导数（一题全串通）课件-2027届高三数学一轮复习

导数（一题全串通） 2027年高考数学 · 一轮复习 1 一、教学目标 1. 系统整合导数的核心知识链：概念—运算—单调性—极值最值—零点—不等式—恒成立； 2. 通过“一题多变、一题全串通”的方式，体会各考点之间的内在联系； 3. 形成导数综合题的通用解题策略（求导→判单调→研极值→求最值→证不等式）。 二、教学重点 1. 导数知识网络的构建与各考点的融合； 2. 综合题中“先求导、再分类、后转化”的规范流程。 三、教学难点 1. 多考点交织时的策略选择（构造、分离、放缩、主元）； 2. 含参综合问题的分类讨论与严谨表述。 单元核心课四 导数（一题全串通） 【新课标要求】 1. 能综合运用导数研究函数的性质，并解决相关的方程、不等式及应用问题； 2. 在解决综合性问题的过程中，体会导数作为研究函数性质的一般性工具的价值； 3. 发展数学抽象、逻辑推理、数学运算与数学建模等核心素养。 单元核心课四 导数（一题全串通） 【近五年考频考点】及备考建议 【考频统计】导数综合（单元核心课）是高考数学的绝对压轴，近五年全国卷几乎每年以解答题最后一题（第21/22题）出现，分值12~17分，决定高分段的关键。 【高频考点】 1. 单调性讨论 + 极值最值求解（综合题必备第一问）； 2. 恒成立/存在性问题与参数范围； 3. 不等式证明、零点/交点问题、极值点偏移等拔高考点。 【备考建议】 1. 综合题“四步通法”：求导化简→分类讨论单调性→求极值最值→转化目标（不等式/零点/恒成立）； 2. 分类讨论务必“标准明确、不重不漏”，参数分界点来自导函数零点； 3. 平时训练重视“一题多解、一题多变”，构建导数知识网络，提升临场策略选择能力。 单元核心课四 导数（一题全串通） 第四单元 一元函数的导数及其应用 单元核心课四 导数（一题全串通） 5 已知函数 . 核心点1 单调性问题 子题1 若函数的图象关于点对称，求 的单调区间. 解析 因为的图象关于点对称，所以，解得 ， ， 所以 ， 从而，令，解得， . 当或时，，此时 单调递增； 当时，，此时 单调递减. 综上，的单调递增区间是和 ，单调递减区间是 . 单元核心课四 导数（一题全串通） 6 子题2 当时，若函数在上为增函数，求实数 的取值范围. 解析 当时，，则.因为 在 上为增函数，所以在上恒成立，即 在 上恒成立，即.又，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以，即，所以实数 的取值范围是 . 单元核心课四 导数（一题全串通） 7 子题3 当时，若函数在区间上存在减区间，求实数 的取值范围. 解析 当时，，则.因为在区间 上存在 减区间，即在区间上有解，所以 ，又函数 在上的最大值为0，即可得,所以实数的取值范围为 . 子题4 当时，若函数在区间上不单调，求实数 的取值范围. 解析 当时，，则 . 因为函数在区间上不单调，即在区间 上存在变号零 点，所以直线与曲线在区间 上有交点，且交点的横坐标不为0， 从而易得 . 故实数的取值范围为 . 单元核心课四 导数（一题全串通） 8 核心点2 极值、最值问题 子题5 若函数在处取得极小值0，求函数 的极大值. 解析 由，得 . 由题意可得，即解得或 当，时， ，则 ， 单元核心课四 导数（一题全串通） 9 易知函数在 ,上单调递增，在,上单调递减，在 上单调递 增，所以函数在处取得极大值，此时 . 当，时， ， ，同理验证，此时 . 综上，所求函数的极大值为或 . 单元核心课四 导数（一题全串通） 10 子题6 当时，函数有两个不同的极值点，求实数 的取值范围. 解析 当时，，则 . 因为函数有两个不同的极值点，即 有两个不同的变号零点， 所以，解得或. 故实数 的取值范围为 . 单元核心课四 导数（一题全串通） 11 子题7 当时，函数在区间上至少有一个极值点，求实数 的取值范围. 解析 当时，，则 . 因为函数在区间上至少有一个极值点，所以 在区间 上至少存在一个变号零点. 若只有一个变号零点，则，即 ，解得 ; 若有两个变号零点，则有即解集为 . 综上，实数的取值范围是， . 单元核心课四 导数（一题全串通） 12 子题8 当时，讨论函数在区间 上的最值. 解析 当时， . ①当时，，此时在 上单调递增，此时 ， . ②当时，在，上单调递减，在， 上单调递增.又 ，，，，所以对， 的大小关系进行讨论： 当，即时， ; 当，即时， ; 单元核心课四 导数（一题全串通） 13 当，即时， . . ③当时，，在 上单调递减,此时 ， . 单元核心课四 导数（一题全串通） 核心点3 不等式恒成立问题 子题9 当时，若对任意，恒成立，求实数 的取 值范围. 解析 当时，，则 . 若对任意， 恒成立， 即对任意 恒成立， 可得 . 单元核心课四 导数（一题全串通） 15 令 ， 则 . 当时，，此时单调递增；当时，，此时 单调递减.所以，则 . 故实数的取值范围是 . 单元核心课四 导数（一题全串通） 16 子题10 当，时，证明：对任意， 恒成立. 解析 当，时，.令 ， . 下面证明：对任意 恒成立. ①当时，， . 若，则，，此时单调递减， 单调递增. 若时，则，，此时单调递增， 单调递减. 所以，即 . 单元核心课四 导数（一题全串通） 17 ②当时，，即 . ③当时，因为，要证，可证 ，即 . 设，，则 . 当时，，此时单调递增；当时， ，此时 单调递减. 故，即，故 . 综上，对任意，恒成立，即对任意， 恒成立. 单元核心课四 导数（一题全串通） 核心点4 零点问题 子题11 当时，讨论函数 的零点个数. 解析 当时， ，则 ，令，解得， . ①当时， ，函数只有1个零点. ②当时，在和，上单调递增，在， 上单调递减，此 时， . 现对 进行讨论： 当，即 时，函数有1个零点； 单元核心课四 导数（一题全串通） 19 当，即 时，函数有2个零点； 当，即 时，函数有3个零点. ③当时，在 ，和上单调递增，在， 上单调递减， 此时， . 现对 进行讨论： 当，即 时，函数有1个零点； 当，即 时，函数有2个零点； 当，即 时，函数有3个零点. 综上，当时，函数有1个零点；当，时，函数 有2个 零点；当或时，函数 有3个零点. 单元核心课四 导数（一题全串通） 子题12 当，时，若函数在 上有两个极值点 ，，且，求证： . 解析 当，时，，则 ， 所以函数， . 令，得 ， 令，则， . 易知函数在 ，上单调递减，在，上单调递增，且,当 时，,所以 . 单元核心课四 导数（一题全串通） 21 令，则，当时， ，则 在上单调递减，所以，所以 ， 从而 . 因为，，在 ，上单调递减，所以 ，即 . 单元核心课四 导数（一题全串通） THANKS 23 $