利用导数研究恒（能）成立问题 课件-2027届高三数学一轮复习

利用导数研究恒（能）成立问题 2027年高考数学 · 一轮复习 1 一、教学目标 1. 理解恒成立（∀）与存在性（∃）问题的语义，掌握其向函数最值转化的方法； 2. 能熟练进行“∀x∈D, f(x)≥a ⇔ fmin≥a；∃x∈D, f(x)≥a ⇔ fmax≥a”的等价转化； 3. 掌握分离参数法、最值法求参数取值范围。 二、教学重点 1. 恒成立/存在性问题与最值的互化； 2. 参数分离后求函数最值（或端点值）。 三、教学难点 1. 双变量（∀x∃y、∃x∀y）问题的逻辑转化与最值归属； 2. 端点值能否取等的辨析。 第18课时 利用导数研究恒（能）成立问题 【新课标要求】 1. 能利用导数解决不等式恒成立与存在性问题，体会等价转化思想； 2. 在含参问题的讨论中，发展逻辑推理、数学运算与分类讨论素养； 3. 能根据具体情境选择分离参数或分类讨论的策略。 第18课时 利用导数研究恒（能）成立问题 【近五年考频考点】及备考建议 【考频统计】恒成立与存在性问题是导数综合的压轴热点，近五年全国卷解答题中反复考查，分值约5~12分，常与单调性、最值、不等式融合。 【高频考点】 1. 单变量恒成立/存在性求参数范围（分离参数法最值）； 2. 双变量“任意—存在”型（分清谁先定量、谁后变量）； 3. 由恒成立求最值上/下界。 【备考建议】 1. 口诀：“恒成立找最值”——∀x 对应 min、∃x 对应 max，严格区分； 2. 双变量按“谁任意、谁存在”分步转化，先固定内层变量求最值； 3. 分离参数优先（使求导简单），分离困难再分类讨论。 第18课时 利用导数研究恒（能）成立问题 关键考点·核心突破 5 分离参数法求参数范围 例1 （经典高考真题）已知函数.当时， 恒 成立，求 的取值范围. 第18课时 利用导数研究恒（能）成立问题 6 解析 由，得，其中 . ①当时，不等式为，显然成立，此时 . ②当时，分离参数，得 ， 记，则 . 令，则，令 ， 则 ， 故在上单调递增，因此 ， 第18课时 利用导数研究恒（能）成立问题 7 故函数在上单调递增，所以，即 恒成立. 故当时，，单调递增；当时，， 单 调递减. 因此， . 综上，实数的取值范围是， . 第18课时 利用导数研究恒（能）成立问题 感悟提升 分离参数法解决恒（能）成立问题的策略 （1）分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. （2）恒成立；恒成立；存在 ， 使成立；存在，使成立 . 第18课时 利用导数研究恒（能）成立问题 9 已知函数，若在上有解，求实数 的取值范围. 解析 因为在上有解，所以在 上有解， 当时，问题等价于在上有解，令 ， 则.令，则 ， 当时，，则在上单调递增，所以 ， 即当时， ， 所以当时， ， 当时，，所以在上单调递减，在 上单调递增， 所以，所以 . 综上可知，实数的取值范围是 . 第18课时 利用导数研究恒（能）成立问题 10 洛必达法则 思维进阶 在解决不等式恒（能）成立，求参数的取值范围这一类问题时，最常用 的方法是分离参数法，将原问题转化成求函数的最值.在求最值时，如果出现" "型或 " "型的代数式，那么解决此类极限问题的有效方法之一是利用洛必达法则，总结如 下： 法则1 如果函数和 满足下列条件： （1）及 ； （2）在点的某去心邻域内，与可导且 ； 第18课时 利用导数研究恒（能）成立问题 11 （3） . 那么 . 法则2 如果函数和 满足下列条件： （1） 及 ； （2）在点的某去心邻域内，与可导且 ； （3） . 那么 . 第18课时 利用导数研究恒（能）成立问题 12 典例（1）已知函数.若对任意都有 成立，则 实数 的取值范围是________. 解析 当时，恒成立，即 恒成立. 令 ， . 令，则，在 上 单调递增， 第18课时 利用导数研究恒（能）成立问题 13 ，恒成立，，故在 上 单调递增. 由洛必达法则知 ， ，故实数的取值范围是 . 第18课时 利用导数研究恒（能）成立问题 14 （2）已知函数，当时，恒有，则实数 的 取值范围是_ ________. ， 解析 当时，恒成立，即 恒成立，即 恒成立，即恒成立.令 ，则 ，在 上单调递增，由洛必达法则知 ， ，故.故实数的取值范围是， . 第18课时 利用导数研究恒（能）成立问题 15 等价转化法求参数范围 例2 已知函数， . （1）当时，讨论 的单调性； （2）设，若关于的不等式在 上有解，求实数 的取值范围. 第18课时 利用导数研究恒（能）成立问题 16 解析 （1）由题意知， ， 当时， 恒成立， 所以当时，，当时， . 故函数在上单调递增，在 上单调递减. （2）因为 ， 所以 . 由题意知，存在，使得成立，即存在 ， 使得 成立. 令， ， 第18课时 利用导数研究恒（能）成立问题 17 则， . ①当时，，所以函数在 上单调递减， 所以成立，解得 . ②当时，令，解得 ， 令，解得 ， 所以函数在上单调递增，在 上单调递减. 又因为，所以，解得，与 矛盾，故舍去. ③当时，，所以函数在 上单调递增， 所以 ，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为 . 第18课时 利用导数研究恒（能）成立问题 感悟提升 等价转化法解决恒成立问题的策略 （1）遇到 型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造"左减 右"的函数或"右减左"的函数 ，进而只需满足 或 . （2）将比较法的思想融入函数中，将原问题转化为求解函数最值的问题，适用 范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论. 第18课时 利用导数研究恒（能）成立问题 19 （2024·新高考Ⅰ卷）已知函数 （1）若，且，求 的最小值. （2）证明：曲线 是中心对称图形. （3）若当且仅当，求 的取值范围. 第18课时 利用导数研究恒（能）成立问题 20 解析 （1）当时，，其中 ， 则， . 因为，当且仅当 时，等号成立， 所以，而成立，故，即 ， 所以的最小值为 . （2）的定义域为 ， 设为 图象上任意一点， 则点关于点的对称点为 . 因为点在的图象上，所以 ， 第18课时 利用导数研究恒（能）成立问题 21 而 ， 所以点也在 的图象上. 由点的任意性可得的图象为中心对称图形，且对称中心为 . （3）因为当且仅当时，，且在 上是连续的， 所以为方程 的一个解， 所以，即 . 当时， 恒成立， 即在 上恒成立. 第18课时 利用导数研究恒（能）成立问题 设，则在 上恒成立. 设， ， 则 . 当时， ， 故恒成立，故在 上为增函数， 故，即在 上恒成立； 当时， ， 故恒成立，故在 上为增函数， 故，即在 上恒成立； 第18课时 利用导数研究恒（能）成立问题 当时，则当时， ， 故在，上为减函数，故 ，不符合题意，舍去. 综上，当在上恒成立时， . 而当时，由上述过程可得在上单调递增，故的解集为 ， 即的解集为 . 综上，的取值范围为， . 第18课时 利用导数研究恒（能）成立问题 主元变换与端点效应 思维进阶 1.有些导数题经常会含有多个变量，主要解题思路是以 为主元进行求解， 但有时解题过程较为复杂，此时，可以考虑将其他变量作为主元进行求解. 2.假设题干给出含参不等式在 上恒成立，求参数的取值范围时，若 恰好满足 ，则称该不等式具有端点效应.具有端点效应的含参不等式恒 成立问题常用的解题方法之一是带参讨论，解题的关键是寻找讨论的分界点，可以 先找到成立的必要条件 （不一定是充分条件），从而找到讨论的 分界点，再讨论所求的必要条件的充分性. 第18课时 利用导数研究恒（能）成立问题 25 典例（1）已知不等式对任意， 恒成立， 则实数 的取值范围为_______________. 解析 令，，，由于，所以函数 在 ，上单调递增，所以 ，即 ， . 令，则 ，当 时，，当时，，所以在 上单调递减，在 上单调递增，所以，所以实数 的取值范围为 . 第18课时 利用导数研究恒（能）成立问题 26 （2）设函数，，，若 恒成立，则 实数 的取值范围为________. 解析 依题意，，由于，即 ， 而在上恒成立，即在 上恒成立. 必要性：令，即保证在 上恒成立. 由于，故此时必须保证函数在上单调递增，即保证 在 上恒成立.因为，所以，所以 . 充分性：当时，函数，故函数在 上单调 递增， 即，故当时，函数在 上恒成立，即原命题成立. 故实数的取值范围是 . 第18课时 利用导数研究恒（能）成立问题 27 THANKS 28 $