专题2.2 垂径定理（9大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级下册

专题2.2 垂径定理 教学目标 1. 理解垂径定理的内涵与推导过程，明确定理的条件和结论，能准确表述定理内容。 2. 掌握垂径定理及其推论的应用方法，能解决弦长、半径、弦心距的相关计算问题。 3. 培养几何建模与逻辑推理能力，体会数形结合思想在圆的相关问题中的运用。 教学重难点 1.重点 （1）垂径定理的推导过程与核心内容，以及定理和推论之间的内在逻辑联系。 （2）运用垂径定理建立半径、弦长、弦心距的数量关系，解决实际几何计算问题。 2.难点 （1）分析复杂圆的图形，精准构造符合垂径定理应用的辅助线，转化已知条件。 （2）区分垂径定理及其推论的适用场景，避免在解题中混淆条件与结论。 知识点01 垂径定理及推论 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。 证明：连AO、BO ∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90° 又∵OE=OE，OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL） ∴AE=EB，∴= = 2）知二推三（推论） ①CD过圆心（直径/半径）；②CD垂直弦AB；③CD平分AB；④=；⑤= 垂径定理重要推论：上述5个条件中，任意2个条件成立，则其余3个条件必定成立，即“知二推三”。 3）重要公式：设半径为r，，=d，根据勾股定理： 圆中常用的辅助线：连OB，作OE垂直弦AB，构造出直角三角形。 【即学即练】1．（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，的直径垂直于弦，则的度数为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂径定理得出，再根据圆周角定理得出，从而求出的度数． 【详解】解：连接， 为的直径，， ， ． 与分别是所对的圆周角和圆心角， ． ， ， ． 2．（25-26八年级下·山东日照·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为____________米． 【答案】 【分析】由垂径定理可得的长，设的半径为，则可用含的式子表示，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：， 米， （米） ． 设的半径为米，则，． 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 3．（25-26九年级下·四川内江·阶段检测）如图是某桨轮船的轮子的示意图，桨轮船的轮子被水面截得的弦长．设圆心为O，，交水面于点D，轮子的吃水深度为，求该桨轮船的轮子半径． 【答案】 【分析】利用垂径定理和勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：设轮子的半径为，则， ∵， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得． 题型01 利用垂径定理判断正误 【典例1】（2026·重庆·模拟预测）下列命题是真命题的是（     ） A．过一点作已知直线的平行线有且只有一条 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于同一条直线的两直线平行 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】结合各定理的前提条件逐一分析选项，最终确定真命题． 【详解】选项A：∵当该点在已知直线上时，无法作出已知直线的平行线，定理要求“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，∴A是假命题； 选项B：∵当被平分的弦本身是直径时，两条直径互相平分但不一定垂直，定理要求“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”，∴B是假命题； 选项C：∵该命题缺少“同一平面内”的前提条件，不在同一平面内时结论不成立，∴C是假命题； 选项D：由初中数学基本公理可知，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，∴D是真命题． 【变式1】（25-26九年级上·江西赣州·期中）下列命题中正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．直径是一个圆中最长的弦 C．两个相等的圆心角所对的弧一定相等 D．长度相等的两条弧是等弧 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本性质，垂径定理，根据圆的定义和性质，逐一判断各选项的正确性． 【详解】A．∵平分弦（非直径）的直径垂直于弦，但弦可能是直径，此时不一定垂直，∴A错误； B．∵直径是通过圆心的弦，且是圆中最长的弦，∴B正确； C．∵只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，∴C错误； D．∵等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定等弧，∴D错误． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）下列说法中正确的是（   ） 直径是弦；长度相等的两条弧是等弧； 相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的基本概念，弦、弧、圆心角等关系，垂径定理推论，根据圆的基本概念，弦、弧、圆心角等关系，垂径定理推论逐一分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵直径是经过圆心的弦， ∴正确，符合题意； ∵等弧需在同一个圆或等圆中长度相等才成立， ∴错误，不符合题意； ∵相等的圆心角所对的弧相等需在同一个圆或等圆中， ∴错误，不符合题意； ∵平分弦的直径垂直于弦，但弦不能是直径（否则可能不垂直）， ∴错误，不符合题意； 故选：． 【变式3】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）下列5个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的两条弧是等弧；④优弧一定大于劣弧；⑤圆既是轴对称图形又是中心对称图形．正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①直径是过圆心的弦，正确； ②当被平分的弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，错误； ③④等弧的定义、优弧与劣弧的大小比较均需以同圆或等圆为前提，仅长度相等的弧不一定是等弧，优弧也不一定大于劣弧，均错误； ⑤圆的对称轴为任意过圆心的直线，对称中心为圆心，既是轴对称图形又是中心对称图形，正确. 综上，正确的说法共2个. 题型02 利用垂径定理求角度 【典例1】（25-26九年级上·重庆渝北·期末）如图，是的直径，，垂足为点，连接、，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系．根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得，再根据垂径定理得出，进而可得解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 是的直径，是的弦，且， ， ， 故选：C． 【变式1】（2026·吉林·模拟预测）如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则的大小是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由垂径定理得到，由得到，故． 【详解】解：∵直径平分弦， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（2026·北京海淀·模拟预测）如图，是的直径，弦，若，则的度数为___________． 【答案】56 【分析】根据垂径定理可得，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，弦， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，是上的一条弦，直径，连接、，，则的度数是________． 【答案】 【分析】连接，设与的交点为，由垂径定理可得，结合圆周角定理可得，最后由“直角三角形两锐角互余”求出． 【详解】解：如图，连接，设与的交点为， ∵直径， ∴，， ∴， ∴． 题型03 利用垂径定理求线段长度 【典例1】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，于，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用垂径定理即可得到答案． 【详解】解：是的直径，， ， ， ． 【变式1】（2026九年级下·北京西城·专题练习）如图，的半径为2，是的内接三角形，于D， 于E，当时，线段的长是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】连接，作，圆周角定理得到，进而求出，垂径定理求出的长，推出为的中位线，即可得出结果． 【详解】解：连接，作，则， ∵的半径为2，是的内接三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵于D， 于E， ∴， ∴为的中位线， ∴． 【变式2】（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，是的半径，是的弦，且于点．若，则半径的长是__________． 【答案】10 【分析】根据垂径定理求出的长，设半径为，表示出的长，在中利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：，， ， 设的半径为，则， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． 【变式3】（2026·内蒙古赤峰·二模）如图，是的直径，点在上，连接．过点作的垂线，垂足为在的垂线上截取交于点，连接，交于点．若，则的长度为_____． 【答案】 【分析】连接，根据已知条件及垂径定理得到，，，然后，由勾股定理得，，最后可得出的长． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴． 题型04 利用垂径定理求坐标 【典例1】（2025·江西南昌·一模）如图，点，，半径为的经过点，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及其应用是解题的关键．连接，过点作于点，轴于点，可得四边形是矩形，得出，，利用，，可得，，，利用垂径定理可得，则可得，利用勾股定理可得，即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，轴于点， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】（2023·广西防城港·模拟预测）如图，半径为1的经过平面直角坐标系的原点O，与x轴交于点A，点A的坐标为，点B是直角坐标系平面内一动点，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查垂径定理及推论，等边三角形性质及应用，勾股定理的应用，作出辅助线是解题的关键．过点作于点，以为边在上方作等边，以为圆心，的长为半径作，连接并延长交于．根据勾股定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，以为边在上方作等边，以为圆心，的长为半径作，连接并延长交于， 为等边三角形， ， 当在上时，， 在上运动，当运动到时，取最大值，最大值即是的长度， 经过平面直角坐标系原点，与x轴交于点A， 在的垂直平分线上， ， ， 半径为，所以， ， 是等边三角形， ， 在的垂直平分线上， 共线， ， ， ， ， 最大值为． 故选C． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为，函数的图象被截得的弦的长为，则的值是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及圆的性质，垂径定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，求得点的坐标是解题的关键． 作轴于点，交于点，作于点，连接，由于，，得到点的坐标为，则，为等腰直角三角形，根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，则，即可得到答案． 【详解】解：如图，作轴于点，交于点，作于点，连接， 的圆心坐标是， ， 把代入得， 点的坐标为， ， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 【变式3】（24-25九年级上·新疆伊犁·阶段检测）如图，则在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴相切于点，与轴交于点，两点，点的坐标为_____． 【答案】 【分析】过点作于，连接，由点的坐标可得，，进而由垂径定理得，即得，又根据切线的性质可得四边形是矩形，即得，，得到，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：过点作于，连接，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵与轴相切于点， ∴轴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，正确作出辅助线是解题的关键． 题型05 利用垂径定理求平行弦问题 【典例1】（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 【变式1】（25-26九年级上·广东广州·期中）若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 由于弦，且直径已知，需考虑两弦在圆心同侧或异侧两种情况，分别计算弦到圆心的距离，再求两弦间距离． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 当点在与之间时，如图，； 当点不在与之间时，如图，； 综上所述，的值为或，即AB与CD之间的距离为或， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 【答案】或 【分析】本题考查圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键， 分弦和弦在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可， 【详解】解：过点O作于点M，于点N， ， 点O、M、N三点共线， 由垂径定理得，M为中点，N为中点 在中，、， 由勾股定理得 在中，、， 由勾股定理得 当、在圆心同侧时，如图： 距离为 当、在圆心异侧时，如图： 距离为． 故答案为：7或17． 【变式3】（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）在中，圆心O到两平行弦的距离分别为6、8，则两平行弦间的距离等于________． 【答案】14或2 【分析】分弦与在圆心O的异侧和同侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当弦与在圆心O的异侧时，如图1所示， 过O作， ∵， ∴， 根据题意得：， 此时两平行弦间的距离； 当弦与在圆心O的同侧时，如图2所示，同理可得： ， 综上，两平行弦间的距离等于14或2． 题型06 利用垂径定理求同心圆问题 【典例1】（2026·河北石家庄·一模）如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 【答案】D 【分析】根据同心圆上两点之间的最值问题进行解决． 【详解】解：根据同心圆的半径可知， 两圆上两点最远的距离为（米）， 两圆上两点最近的距离为（米）， ∴两人的距离不可能是50米． 【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，解题的关键是正确作出垂线．连接，过点作于点，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，求出，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵，经过圆心， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴（舍去负值）， ∴ 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，过点作于点，连接，由垂径定理可得，由勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 题型07 垂径定理的推论 【典例1】（2026·山东东营·中考真题）如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点E，根据圆周角定理得出，根据垂径定理得出，最后根据三角形内角和定理得出结果即可． 【详解】解：设与交于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∵，为半径， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2026·湖北襄阳·一模）如图，的直径平分弦．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据垂径定理的推论得，进而得出，然后根据“同弧所对的圆周角相等”得出答案． 【详解】解：如图， ∵直径平分弦， ∴，交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，弦的长为8，连接，是弦的中点，经过圆心且交于点，若的半径为5，则的长为_______． 【答案】8 【分析】先根据垂径定理推论可知，然后结合圆的半径和勾股定理求得，进而可求得的长． 【详解】解 ：∵是弦的中点，经过圆心，， ∴，， ∵的半径为5， ∴， 在中，， ∴． 【变式3】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）已知：如图，在中，是弦，是直径，点是的中点．求证：垂直平分，且． 【答案】证明：∵是的直径，且点是的中点， ，且平分， ∴垂直平分， ∵是直径，且， ． 【分析】直径平分弧，则直径垂直平分弧所对的弦，再由垂直于弦的直径平分弦所对的弧，证得两弧相等． 【详解】略 题型08 垂径定理的实际应用 【典例1】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），此管件的直径为，测得水的深度为，则水面宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵此管件的直径为， ∴， ∵水的深度为， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：），则液面宽度（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解． 【详解】解：设半圆圆心为O，过点O作于点C，连接， 由图可知，半圆半径，圆心O距地面，液面距地面， ∴， 在中，， ∵， ∴． 【变式2】（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的直径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为___________． 【答案】 【分析】根据直径求出半径，利用垂径定理确定半径与弦垂直，构建直角三角形，结合勾股定理求解弦长的一半，进而得出弦长． 【详解】解：设圆心为，连接， 球形部分的直径为， 半径， 为瓶内液体的最大深度， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 故截面圆中弦的长为． 【变式3】（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺=10寸），则这块圆柱形木材的直径是_____寸． 【答案】 【分析】设圆的半径为寸，在中，利用勾股定理列方程求出半径，进而求出直径 ． 【详解】解：尺寸，则寸， 设圆的半径为寸， ， （寸）， 在中，， 由勾股定理得 ， ， 解得， 直径为（寸） ． 题型09 利用垂径定理求最值 【典例1】（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图所示，已知的半径为，弦，是上任意一点，则线段长的最小值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，垂线段最短等知识点，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 连接，过点作，垂足为，则此时最短，然后利用垂径定理、勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为，则此时最短， ，， ， 在中，， 故选：B． 【变式1】（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为上一动点，于F，则线段的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，作，连接，由可知，点F在以为直径的圆M上移动，当点F在的延长线上时，的长最小，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：连接，作，连接， ∵， ∴， ∵为圆心，半径为2， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点F在以为直径的圆M上移动， 当点F在的延长线上时，的长最小，最小值为， 故选：B． 【点睛】此题考查了垂径定理，直角三角形30度角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，的半径是5，弦，P是弦上的一个动点（不与点A，B重合），则线段的最小值是_____． 【答案】3 【分析】利用垂线段最短的性质，当时，取得最小值．结合垂径定理和勾股定理来计算的长度． 【详解】解：过点作于点．根据垂线段最短，此时的长度就是的最小值． 由垂径定理可知，． ∵， ∴． 已知⊙的半径，在中，根据勾股定理： ． ∴线段的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题关键是利用垂线段最短确定最小时的位置，再结合垂径定理和勾股定理进行计算． 【变式3】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点，若C为的中点，，则的最小值是______． 【答案】18 【分析】本题主要考查轴对称的性质、垂径定理、弧、圆心的关系及含30度直角三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、垂径定理、弧、圆心的关系及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 由题意易得则有，然后可得，过点C作，并延长，交于点H，则有当点O与点P重合时，有最小值，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ， ∵点C为的中点， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点C作，并延长，交于点H，如图所示： ， ∴点C与点H关于对称， ∴， ∴， ∴点E、O、H三点共线， 由轴对称的性质可知：的最小值为点O与点P重合时，如图，即最小值为， ∴， 即C为的中点，时，的最小值为18； 故答案为：18． 一、单选题 1．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（　　） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积；垂径定理的应用是解此题的关键； 根据垂径定理求出，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】为的直径，，， ， ， 的面积为， 故选：C． 2．（25-26九年级上·广西柳州·期中）如图是排水管示意图，截面是半径为5分米的圆，管内水面分米，则水深等于（   ） A．分米 B．分米 C．2分米 D．3分米 【答案】C 【分析】本题主要考查的是垂径定理的应用，由题意知，交于点C，由垂径定理可得出的长，在中，根据勾股定理求出的长，由即可得出结论． 【详解】解：连接， 由题意知，交于点C， ∵分米， ∴（分米）， 在中，根据勾股定理得： （分米）， ∴（分米）． 故选：C． 3．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，为的直径，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，掌握相关知识是解题的关键．先根据为的直径，，得到，则，再根据圆周角定理得到，进而即可求解． 【详解】解：∵为的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于中，直径交于点，，若半径为5，，则的长度是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，连接，则，设，则由勾股定理得，解得，再由勾股定理求解，然后证明，最后由垂径定理得到． 【详解】解：过点作于点，连接，则， 设， 则由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，运用垂径定理和勾股定理求解． 5．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，是的直径，是弦，，则下列结论不一定正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题重点考查垂径定理、线段的垂直平分线的性质等知识，正确理解和应用垂径定理是解题的关键． 由是的直径，是弦，，根据垂径定理得，可判断不符合题意；连接、，因为垂直平分，而但不一定平分，所以，而与不一定相等，可判断B符合题意，不符合题意；由、都是的半径，得，可判断不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：是的直径，是弦，， ， 故A不符合题意； 连接、， 垂直平分，而但不一定平分， ，而与不一定相等， 故B符合题意，不符合题意； 、都是的半径， ， 故C不符合题意， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，所在圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，熟练掌握垂径定理的推论是解题关键．连接，根据垂径定理的推论可得的线段垂直平分线的交点即为所求，结合网格写出坐标即可得． 【详解】解：连接，结合网格作的线段垂直平分线，交点即为所在圆的圆心． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知中，直径弦于点，点在上，，过点作交于点，已知，且，则的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理及勾股定理的综合应用，解题的关键是结合弧的关系推导圆周角，再利用直角三角形性质和勾股定理建立方程． 先由垂径定理得的一半长度，结合弧的关系推导的度数，再在直角三角形中求出的长，最后通过勾股定理建立关于半径的方程求解． 【详解】解：由垂径定理得： 直径，是中点， ． 设，则． ， ， ． 由圆周角定理，． ，，， （直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半）． ，， 由勾股定理得 设， ， 在中，， 即； 在中，， 即， 解得． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·北京·期中）如图，OA是的半径，弦，D是上一点，且点在优弧BC上．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题的关键． 连接，根据垂径定理，证明，圆周角定理，证明，计算即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·山东泰安·月考）如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，连接，首先根据题意可求得，，根据勾股定理即可求得的长，再根据垂径定理即可求得的长． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·月考）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：， ， 由条件可知， 由勾股定理得：， ． 截面圆中弦的长为． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，是的弦，，半径，分别与弦，垂直，垂足分别为，，，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查弧，弦，圆心角之间的关系，垂径定理，菱形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证； （2）先证明四边形为平行四边形，等积法推出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 12．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若的半径为，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． （1）由已知条件得出，证出，得出，证出是等边三角形，即可得出结果； （2）由垂径定理得出，由勾股定理得出方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：弦垂直平分半径． ，， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：的半径为， 垂直平分半径， ，， 在中，， 即， 解得：或（舍去）， 弦的长为． 13．（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，的直径垂直于弦，垂足为，．，求、的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，掌握相关定理及应用是解题的关键． 根据圆周角定理得到，进而得到是等腰直角三角形，设，根据勾股定理可得，再由垂径定理得到，结合即可得到． 【详解】，， ，又， 是等腰直角三角形． ．设， ，解得， ， ， 过圆心，， ． 14．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，是的直径，弦于点，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等弧所对的圆周角相等，垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）由垂径定理可得，再由等弧所对的圆周角相等即可得出结论； （2）连接，设的半径为，由垂径定理可得，利用勾股定理列方程求解即可得出答案． 【详解】（1）证明：是的直径，， ． ． （2）解：连接， 设的半径为， 是的直径，， ，． ． ，， ，． ． 解得． 15．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握垂径定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）由垂径定理得到，由等腰三角形的性质得到，再根据线段的和差即可证明结论； （2）如图：连接，设的半径是r，则，由垂径定理得到，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图：连接， 设的半径是r，则， ∵， ∴， ∵， ∴，解得： ， ∴的半径是． 一、单选题 1．（25-26九年级下·湖南·期中）如图，在中，的半径长为，圆心到的距离，则弦的长为（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键． 利用垂径定理得到，根据勾股定理求出长，进而求出长． 【详解】解：是的半径，， 、， 在中，由勾股定理得：， ． 2．（2026·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵为的直径，弦于，且， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的面积为． 3．（2022·山东枣庄·模拟预测）如图，已知是的直径，弦交于点E，，， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理可知，由对顶角相等可知，再根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出，，从而可求出的长，进而得出的长，由又可求出的长．再次根据勾股定理可求出，从而得出，最后计算即可． 【详解】解：如图，过点O作于点M，连接． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·河南安阳·一模）如图，是的弦，半径于点，若，，则半径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理和勾股定理进行解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴则半径的长为． 5．（2026·广西百色·三模）如图，化学实验中有一个底部呈球形的烧瓶，其截面圆中弦的长为，瓶内液体已经过半，最大深度，则球的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆的圆心为点，连接，利用垂径定理得出，设半径为，在中利用勾股定理列关于的方程，求解即可． 【详解】解：设圆的圆心为点， 如图，连接， 由题意得，， ， 设半径为，即， 则， 在中， ，即， 解得， 球的半径为：． 二、填空题 6．（2026·江苏常州·一模）如图，在中，是直径，弦于点，若，，则__________． 【答案】 【分析】根据直径的长度求出半径，结合线段的数量关系求出的长，在直角三角形中利用勾股定理求出的长，最后根据垂径定理求出的长． 【详解】解：是的直径， ，且 在 中，由勾股定理得 是直径， 由垂径定理得． 7．（2026·北京大兴·一模）《弧矢算术》为明代数学家顾应祥所撰，该著作系统整理了“径矢求弦、径弦求矢、弦矢求径”等10余类问题，是中国古代切割圆形进行计算的重要方法，对当时的工程测量、历法计算具有重要实用价值．其中有一题目为：“圆径十寸，从旁截一弧，矢阔一寸．问：截弦？”．题意为：如图，是的直径，弦于点E．若，，则的长为_____． 【答案】 6 【分析】先根据圆的直径求出半径，再结合已知条件求出的长度，然后利用垂径定理和勾股定理求出的长度，最后根据垂径定理求出弦的长度． 【详解】解：连接，如图， 已知是的直径，且， 可得， 因为，， 所以． 因为弦于点， 根据勾股定理可得， 因为弦于点， 所以． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，为直径，弦于点H，若，则的半径长为______． 【答案】// 【分析】连接，设圆的半径为，根据垂径定理可得，在中由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设圆的半径为， ∵， ∴， 在中，，， ∴ 解得， ∴半径为． 9．（2026·内蒙古赤峰·二模）如图，是的直径，点在上，连接．过点作的垂线，垂足为在的垂线上截取交于点，连接，交于点．若，则的长度为_____． 【答案】 【分析】连接，根据已知条件及垂径定理得到，，，然后，由勾股定理得，，最后可得出的长． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴． 10．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）所学即所用，所用即所得，周末邓紫展同学利用所学测算如图①所示的厨房锅盖直径，图②是其截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为，，锅盖直径为，锅盖最低点到的距离是，则______． 【答案】32 【分析】根据题意设锅盖的圆心为，与交于点，连接，进而构造直角三角形，运用已知条件及勾股定理求出，由垂径定理可得的长． 【详解】解：如图，锅盖的圆心为，与交于点，连接， 由题意知，，， ∴，． ∴在中，， ∴． 三、解答题 11．（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图是我国古代园林的圆形拱门，它是的一部分，已知拱门的地面宽度，线段是过圆心且垂直于于点M，，求构成该拱门的的半径． 【答案】构成该拱门的的半径为． 【分析】根据垂径定理求出，设的半径为，则，，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，线段是过圆心且， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，，即， 解得：， ∴构成该拱门的的半径为． 12．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，是的弦，半径于点，且．求的长． 【答案】 【分析】根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 13．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，已知点是的平分线上的一点，以为圆心的圆和角的两边分别交于点、和、．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：，理由如下： 过点分别作，，垂足分别为、， ，， 和是直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ． (2)证明：， ， ，， ， ． 【分析】（1）过点分别作，，则可知，且，则可证得，可得出． （2）由，可得，再根据垂径定理即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 14．（2026·山东临沂·二模）如图，是的直径，，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，，且． (1)如图1，若，，求的半径； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：过作于， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】（1）根据，结合同圆半径相等，推导与的位置关系，确定为直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可； （2）过作于，利用垂径定理求出长，进而得到，证明，则，从而得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ，即， ， ， ， 解得：， 即的半径为； （2）略． 15．（2026·安徽合肥·三模）如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C． (1)求证：D是的中点； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接． ∵是的弦，半径， ∴D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即D为的中点； (2)的半径为． 【分析】（1）连接，根据垂径定理推出，根据直角三角形的性质及等腰三角形的判定推出，等量代换即可得解； （2）连接，根据垂径定理推出，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理，据此求解即可． 【详解】（1）证明：略； （2）解：如图，连接． ∵半径，垂足为H，， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 即的半径为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.2垂径定理 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01垂径定理及推论 2.知识清单 题型01利用垂径定理判断正误 题型02利用垂径定理求角度 题型03利用垂径定理求线段长度 垂径定理 题型04利用垂径定理求坐标 题型05利用垂径定理求平行弦问题 3.题型精讲 题型06利用垂径定理求同心圆问题 题型07垂径定理推论 题型08垂径定理的实际应用 题型09利用垂径定理求最值 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1. 理解垂径定理的内涵与推导过程，明确定理的条件和结论，能准确表述定理内 容。 教学目标 2. 掌握垂径定理及其推论的应用方法，能解决弦长、半径、弦心距的相关计算问 题。 3.培养几何建模与逻辑推理能力，体会数形结合思想在圆的相关问题中的运用。 1.重点 教学重难点 (1)垂径定理的推导过程与核心内容，以及定理和推论之间的内在逻辑联系。 (2)运用垂径定理建立半径、弦长、弦心距的数量关系，解决实际几何计算问题。 1/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.难点 (1)分析复杂圆的图形，精准构造符合垂径定理应用的辅助线，转化已知条件。 (2)区分垂径定理及其推论的适用场景，避免在解题中混淆条件与结论。 知识清单 知识点01垂径定理及推论 1)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。 证明：连AQBO ,CD⊥AB∴.∠AEC∠CEB90° 又.'OE-=OE,O4OB∴.△OAE≌△OBE(L) ..AB-EB,.AD-BD AC-CB 2)知二推三（推论) ①CD过圆心（直径/半径）；②CD垂直弦A:③CD平分AB,④ACCB,⑤AD-BD 垂径定理重要推论：上述5个条件中，任意2个条件成立，则其余3个条件必定成立，即“知二推三”。 AB=a,l0E-d根据勾股定理：7 3)重要公式：设半径为 圆中常用的辅助线：连OB,作OE垂直弦AB,构造出直角三角形。 【即学即练】1.(25-26九年级下福建泉州期中)如图，⊙0的直径AB垂直于弦CD,∠BAD=35°，则 LBOC的度数为(） B A.35 B.55° C.60° D.70° 2/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26八年级下山东日照期末)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，当筒车工作时， 盛水桶的运行路径可以看作是以轴心0为圆心的⊙0，且圆心在水面上方.在某一时刻，⊙0被水面截得 的弦AB长为6米，过点O作OC1AB,交O0于点C,交AB于点D,水面下盛水桶的最大深度为1米 (即CD=1米)，则O0的半径为 米 3.(25-26九年级下四川内江阶段检测)如图是某桨轮船的轮子的示意图，桨轮船的轮子被水面截得的 弦AB长8m.设圆心为O,OC⊥AB,交水面AB于点D,轮子的吃水深度CD为2m,求该桨轮船的轮子 半径 水面 题型精讲 题型01利用垂径定理判断正误 【典例1】(2026·重庆·模拟预测)下列命题是真命题的是() A.过一点作已知直线的平行线有且只有一条 B.平分弦的直径垂直于弦 C.垂直于同一条直线的两直线平行 D.垂线段最短 【变式1】(25-26九年级上：江西赣州期中)下列命题中正确的是() A.平分弦的直径垂直于这条弦 B.直径是一个圆中最长的弦 C.两个相等的圆心角所对的弧一定相等 D.长度相等的两条弧是等弧 【变式2】(25-26九年级上江苏无锡期中)下列说法中正确的是() 3/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧： ③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦 A.① B.② c.③ D.④ 【变式3】(26-27九年级上江苏无锡阶段检测)下列5个说法中：①直径是弦：②平分弦的直径垂直于 弦；③长度相等的两条弧是等弧：④优弧一定大于劣弧；⑤圆既是轴对称图形又是中心对称图形.正确的 有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型02利用垂径定理求角度 【典例1】(25-26九年级上·重庆渝北期末)如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD,垂足为点E,连接AD、 OC,若∠A=25°，则∠BOC的度数是() E D B A.25° B.40° C.50° D.65° 【变式1】(2026·吉林模拟预测)如图，⊙0的直径AB平分弦CD(不是直径).若∠A=40°，则∠C 的大小是() A.40° B.50° C.90° D.60° 【变式2】(2026北京海淀模拟预测)如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD,若∠BCD=62°，则 ∠AOC的度数为- 4/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【变式3】(2026陕西西安模拟预测)如图，在O0中，CD是⊙0上的一条弦，直径AB⊥CD,连接 AC、OD,∠A=27°，则∠D的度数是 B 题型03利用垂径定理求线段长度 【典例1】(2026九年级上全国专题练习)如图，AB是⊙0的直径，AB⊥CD于E,CD=8,则CE为 () E D B A.2 B.3 c.4 D.6 【变式1】(2026九年级下北京西城专题练习)如图，⊙0的半径为2，△ABC是⊙0的内接三角形， OD⊥AC于D,OE⊥AB于E,当∠BAC=60°时，线段DE的长是() B A.5 B.2V5 C.2 D.4 【变式2】(26-27九年级上江苏扬州阶段检测)如图，OC是⊙0的半径，AB是⊙0的弦，且0C1AB 5/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于点D.若AB=16,CD=4,则半径OA的长是 D B 【变式3】(2026内蒙古赤峰二模)如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上，连接AC.过点C作AB的 垂线，垂足为G在AB的垂线上截取CD=AC,CD交O0于点F,连接AD,交⊙O于点H.若 AG=12,GF=5,则DF的长度为一· 题型04利用垂径定理求坐标 【典例1】(2025江西南昌一模)如图，点M(0,-2),V(0,-8),半径为5的⊙A经过点M,N,则点 A的坐标为() A.（-5,4) B.（-4,6 c.（-6,-4) D.(-4,-5) 【变式1】(2023广西防城港模拟预测)如图，半径为1的⊙M经过平面直角坐标系的原点O,与x轴交 于点A,点A的坐标为(N5,0),点B是直角坐标系平面内一动点，且∠4B0=30°，则BM的最大值为 () 6/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5+2 B5+3 C.3+1 D.5+{ 2 【变式2】(24-25九年级上辽宁葫芦岛·期中)在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3，(a>3),半 径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为2V5,则a的值是 VA y=x P 10 【变式3】(24-25九年级上·新疆伊犁阶段检测)如图，则在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P 与x轴相切于点2，与y轴交于点M(O,2),N(0,8)两点，点P的坐标为一 P M 题型05利用垂径定理求平行弦问题 【典例1】(23-24九年级上黑龙江绥化阶段检测)已知在O0中两条平行弦AB∥CD，AB=12, CD=16,⊙0的半径是10，则AB与CD间的距离是() A.6或12 B.2或14 C.6或14 D.2或12 【变式1】(25-26九年级上：广东广州期中)若⊙0的直径为l0cm,弦AB‖CD,AB=8cm,CD=6cm 则AB与CD之间的距离为() 7/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.Icm B.7cm c.lcm或7cm D.2cm或7cm 【变式2】(25-26九年级上江苏南京期中)已知⊙0的半径为13，弦AB=10,弦CD=24,AB川CD, 则这两条平行弦AB,CD之间的距离为， 【变式3】(25-26九年级上河南安阳阶段检测)在O0中，圆心0到两平行弦AB、CD的距离分别为 6、8,则两平行弦ABCD间的距离等于 题型06 利用垂径定理求同心圆问题 【典例1】(2026河北石家庄·一模)如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢 跑训练，两个人的速度相同，己知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人 的距离不可能是() 雪 A.5米 B.15米 C.40米 D.50米 【变式1】(25-26九年级上湖北武汉期中)如图，半径为5和V34的两个圆都以点0为圆心，大圆的弦 AB交小圆于C,D两点，若CD=8,则AB的大小为() ·0 B A.6 B.8 C.10 D.12 【变式2】(25-26九年级上河南周口期末)如图，半径为3V5和5的两个圆都以0为圆心，大圆的弦 AB交小圆于C、D两点，若CD=8,则AB=一 D 【变式3】(25-26九年级上贵州遵义期末)如图，两个圆都以点0为圆心，大圆的弦AB交小圆于C,D 8/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两点，大圆的半径为10，小圆半径为7.若AB=16,，则弦CD的长是 D B 题型07 垂径定理的推论 【典例1】(2026山东东营中考真题)如图，A,B,C,D是⊙0上的四个点，BC=DC,∠A=25°，则 ∠D的度数是() A.25° B.40° C.60° D.65 【变式1】(2026湖北襄阳·一模)如图，⊙0的直径AB平分弦CD.若∠D=35°，则∠C的度数为 () D A.35° B.45° c.50° D.55 【变式2】(26-27九年级上全国课后作业)如图，在⊙0中，弦AB的长为8，连接OA,C是弦AB的 中点，CD经过圆心O且交O0于点D,若O0的半径为5，则CD的长为 D 【变式3】(26-27九年级上江苏南京阶段检测)已知：如图，在O0中，CD是弦，AB是直径，点B是 9/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD的中点.求证：AB垂直平分CD,且AC=AD A 题型08垂径定理的实际应用 【典例1】(26-27九年级上江苏南京阶段检测)一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水 (阴影部分)，此管件的直径为l0cm,测得水的深度CD为2cm,则水面宽AB为() D A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm 【变式1】(26-27九年级上江苏盐城阶段检测)如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中 倒入部分液体，测得数据如图（单位：Cm),则液面宽度AB=() BA 16 10 A.6cm B.4cm C.4v2cm D.8√2cm 【变式2】(26-27九年级上·海南省直辖县级单位阶段检测)如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分 的直径为l0cm,瓶内液体的最大深度CD为2cm,则截面圆中弦AB的长为 10/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(26-27九年级上江苏连云港阶段检测)《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样 一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今 有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺.如图，已知弦 AB=1尺，弓形高CD=1寸（注：1尺=10寸），则这块圆柱形木材的直径是寸. 墙体 题型09利用垂径定理求最值 【典例1】(24-25九年级上·浙江嘉兴阶段检测)如图所示，已知⊙0的半径为10，弦AB=12,M是 AB上任意一点，则线段OM长的最小值是() B A.7 B.8 c.9 D.11 【变式1】(23-24九年级上北京西城期中)如图，在平面直角坐标系中，以G(0,)为圆心，半径为2的 圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为OG上一动点，CF⊥AE于F,则线段FG的最 小值为() D 11/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A5-2 B.5-1 D.2-5 【变式2】(2025九年级全国专题练习)如图，⊙0的半径是5，弦AB=8,P是弦AB上的一个动点 (不与点A,B重合)，则线段OP的最小值是一· P 【变式3】(25-26九年级上江苏徐州期中)如图，AB是⊙0的直径，弦AC⊥半径0D于点B,P为直 径AB上一动点，若C为BD的中点，DE=6,则PE+PC的最小值是 D 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26九年级上浙江课后作业)如图，CD为⊙0的直径，弦AB⊥CD于E,CE=2,AE=3,则 △ACB的面积为() D A.3 B.5 C.6 D.8 2.(25-26九年级上广西柳州期中)如图是排水管示意图，截面是半径为5分米的圆，管内水面AB=8 分米，则水深CD等于() 12/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ D A.√2分米 B.5分米 C.2分米 D.3分米 3.(25-26九年级上重庆期中)如图，AB为⊙0的直径，BC=BD,∠CDB=24,则∠ACD的度数为 () B D A.24° B.66° C.729 D.48 4.(25-26九年级上浙江杭州期中)如图，四边形ABCD内接于⊙O中，直径DE L AB交AB于点F, OB∥CD,若⊙O半径为5，BC=4,则AB的长度是() D B A.8 8号 c.5 D. 5.(25-26九年级上江苏苏州月考)如图，CD是O0的直径，AB是弦，CD L AB,则下列结论不一定 正确的是() C E B A.AE=BE B.OE=DE C.A0=CO D.AD=BD 13/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 6.(25-26九年级上江苏苏州月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC所在圆的圆心坐标是 B 7.(25-26九年级上浙江杭州期中)如图，已知⊙O中，直径AF⊥弦BC于点H,点D在AB上， AC-BD=60°，过点A作AE⊥CD交CD于点E,已知AE=3,且BC=4,则⊙O的半径长为一. A 8.(25-26九年级上北京期中)如图，OA是⊙0的半径，弦BC⊥OA,D是⊙0上一点，且点D在优弧 BC上.若∠ADB=26°，则∠AOC的度数为 A 9.(25-26九年级上山东泰安·月考)如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD,垂足为E,若AB=12, BE=3,则CD的长为—· 14/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E 10.(25-26九年级上：内蒙古呼和浩特·月考)如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5Cm,瓶内液 体已经过半，最大深度CD=7cm,则截面圆中弦AB的长为一cm. B D 三、解答题 11. (25-26九年级上·海南省直辖县级单位期中)如图，AB,AC是⊙0的弦，AB=AC,半径OE,OF 分别与弦AB,AC垂直，垂足分别为G,H,AM∥OF,交OE于点M,AN∥OE交OF于点N,连 接OA。 E F M G H B (I)求证：∠AOE=∠AOF: (2)求证：四边形AMON是菱形. 12.(25-26九年级上·浙江湖州月考)如图，在⊙0中，弦AB垂直平分半径0C. 15/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求∠C的度数： (2)若⊙0的半径为r,求弦AB的长 13.(25-26九年级上安徽六安月考)如图，⊙0的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=22.5°， OC=4,求CD、BE的长. 14.(25-26九年级上·浙江杭州月考)如图，AD是OO的直径，弦BC⊥AD于点P,连接AB,BD. (I)求证：∠A=∠DBC (2)若BC=16,PD=4,求O的半径. 15.(25-26九年级上·黑龙江大庆期中)如图，OA=OB,AB交O0于点C,D,OE是半径，且 OE⊥AB于点F. B D (I)求证：AC=BD: (2)若CD=8,EF=1,求⊙0的半径. 能力提升 一、单选题 1.(25-26九年级下湖南期中)如图，在⊙0中，⊙0的半径长为4W2,圆心0到AB的距离0E=4,则 弦AB的长为() 16121 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B A.8 B.8√2 C.4 D.4V2 2.(2026江苏宿迁·一模)如图，CD为⊙0的直径，弦AB⊥CD于E,BC=V3,AE=3,则△ACB的 面积为() EO D B A.3 B.4 c.5 D.6 3.(2022山东枣庄模拟预测)如图，己知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E,∠CEA=30°，OE=2 DE=5V3,则AE+CE=() D B A.5+5V5 B.5+4V3 C.5+3V5 D.7+3V5 4.(2026河南安阳·一模)如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D,若AB=6cm,CD=2cm,则半 径OA的长为() B 13 11 A.4cm B.5cm C.cm D.4 cm 5.(2026广西百色·三模)如图，化学实验中有一个底部呈球形的烧瓶，其截面圆中弦AB的长为8cm, 17/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 瓶内液体已经过半，最大深度CD=8m,则球的半径为() 烧瓶 D A 5cm B 4cm C.8cm D.10cm 二、填空题 6.(2026江苏常州一模)如图，在OO中，AB是直径，弦CD1AB于点E,若AB=6cm,OE=2EB, 则CD= cm 7.(2026北京大兴一模)《弧矢算术》为明代数学家顾应祥所撰，该著作系统整理了“径矢求弦、径弦 求矢、弦矢求径”等10余类问题，是中国古代切割圆形进行计算的重要方法，对当时的工程测量、历法计 算具有重要实用价值.其中有一题目为：“圆径十寸，从旁截一弧，矢阔一寸.问：截弦？”，题意为： 如图，AB是⊙O的直径，弦CD1AB于点B.若AB=10,AE=1,则CD的长为一· B 8.(2026黑龙江哈尔滨模拟预测)如图，在⊙0中，AB为直径，弦CD⊥AB于点H,若AH=CD=4, 则⊙0的半径长为 18/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 9.(2026内蒙古赤峰二模)如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上，连接AC.过点C作AB的垂线， 垂足为G在AB的垂线上截取CD=AC,CD交⊙O于点F,连接AD,交O0于点H.若AG=12,GF=5, 则DF的长度为 D F 10.(25-26九年级下·湖南长沙期中)所学即所用，所用即所得，周末邓紫展同学利用所学测算如图①所 示的厨房锅盖直径，图②是其截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为A,B，锅盖直径为 40cm,锅盖最低点C到AB的距离是8cm,则AB=cm. 图① 图② 三、解答题 11.(2425九年级上·甘肃平凉阶段检测)如图是我国古代园林的圆形拱门，它是⊙0的一部分，已知拱 门的地面宽度CD=2m,线段EM是过圆心且垂直于CD于点M,EM=2m,求构成该拱门的⊙O的半径」 E 19/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(25-26九年级下·全国课后作业)如图，AB是⊙0的弦，半径0C1AB于点D,且 AB=8cm,OC=5cm.求DC的长. B 13.(25-26九年级下·山东聊城阶段检测)如图，已知点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆 和角的两边分别交于点A、B和C、D.求证： B一E (1)∠OBA=∠OCD. (2)AB=CD 14.(2026山东临沂·二模)如图，AB是OO的直径，BC,BD是OO的两条弦，点C与点D在AB的两 侧，E是OB上一点(OE>BE)，,连接OC,CE,且∠BOC=2∠BCE. B E D D 图1 图2 (I)如图1，若BE=1,CE=2,求⊙O的半径： (②)如图2，若BD=20E,求证：BD川OC 15.(2026安徽合肥·三模)如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB,垂足为H,BC⊥AB,交AD延长线 于点C B 20121 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ (I)求证：D是AC的中点： (2)若AB=12,AC=4V13,求⊙0的半径. 21/21