专题2.1 圆的有关概念（7大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级下册

专题3.1 圆的有关概念 教学目标 1. 理解圆的定义及圆心、半径、直径等核心概念，明确点与圆的位置关系。 2. 掌握圆的轴对称性、中心对称性等基本性质，能规范使用圆规作图。 3. 初步运用圆的概念和性质分析简单问题，培养空间想象与逻辑推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）圆的定义、半径与直径的关系等核心概念，以及圆的对称性这一关键性质。 （2）运用圆的基本概念和性质解释生活现象、解决基础几何问题的方法。 2.难点 （1）抽象理解圆的“集合定义”，明晰圆与其他平面图形的本质区别。 （2）灵活运用圆的对称性等性质分析问题，实现知识从理论到实际应用的转化。 知识点01 圆的定义 1）圆： 描述性定义：在平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点A所形成的轨迹。记作：“O”，读作：“圆O”，其中端点O叫作圆心 集合性定义：圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径。 2）基本概念 ①半径：线段OA叫作圆的半径（OB、OC也是圆的半径） ②弦：圆上任意两点间的线段（直径是特殊的弦） ③直径：经过圆心的弦（如AB） ④弧：圆上任意两点间的部分（如） ⑤半圆：圆的任一直径的两个端点将圆分成两条弧，每条弧叫作半圆 ⑥等圆：两个圆能完全重合（即全等，即半径r相等） 3）确定一个圆的两要素（圆心、半径） 4）圆的任一半径长度都相等 5）圆的任一直径长度都相等，且直径长度=2倍的半径长度 6）等弧：能够完全重合的两段弧是等弧。也可说在同圆或等圆中，等长弧对应的弧相等； 7）C=2r S= 【即学即练】1．如图，点A、B、C在上， ，，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，是的半径，可求出，是等腰三角形，可得 ，结合，可求出，的度数，且，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴是等腰三角形，， 则， ∵， ∴，且， ∵， ∴是等腰三角形，则， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，理解和掌握圆内接三角形中角的关系，边的关系是解题的关键． 2．如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 3．小海同学用一根细绳绕某一个圆形物体一周，剪去多余的部分，再拉直量出绳子的长度为（取），则这个圆形物体的直径是______． 【答案】 【分析】由题意可知，绳子拉直后的长度为该圆形物体的周长，根据圆的周长公式即可计算出直径． 【详解】由题意得，该圆形物体的周长，圆的周长公式为 （其中为圆的直径，取），变形得 ， ∵， 代入数据得 ． 知识点02 点与圆的位置关系 点和圆的位置关系 1）点和圆的位置关系有3种：圆外、圆上、圆内 2）设O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则： P在圆外d>r； P在圆上d=r； P在圆内d<r 【即学即练】4．已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小，即可判断点的位置． 【详解】解：设的半径为，点到圆心的距离为， ∵由题意得 ，， ∴ ，即 ， 根据点与圆的位置关系判定规则：当时，点在圆外， ∴点在外． 5．点与的位置关系如图所示，若，，则的半径可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系即可求解，解题的关键是正确理解当点到圆心的距离小于圆的半径时，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【详解】解：设的半径为， ∵点在圆外且， ∴， ∵点在圆内且， ∴， ∴的半径是， ∴选项符合题意， 故选：． 6．点到的最近点的距离为，最远点的距离为，则的半径是___________ 【答案】或． 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．根据点P与圆的位置关系分类讨论：当点P在圆外时，当点P在圆内时，分别求解即可． 【详解】如图所示，当点P在圆内时， ∵，， ∴， ∴的半径是； 如图所示，当点P在圆外时， ∵，， ∴， ∴的半径是； 综上所述，的半径是或． 故答案为：或． 题型01 圆的基本概念辨析 【典例1】（2026九年级上·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（     ） A．弦是直径 B．圆上任意两点间的线段叫作圆弧 C．直径是弦 D．过圆心的线段是直径 【答案】C 【分析】根据圆中弦、直径、圆弧的定义逐一判断：弦是圆上两点的线段，直径是经过圆心的弦，所以直径属于弦，但弦不一定是直径；圆弧是圆上两点之间的曲线，不是线段；直径不仅要过圆心，两个端点还必须在圆上，由此判定只有C正确． 【详解】解：A选项，弦不一定过圆心，故弦不一定是直径，错误； B选项，圆弧是圆上两点间的曲线部分，不是线段，故该说法错误； C选项，直径是特殊的弦，故该说法正确； D选项，过圆心的线段端点不一定都在圆上，故不一定是直径，错误． 【变式1】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．长度相等的弧是等弧 B．过圆心的直线是圆的直径 C．正八边形既是轴对称图形又是中心对称图形 D．半圆是弧，弧是半圆 【答案】C 【分析】结合各几何概念的定义及限制条件，逐一判断选项正误． 【详解】解：等弧是同圆或等圆中能够完全重合的弧，仅长度相等的弧不一定是等弧，A错误； 直径是过圆心且两端点在圆上的线段，过圆心的直线不是线段，不是圆的直径，B错误； 正八边形有8条对称轴，绕中心旋转后能与自身重合，既是轴对称图形又是中心对称图形，C正确； 半圆是弧的一种，弧包括优弧、半圆、劣弧，弧不一定是半圆，D错误． 【变式2】（26-27六年级上·黑龙江大庆·阶段检测）同一个圆里，半径有( )条；直径的长度是半径的( )倍；( )决定圆的位置． 【答案】 无数 2 圆心 【详解】略 【变式3】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）已知中最大的弦长为4，则圆的半径为______． 【答案】2 【分析】圆中最大的弦为直径，已知直径长度，利用半径是直径长度的一半计算即可得到结果． 【详解】解：∵圆中最大的弦是直径，中最大的弦长为， ∴的直径为． ∵圆的半径等于直径的， ∴半径为． 题型02 圆的周长和面积问题 【典例1】（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）下列说法中，不正确的是（     ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．经过圆内一定点可以作无数条弦 【答案】B 【详解】解：选项A、过圆心的弦是圆的直径，这是直径的定义，A正确； 选项B、在同一个圆中，当弦为直径时，所对的两条弧相等，且都为半圆，其他情况下一条弦所对的两条弧，是一条优弧和一条劣弧，两条弧不相等，因此同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，B错误； 选项C、根据圆的周长公式半径，周长相等的圆，半径也相等，为等圆，C正确； 选项D、经过圆内一定点可以作无数条弦，D正确． 【变式1】（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，个正方形的边长均为，则涂色部分的面积是的图有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了求不规则图形的面积． 由图可知，前三个图形空白部分面积均与直径为的圆的面积相同，第四个图形涂色部分的面积与直径为的圆的面积相同，计算后判断即可． 【详解】①涂色部分的面积是，符合题意； ②涂色部分的面积是，符合题意； ③涂色部分的面积是，符合题意； ④涂色部分的面积是，不符合题意； 即涂色部分的面积是的图有个， 故选：C． 【变式2】（24-25六年级上·全国·期末）一块圆形的钢板的周长是，这块钢板的半径是___ ，它的面积是_____ ． 【答案】 10 314 【分析】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的应用题，关键是熟练掌握圆的周长和面积公式． 根据圆的周长公式：，圆的面积公式：S，把数据代入公式解答． 【详解】解：（分米） （平方分米） 答：这块钢板的半径是10分米，面积是314平方分米． 故答案为：10，314． 【变式3】（26-27六年级上·上海长宁·开学考试）如图所示，把一个圆沿着半径剪开，再拼成一个近似的长方形．这个近似长方形的周长比原来圆的周长增加了厘米，这个圆的半径是_____厘米，这个圆的面积是__________平方厘米． 【答案】 【分析】根据题意可得长方形的两条长的和等于圆的周长，所以长方形周长比圆周长多的部分是两条宽的长度，且宽等于圆的半径，因为周长增加了6厘米，所以用增加的长度除以即可得到圆的半径，再代入圆的面积公式，即可计算出圆的面积． 【详解】解：设圆的半径为． 根据题意得， ， ， ， （平方厘米）． ∴这个圆的半径是厘米，这个圆的面积是平方厘米． 题型03 判断点与圆的位置关系 【典例1】（24-25九年级上·云南德宏·期末）圆的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是（     ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 【答案】B 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小来确定，当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【详解】解：∵的半径为，点到圆心的距离为， ∴点到圆心的距离与圆的半径相等， ∴点在上． 【变式1】（25-26九年级上·湖北恩施·期末）如图，在的正方形网格中，点，，，均在格点上，一条圆弧经过，，三点，那么点与这条圆弧所在圆的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 【答案】A 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，先确定圆心的位置，再求出圆的半径，进而根据点到圆心的距离和圆的半径的大小关系进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵圆心到三点距离相等， ∴圆心在线段的垂直平分线上， 如图，线段和的垂直平分线相交于点，点即为圆心， ∴圆的半径， ∵， ∴点在圆内， 故选：． 【变式2】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知的半径为5，点P在内，则的长_______5．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】已知的半径和点的位置，根据点与圆的位置关系的判定规则即可得到结论． 【详解】解：∵点与圆的位置关系规则为：点在圆内时，点到圆心的距离小于圆的半径， ∵的圆心为，半径为，点在内， ∴． 【变式3】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知的半径为．若点到圆心的距离为，则在________．（填“圆内”、“圆外”、“圆上”中的一种） 【答案】圆外 【分析】点与圆的位置关系可通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小判断，直接比较给定数值即可得到结论． 【详解】解：已知的半径，点到圆心的距离， ，即 ∴在圆外． 题型04 利用点与圆的位置关系求半径 【典例1】（25-26九年级上·河北保定·期末）点是外一点，的半径是，则的长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在外的性质，可知的长度大于圆的半径，结合选项即可得出答案． 【详解】解：的半径是，点是外一点， ， 只有满足， 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，已知在矩形中，，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，且点在内，点在外，的半径的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了点和圆的位置关系，两圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质等知识，熟练掌握两圆的位置关系是解题的关键．首先求出的半径的取值范围为，再根据两圆的圆心距是10，分内切和外切两种情况进一步即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，， ∴， ∵点在内，点在外， ∴的半径的取值范围为， 当分别以A、C为圆心的两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，是，即， ∴， 解得， 当分别以A、C为圆心的两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差，是，即， ∴， ∴， 综上可知，的半径的取值范围是或， 故选：C． 【变式2】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）圆外点到的最小距离是1，最大距离是7，则半径为_______． 【答案】 【分析】点在外，过点和圆心的直线与相交．两个交点到的距离分别为最小距离和最大距离．二者的差为圆的直径，据此计算半径即可． 【详解】解：∵点是外的点， ∴点到的最大距离与最小距离的差为的直径， ∴的直径为， ∴的半径为． 【变式3】（2024·广东江门·一模）在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是______． 【答案】3或8 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 由题意知，分点在内，点在外两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分点在内，点在外两种情况求解； 当点在内，如图1， ∴， ∴， ∴半径为8； 当点在外，如图2， ∴， ∴， ∴半径为3； 综上所述，的半径是3或8； 故答案为：3或8． 题型05 点与圆上一点的最值问题 【典例1】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，的半径为4，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点．若点、关于原点对称，则长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆的性质、坐标与图形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是作出辅助线，找出取得最大值的位置．连接，延长交于，得出当点与点重合时，取得最大值，根据圆心坐标求出，的最大值为，根据点、关于原点对称得出，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长交于， ∵是上的任意一点， ∴当点与点重合时，取得最大值， ∵圆心的坐标为， ∴， ∵的半径为4， ∴的最大值为， ∵点、关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴长的最大值为． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，点、分别是、边上的动点，且，垂足为，连接．若正方形的边长为1．则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得到点P的轨迹为以为直径的半圆上，设的中点为O，连接，交于点，可知当点O，P，C共线时，的值最小，据此求解即可． 【详解】解：∵交于点P， ∴， ∴点P的轨迹为以为直径的半圆上，设的中点为O，连接，交于点， ∵， ∴当点O，P，C共线时，的值最小， ∵正方形的边长为1， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【变式2】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，并带动磨盘绕点O转动， ．在磨盘转动过程中，的最大值为______．最小值为______． 【答案】 12 【分析】先根据当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最远，再根据勾股定理解答；然后结合当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最近，最后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最远， 在中，， ∴； 当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最近， 在中，， ∴． 【变式3】（2026年5月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷）如图，在等边中，，点为中点，为上靠近点的一个三等分点，连接，为直线上一动点，连接、，将沿直线翻折至，连接，为中点，连接，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】过点作于点，根据题意求得，根据折叠的性质可得，取的中点，连接，则为的中位线，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，进而求得，即可求得的最大值． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵等边中，，点为中点，为上靠近点的一个三等分点， ∴，， ∴，， ∴ ∴ ∵折叠 ∴ 取的中点，连接 ∴为的中位线 ∴ ∴在以为圆心，为半径的圆上运动 ∵是的中点， ∴ ∴ 题型06 求圆中弦的条数 【典例1】如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故选B． 【点睛】本题主要考查了弦的定义，熟知定义是解题的关键：连接圆上任意两点的线段叫弦． 【变式1】如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有_______条弦，它们分别是_____________． 【答案】 三/3 ，， 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． 【变式3】如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有______条． 【答案】三/3 【分析】根据弦的定义（连接圆上任意两点的线段叫做弦）进行分析，即可得出结论． 【详解】解：根据弦的定义可得： 图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故答案为：三． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，充分理解其定义是解题关键． 题型07 求过圆内一点的最长弦 【典例1】（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键． 根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果． 【详解】解：中最长的弦长为， 的直径的长为， 的半径为． 故选B． 【变式1】（23-24九年级下·吉林松原·阶段检测）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·全国·期末）经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． 【答案】 无数 直径 【分析】本题主要考查了弦的概念，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键． 根据连接圆上任意两点间的线段是弦，经过圆内一点可以作无数条直线与圆相交，从而形成无数条弦；根据圆中最长的弦是直径即可解答． 【详解】解：经过圆内一点可作圆的无数条弦，其中最长的弦是直径． 故答案为：无数；直径． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知的半径为6，AB是的弦，C是上一点，连接AC，BC．若D，E分别是AB，BC的中点，则DE的最大值为________． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形中位线定理与圆的性质，解题核心是利用中位线定理将与建立数量关系，再结合“圆中最长的弦是直径”确定的最大值，从而求出的最大值． 根据三角形中位线定理可得，所以当最大时，最大，当最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值． 【详解】解：分别是的中点， 是的中位线， ， 又是的弦， 的半径为， 直径为：， 因为圆中直径是最长的弦， 的最大值为， 当时， ， ， ， 即的最大值为． 故答案为： ． 一、单选题 1．（25-26九年级下·湖北武汉·开学考试）在同一平面内，已知的半径，点P到圆心O的距离，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】点到圆心的距离大于半径，点在圆外；点到圆心的距离等于半径，点在圆上；点到圆心的距离小于半径，点在圆内． 【详解】∵的半径，点P到圆心O的距离， ∴，即， ∴点P在外． 2．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，在中，，，，点为的中点，若以点为圆心，5为半径作，则下列判断正确的是（   ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系以及直角三角形斜边上的中线，连接，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得，则点C到圆心的距离等于半径，判断点C在上． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∵的半径为5， ∴点C在上． 故选：B． 3．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）如图，在的正方形网格中，点，，，均在格点上，一条圆弧经过，，三点，那么点与这条圆弧所在圆的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 【答案】A 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，先确定圆心的位置，再求出圆的半径，进而根据点到圆心的距离和圆的半径的大小关系进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵圆心到三点距离相等， ∴圆心在线段的垂直平分线上， 如图，线段和的垂直平分线相交于点，点即为圆心， ∴圆的半径， ∵， ∴点在圆内， 故选：． 4．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，的半径为4，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点．若点、关于原点对称，则长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆的性质、坐标与图形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是作出辅助线，找出取得最大值的位置．连接，延长交于，得出当点与点重合时，取得最大值，根据圆心坐标求出，的最大值为，根据点、关于原点对称得出，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长交于， ∵是上的任意一点， ∴当点与点重合时，取得最大值， ∵圆心的坐标为， ∴， ∵的半径为4， ∴的最大值为， ∵点、关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴长的最大值为． 故选：C． 5．（2026·河北石家庄·二模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的长是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理得，又长度一定，则点P在以中点O为圆心，长为半径的圆上运动，所以当B、P、O三点共线时，最短；在中，利用勾股定理可求的长，并得到点P是的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质可求解． 【详解】解：， ∴， 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆，则点P在此圆上运动，当B、P、O三点共线时，最短， ， ，， ， ， ∴点P是的中点， ∴在中，． 二、填空题 6．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、勾股定理以及直角三角形外接圆的性质．关键在于准确求解一元二次方程，得到直角边的长度，并正确运用勾股定理求出斜边长度，同时牢记直角三角形外接圆直径与斜边的关系．首先求解一元二次方程，得到直角三角形两条直角边的长度．然后根据勾股定理（其中、为直角边，为斜边），计算出直角三角形斜边的长度．最后依据直角三角形外接圆的直径等于斜边长度这一性质，得出外接圆的直径． 【详解】解：， ， 解得 或， 故两直角边长分别为和． 由勾股定理，斜边长为 ． 故外接圆直径为 ． 故答案为：． 7．（2024·上海闵行·三模）若点P到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为__． 【答案】或者 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点P在外和内两种情况讨论，当点P在外时，最大距离与最小距离之差等于直径；当点P在内时，最大距离与最小距离之和等于直径，即可得． 【详解】解：点P在外时， 外一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于； 点P在内时， 内一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于， 故答案为：或者． 8．（2026·贵州·一模）如图，已知正方形，以点A为圆心，以为半径作，则点C在_______．（填“外”或“内”） 【答案】外 【分析】根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接，如图， ∵正方形的对角线， ∴点C在外． 9．（2026·四川巴中·中考真题）如图，是⊙的一条弦，A为圆上一点，，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据题意可得为等边三角形，进而可得，再求即可． 【详解】解：，， ，则， 为等边三角形， ， ， ． 三、解答题 10．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧． (1)该圆弧所在圆的圆心坐标为______； (2)求该圆的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理，确定圆的条件，坐标与图形性质． （1）连接，作弦和的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心； （2）根据勾股定理即可求得半径． 【详解】（1）解：如图所示，连接，作弦和的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心， 由图可得该圆弧所在圆的圆心坐标， 故答案为：； （2）解：连接，设的中点为D， ，， ， ∴圆的半径为． 11．（2026·浙江温州·三模）如图，等腰三角形中，．以点B为圆心，长为半径作弧分别交，于点D，E，延长交的延长线于点F． (1)若，求的度数． (2)求证：． (3)若D为的中点．，求的面积． 【答案】(1) (2)证明：连接，如图 有， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）连接，有，根据三角形的内角和求出，得到，推导出，得到，推导出是等边三角形，得到，即可求出； （2）连接，设，根据三角形的内角和求出，得到∴，推导出，得到，继而推导出，得到，则； （3）先推导出，，得到，证明出，设，求出，过D作于，根据勾股定理，得到， 求出，继而求出，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：连接，如图 有， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴是等边三角形， ∴． ∴． （2）略 （3）解：∵是中点， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ 化简，得， 解得（负值已舍去）， 由（2）得，即， 过D作于，如图 ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， ． 12．（25-26七年级下·上海普陀·期末）投掷铅球比赛中，裁判员一般按以下步骤测量并给出成绩： 1．将皮尺的零刻度线拉至铅球落点； 2．将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心； 3．将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩． 乐乐投掷铅球后（如图1），裁判员将皮尺零刻度线拉至铅球落点，皮尺的另一端拉长经过投掷区的圆心，交抵趾板内沿于点，测量落点到投掷区圆心点的距离为12.7米，乐乐铅球的成绩是9.2米． (1)投掷区所在圆的半径长为_____米； (2)如图2，如果测量时错选了抵趾板内沿的点（点与不重合），测量铅球落点到点的距离作为成绩，那么这个成绩相较于实际成绩偏大还是偏小呢？请说明理由． 解：连接、． 和都是投掷区所在圆的半径， ∴_____________． 在中，_____（_____________________）， ． ∴_________________________． 即这个成绩相较于实际成绩_____．（填“偏小”或“偏大”） 【答案】(1)3.5 (2)；；两点之间，线段最短；；偏大 【分析】（1）根据题意得，米，米，然后相减求解即可； （2）根据半径相等得到，然后结合两点之间，线段最短列不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，米，米 ∴（米） ∴投掷区所在圆的半径长为3.5米； （2）解：连接、． 和都是投掷区所在圆的半径， ∴． 在中，（两点之间，线段最短）， ． ∴． 即这个成绩相较于实际成绩偏大． 一、单选题 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径是圆中最长的弦，确定弦长的取值范围后判断选项． 【详解】解：∵圆的半径为， ∴圆的直径为 ∵圆中最长的弦是直径， ∴弦的长度取值范围是， ∵， ∴测量结果不可能是． 2．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知的半径为3，若，则点A与的位置关系是（     ） A．点A在内 B．点A在上 C．点A在外 D．无法判断 【答案】C 【详解】解：∵的半径为3，，， ∴点在外. 3．（2025九年级·全国·专题练习）已知是线段的中点，点在半径为的外，点与点的距离是8，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，牢记点与圆的位置关系是解题关键． 根据点与圆的位置关系，点在圆外等价于，由此可得的取值范围． 【详解】解：∵ 是的中点，， ∴ ， ∵ 点在外， ∴ ， 即， 又∵， ∴ ． 故选：C． 4．（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，个正方形的边长均为，则涂色部分的面积是的图有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了求不规则图形的面积． 由图可知，前三个图形空白部分面积均与直径为的圆的面积相同，第四个图形涂色部分的面积与直径为的圆的面积相同，计算后判断即可． 【详解】①涂色部分的面积是，符合题意； ②涂色部分的面积是，符合题意； ③涂色部分的面积是，符合题意； ④涂色部分的面积是，不符合题意； 即涂色部分的面积是的图有个， 故选：C． 5．（2026·安徽合肥·模拟预测）综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片，，，他在边上取中点N，又在边上任取一点M，再将沿折叠得到，连接．则的长度不可能是（     ） A．16 B．18 C．24 D．26 【答案】D 【分析】根据折叠的性质和中点的定义，可得，从而可得当点在边上运动时，点在以点为圆心的圆弧上运动，利用勾股定理，求，根据“圆外一点到圆上最短距离”可得，，根据点在边上运动，可得，则，即可求解． 【详解】解：如图1，连接， 将沿折叠得到， ， 点为的中点，， ， 当点在边上运动时，点在以点为圆心的圆弧上运动， 如图2，在中，， ， ， 的最小值为16， ，且点在边上， ， ，故不可能是26． 二、填空题 6．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知的半径为6，若点在外，则______6（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的关系，根据点与圆的三种关系即可判断得到答案．解题关键是熟知点与圆的三种关系． 【详解】解：∵的半径为6，点在外， ∴． 故答案为：． 7．（23-24九年级上·河北沧州·期中）如图，已知矩形中，，．以顶点O为圆心，r为半径作，使得顶点A在内，顶点B，C在外，写出一个符合条件的r的整数值：_________． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题的关键要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． 【详解】解： ∵四边形是矩形，， ∴，， 则， ∴， ∵以为圆心，为半径作圆，使得顶点A在内，顶点B，C在外，如图， ∴， 符合条件的的整数值有4，5， 故答案为：4（答案不唯一）． 8．（25-26七年级下·广西崇左·期末）如图，半径为个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动（无滑动）两周到达点，则点表示的数是________． 【答案】 【分析】先根据圆的周长公式求出圆滚动一周的长度，再求出滚动两周的长度，最后结合点A的位置求出点B表示的数． 【详解】解：已知圆的半径，根据圆的周长公式，可求出圆的周长； 圆滚动两周的长度是圆周长的2倍，即； 点A表示的数是，圆从A点向右滚动两周到达B点，那么点B表示的数等于点A表示的数加上圆滚动两周的长度：． 三、解答题 9．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在正方形网格中，有一圆弧经过三个点． (1)请在图中标出圆心的位置； (2)若，请判断点与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在的内部． 理由如下： 解：由题可知，圆的半径为：， ∵， ∴， ∴点在的内部． 【分析】（1）建立平面直角坐标系，圆心为中垂线的交点即可； （2）根据勾股定理判断半径与的大小即可． 【详解】（1）略； （2）解：由题可知点， 则可知圆心在的直线上， 连接， 设点， 则， 即 解得：， 点， 可知圆的半径为：， ∵， ∴， ∴点在的内部． 10．（26-27七年级上·吉林长春·开学考试）请你制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择．（接头和损耗都忽略不计）（(取 (1)你选择型号（       ）和（       ）的铁皮搭配， (2)用你选的型号制成的水桶容积是多少升？ (3)若用一张平方分米的铁皮制作这个水桶，铁皮的利用率是百分之几？ 【答案】(1)和或和（答案不唯一） (2)方案①：升，方案②：升 (3)方案①：，方案②： 【分析】（1）根据圆柱的侧面展开后的长方形的长等于底面周长进行计算即可； （2）高； （3）求出无盖圆柱形水桶的表面积，铁皮利用率． 【详解】（1）解：圆的周长：（分米）；圆的周长：（分米）， 根据圆柱的侧面展开后的长方形的长等于底面周长，可选择型号和或和； （2）解：方案①：选择和， 图的长方形宽：分米，图的圆的底面半径：分米， 圆柱体积列式：（立方分米），立方分米＝升， 方案②：选择和， 图的长方形宽：分米，图的圆的底面半径：（分米）， 圆柱体积列式：（立方分米），立方分米＝升， 答：由和制成的水桶容积是升，由和制成的水桶容积是升； （3）解：方案①：选择和， 图的长方形面积：（平方分米）， 图圆面积：（平方分米）， 铁皮的利用率：， 方案②：选择和， 图的长方形面积：（平方分米）， 图圆面积：（平方分米）， 铁皮的利用率：， 答：方案①：铁皮的利用率是，方案②：铁皮的利用率是． 11．（2026·广东江门·三模）如图，经过A，B两点的优弧与海岸线围成的区域是一个暗礁区，点O是该优弧所在圆的圆心，船C在暗礁区外行驶，连接交优弧于D． (1)实践与操作：使用直尺和圆规，在图中确定暗礁区内离海岸线最远的点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与说理：连接，测得，若要使船C不会进入暗礁区，则的大小应保持在什么范围内？ 【答案】(1)如图所示，点E即为所求； (2) 【分析】（1）过点作的垂线，与优弧的交点即为所求； （2）连接，则由圆周角定理可得，，要使得船C不会进入暗礁区，则点在优弧外即可，再由三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 则由圆周角定理可得， 要使得船C不会进入暗礁区，则点在优弧外即可， ∵ ∴． 12．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）请用无刻度的直尺在以下图中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，内接于中，画出 中一条最长的弦； (2)如图②，等腰 内接于中，，画出底边的中线； (3)如图③，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F ．画出线段的垂直平分线； 【答案】(1) 如图所示： (2) 底边的中线如图所示： (3) 如图所示： 【分析】（1）连接，并延长交上于一点D，则是直径，符合题意，即可作答． （2）因为等腰 内接于中，，则连接，因为，则直线是的垂直平分线，记直线与的交点为，结合等腰三角形的三线合一，则是底边的中线，即可作答． （3）连接交于点O，连接交于点H，连接，即为线段的垂直平分线，即可作答． 本题考查的是作图，主要涉及等腰三角形的性质、矩形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相关的知识解决问题． 【详解】（1）解：是中一条最长的弦， （2）略 （3）解：直线即为所求． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 圆的有关概念 教学目标 1. 理解圆的定义及圆心、半径、直径等核心概念，明确点与圆的位置关系。 2. 掌握圆的轴对称性、中心对称性等基本性质，能规范使用圆规作图。 3. 初步运用圆的概念和性质分析简单问题，培养空间想象与逻辑推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）圆的定义、半径与直径的关系等核心概念，以及圆的对称性这一关键性质。 （2）运用圆的基本概念和性质解释生活现象、解决基础几何问题的方法。 2.难点 （1）抽象理解圆的“集合定义”，明晰圆与其他平面图形的本质区别。 （2）灵活运用圆的对称性等性质分析问题，实现知识从理论到实际应用的转化。 知识点01 圆的定义 1）圆： 描述性定义：在平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点A所形成的轨迹。记作：“O”，读作：“圆O”，其中端点O叫作圆心 集合性定义：圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径。 2）基本概念 ①半径：线段OA叫作圆的半径（OB、OC也是圆的半径） ②弦：圆上任意两点间的线段（直径是特殊的弦） ③直径：经过圆心的弦（如AB） ④弧：圆上任意两点间的部分（如） ⑤半圆：圆的任一直径的两个端点将圆分成两条弧，每条弧叫作半圆 ⑥等圆：两个圆能完全重合（即全等，即半径r相等） 3）确定一个圆的两要素（圆心、半径） 4）圆的任一半径长度都相等 5）圆的任一直径长度都相等，且直径长度=2倍的半径长度 6）等弧：能够完全重合的两段弧是等弧。也可说在同圆或等圆中，等长弧对应的弧相等； 7）C=2r S= 【即学即练】1．如图，点A、B、C在上， ，，则=（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 3．小海同学用一根细绳绕某一个圆形物体一周，剪去多余的部分，再拉直量出绳子的长度为（取），则这个圆形物体的直径是______． 知识点02 点与圆的位置关系 点和圆的位置关系 1）点和圆的位置关系有3种：圆外、圆上、圆内 2）设O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则： P在圆外d>r； P在圆上d=r； P在圆内d<r 【即学即练】4．已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 5．点与的位置关系如图所示，若，，则的半径可能是（   ） A． B． C． D． 6．点到的最近点的距离为，最远点的距离为，则的半径是___________ 题型01 圆的基本概念辨析 【典例1】（2026九年级上·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（     ） A．弦是直径 B．圆上任意两点间的线段叫作圆弧 C．直径是弦 D．过圆心的线段是直径 【变式1】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．长度相等的弧是等弧 B．过圆心的直线是圆的直径 C．正八边形既是轴对称图形又是中心对称图形 D．半圆是弧，弧是半圆 【变式2】（26-27六年级上·黑龙江大庆·阶段检测）同一个圆里，半径有( )条；直径的长度是半径的( )倍；( )决定圆的位置． 【变式3】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）已知中最大的弦长为4，则圆的半径为______． 题型02 圆的周长和面积问题 【典例1】（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）下列说法中，不正确的是（     ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．经过圆内一定点可以作无数条弦 【变式1】（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，个正方形的边长均为，则涂色部分的面积是的图有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】（24-25六年级上·全国·期末）一块圆形的钢板的周长是，这块钢板的半径是___ ，它的面积是_____ ． 【变式3】（26-27六年级上·上海长宁·开学考试）如图所示，把一个圆沿着半径剪开，再拼成一个近似的长方形．这个近似长方形的周长比原来圆的周长增加了厘米，这个圆的半径是_____厘米，这个圆的面积是__________平方厘米． 题型03 判断点与圆的位置关系 【典例1】（24-25九年级上·云南德宏·期末）圆的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是（     ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 【变式1】（25-26九年级上·湖北恩施·期末）如图，在的正方形网格中，点，，，均在格点上，一条圆弧经过，，三点，那么点与这条圆弧所在圆的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 【变式2】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知的半径为5，点P在内，则的长_______5．（填“>”“<”或“=”） 【变式3】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知的半径为．若点到圆心的距离为，则在________．（填“圆内”、“圆外”、“圆上”中的一种） 题型04 利用点与圆的位置关系求半径 【典例1】（25-26九年级上·河北保定·期末）点是外一点，的半径是，则的长可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，已知在矩形中，，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，且点在内，点在外，的半径的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）圆外点到的最小距离是1，最大距离是7，则半径为_______． 【变式3】（2024·广东江门·一模）在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是______． 题型05 点与圆上一点的最值问题 【典例1】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，的半径为4，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点．若点、关于原点对称，则长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，点、分别是、边上的动点，且，垂足为，连接．若正方形的边长为1．则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，并带动磨盘绕点O转动， ．在磨盘转动过程中，的最大值为______．最小值为______． 【变式3】（2026年5月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷）如图，在等边中，，点为中点，为上靠近点的一个三等分点，连接，为直线上一动点，连接、，将沿直线翻折至，连接，为中点，连接，则的最大值为_____． 题型06 求圆中弦的条数 【典例1】如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【变式1】如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有_______条弦，它们分别是_____________． 【变式3】如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有______条． 题型07 求过圆内一点的最长弦 【典例1】（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 【变式1】（23-24九年级下·吉林松原·阶段检测）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（25-26九年级上·全国·期末）经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知的半径为6，AB是的弦，C是上一点，连接AC，BC．若D，E分别是AB，BC的中点，则DE的最大值为________． 一、单选题 1．（25-26九年级下·湖北武汉·开学考试）在同一平面内，已知的半径，点P到圆心O的距离，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 2．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，在中，，，，点为的中点，若以点为圆心，5为半径作，则下列判断正确的是（   ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法判断 3．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）如图，在的正方形网格中，点，，，均在格点上，一条圆弧经过，，三点，那么点与这条圆弧所在圆的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 4．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，的半径为4，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点．若点、关于原点对称，则长的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河北石家庄·二模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的长是（     ） A．1 B． C． D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为________． 7．（2024·上海闵行·三模）若点P到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为__． 8．（2026·贵州·一模）如图，已知正方形，以点A为圆心，以为半径作，则点C在_______．（填“外”或“内”） 9．（2026·四川巴中·中考真题）如图，是⊙的一条弦，A为圆上一点，，，则的度数为____________． 三、解答题 10．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧． (1)该圆弧所在圆的圆心坐标为______； (2)求该圆的半径． 11．（2026·浙江温州·三模）如图，等腰三角形中，．以点B为圆心，长为半径作弧分别交，于点D，E，延长交的延长线于点F． (1)若，求的度数． (2)求证：． (3)若D为的中点．，求的面积． 12．（25-26七年级下·上海普陀·期末）投掷铅球比赛中，裁判员一般按以下步骤测量并给出成绩： 1．将皮尺的零刻度线拉至铅球落点； 2．将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心； 3．将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩． 乐乐投掷铅球后（如图1），裁判员将皮尺零刻度线拉至铅球落点，皮尺的另一端拉长经过投掷区的圆心，交抵趾板内沿于点，测量落点到投掷区圆心点的距离为12.7米，乐乐铅球的成绩是9.2米． (1)投掷区所在圆的半径长为_____米； (2)如图2，如果测量时错选了抵趾板内沿的点（点与不重合），测量铅球落点到点的距离作为成绩，那么这个成绩相较于实际成绩偏大还是偏小呢？请说明理由． 解：连接、． 和都是投掷区所在圆的半径， ∴_____________． 在中，_____（_____________________）， ． ∴_________________________． 即这个成绩相较于实际成绩_____．（填“偏小”或“偏大”） 一、单选题 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果不可能是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知的半径为3，若，则点A与的位置关系是（     ） A．点A在内 B．点A在上 C．点A在外 D．无法判断 3．（2025九年级·全国·专题练习）已知是线段的中点，点在半径为的外，点与点的距离是8，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，个正方形的边长均为，则涂色部分的面积是的图有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（2026·安徽合肥·模拟预测）综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片，，，他在边上取中点N，又在边上任取一点M，再将沿折叠得到，连接．则的长度不可能是（     ） A．16 B．18 C．24 D．26 二、填空题 6．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知的半径为6，若点在外，则______6（填“”“”或“”）． 7．（23-24九年级上·河北沧州·期中）如图，已知矩形中，，．以顶点O为圆心，r为半径作，使得顶点A在内，顶点B，C在外，写出一个符合条件的r的整数值：_________． 8．（25-26七年级下·广西崇左·期末）如图，半径为个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动（无滑动）两周到达点，则点表示的数是________． 三、解答题 9．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在正方形网格中，有一圆弧经过三个点． (1)请在图中标出圆心的位置； (2)若，请判断点与的位置关系，并说明理由． 10．（26-27七年级上·吉林长春·开学考试）请你制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择．（接头和损耗都忽略不计）（(取 (1)你选择型号（       ）和（       ）的铁皮搭配， (2)用你选的型号制成的水桶容积是多少升？ (3)若用一张平方分米的铁皮制作这个水桶，铁皮的利用率是百分之几？ 11．（2026·广东江门·三模）如图，经过A，B两点的优弧与海岸线围成的区域是一个暗礁区，点O是该优弧所在圆的圆心，船C在暗礁区外行驶，连接交优弧于D． (1)实践与操作：使用直尺和圆规，在图中确定暗礁区内离海岸线最远的点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与说理：连接，测得，若要使船C不会进入暗礁区，则的大小应保持在什么范围内？ 12．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）请用无刻度的直尺在以下图中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，内接于中，画出 中一条最长的弦； (2)如图②，等腰 内接于中，，画出底边的中线； (3)如图③，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F ．画出线段的垂直平分线； 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $