函数中的任意与存在问题（一题全串通）课件-2027届高三数学一轮复习

函数中的任意与存在问题（一题全串通） 2027年高考数学 · 一轮复习 1 一、教学目标 1. 理解全称量词“任意∀”与存在量词“存在∃”的语义，掌握恒成立问题与存在性问题的转化方法； 2. 能将任意、存在问题转化为函数最值问题求解； 3. 通过“一题多变、一题全串通”，构建单元知识网络。 二、教学重点 1. ∀x∈M，f(x)>a ⇔ f(x)min>a；∃x∈M，f(x)>a ⇔ f(x)max>a 的转化； 2. ∀x∧∃y 型双变量问题的处理。 三、教学难点 1. 多量词嵌套（∀x∃y、∃x∀y）的逻辑转化与最值归属； 2. “任意”与“存在”中端点（最值）能否取等的辨析。 单元核心课三 函数中的任意与存在问题（一题全串通） 【新课标要求】 1. 理解全称量词与存在量词的意义，能正确使用符号∀、∃表述数学问题； 2. 在恒成立与存在性问题的求解中，能进行等价转化，体会转化与化归思想； 3. 能综合运用函数、不等式知识解决问题，发展逻辑推理与数学运算素养。 单元核心课三 函数中的任意与存在问题（一题全串通） 【近五年考频考点】及备考建议 【考频统计】任意与存在（恒成立、存在性）问题是函数与导数综合的压轴热点，近五年全国卷解答题与小题中均有大量考查，分值约5~12分。 【高频考点】 1. ∀x，f(x)≥g(x) 型：转化为 f(x)-g(x)min≥0； 2. ∃x∀y 或 ∀x∃y 型双变量：分清“先定量后变量”的顺序； 3. 由恒成立/存在性求参数范围（分离参数法、最值法）。 【备考建议】 1. 口诀：“恒成立找最值，存在性找最值”，严格区分是求最小还是最大； 2. 双变量问题按“谁任意、谁存在”分步转化，先固定一个变量； 3. 分离参数后求函数最值，注意定义域与取等条件；复杂问题借助数轴或图象直观分析。 单元核心课三 函数中的任意与存在问题（一题全串通） 第三单元 函数 单元核心课三 函数中的任意与存在问题（一题全串通） 5 已知，， . 核心点1 一元二次不等式在 上的恒成立与存在性问题 子题1 ，都有，求实数 的取值范围. 解析 依题意可知， ， 此时只需，解得，所以实数的取值范围是 . 单元核心课三 函数中的任意与存在问题（一题全串通） 6 子题2 若命题"，都有"是假命题，求实数 的取值范围. 解析 因为"，都有 "是假命题， 所以"，使得 "是真命题， 即，使得，此时只需 . 而对于，当时，，所以 . 所以实数的取值范围是 . 单元核心课三 函数中的任意与存在问题（一题全串通） 7 子题3 若关于的不等式的解集为空集，求实数 的取值范围. 解析 依题意，关于的不等式 的解集为空集， 等价于，都有 ， 即，都有 . ①当时， . 若，则不等式化为，解得 ，不符合题意； 若，则不等式化为，解集为 ，符合题意. ②当时， . 单元核心课三 函数中的任意与存在问题（一题全串通） 8 要使，，只需 即解得 . 综上所述， . 故实数的取值范围是 . 单元核心课三 函数中的任意与存在问题（一题全串通） 核心点2 一元二次不等式在给定区间上的恒成立与存在性问题 子题4 ，都有，求实数 的取值范围. 解析 依题意，，都有 ， 等价于，都有，此时只需 . 而在上单调递减，所以当时，取得最小值 ， 即.所以实数的取值范围是 . 子题5 不等式在上有解，求实数 的取值范围. 解析 依题意可知，，使得 成立， 等价于，使得成立，此时只需 . 而在上单调递减，所以当时， 取得最大值0， 即.故实数的取值范围是 . 单元核心课三 函数中的任意与存在问题（一题全串通） 10 子题6 （一题多法），都有，求实数 的取值范围. 解析 依题意，，都有 ， （法一：分离参数法）等价于，都有 ，此时只需 ，而在上单调递增，所以当 时，取得最大值，即.故实数的取值范围是 . （法二：等价转化法）等价于，都有 . 令，此时只需即 解得 .故实数的取值范围是 . 单元核心课三 函数中的任意与存在问题（一题全串通） 11 子题7 ，都有，求实数 的取值范围. 解析 依题意，，都有 ， 等价于，都有 . 因为，所以 （可正可负可为零需要分类讨论）. ①当，即时，要使 恒成立， 只需，对于，，令， ， 则 ， 由双勾函数的性质可知，故 ； ②当，即时，依题意知恒成立，此时 ； 单元核心课三 函数中的任意与存在问题（一题全串通） 12 ③当，即时，要使 恒成立， 只需，对于，，令， ， 则 ， 由双勾函数的性质可知，故 . 综上所述，实数的取值范围是 . 单元核心课三 函数中的任意与存在问题（一题全串通） 核心点3 双变量不等式的恒成立与存在性问题 子题8 ，，都有，求实数 的取值范围. 解析 依题意，，都有 ， 此时只需 ， 令，，易知 ； 当时， . 故只需，解得，所以实数的取值范围是 . 单元核心课三 函数中的任意与存在问题（一题全串通） 14 子题9 ，，使得成立，求实数 的取值范围. 解析 依题意，，，使得 成立， 此时只需 ， 当时，， ， 故只需，解得，所以实数的取值范围是 . 子题10 ，，使得成立，求实数 的取值范围. 解析 依题意，，，使得 成立， 此时只需 ， 当时，， ， 故只需，解得，所以实数的取值范围是 . 单元核心课三 函数中的任意与存在问题（一题全串通） 15 子题11 ，，使得成立，求实数 的取值范围. 解析 依题意，，，使得 成立， 此时只需 ， 当时，， ， 故只需，所以实数的取值范围是 . 单元核心课三 函数中的任意与存在问题（一题全串通） 16 核心点4 双变量等式的恒成立与存在性问题 子题12 ，，使得成立，求实数 的取值范围. 解析 依题意，，，使得 成立， 此时只需的值域是 的值域的子集. 当时，， ， 故只需，即解得 ， 所以实数的取值范围是 . 单元核心课三 函数中的任意与存在问题（一题全串通） 17 子题13 是否存在实数满足，，都有 ？若存在， 求出实数 的取值范围，若不存在，请说明理由. 解析 不存在.理由如下：依题意，， ，使得 成立， 此时只需的值域是 的值域的子集. 当时，， ， 故只需，即此时无解.故不存在实数 满足 ，，都有 . 单元核心课三 函数中的任意与存在问题（一题全串通） 18 子题14 ，，使得成立，求实数 的取值范围. 解析 依题意，，，使得 成立， 此时只需的值域与 的值域有交集. 当时，， ， 故只需 ，即解得 ， 所以实数的取值范围是 . 单元核心课三 函数中的任意与存在问题（一题全串通） 19 THANKS 20 $