双变量问题 课件-2027届高三数学一轮复习

双变量问题 2027年高考数学 · 一轮复习 1 一、教学目标 1. 识别导数综合题中的双变量（∀x∃y、∃x∀y、x1+x2 等）结构； 2. 掌握将双变量问题转化为单变量（或最值）问题的方法（主元法、消参法、对称性）； 3. 能综合运用单调性、极值、不等式处理复杂双变量综合题。 二、教学重点 1. 分清“任意”与“存在”的逻辑顺序，确定最值归属； 2. 主元法、极值点偏移的处理思路。 三、教学难点 1. 双变量逻辑关系的准确转化； 2. 极值点偏移、同构等综合技巧的运用。 进阶课04 双变量问题 【新课标要求】 1. 能综合运用导数解决多变量（双变量）综合问题，体会转化与化归； 2. 在多变量的讨论中，发展逻辑推理、数学运算与抽象概括素养； 3. 能通过一题多变构建知识网络，提升综合解题能力。 进阶课04 双变量问题 【近五年考频考点】及备考建议 【考频统计】双变量问题是导数压轴题的“高阶形态”，近五年全国卷多次作为解答题第(2)(3)问出现，分值约6~12分，区分度极高。 【高频考点】 1. 双变量恒成立/存在性（归约为最值问题）； 2. 极值点偏移（ 与 比较，构造对称函数）； 3. 同构双变量（化为同一函数比较自变量）。 【备考建议】 1. 双变量先理清逻辑量词：∀ 取 min、∃ 取 max，顺序不可颠倒； 2. 极值点偏移常用“构造 ”或比值代换 ； 3. 善用对称性、同构化简，复杂情形采用主元法固定一变量。 进阶课04 双变量问题 第四单元 一元函数的导数及其应用 进阶课04 双变量问题 5 近几年,在高考试题中常涉及双变量或双参问题,试题常常出现在“压轴题”的位置. 这类试题不仅形式多样,而且联系的知识面较广,构造思维要求较高,因此具有很好的 区分度.其解题关键一是转化,即由已知条件入手,寻找双变量满足的关系式,并把含双 变量的问题转化为含单变量的问题;二是巧妙构造函数,并借助导数判断函数的单调性, 从而求其最值. 进阶课04 双变量问题 6 利用双变量的关系化为单变量 典例1 已知有两个极值点, , 证明: . 解析 . 因为函数有两个极值点, , 所以方程有两个正根, ， 所以且,解得 . 进阶课04 双变量问题 7 由题意得 , 令 , 则 , 所以在, 上单调递减, 所以 ,所以 . 进阶课04 双变量问题 8 感悟提升 当出现双变量时,若能将两个变量统一用一个变量来替换,则可将双变量问题转化 为我们熟知的单变量问题,从而为解题带来方便. 已知函数 . （1）若函数在区间上有零点，求 的值； （2）记函数，设,是函数 的两个极值 点，若，且恒成立，求实数 的最大值. 进阶课04 双变量问题 9 解析 （1）,， ， 当时，，函数 单调递减， 当时，，函数 单调递增， 的极小值为，又 ， 在区间上存在一个零点，此时 . 又 ， ， 在区间上存在一个零点，此时 . 综上， 的值为0或3. 进阶课04 双变量问题 10 （2）函数， ， ， 令，得，依题意知，方程 有两 个不相等的正实根，，且 , 则 ， ，， ， 又，， ， 进阶课04 双变量问题 ， ， 构造函数,, ， ， 在, 上单调递减， ， 恒成立， ，故实数的最大值为 . 进阶课04 双变量问题 极值点偏移 思维进阶 1.一般地,若连续函数在内有唯一的极值点,对任意 , ,当时，,则称函数 极值点偏移. 2.极值点偏移问题的解法 （1）定函数极值点:利用导函数符号的变化判断函数的单调性,进而确定函数的极值 点 . （2）构造函数:根据极值点构造对称函数 . 进阶课04 双变量问题 13 （3）判断单调性:利用导数讨论 的单调性. （4）比较大小:判断函数在某段区间上的正负,并得出与 的大小 关系. （5）转化:利用函数的单调性,将与的大小关系转化为与 之间的关系,进而得到所证或所求. 典例 已知函数,如果且 , 证明: . 进阶课04 双变量问题 解析 ,令,解得 , 当变化时,, 的变化情况如表所示: 1 0 - 单调递增 单调递减 由,不妨设,根据可知, . 令, ,则 , 因为,所以,所以 , 进阶课04 双变量问题 15 所以,所以在 上单调递增, 又因为,所以当时, , 即当时,,则 , 又,所以 , 因为,所以,所以, , 因为在 上单调递增, 所以,所以 ，得证. 进阶课04 双变量问题 整体代换法 典例2 已知函数,.若的两个极值点为, ,且 ,求证： . 进阶课04 双变量问题 17 解析 要证,只需证 . 的两个极值点,,即函数 的两个零点. 因为 , 所以,是方程 的两个不同的实数根. 于是两式相加,整理得，两式相减,整理得 . 因此，于是 . 设,又,所以，所以 . 要证,即证 . 进阶课04 双变量问题 18 设,则,所以 在 上单调递增. 因为，所以当时,有 , 所以成立,即 . 进阶课04 双变量问题 感悟提升 对含参数的双变量不等式的证明,一般要利用条件消去参数,把所要证明的不等式 化为仅含,的式子,通过运算,构造以或或 等为变量的新 函数,利用这个新函数的性质解决问题. 进阶课04 双变量问题 20 已知函数 . （1）试判断函数 的单调性. （2）已知函数，若有且只有两个极值点,，且 ，证 明： . 进阶课04 双变量问题 21 解析 （1）因为函数，定义域为 ， 所以 .当时，在上恒成立， 所以在 上单调递增. 当时，令，即，结合，解得 ， 令，结合，解得 ， 所以在,上单调递增，在, 上单调递减. （2）由题可知，，则 ， 因为有两个极值点, ， 所以,是方程的两个根，则 进阶课04 双变量问题 22 所以 ， 所以要证 ， 即证 ， 即证 ， 即证 ， 即证 . 令，则证明 ， 令，则 ， 进阶课04 双变量问题 所以在上单调递增，则 ， 即，所以原不等式 成立. 进阶课04 双变量问题 对数、指数均值不等式 思维进阶 我们给出以下两个结论（证明略） 结论1 对任意，，有 . 结论2 对任意实数，，有 . 进阶课04 双变量问题 25 在解决大部分双变量问题时，通过替换变量或构造函数，可将问题转化为对数均值 不等式、指数均值不等式的形式.在运用对数均值不等式、指数均值不等式时，需注 意以下几点： （1）利用对数均值不等式证明不等式的关键是配凑出其形式. （2）在答题时要注意先证明对数均值不等式，然后再应用. （3）当出现指数和、指数差时，考虑利用指数均值不等式进行放缩，进而得到题目 要证的不等式. 进阶课04 双变量问题 26 典例 （1）已知，，若 ，求证： . （2）已知函数有两个不同的零点，， ，求证： . 进阶课04 双变量问题 27 解析 （1）令，，因为，所以 ， 由可得得 由得，所以，要证 ，只需证 ， 只需证，只需证 ， 由对数均值不等式（证明略）可知其成立，所以 成立. 进阶课04 双变量问题 28 （2）因为，所以，因此 ， 变形得 ，又由指数均值不等式（证明略）得 ，所以 . 进阶课04 双变量问题 THANKS 30 $