1.1 集合及其运算-【十年高考】备战2027年高考数学真题分类解析与应试策略（Word版）

多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 6ZXXk.c0m☐ 您身边的互联网+教辅专家 十年高考真题 分类强化练 第一章集合与常用逻辑用语、不等式 扫码获取 本章数字 瓷源 S1.1 集合及其运算 十年高考 考情概览 课时 2017~2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 2026年 合计 1.集合的含义与表示 マ 1 0 0 0 1 6 2.集合间的基本关系 0 1 0 0 0 2 3集合的基本运算 45 7 6 6 5 4 73 4.与集合相关的新概念问题 2 0 0 1 1 0 4 命题热度 本专题命题热度非常高() 课程标准 备考策略 (1)集合的概念与表示 @通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系 明确集合的含义，元素与集合的关系，集合中元素的特点 ②针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符 及数集的分类，掌握集合的表示方法与区间的表示方法 号语言刻画集合 ®在具体情境中，了解全集与空集的含义 掌握子集的表示及其符号运用，明确真子集的相关概念， (2)集合的基本关系 涉及集合关系问题时要注意考虑空集的情况，重点注意集 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 合相等的含义以及子集的关系 (3)集合的基本运算 ②理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集集合的基本运算是本专题的重点部分.明确交集和并集的 与交集 含义及其符号表示、全集和补集的含义及其符号表示若 ②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集集合中的元素是离散的，则常用Ven图求解若集合中 的补集 的元素是连续的实数，则用数轴求解，并且要注意端点值 ③能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图 的取舍掌握不等式与函数的运算并与集合的运算结合 形对理解抽象概念的作用 2017-2026 真题全刷 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ■ 考点集合的含义与表示答案P 1.(2026·上海，1,4分，难度★)已知集合A={2,a+1},1∈A,则a=」 2.(⊙讲解2022全国乙理1,5分，难度★)设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足CM={1,3,则() A.2∈MB.3∈M C.4MD.5M 3.(2020全国3，文1,5分，难度★)已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={x3<X<15,则A∩B中元素的个数为( ) A.2B.3C.4D.5 4.(2020·全国3，理1,5分，难度★)已知集合A={(x,y)川x,yENy≥x,B={xy)川x+y=8,则A∩B中元素的个数 为() A.2B.3C.4D.6 5.(2018·全国2，理2,5分，难度★)已知集合A={(xy)川x2+y2≤3，x∈Z,yEZ,则A中元素的个数为 () A.9 B.8 C.5D.4 6.(2017·全国3，理1,5分，难度★)已知集合A={(x,y)川x2+y2=1},B={(x,y)y=x,则A∩B中元素的个数为 ) A.3 B.2 C.1 D.0 G 考点集合间的基本关系答案P2 1.(2023新课标亚，2,5分，难度★)设集合A={0,a,B={1,a-2,2a-2},若ACB,则a=() A.2 B.1 c D.-1 2.(2021全国乙，理2,5分，难度*)已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z,T={t|t=4n+1,n∈Z},则SnT=() A.B.S C.T D.Z 考点集合的基本运算答菜P2g 2,2 2.(2026全国亚，2,5分，难度★)已知集合A={0,1,3,6,9},B={xx=x,则A∩B= ( A.{0,1}B.{3,6}C.{0,1,9} D.{0,3,9} 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 6.ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 3.(2026北京，1,4分，难度★)已知集合M={x|-1<x<3},N={x|x≥2，则MUN=() A.[2,3)B.(-1,+∞) C.[-1,+o) D.(2,3) 4.(2026天津，1,5分，难度★)已知全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,0,1,3},集合B={-2,0,1,则(CA)UB= A.{-2}B.{-2,2} C.{0,1,2} D.{-2,0,1,2} 5.(⊙讲解2025·全国一，2,5分，难度★)设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,集合A={1,3,5,则CA中元素个数为 ( A.0 B.3C.5 D.8 6.(⊙讲解2025·全国二，3,5分，难度★)已知集合A={4,0,1,2,8},B={X|x=X,则A∩B= () A.{0,1,2} B.{1,2,8} C.{2,8}D.{0,1} 7.(2025北京，1,4分，难度★)集合M={x|2x-1>5},N={1,2,3},则MnN= A.{1,2,3} B.{2,3} C.{3}D.a 8.(2025天津，1,5分，难度★)设全集U={1,2,3,4,5,集合A={1,3},B={2,3,5},则C(AUB)=() A.{1,2,3,4} B.{2,3,4} C.{2,4}D.{4 9.(2024新课标I,1,5分，难度★)已知集合A={x-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B=() A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} 10.(2024北京，1,4分，难度*)已知集合M={x|-4<x≤1，N=x|-1<x<3},则MUN=() A.{x|-4<x<3}B.{x|-1<x≤1} C.{0,1,2} D.{x|-1<x<4 11.(2024天津，1,5分，难度★)集合A={1,2,3,4,B={2,3,4,5},则A∩B=（) A.{1,2,3,4} B.{2,3,4} C.{2,4}D.{1} 12.(2024全国甲，理2,5分，难度★)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={xX∈A},则CA(AnB)=( A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5} 13.(2024全国甲，文2,5分，难度★)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x+1∈A},则A∩B=() A.{1,2,3} B.{3,4,9} C.{1,2,3,4}D.{2,3,4,5} 14.(2023新课标I,1,5分，难度*)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={xx2-x-6≥0}，则MnN=（) A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2} C.{-2}D.{2 15.(2023·天津，1,5分，难度★)已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={1,2,4,则CBUA=() A.{1,3,5} B.{1,3} 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 5ZXXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 C.{1,2,4} D.{1,2,4,5} 16.(2023全国甲，理1,5分，难度★)设全集U=Z,集合M={xx=3k+1,k∈Z},N={x|X=3k+2,k∈Z,则C(MUNM= （) A.{xX=3k,k∈Z B.{x|x=3k-1,k∈Z C.{x|X=3k-2,k∈Z} D.e 17.(2023全国甲，文1,5分，难度★)设全集U={1,2,3,4,5,集合M={1,4},N={2,5},则NUCM=() A.{2,3,5} B.{1,3,4 C.{1,2,4,5} D.{2,3,4,5} 18.(2023全国乙，理2,5分，难度★)设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<X<2},则{x|x≥2}= A.C(MUN) B.NUCM C.C(MON)D.MUCN 19.(2023全国乙，文2,5分，难度★)设全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6,N={0,1,6},则MUCN=（) A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8} C.{1,2,4,6,8}D.U 20.(2022全国新高考1,1,5分，难度★)若集合M={xVx<4,N={x3x≥1}，则MnN=() A.{x|0≤x<2} B C{x|3≤x<16}D 21.(2022全国新高考2,1,5分，难度★)已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1，则AnB=() A.{-1,2} B.{1,2} C.{1,4}D.{-1,4} 22.(2022北京，1,4分，难度★)已知全集U={x|-3<x<3},集合A={x-2<x≤1，则CA=（) A.(-2,1] B.(-3,-2)U[1,3) C.[-2,1)D.(-3,-2]U(1,3) 23.(2022浙江，1,4分，难度★)设集合A={1,2},B={2,4,6},则AUB=() A.{2}B.{1,2} C.{2,4,6} D.{1,2,4,6} 24.(2022全国乙，文1,5分，难度*)集合M={2,4,6,8,10},N={x-1<x<6},则MnN=（) A.{2,4}B.{2,4,6} C.{2,4,6,8}D.{2,4,6,8,10} 25.(2022全国甲，理3,5分，难度★)设全集U={-2,1,0,1,2,3},集合A={-1,2},B={xx24x+3=0},则C(AUB)=( A.{1,3}B.{0,3} C.{-2,1} D.{-2,0} 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 5 zxxk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 26.(2022全国甲，文1,5分，难度★)设集合A={2,-1,0,1,2},B= 0≤x 则AnB=() A.{0,1,2} B.{-2,-1,0} C.{0,1}D.{1,2 27.(@讲解2021·全国新高考1,1,5分，难度★)设集合A={x-2<x<4},B={2,3,4,5},则AnB=() A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4} 28.(@讲解2021·全国新高考2,2,5分，难度★)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,4,则A∩(CB)=（ A.{3}B.1,6}C.{5,6}D.{1,3} 29.(2021北京，1,4分，难度★)已知集合A={x|-1<x<1},B={x|0≤x≤2}，则AUB=() A.{x|-1<x<2}B.{x|-1<x≤2} C.{x|0≤x<1}D.{x|0≤x≤2} 30.(2021天津，1,5分，难度★)设集合A={-1,0,1},B={1,3,5},C={0,2,4},则(A∩BUC=（) A.{0}B.{0,1,3,5} C.{0,1,2,4}D.{0,2,3,4} 31.(2021浙江，1,4分，难度★)设集合A={xX≥1}，B={x|-1<X<2,则A∩B=() A.{x|x>-1}B.{x|x≥1} C.{x-1<x<1}D.{x|1≤x<2} 2(回讲解2021全国甲理15分.难度*设集合M-XI0<X4Wxx≤5则MnN-（ x0<x4 C.{x4≤x<5}D.{x|0<x≤5} 33.(2021全国甲，文1,5分，难度*)设集合M={1,3,5,7,9},N={x|2x>7},则M∩N=() A.{7,9}B.{5,7,9} C.{3,5,7,9} D.{1,3,5,7,9} 34.(回讲解2021全国乙，文1,5分，难度★)已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则C(MUW)=（ A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4} 35.(2020北京，1,4分，难度★)已知集合A={-1,0,1,2},B={x0<X<3},则A∩B=() A.{-1,0,1} B.{0,1 C.{-1,1,2} D.{1,2} 36.(2020天津，1,5分，难度★)设全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,0,1,2},B={-3,0,2,3},则A∩(CB)= ( A.{-3,3} B.{0,2 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 6ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 C.{-1,1} D.{-3,-2,-1,1,3} 37.(2020-山东，1,5分，难度★)设集合A={x1≤x≤3}，B={x|2<X<4},则AUB=() A.{x|2<X≤3}B.{x|2≤x≤3} C.{x|1≤X<4}D.{x|1<X<4} 38.(2020浙江，1,4分，难度*)已知集合P={x|1<X<4,Q={x|2<x<3},则PnQ A.{x|1<x≤2}B.{x|2<X<3} C.{x|3≤x<4D.{x|1<x<4 39.(2020海南，1,5分，难度★)设集合A={2,3,5,7},B={1,2,3,5,8},则A∩B=（) A.{1,3,5,7} B.{2,3} C.{2,3,5} D.{1,2,3,5,7,8} 40.(2020全国1，文1,5分，难度★)已知集合A={x|x2-3x4<0},B={-4,1,3,5},则AB=() A.{4,1} B.{1,5} C.{3,5}D.{1,3} 41.(⊙讲解2020全国1，理2,5分，难度*)设集合A={x|x2-4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且AnB={x|-2≤x≤1，则 a=（) A.4B.-2C.2D.4 42.(2020全国2，文1,5分，难度★)已知集合A={x∈Z|x|<3},B={x∈Z1|x|>1,则A∩B=() A.aB.{-3,-2,2,3} C.{-2,0,2} D.{-2,2} 43.(2020全国2，理1,5分，难度★)已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2,则C(AUB)=() A.{-2,3} B.{-2,2,3} C.{-2,-1,0,3}D.{-2,-1,0,2,3} 44.(2019北京，文1,5分，难度★)已知集合A={x|-1<X<2},B={x|x>1},则AUB=() A.(-1,1) B.(1,2) C.(-1,+∞) D.(1,+∞) 45.(2019天津，理1文1,5分，难度★)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={X∈R|1≤x<3},则(A∩C)UB=( A.{2}B.2,3} C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4} 46.(2019浙江，1,4分，难度★)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(CA)nB=( A.{-1}B.{0,1} C.{-1,2,3} D.{-1,0,1,3} 47.(2019全国1，理1,5分，难度★)已知集合M={x-4<X<2},N={x|x2-X-6<0},则M∩N=（) A.{x|-4<X<3}B.{x|-4<x<-2 C.{x|-2<x<2}D.{x|2<X<3} 48.(2019全国1，文2,5分，难度*)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则Bn(CuA)=() A.{1,6}B.{1,7} C.{6,7}D.{1,6,7} 49.(2019全国2，理1,5分，难度★)设集合A={xx2-5X+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=（) A.(-∞，1) B.(-2,1) C.(-3,-1) D.(3,+∞) 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 50.(2019全国2，文1,5分，难度★)已知集合A={x|X>-1},B={x|x<2,则A∩B= () A.(-1,+∞) B.(-∞，2) C.（-1,2)D.a 51.(2019全国3，理1文1,5分，难度★)已知集合A={-1,0,1,2,B={x|x2≤1}，则A∩B=( A.{-1,0,1} B.{0,1} C.{-1,1} D.{0,1,2} 52.(2018北京，理1文1,5分，难度★)已知集合A={x|x|<2},B={-2,0,1,2,则AnB=() A.{0,1}B.{-1,0,1} C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2} 53.(2018天津，理1,5分，难度★)设全集为R,集合A={x0<X<2},B={X|X≥1}，则A∩(CB)=() A{x|0<X≤1}B.{x0<X<1} C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2} 54.(2018天津，文1,5分，难度★)设集合A={1,2,3,4,B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2,则(AUB)∩C=() A.{-1,1} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{2,3,4} 55.(2018浙江，1,4分，难度★)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则CA= A.oB.{1,3} C.{2,4,5} D.{1,2,3,4,5} 56.(2018全国1，理2,5分，难度★)已知集合A={x|x2-x-2>0},则CA=（) A.{x|-1<X<2} B.{x-1≤x≤2} C.{x|x<-1U{x|x>2} D.{x|x≤-1U{x|x22) 57.(2018全国1，文1,5分，难度★)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B= A.{0,2}B.{1,2} C.{0}D.{-2,-1,0,1,2} 58.(2018全国2，文2,5分，难度★)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B= A.{3}B.{5} C.{3,5}D.{1,2,3,4,5,7} 59.(2018全国3，理1文1,5分，难度★)已知集合A={xX-1≥0}，B={0,1,2},则A∩B=( A{0}B.{1} C.{1,2}D.{0,1,2} 60.(2017北京，理1,5分，难度★)若集合A={x-2<x<1},B={xx<-1或X>3},则A∩B=() A.{x|-2<X<-1}B.{x|-2<X<3} C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3} 61.(2017北京，文1,5分，难度★)已知全集U=R,集合A={xX<-2或X>2,则CA=() A.(-2,2) B.(-∞，-2)U(2,+∞) C[-2,2] D.(∞，-2]U[2,+∞) 62.(2017天津，理1,5分，难度★)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R-1≤X≤5}，则(AUB)nC= A.{2}B.{1,2,4 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 6ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 C.{1,2,4,6}D.{x∈R|-1≤x≤5} 63.(2017全国1，理1,5分，难度★)已知集合A={xx<1,B={x3*<1},则（) A.A∩B={x|X<0} B.AUB=R C.AUB={x|x>1} D.A∩B=o 64.(2017·全国1，文1,5分，难度★)已知集合A={xx<2},B={x3-2X>0},则（) A.AOB= 3 B.A∩B=a C.AUB- D.AUB=R 65.(2017·全国2，理2,5分，难度★)设集合A={1,2,4},B={xx2-4x+m=0}.若A∩B={1,则B=（) A.{1,3} B.{1,0} C.{1,3}D.{1,5} 66.(2017·全国2，文1,5分，难度★)设集合A={1,2,3},B={2,3,4,则AUB= A.{1,2,3,4 B.{1,2,3} C.{2,3,4} D.{1,3,4} 67.(2017·全国3，文1,5分，难度★)已知集合A={1,2,3,4,B={2,4,6,8},则AnB中元素的个数为 A.1B.2C.3D.4 68.(2025上海，1,4分，难度★)若全集U={x2≤X≤5}，A={x2≤x<4,则A= 69.(2024上海，1,4分，难度★)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={2,4,则A= 70.(2020上海，1,4分，难度★)已知集合A={1,2,4},B={2,4,5},则A∩B= 71.(2020江苏，1,5分，难度★)已知集合A={-1,0,1,2,B={0,2,3},则A∩B= 72.(2018江苏，1,5分，难度★)已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么A∩B= 73.(2017江苏，1,5分，难度★)已知集合A={1,2,B={a,a2+3.若AnB={1},则实数a的值为 年■ 考点与集合相关的新概念问题答案Ps 1.(2020浙江，10,4分，难度★★★)设集合S,T,ScN,TCN,S,T中至少有2个元素，且S,T满足： @对于任意的x,yES,若x少，则y∈T; ②对于任意的xyET,若x<y,则Y∈S.下列命题正确的是 A.若S有4个元素，则SUT有7个元素 B.若S有4个元素，则SUT有6个元素 C若S有3个元素，则SUT有5个元素 D.若S有3个元素，则SUT有4个元素 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■5ZXXK.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 2.(2025北京，21,15分，难度★★★★★)已知集合A={1,2,3,4,5,6,7,8},M={xy)川x∈A,y∈A,从M中选出n个 有序数对构成一列(Xy,(0xy,(Xy,若相邻两项(xy,x1y)满足x-1X=3,或x-1X=4,则 y+1-y=4ly+1-y=3, 称其为k列 (1)若k列的第1项为(3,3)，求第2项； (2)若π为k列，且满足i为奇数时，x∈{1,2,7,8；i为偶数时x∈{3,4,5,61.判断：(3,2)与(4,4)能否同时在T中，并 给出证明； (3)证明M中的所有元素都不构成k列， 3.(2024北京，21,15分，难度★★★★★)已知集合M={(ij,k,w)川i∈{1,2}，je{3,4},k∈{5,6}，w∈{7,8}，且i+j+k+w 为偶数}.给定数列A:a1,Q2,,ag和序列2：T,T2,,Ts其中T=(ijk,w)EM(t=1,2,,S),对数列A进行如下变 换：将A的第i1j1,k1,w项均加1，其余项不变，得到的数列记作T(A)；将T1A)的第i2j2,k2,w2项均加1，其余项 不变，得到的数列记作T2T(A).;以此类推，得到数列T.T2T1(A),简记为2(A). (1)给定数列A:1,3,2,4,6,3,1,9和序列2：(1,3,5,7)，(2,4,6,8)，(1,3,5,7)，写出2(A); (2)是否存在序列2，使得2(4)为a1+2,a2+6,a3+4,a4+2,a5+8,a6+2,Q+4,as+4?若存在，写出一个2，若不存在，说 明理由； (3)若数列A的各项均为正整数，且a1+Q3+a5+α，为偶数，求证：“存在序列2，使得2(A)的各项都相等”的充要 条件为"a1+a2=a3+a4=a5+a6=a2+ag”. 4.(2018北京，理20,14分，难度★★★★)设n为正整数，集合A={a0=(t1,t2,t),t,∈{0,1}，k=1,2,,n}.对于集 合A中的任意元素a=(x1X2Xn和B=0yy2,…y),记M(C,β)=号[0x1+y1x1y)+0x2+y2x2y2)+…+ (Xn+yn-|Xn-ynl)】. (1)当n=3时，若=(1,1,0)，B=(0,1,1),求M(c,)和Ma,)的值： 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 6ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 (2)当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素x,B,当，B相同时，M(a,β)是奇数；当c,B不同时， M(C,B)是偶数.求集合B中元素个数的最大值； (3)给定不小于2的几，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素c,B,M(a,)=0.写出一个集合 B,使其元素个数最多，并说明理由. 独家授权侵权必究 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 §1.1　集合及其运算 考点1　集合的含义与表示 1.-2　由题意,-1∈A,则有-1=1+a,得a=-2. 2.A　∵U={1,2,3,4,5},∁UM={1,3}, ∴M={2,4,5},∴2∈M,3∉M,4∈M,5∈M.故选A. 3.B　根据交集的定义,得A∩B={5,7,11}.故选B. 4.C　满足x,y∈N*,y≥x,且x+y=8的元素(x,y)有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),共4个,故A∩B中元素的个数为4. 5.A　满足条件的元素有(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,-1),(1,0),(1,1),共9个. 6.B　A表示圆x2+y2=1上所有点的集合,B表示直线y=x上所有点的集合,易知圆x2+y2=1与直线y=x相交,故A∩B中有2个元素. 考点2　集合间的基本关系 1.B　∵A⊆B,∴a-2=0或2a-2=0.若a-2=0,则a=2,A={0,-2},B={1,0,2},显然A⊄B;若2a-2=0,则a=1,A={0,-1},B={1,-1,0},A⊆B成立.故选B. 2.C　在集合T中,t=4n+1=2(2n)+1(n∈Z),而在集合S中,s=2n+1(n∈Z),所以必有T⊆S,所以S∩T=T,故选C. 判断两个集合A,B是否存在包含关系的步骤 第一步,明确集合A、B中元素的特征; 第二步,分析集合A、B中元素之间的关系,(1)当集合A中的元素都属于集合B时,A⊆B;(2)当集合A中的元素都属于集合B,但集合B中至少有一个元素不属于集合A时,A⫋B;(3)当集合A中的元素都属于集合B,并且集合B中的元素都属于集合A时,A=B;(4)当集合A中至少有一个元素不属于集合B,并且集合B中至少有一个元素不属于集合A时,集合A、B互不包含. 考点3　集合的基本运算 1.C　因为sin=sin=-sin=-,cos =cos=cos=,tan=tan=tan=1, 所以集合A=,又集合B=,所以A∩B=. 2.A　由=x,两边平方,解方程可得x=0或x=1,即B={0,1},所以A∩B={0,1},故选A. 3.B　由题意M={x|-1<x<3},N={x|x≥2},利用数轴和并集的定义可知,M∪N={x|x>-1}=(-1,+∞). 4.D　由题意可知∁UA={-2,2},集合B={-2,0,1},故(∁UA)∪B={-2,0,1,2}.故选D. 5.C　由题意得∁UA={2,4,6,7,8},有5个元素.故选C. 两种求补集的方法 (1)若所给的集合是用列举法表示,则用Venn图求解. (2)若所给的集合是有关不等式的集合,则常借助于数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后再根据补集的定义求解,注意端点值的取舍. 6.D　由题意得B={-1,0,1},所以A∩B={0,1}.故选D. 对于集合的交集运算,如果集合中的元素是离散的,可用Venn图表示;如果集合中的元素是连续的,可用数轴表示,此时要注意端点的情况. 7.D　∵M={x|x>3},N={1,2,3}, ∴M∩N=⌀.故选D. 8.D　∵A∪B={1,2,3,5},∴∁U(A∪B)={4}.故选D. 9.A　∵A={x|-5<x3<5}={x|-<x<},B={-3,-1,0,2,3},又1<<=2,∴-2<-<-1, ∴A∩B={-1,0}. 10.A　M∪N={x|-4<x<3}.故选A. 11.B　∵集合A={1,2,3,4},B={2,3,4,5}, ∴A∩B={2,3,4}.故选B. 12.D　由题意,知B={x|∈A}={1,4,9,16,25,81}, 则A∩B={1,4,9},所以∁A(A∩B)={2,3,5},故选D. 13.C　B={0,1,2,3,4,8},则A∩B={1,2,3,4}.故选C. 14.C　由x2-x-6≥0,解得x≤-2或x≥3,所以N=(-∞,-2]∪[3,+∞).因为M={-2,-1,0,1,2},所以M∩N={-2}.故选C. 15.A　由题意,得∁UB={3,5},所以∁UB∪A={1,3,5}.故选A. 16.A　(方法一)在数学研究中,通常将研究对象按某种标准划分为几个没有公共元素的子类的并,化整为零,各个击破.任意一个整数m,除以3其余数只能是0,1或2.由题设,本题将全集U=Z,按照被3除所得余数的标准进行分类,其中余数为1的记为M={x|x=3k+1,k∈Z},余数为2的记为N={x|x=3k+2,k∈Z}.根据集合并的定义,M∪N即为被3除所得余数为1或2的整数的全体;再根据集合补集的定义,∁U(M∪N)等于全集U=Z中去除被3除所得余数为1或2的整数构成的集合,也就是余数为0,即被3整除的整数构成的集合,亦即∁U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z},所以正确选项为A. (方法二)排除法　根据思路 1的分析,M∪N并不能构成全集U=Z,从而∁U(M∪N)≠⌀,排除选项D;注意到集合M={x|x=3k+1,k∈Z}可以表示为{x|x=3k-2,k∈Z},由补集的定义,集合∁U(M∪N)不可能含M中元素,故排除选项C;同理可排除选项B,所以正确选项为A. 17.A　∵U={1,2,3,4,5},M={1,4},∴∁UM={2,3,5}. ∵N={2,5},∴N∪∁UM={2,3,5},故选A. 18.A　M∪N={x|x<2},故∁U(M∪N)={x|x≥2}.故选A.其他选项均不符合题意. 19.A　由题意,得∁UN={2,4,8},所以M∪∁UN={0,2,4,6,8}.故选A. 20.D　由已知条件得M={x|0≤x<16},N=,故M∩N=.故选D. 集合运算方法 当集合是用列举法表示时(如数集),可以通过列举集合的元素得到所求的集合;当集合是用描述法表示时(如以不等式形式表示的集合),则可运用数轴求解. 21.B　B={x|0≤x≤2},则A∩B={1,2},故选B. 22.D　∵U={x|-3<x<3},A={x|-2<x≤1}, ∴∁UA=(-3,-2]∪(1,3),故选D. 23.D　由并集运算,得A∪B={1,2,4,6},故选D. 24.A　∵集合M={2,4,6,8,10},N={x|-1<x<6}, ∴M∩N={2,4}.故选A. 25.D　由题意知B={1,3},则A∪B={-1,1,2,3}, 所以∁U(A∪B)={-2,0},故选D. 26.A　由题意得A∩B={0,1,2},故选A. 27.B　∵A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5}, ∴A∩B={2,3}.故选B. 28.B　∵∁UB={1,5,6},A={1,3,6}, ∴A∩(∁UB)={1,6},故选B. 29.B　如图,结合数轴可知,A∪B={x|-1<x≤2}.故选B. 30.C　由A={-1,0,1},B={1,3,5}得A∩B={1},所以(A∩B)∪C={1}∪{0,2,4}={0,1,2,4},故选C. 31.D　因为集合A={x|x≥1},B={x|-1<x<2}, 所以A∩B={x|1≤x<2}.故选D. 32.B　如图,由交集的定义及图知M∩N=x≤x<4. 33.B　∵M={1,3,5,7,9},N=, ∴M∩N={5,7,9}.故选B. 34.A　(方法一)∵M∪N={1,2,3,4},U={1,2,3,4,5}, ∴∁U(M∪N)={5}. (方法二)∵∁UM={3,4,5},∁UN={1,2,5}, ∴∁U(M∪N)=(∁UM)∩(∁UN)={5}. 35.D　A∩B={-1,0,1,2}∩(0,3)={1,2},故选D. 36.C　∵U={-3,-2,-1,0,1,2,3},B={-3,0,2,3},A={-1,0,1,2}, ∴∁UB={-2,-1,1},∴A∩(∁UB)={-1,1}.故选C. 37.C　(数形结合)如图,由数轴可知A∪B={x|1≤x<4},故选C. 38.B　根据交集的定义直接得到运算结果,P∩Q={x|2<x<3}. 39.C　因为A={2,3,5,7},B={1,2,3,5,8}, 所以A∩B={2,3,5},故选C. 40.D　由不等式x2-3x-4<0,解得-1<x<4,故A∩B={1,3}. 41.B　由已知得A={x|-2≤x≤2},B=. 因为A∩B={x|-2≤x≤1}, 所以有-=1,解得a=-2. 42.D　∵A={x∈Z||x|<3},B={x∈Z||x|>1}, ∴A∩B={x∈Z|1<|x|<3}={-2,2}.故选D. 43.A　∵A∪B={-1,0,1,2},U={-2,-1,0,1,2,3}, ∴∁U(A∪B)={-2,3}.故选A. 44.C　∵A={x|-1<x<2},B={x|x>1}, ∴A∪B=(-1,+∞),故选C. 45.D　A∩C={1,2},(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D. 46.A　∁UA={-1,3},(∁UA)∩B={-1}. 47.C　由x2-x-6<0得(x-3)(x+2)<0, 所以N={x|-2<x<3},借助数轴,可知 M∩N={x|-2<x<2}.故选C. 48.C　由已知得∁UA={1,6,7},又B={2,3,6,7}, ∴B∩(∁UA)={6,7}.故选C. 49.A　由题意,得A={x|x<2,或x>3},B={x|x<1}, 所以A∩B={x|x<1},故选A. 50.C　由题意,得A∩B=(-1,2),故选C. 51.A　A={-1,0,1,2},B={x|-1≤x≤1}, 则A∩B={-1,0,1}.故选A. 52.A　∵A={x|-2<x<2},B={-2,0,1,2}, ∴A∩B={0,1}. 53.B　∁RB={x|x<1},A∩(∁RB)={x|0<x<1}.故选B. 54.C　A∪B={-1,0,1,2,3,4}. 又C={x∈R|-1≤x<2}, ∴(A∪B)∩C={-1,0,1}. 55.C　∵A={1,3},U={1,2,3,4,5}, ∴∁UA={2,4,5},故选C. 集合补集的两条运算规律 (1)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB); (2)∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 56.B　A={x|x<-1或x>2},所以∁RA={x|-1≤x≤2}. 57.A　由交集的定义知A∩B={0,2}. 58.C　集合A,B的公共元素为3,5,故A∩B={3,5}. 59.C　由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2}, ∴A∩B={1,2}. 60.A　A∩B={x|-2<x<-1},故选A. 61.C　因为A={x|x<-2或x>2},U=R, 所以∁UA={x|-2≤x≤2}. 62.B　∵A={1,2,6},B={2,4},∴A∪B={1,2,4,6}. ∵C={x∈R|-1≤x≤5},∴(A∪B)∩C={1,2,4}. 63.A　∵3x<1=30,∴x<0,∴B={x|x<0}, ∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.故选A. 64.A　∵A={x|x<2},B=, ∴A∪B={x|x<2},A∩B=,故选A. 65.C　由A∩B={1},可知1∈B,所以m=3,得B={1,3}. 66.A　因为A={1,2,3},B={2,3,4}, 所以A∪B={1,2,3,4},故选A. 67.B　由题意可得A∩B={2,4},则A∩B中有2个元素.故选B. 68.{x|4≤x≤5}　∵U={x|2≤x≤5},A={x|2≤x<4}, ∴={x|4≤x≤5}. 69.{1,3,5}　根据题意,作出维恩图如下: 由图可知={1,3,5}. 70.{2,4}　由交集的定义可知A∩B={2,4}.故答案为{2,4}. 71.{0,2}　由题意,得A∩B={0,2}. 72.{1,8}　由题设和交集的定义可知,A∩B={1,8}. 73.1　由已知得1∈B,2∉B,显然a2+3≥3,所以a=1,此时a2+3=4,满足题意,故答案为1. 考点4　与集合相关的新概念问题 1.A　当集合S中有3个元素时,若S={1,2,4},则T={2,4,8},S∪T中有4个元素;若S={2,4,8},则T={8,16,32},S∪T中有5个元素,故排除C,D; 当集合S中有4个元素时,若S={2,4,8,16},则T={8,16,32,64,128},S∪T={2,4,8,16,32,64,128},包含7个元素,排除选项B. 下面来说明选项A的正确性: 设集合S={a1,a2,a3,a4},且a1<a2<a3<a4,a1,a2,a3,a4∈N*,则a1a2<a2a4,且a1a2,a2a4∈T,则=∈S, 同理∈S,∈S,∈S,∈S,∈S,且>>. 若a1=1,则a2≥2,=a2,则<a3,故=a2,即a3=, =a2,则a4=a3a2=. 故S={1,a2,,},此时{a2,,,,}⊆T,可得=∈S,这与∉S矛盾,故舍去. 若 a1≥2,则<<a3,故=a2,=a1, 即a3=,a2=. 又a4>>>>1,故==a1,所以a4=, 故S={a1,,,},此时{,,,,}⊆T. 若b∈T,不妨设b>,则∈S,故=,i=1,2,3,4,故b=,i=1,2,3,4, 即b∈{,,,},其他情况同理可证.故{,,,,}=T, 此时S∪T={a1,,,,,,},即S∪T中有7个元素.故A正确. 2.(1)解 由题意可得,x2,y2∈A. 若则x2=6,y2=7,若 则x2=7,y2=6,则第2项为(6,7)或(7,6). (2)解 令zi=xi+yi,则zi+1∈{xi+yi+7,xi+yi-7,xi+yi+1,xi+yi-1}, 故zi+1与zi奇偶性不同,zi+2与zi奇偶性相同. 若(xi,yi)=(3,2),(xj,yi)=(4,4)均在τ中, 由知i,j均为偶数,则zi与zj奇偶性应相同. 然而zi=5,zj=8,矛盾,故(3,2),(4,4)不能同时在τ中. (3)证明 由(2)提示,给定(x1,y1)之后的(xi,yi)并非是任意的,若将M全部列出,可能后续有无法接的,因此可能有重复的(集合M的互异性). 对于M中的元素(xi,yi),当xi,yi∈{1,2,7,8}时,共16个, 其之后的(xi+1,yi+1)满足xi+1,yi+1∈{3,4,5,6}, 且(xi+1,yi+1)≠(3,3),(6,6),(3,6),(6,3),共12个, 故对于16个(xi,yi),其后只有12个(xi+1,yi+1)与之对应,必定有重复的,不满足题意. 综上,M中的所有元素都不构成k列. 3.(1)解 由题知T1=(1,3,5,7),T2=(2,4,6,8),T3=(1,3,5,7),则T1(A):2,3,3,4,7,3,2,9,则T2T1(A):2,4,3,5,7,4,2,10,故Ω(A)=T3T2T1(A):3,4,4,5,8,4,3,10. (2)解 由题知每次变换数列的前8项和增加4,由2+6+4+2+8+2+4+4=32,=8,可知经过了8次变换,则a1与a2,a3与a4,a5与a6,a7与a8每组的增量和均为8. 因为a3与a4,a5与a6的增量和不为8,故不存在符合题意的序列Ω. (3)证明 设数列A经C次变换,Ω(A)为a1+m,a2+n,a3+p,a4+q,a5+s,a6+t,a7+u,a8+v,则有m+n=p+q=s+t=u+v=C. 若a1+m=a2+n=a3+p=a4+q=a5+s=a6+t=a7+u=a8+v,则a1+m+a2+n=a3+p+a4+q=a5+s+a6+t=a7+u+a8+v,又m+n=p+q=s+t=u+v,所以a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8,必要性得证. 若a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8=y,y∈N*,则a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=4y. 因为a1+a3+a5+a7为偶数,所以a2+a4+a6+a8为偶数. 由i+j+k+w为偶数,可得m+p+s+u为偶数,n+q+t+v为偶数,故存在a1+a3+a5+a7+m+p+s+u=a2+a4+a6+a8+n+q+t+v的情形. 又a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8,m+n=p+q=s+t=u+v,故存在a1+m=a2+n=a3+p=a4+q=a5+s=a6+t=a7+u=a8+v的情形,充分性得证. 故“存在序列Ω,使得Ω(A)的各项都相等”的充要条件为“a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8”. 4.解 (1)M(α,α)=×[(1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)]=2; M(α,β)=×[(1+0-|1-0|)+(1+1-|1-1|)+(0+1-|0-1|)]=1. (2)当xm,ym同为1时,(xm+ym-|xm-ym|)=1; 当xm,ym中只有一个1或者两个都是0时,(xm+ym-|xm-ym|)=0; 当α,β相同时,∀α=(x1,x2,x3,x4)∈B,M(α,α)=x1+x2+x3+x4为奇数, 则xk(k=1,2,3,4)中有一个1或者三个1,即为以下8种: 形式1:(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1); 形式2:(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1); 当α,β不同时,M(α,β)是偶数,则α,β同为1的位置有4个或2个或0个; 形式1中的一个元素不能和形式2中的三个元素同时存在; 形式2中的一个元素不能和形式1中的三个元素同时存在; 如果B中元素全是形式1,当α,β不同时,M(α,β)=0满足条件; 如果B中元素全是形式2,当α,β不同时,M(α,β)=2满足条件. 所以B中元素至多为4个. (3)B中元素个数最多为n+1,构造如下: 对于γk=(zk1,zk2,…,zkn)∈B(k=1,2,3,…,n),zkk=1,其他位置全为0; γn+1=(0,0,0,…,0),可以验证M(γi,γj)=0(i,j=1,2,…,n+1)且i≠j, 下面证明:当B中元素个数大于或等于n+2时,总存在α,β∈B,M(α,β)≠0. 设γk=(zk1,zk2,zk3,…,zkn)∈B,k=1,2,3,…,n+1,…,m(m≥n+2); Sk=zk1+zk2+…+zkn(k=1,2,3,…,n),可以得到S1+S2+…+Sm≥0+1×n+2=n+2; 设Ck=z1k+z2k+…+zmk(k=1,2,3,…,n),可以得到 C1+C2+…+Cn=S1+S2+…+Sm≥n+2, 所以存在Ct≥2,t∈{1,2,3,…,n}, 即存在α,β∈B(α≠β),使得α,β在同一个位置同为1, 即M(α,β)≥1≠0,矛盾. 所以B中元素个数最多为n+1. 学科网（北京）股份有限公司 $