第七十三讲 抽屉原理 讲义-2026年高中数学竞赛

第七十三讲  抽屉原理

1. 抽屉原理

抽屉原理是证明存在性问题的一个强有力工具。更一般形式是平均值原理和积分中值定理。抽屉原理是平均值原理在整数上的特殊形式, 由于整数的离散性, 抽屉原理可以得到更佳的估计。下面首先介绍平均值原理和抽屉原理的几种常用形式。

平均值原理 设 是实数， 。则存在 ,满足 ; 也存在 ,满足 。

利用平均值原理，不难证明下面的几种形式的抽屉原理。

抽屉原理 I 设集合 满足 ,将 写为 个子集的并集 ,则存在 ,满足

其中 表示不小于 的最小整数。

抽屉原理 II 设集合 满足 ,且 是 的 个互不相交的子集,则存在 ,满足

抽屉原理 III 设集合 是无限集,将 写为 个子集的并集 ,则存在 ,满足 也是无限集。

使用抽屉原理的关键是选择适当的对象并构造合适的抽屉。

例 1 证明: 任意 6 个人中必有三个人互相认识或互相不认识(认识关系是相互的)。

证明 任取一人 ,由抽屉原理,在其余五人中,存在 个人与 的认

识关系相同。不妨设 与 认识。若 互相不认识,则结论已经成立。若 中有两人认识,假设 认识,则 三人互相认识,结论也成立。

评注 容易举出例子说明 5 个人时，上述结论不成立。本题是图论中著名的拉姆塞定理, (见 )。

在几何问题中应用抽屉原理时, 以面积或长度作为集合的测度, 相应地有面积重叠原理。

面积重叠原理 设 是测度空间, 是 的可测子集,且 。假设 ,记

则存在一点 ,属于 中至少 个集合; 也存在一点 ,属于 中至多 个集合。

例 2 在一个 的矩形中有一条总长度为 36 的折线 (允许有自交)。证明: 存在一条与矩形一边平行且经过矩形内部的直线 ,使得 与 至多只有 9 个交点。

证明 设矩形为 。设折线 上共有 条线段,分别记为 。对 ,设 的长度为 在 上投影的线段为 ,在 上投影的线段为 ,线段 的长度分别为 。由柯西不等式,对 有,

对 求和,得

故 ,或 。这说明存在 内部一点 ,至多属于 中 9 个集合; 或存在 内部一点 ,至多属于 中 9 个集合。于是过 作 的垂线 ,或过 作 的垂线 即满足条件。

平均值原理和面积重叠原理都可以看作是积分中值定理。我们这里只介绍闭区间上连续函数的积分中值定理,更一般测度空间上的积分中值定理也是成立的。

积分中值定理 设 是有限闭区间 上的连续函数, 。则存在 ,满足 ,特别地,存在 ,满足 , 也存在 ,满足 。

例 3 平面上分布着有限条总长度为 的线段。证明: 可做一条直线 ,使得这些线段在 上的投影线段长度之和不小于 。

证明 设共有 条线段,记为 ,长度分别为 。取定一条直线 ,设 逆时针旋转到 的角度为 。记 为 逆时针旋转 角度所得直线。 在 上的投影长度为 ,所有线段在 上的投影线段长度总和为

由于

由积分中值定理知,存在 ,使得 ,即所有线段在 上的投影线段长度之和不小于 。