边三角形，由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：∵， ， ∵为的中点， ， 在绕点旋转的过程中，当三点共线时，的值最小，如图， ， ， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∵为的中点， ∴， 由勾股定理得，， ∴的周长， 故答案为：． 【变式3】（2025·河南驻马店·三模）如图，四边形内接于，，位于点的异侧，且，，，，分别为，，，的中点．若，的半径为4，则四边形的周长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求解，圆周角定理，特殊角的三角函数，得到四边形的周长等于是解题的关键．连接、、、，作于点，根据三角形中位线的性质可得到四边形的周长，然后根据同圆中等弧所对弦相等得到，接着利用圆周角定理得到，最后利用等腰三角形的性质和特殊角的三角函数求得，即可得到，进而求得答案． 【详解】解：连接、、、，作于点，如图所示， ，，，分别为，，，的中点， ，，，分别为，，，的中位线， ，， 四边形的周长， ，，， ， ， 和分别是所对的圆周角和圆心角，，的半径为4， ，， ， ， ， ， 四边形的周长． 故答案为：． 题型06 由圆心角、弧、弦的关系求面积 【典例1】（2025·广东·一模）已知为O的直径，为圆上（异于）的一点，连接，若点到直线与点到直线的距离相等且均为，则该圆的周长与面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查弧、弦、圆心角的关系，圆的周长和面积，连接，过点作于点，于点，由点到直线与点到直线的距离相等得，再判断，求出，进一步可得出该圆的周长与面积之比． 【详解】解：连接，过点作于点，于点，如图， ， ∵， ∴， ∴, ∴点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴该圆的周长与面积之比为， 故选：A． 【变式1】将按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，若阴影部分的面积为2，则的面积为________． 【答案】16 【分析】本题考查图形的面积，由图形可知按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，阴影部分占其中一份，即的面积是阴影部分的面积的八倍，据此数量关系计算即可． 【详解】解：按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，且阴影部分的面积为2， 的面积为， 故答案为：． 【变式2】如图，点A，B，C，D，E，F都在上，且．若的半径为4，则的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理，根据圆心角、弧、弦的关系的关系求出是解题的关键．连接、，交于H，根据圆心角、弧、弦的关系的关系求出，解直角三角形分别求出，，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接、，交于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 【变式3】（2025·山东济宁·二模）如图，在中，，的平分线交于点D，点E是边上一点，以为直径的经过点D，并交边于点F． (1)求证：是的切线； (2)若点F是的中点，的半径为2，求阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，求不规则图形面积，解直角三角形，弧，圆心角和圆心角之间的关系等等，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和等边对等角可证明，则，进而得到，据此可证明结论； （2）可证明得到，解直角三角形得到，再根据列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 题型07 由圆心角、弧、弦的关系证明 【典例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，若，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】取的中点，根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用三角形三边的关系得，即可得解． 【详解】解：如图，取的中点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 【变式1】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段检测）如图，都是的直径，且，则的弦，，的大小关系是_________． 【答案】 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．根据对顶角相等得到，，，得到，根据圆心角、弧、弦的关系定理判断即可． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2025·重庆巴南·二模）如图，四边形内接于，连结，为的直径，E是的中点．过点E作的切线，交的延长线于点F，且，，，则的长为______，的半径为______． 【答案】 5 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，弧与弦的关系，正确添加辅助线是解题的关键． 连接，则，由勾股定理得：，即；由圆周角定理得到，继而，则，可求直径，继而可求半径． 【详解】解：连接， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∴； ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴半径为， 故答案为：5；． 【变式3】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的半径，且，D、E分别是的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ， ∵D、E分别是的中点，是的半径， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）通过圆心角定理的推论得出，再证明，进而即可得到结论； （2）连接，证明是等边三角形，进而即可得到答案 【详解】（1）略； （2）解：连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ，即 一、单选题 1．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）下列各选项中的是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】顶点在圆心的角叫作圆心角． 【详解】解：A、顶点不在圆心，故不是圆心角，不符合题意； B、顶点不在圆心，故不是圆心角，不符合题意； C、顶点不在圆心，故不是圆心角，不符合题意； D、顶点在圆心，故是圆心角，符合题意． 2．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，是的直径，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系可推出，结合平角的定义和角度的和差即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵是的直径， ∴， ∴． 3．（2026·广东广州·二模）如图，，是上的两点，为劣弧的中点，，若，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交于点，根据弦、弧、圆心角的关系得出和为等边三角形，进而得出四边形是菱形，根据菱形的性质，结合勾股定理分别求出、的长，利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵为劣弧的中点， ∴， ∵， ∴垂直平分，， ∵， ∴， ∵， ∴和为等边三角形， ∴，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·四川南充·一模）如图，在中，，点C为的中点，点D是半径上一动点．若，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，连接，连接交于点，根据轴对称的性质得出的最小值为的长度，求出相关角的度数，最后利用勾股定理进行求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，连接交于点， ∴，， 此时，的最小值为的长度， ∵点C为的中点， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， 即的最小值为． 5．（2025·四川巴中·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】B 【分析】延长至点，使，证明，进而推出，即可得到点是的中点，再根据直角三角形的性质可知点在以点为圆心，为半径的圆上，当时，取的最大值，即此时面积最大，然后根据弧、弦、圆心角的关系可知，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，延长至点，使， D为中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴，即， ， 点是的中点， ，D为中点， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上，如图， 当时，边上的高取的最大值，即此时面积最大， ， ，即为等腰直角三角形， ∵，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题 6．（25-26九年级下·广东广州·阶段检测）如图，在中，，，则______°． 【答案】40 【分析】根据“圆心角、弧、弦的关系”求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 7．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为___________． 【答案】/52度 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系． 连接，如图，先根据三角形内角和计算出，再根据等腰三角形的性质由得到，然后再利用三角形内角和计算出，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 8．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在半径为5的中，弦BC，ED所对的圆心角分别是，，已知，，则BC的长为________． 【答案】 【分析】首先延长CA交于点F，易得，由圆心角与弦的关系，可得，由圆周角定理可得：，然后由勾股定理求得弦的长． 【详解】解：如图，延长CA交于点F，连接BF． ，， ， ． 是的直径， ， ． 故答案为：. 【点睛】此题考查了圆周角定理、圆心角与弦的关系以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 9．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，点，在以为直径的半圆上，且．若的度数为，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、圆周角等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，首先根据题意可知，由“两直线平行，同位角相等”可得，再根据圆周角定理可得，进而求得的值，即可获得答案． 【详解】解：连接， ，的度数为，即， ． ， ． ． 的度数为． 故答案为：． 10．（24-25九年级下·广东中山·阶段检测）如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上一动点．若，，则周长的最小值是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，圆心角与弧，勾股定理．作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，， ．根据轴对称的性质得到，，进而可知，，根据勾股定理求出，可知，进而可求周长的最小值． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，， ． ∵点A与关于对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴，， ∵点B是劣弧的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∴周长的最小值， 故答案为：． 三、解答题 11．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，，求的度数． 【答案】 【分析】由得到弧所对的圆周角，再根据三角形内角和，用求出两个底角之和，平分得到的度数． 【详解】解：， ， ， ， ． 12．（2026·安徽·模拟预测）如图，为的内接三角形，为的高，垂足为，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即． ∵， ∴，即， ∴， ∴． (2)． 【分析】（1）先根据等边对等角和三角形的内角和定理得出，再根据直角三角形的性质得到，最后等量代换即可求证； （2）先连接，过点作，垂足为，再运用勾股定理分别求出，根据弧相等圆心角相等推出，推出，然后结合根据（1）中推出，即，代入线段长度即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，过点作，垂足为． ∵在中，，， ∴根据勾股定理，， ∴． 在中，根据勾股定理，， ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∵由（1）得， ∴， ∴， ∴，即，解得． ∴的半径为． 13．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：， ， 又∵， 为等边三角形， ， ． (2)． 【分析】（1）证明，则可证明为等边三角形，得到，据此可证明结论； （2）延长，交于点，可证明，则平分，由三线合一定理得到，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质得到，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：延长，交于点， 由（1）得， ∵， ∴， ∴平分， ， ∴， 同理可得， 在中，， ，即的半径为． 14．（25-26九年级上·北京大兴·期末）如图，内接于，是直径，交于点，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴． (2) 【分析】本题考查了弧与弦的关系、线段垂直平分线的判定、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握弧与弦的关系是解题关键． （1）连接，先根据弧与弦的关系可得，再得出垂直平分，由此即可得； （2）连接，先求出，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得，由此即可得． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵垂直平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴，， ∴． 15．（2026·安徽六安·一模）如图，在中，直径与弦相交于点E，于点F，连接与相交于点G． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 【分析】（1）利用等边对等角得出，再利用直角三角形两锐角互余得出，可得，再利用等角对等边即可得证； （2）连接，利用，证明，再利用，证明，即可证明，得出，结合，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 一、单选题 1．（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）如图，在中，点是的中点，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，弦，弧，圆心角的关系，熟练掌握关系和定理是解题的关键． 先根据点是的中点，推出，再运用圆的性质和三角形的内角和性质求解即可． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵在中， ∴， ∴． ∵在中，， ∴， ， ， ． 故选：D． 2．（2025·四川广元·一模）如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了“弧，弦，圆心角”的关系，全等三角形的性质和判定， 根据“弧，弦，圆心角”的关系得，即可说明A，C；再证明解答D即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则A正确，C正确； ∵， ∴， ∴，则D正确． 不一定相等，则B不正确 故选：B． 二、填空题 3．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，点C，D在以为直径的半圆O上，且，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，关键是掌握圆心角和它所对的弧的度数相等． 连接，由平行线的性质推出，由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理求出，得到的度数． 【详解】解：连接， ∵， ， ， ， ， ∴的度数， 故答案为： 4．（22-23九年级下·浙江温州·开学考试）如图，点A在半圆O上，为直径，若，，则的长是_____． 【答案】 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长． 5．（2025·陕西西安·一模）如图，是的直径，，若，则的度数为__________． 【答案】/35度 【分析】此题考查弧、弦、圆心角的关系，等边对等角和三角形的外角． 根据等边对等角和三角形的外角可得，然后根据弧、弦、圆心角的关系解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图：在半圆中，是半圆上的一个点，将沿弦折叠交直径于点，点是的中点，连接，若的最小值为，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了圆的折叠性质、弧与圆心角的关系、勾股定理，补全折叠后的圆并确定最小情况，结合弧的圆心角推导与勾股定理建立方程是解题的关键． 补全弧所在的圆及圆心，连接，，，，由三角形任意两边之差小于第三边得当，，三点共线时最小，所对圆心角的度数为，所对圆心角的度数为，再设半径为，利用勾股定理列方程求解，即可求出． 【详解】解：如图，补全弧所在的圆及圆心，连接，，，， 由三角形任意两边之差小于第三边，得当，，三点共线时最小，设所对圆心角的度数为，则所对的圆心角的度数为， ∵， ∴所对圆心角的度数为， 由折叠得所对圆心角的度数为， ∴所对圆心角的度数为， ∵点为中点， ∴所对圆心角的度数为， ∴所对圆心角的度数为，即， 设半圆的半径为，则由对折可得，， 在中， ， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 三、解答题 7．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，是直径，，．求的大小． 【答案】 【分析】根据等弧所对的圆心角相等可得，再根据平角的定义求解即可． 【详解】解：，， ， 是直径， ． 8．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，，C、D是以O为圆心的的三等分点，连接分别交于点E，F．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了弧，弦和圆周角的关系，等角对等边，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 连接，根据得出的度数，由等腰三角形的性质求出的度数，根据等角对等边可得出，同理可得，再根据，由此可得出结论． 【详解】证明：连接， ∵在中，半径，C、D为以O为圆心的弧的三等分点， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，同理， ∵C，D是的三等分点， ∴， ∴． 9．（2026·广东广州·二模）某校有一块圆形劳动教育实践基地，现在其内部规划一个四边形区域植鲜花．如图，数学兴趣小组已经确立了、、三点的位置，．已知点在劣弧上，且 (1)尺规作图：请在上确定点的位置，并连接、； (2)已知，求鲜花种植区域四边形的面积（请用含的式子表达） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意作，即可求解； （2）过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 由（1）可得， ∵ ∴， 在，中， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴四边形的面积 10．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，中，，以为半径的与相交于点D． (1)若，求的度数 (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查计算圆心角度数，三角形内角和定理，等腰三角形性质，勾股定理等． （1）根据题意连接，再利用内角和定理计算出，继而求出本题答案； （2）作，根据垂径定理得，再利用勾股定理计算出，利用等积法求出，再利用勾股定理即可计算出本题答案． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $