第1章 05 1.4 空间向量的应用 04 第2课时 用空间向量研究夹角问题 （课时作业）-【学而思】2026-2027学年高中数学选择性必修一课时作业（人教A版）

第2课时　用空间向量研究夹角问题 考点一　直线与直线所成的角 1.直线l1,l2的方向向量分别是v1,v2,若v1与v2的夹角为θ,直线l1,l2所成的角为α,则 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.α=θ B.α=π-θ C.cos θ=|cos α| D.cos α=|cos θ| 2.若两异面直线l1与l2的一个方向向量分别是n1=(1,0,-1),n2=(0,-1,1),则异面直线l1与l2所成的角为 (　 ) A.60° B.90° C.30° D.45° 3.[2026·辽宁葫芦岛协作校高二联考] 在空间直角坐标系中,v=(1,2,-2)是直线l的一个方向向量,点A(0,2,3),B(-1,1,3),则直线AB与l所成角的大小为 (　 ) A. B. C. D. 考点二　直线与平面所成的角 4.在空间直角坐标系中,已知直线l的一个方向向量为m=(0,-1,-),平面α的一个法向量为n=(0,,1),则直线l与平面α所成的角为(　 ) A.30° B.45° C.60° D.90° 5.[2026·杭州二中高二期中] 若直线l和平面α所成角的正弦值为,则直线l的一个方向向量和平面α的一个法向量的夹角的大小为　　　　　　.  6.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,E为DD1的中点,F为BD1上靠近B的三等分点. (1)求异面直线CF与C1E所成角的余弦值; (2)求直线CF与平面A1C1E所成角的正弦值. 考点三　平面与平面的夹角 7.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则这两个平面的夹角为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.45° B.135° C.45°或135° D.90° 8.[2026·武汉重点中学高二月考] 设a=(1,1,0),b=(t,0,1)分别为两平面的法向量,若两平面的夹角为60°,则t= (　 ) A.1 B.-1 C.-1或1 D.2 9.[教材P44习题1.4第15题] 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,Q为B1C1的中点,点P在棱AA1上,AP∶AA1=1∶3,求平面ABCD与平面BQP夹角的余弦值. 10.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1,侧棱长为2,D为BB1的中点,则直线A1D与平面AA1C1C所成角的正弦值为 (　 ) A. B. C. D. 11.[2026·驻马店高二阶段练] 如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=BB1,∠ABB1=120°,∠ABC=∠B1BC=90°,则直线AC1与直线B1C所成角的余弦值为 (　 ) A. B. C. D. 12.(多选题)已知四面体ABCD满足AB=CD=1,BC=AD=BD=AC=,则 (　 ) A.直线AC与BD所成的角为30° B.直线AB与CD所成的角为90° C.若点M为直线AD上的动点,则点M到BC的距离的最小值为 D.平面CAB与平面ABD的夹角的余弦值为 13.[2026·广西柳州四地高二阶段练] 如图,在正三棱锥A-BCD中,以BC的中点E为原点,直线EC,ED分别为x,y轴,过点E且与平面BCD垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系.若A(a,1,3),则平面ACD与平面CDB夹角的正切值为　　　　,正三棱锥A-BCD的体积为　　　　.  14.[2026·太原高二期中] 如图①,在五边形ABCDE中,△ADE是等边三角形,AB∥DC,AD⊥DC,CD=2AB=2AD=4,将△ADE沿AD折起到△SAD的位置,得到如图②所示的四棱锥S-ABCD,点F为SC的中点. (1)证明:BF∥平面SAD; (2)当CD⊥SD时,求平面BCF与平面BDF夹角的余弦值. 15.已知三棱锥A-BCD中,∠ABC=,∠ABD=,BC=BD,则异面直线AB和CD所成角的余弦值的取值范围是　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　用空间向量研究夹角问题 1.D　[解析] 由题知α=θ或α=π-θ,且α∈,故cos α=|cos θ|. 2.A　[解析] 由题可得|n1|=,|n2|=,n1·n2=-1,设异面直线l1与l2所成的角为θ,则cos θ=|cos<n1,n2>|==,又因为0°<θ≤90°,所以θ=60°,即异面直线l1与l2所成的角为60°.故选A. 3.C　[解析] 由题意得=(-1,-1,0),则直线AB与l所成角的余弦值为|cos<,v>|===,所以直线AB与l所成角的大小为,故选C. 4.C　[解析] 设直线l与平面α所成的角为β,则sin β=|cos<m,n>|===,因为0°≤β≤90°,所以β=60°,故选C. 5.或　[解析] 设直线l和平面α所成的角为θ,则sin θ=,又θ∈,则θ=. 设直线l的一个方向向量为,如图, 当平面α的法向量方向向上(图中a)时,与a的夹角的大小为-=; 当平面α的法向量方向向下(图中b)时,与b的夹角的大小为+=. 综上,直线l的一个方向向量和平面α的一个法向量的夹角的大小为或. 6.解:(1)以D为原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,1,0),E(0,0,1),A1(1,0,2),C1(0,1,2),B(1,1,0),D1(0,0,2),∴=(1,1,-2),=(0,-1,-1),设F(x,y,z),则=(x,y,z-2),∵F为BD1上靠近B的三等分点,∴=,∴(x,y,z-2)=(1,1,-2)=,∴x=,y=,z=,∴F,∴=,∴·=-. 设异面直线CF与C1E所成的角为α,α∈, 则cos α===. (2)由(1)得=(1,0,1),=(0,1,1),=.设平面EA1C1的法向量为n=(a,b,c),则令a=1,得b=1,c=-1,∴n=(1,1,-1),∴n·=--=-. 设直线CF与平面A1C1E所成的角为β,则sin β=|cos<n,>|===. 7.A　[解析] cos<m,n>===,即<m,n>=45°,所以两平面的夹角为45°. 8.C　[解析] 因为向量a,b的夹角与两平面的夹角相等或互补,所以=,得t=±1.故选C. 9.解:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系, 则B(1,1,0),P,Q,=,=, 设平面BPQ的法向量为n=(x,y,z), 则不妨令y=1,则z=3,x=6, 所以n=(6,1,3). 易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1), 设平面ABCD与平面BQP的夹角为θ,则cos θ=|cos<n,m>|===, 所以平面ABCD与平面BQP夹角的余弦值为. 10.B　[解析] 取AC的中点O,连接OB,则OB=AB=,以O为坐标原点,OB,OC所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1,D,所以=,易知平面AA1C1C的一个法向量为n=(1,0,0).设直线A1D与平面AA1C1C所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|===,所以直线A1D与平面AA1C1C所成角的正弦值为.故选B. 11.A　[解析] 设AB=BC=BB1=1,由∠ABC=∠B1BC=90°,知 BC⊥AB,BC⊥BB1,又AB∩BB1=B,AB,BB1⊂平面 ABB1A1,所以BC⊥平面 ABB1A1,又BC⊂平面ABC,所以平面ABB1A1⊥平面ABC.在平面ABB1A1内,过B作BD⊥AB,交A1B1于D,则DB⊥平面ABC.以B为原点,BC,BA,BD所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.由∠ABB1=120°,可得A(0,1,0),B1,C(1,0,0),C1, 则=, =. 设直线AC1与直线B1C所成的角为θ,θ∈,则cos θ=|cos<,>|===,即直线AC1与直线B1C所成角的余弦值为. 12.BCD　[解析] 依题意,可将四面体ABCD放入长方体AEDF-GCHB中,如图所示,设AF=a,FD=b,FB=c,则AB==1,AD==,AC==,可得a=c=,b=.以F为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A,B,C,D,所以=,=,因为cos<,>===,所以直线AC与BD所成的角为60°,故A错误;=,=,因为·=+0-=0,所以⊥,所以直线AB与CD所成的角为90°,故B正确;若点M为直线AD上的动点,则当点M为AD的中点时,点M到BC的距离最小,且最小值为,故C正确;设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则取x=,则n=(,-1,),同理得平面ABD的一个法向量为m=(,1,),因为cos<m,n>==,所以平面CAB与平面ABD的夹角的余弦值为,故D正确.故选BCD. 13.3　3　[解析] 在正三棱锥A-BCD中,连接AE,过点A作平面BCD的垂线,垂足为O, 则O在DE上,且DO=2OE,所以a=0,A(0,1,3),D(0,3,0),所以B(-,0,0),C(,0,0), 则=(,-1,-3),=(-,3,0),设平面ACD的法向量为m=(x,y,z). 则即取y=3,则m=(3,3,2),易知平面CDB的一个法向量为n=(0,0,1). 设平面ACD与平面CDB的夹角为θ,则cos θ=|cos<m,n>|===,所以tan θ=3. 正三棱锥A-BCD的体积为×·BC·DE·OA=×2×3×3=3. 14.解:(1)证明:取SD的中点G,连接AG,FG,如图所示, ∵F为SC的中点,∴FG∥DC,FG=CD=2, 又AB∥DC,AB=2,∴FG∥AB,FG=AB,∴四边形ABFG为平行四边形, ∴BF∥AG.又BF⊄平面SAD,AG⊂平面SAD, ∴BF∥平面SAD. (2)∵CD⊥SD,AD⊥DC,AD∩SD=D,AD,SD⊂平面SAD, ∴CD⊥平面SAD,又CD⊂平面ABCD, ∴平面ABCD⊥平面SAD. 以D为原点,DA,DC所在直线分别为x轴、y轴,过D且垂直于平面ABCD的直线为z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),S(1,0,),F,则=(-2,2,0),=,=(2,2,0). 设m=(x1,y1,z1)是平面BCF的法向量, 则∴ 令z1=,则x1=y1=1,∴m=(1,1,). 设n=(x2,y2,z2)是平面BDF的法向量, 则∴ 令z2=,则x2=1,y2=-1,∴n=(1,-1,). 设平面BCF与平面BDF的夹角为θ,则cos θ=|cos<m,n>|==, 因此平面BCF与平面BDF夹角的余弦值为. 15.　[解析] 以B为原点,BA所在直线为x轴,平面ABC内过点B且垂直于AB的直线为y轴,过点B且垂直于平面ABC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.过D作DE⊥AB,垂足为E, 设BC=BD=a(a>0),∵∠ABC=,∠ABD=, ∴C,DE=BE=a. 可设D,则DE2=m2+n2=a2, 又AB和CD为异面直线,所以n≠0,m∈. 易知直线AB的一个方向向量为a=(1,0,0), =,设异面直线AB和CD所成的角为θ,θ∈, 则cos θ=|cos<a,>|====, 又m∈, 所以cos θ=∈. 学科网（北京）股份有限公司 $