利用导数证明不等式 课件-2027届高三数学一轮复习

利用导数证明不等式 2027年高考数学 · 一轮复习 1 【教学目标】【教学重点】【教学难点】 一、教学目标 1. 掌握利用导数证明不等式的主要方法（构造函数法、单调性与最值法、放缩法、主元法）； 2. 会将待证不等式转化为函数的最值问题或单调性问题； 3. 能在多变量情形中选择恰当的主元进行证明。 二、教学重点 1. 构造函数将不等式转化为函数最值（恒正/恒负）； 2. 指对不等式的放缩与拆分。 三、教学难点 1. 构造对象的选择与放缩时机的把握； 2. 多变量（双参）问题主元的选取。 第19课时 利用导数证明不等式 【新课标要求】 1. 能利用导数证明某些不等式，体会“证明即求最值”的思想； 2. 在不等式证明中，发展逻辑推理、数学运算与转化与化归素养； 3. 能综合运用函数性质与导数工具解决综合性问题。 第19课时 利用导数证明不等式 【近五年考频考点】及备考建议 【考频统计】利用导数证明不等式是高考必考的压轴题型，近五年全国卷几乎每年出现，分值约6~12分，多与函数性质、指对运算结合。 【高频考点】 1. 单变量不等式证明（构造函数求最值）； 2. 指对型不等式的放缩（如 e^x≥x+1、ln x≤x-1 经典放缩）； 3. 双变量不等式（先固定一参作主元，或消参化为单变量）。 【备考建议】 1. 证明不等式首选“移项构造 F(x)≥0”，证 F(x)min≥0； 2. 熟记经典放缩：e^x≥x+1、ln x≤x-1、ln x≥1-1/x，关键时刻直接套用； 3. 双变量先尝试“消参”或“固定一参作主元”化为单变量问题。 第19课时 利用导数证明不等式 导数中的不等式证明是高考的常考题型，常与函数的性质、函数的零点与极值、 数列等结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法 等，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果. 第19课时 利用导数证明不等式 5 关键考点·核心突破 6 作差法构造函数证明不等式 例1 （2024·全国甲卷）已知函数 . （1）求 的单调区间. （2）当时，证明：当时， 恒成立. 第19课时 利用导数证明不等式 7 解析 （1）的定义域为， . 当时，，故在 上单调递减. 当时，若,，则， 单调递增； 若,，则， 单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当 时，的单调递增区间为,，单调递减区间为, . （2）当，且 时， . 第19课时 利用导数证明不等式 8 令 ， 则 . 令，则 ， 且在上单调递增，所以 ， 即在 上单调递增， 所以，即在 上单调递增， 故，即 恒成立，得证. 第19课时 利用导数证明不等式 感悟提升 作差法构造函数证明不等式的策略 （1）待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造"左减右"的 函数； （2）有时对复杂的式子要进行变形，借助所构造函数的单调性和最值求解，利 用导数研究其单调性和最值. 第19课时 利用导数证明不等式 10 （高考改编）证明：当时， . 解析 令，则 . 令，则，所以即 在 上单调递减， 又，所以当时，， 单调递减， 所以当时，，即 . 令，则，所以在 上单调递 减，又 ， 所以当时，，即 . 综上，当时， . 第19课时 利用导数证明不等式 11 分拆函数证明不等式 例2 已知函数，求证：当时， . 解析 要证，因为，所以只需证 ，即证 . 令，则，易知在，上单调递减，在 ，上单调递增，则，所以 .再令 ，则，易知在上单调递增，在 上单调 递减，则，所以.因为与 不能同时为0，所 以 ，故原不等式成立. 第19课时 利用导数证明不等式 12 感悟提升 1.当直接求导比较复杂或无从下手，或两次求导都不能判断导数的正负时，可将待 证式进行变形，构造两个函数，找到可以传递的中间量，从而得证.对于含与 的混合式，一般不直接构造函数，可将指数与对数分离，分别计算它们的最值，进 而借助最值来证明. 2.等价变形的目的是求导后简单地找到极值点.一般地，与要分离，常构造 与，与 的积、商形式，便于求导后找到极值点. 第19课时 利用导数证明不等式 13 已知函数，，，求证： . 解析 要证明，只需证明 ，即证 ， 令，， ， 又， ， 所以当时，，函数在上单调递增，当 时， ，函数在上单调递减，所以当时， 取得最大值，最 大值为 . 第19课时 利用导数证明不等式 14 由，可得，则当时，，函数 在上单调递减，当时，，函数在 上单调递增，所以 当时，取得最小值，且最小值为 ， 又，所以，即 ， 所以当时， . 第19课时 利用导数证明不等式 放缩后构造函数证明不等式 例3 已知函数 . （1）若，证明：当时， . （2）若，证明：当时， . 第19课时 利用导数证明不等式 16 解析 （1）首先证明， ，证明如下： 构造， ， 则 恒成立， 故在 上单调递减， 故 ， 所以， . 当时，， ， ， 故在 上恒成立， 第19课时 利用导数证明不等式 17 所以在 上单调递增， 故 . （2）令， . 当 时， ， 下证：，， ，且 在 处取等号. 令，则 ， 故在 上单调递增， 故，即 ， 第19课时 利用导数证明不等式 且在 处取等号. 由（1）知在 上单调递减， 故，即，且在 处取等号. 令 ， 则 ， 故在 上单调递增， 故，且在 处取等号. 综上，，且在 处取等号， 即，故当时， . 第19课时 利用导数证明不等式 感悟提升 放缩法证明不等式的策略 导数方法证明不等式的问题中，最常见的是和 与其他代数式结合的问题， 对于这类问题，可以考虑先对和 进行放缩，使问题简化，简化后再构造函数进 行证明.常见的放缩公式如下：① ；② ；③ ；④对数均值不等式 ；⑤当时，，当时， . 第19课时 利用导数证明不等式 20 证明：当时， . 解析 构造函数，，则，令 ，解得 . 当时，，在上单调递增；当时，， 在上单调递减.故在处取得最大值，且最大值为 ，所以当 时， . 故当时，，即 . 又，所以，即 ， 故当时，恒有 . 第19课时 利用导数证明不等式 21 THANKS 22 $