6.5.1二次函数与一元二次方程（1）教学设计2026-2027学年苏科版九年级数学下册

课题名称

6.5二次函数与一元二次方程（第1课时）

课型

新授课

教学资源

课件、教材、几何画板

教学内容解析

内容

二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的公共点个数与一元二次方程ax²+bx+c=0的根的关系，以及判别式b²−4ac的几何意义.

内容解析

本课时把“函数”与“方程”两个看似不同的对象联系起来：方程的根就是图象与x轴公共点的横坐标.这是初中阶段数形结合最典型的一处.

由“看图数公共点”到“用判别式算公共点个数”，是学生第一次用代数工具判断几何位置关系，为高中的零点概念埋下伏笔.

目标与目标解析

单元整体目标

本章是在学习一次函数、反比例函数的基础上，进一步研究二次函数的概念、图象、性质与应用.

通过本章学习，学生能理解二次函数的意义，会用描点法画二次函数的图象，掌握y=ax²、y=ax²+c、y=a(x−h)²、y=a(x−h)²+k、y=ax²+bx+c的图象特征与性质，会用待定系数法确定二次函数的表达式，能用二次函数解决最值等实际问题，理解二次函数与一元二次方程的联系.

在此过程中，发展抽象能力、推理能力、运算能力与模型观念，积累“由式想形、由形说性”的函数研究经验.

课时目标

1.能说出二次函数图象与x轴公共点的横坐标就是对应一元二次方程的根.【推理能力、几何直观】

2.会用判别式b²−4ac判断图象与x轴的公共点个数，并能由公共点情况反推字母系数的取值范围.【运算能力、推理能力】

3.经历“由形到数、由数到形”的双向转化，体会数形结合的思想.【几何直观】

课时目标解析

达成目标1的标志是：给出y=x²−2x−3，学生能说出它与x轴交于(−1,0)、(3,0)，并指出−1与3就是方程x²−2x−3=0的根.

达成目标2的标志是：学生能由b²−4ac的符号判断公共点个数，也能由“有两个公共点”反推出b²−4ac>0.

达成目标3的标志是：学生能说出“方程的根看图象是交点，看代数是判别式”这样一句话.

学情分析

已有的知识、认知水平

学生已会用公式法、配方法解一元二次方程，知道判别式与根的个数的关系，也已掌握二次函数图象的画法与顶点、对称轴.

困惑点或探索点

困惑点：把“图象与x轴的公共点”与“方程的解”当成两件事；忘记判别式只适用于一般形式，未化成一般式就套用.

探索点：图象与x轴的公共点个数，与顶点位置有什么关系？

教学

重难点

教学重点

二次函数图象与x轴公共点个数和一元二次方程根的关系.

教学难点

用判别式判断公共点个数，并由公共点情况反求字母系数的取值范围.

教学策略分析

（为什么学、学什么、怎么学）

为什么学：解方程是“求数”，看图象是“看形”，能把两者打通，很多难题就有了两条路.

学什么：公共点与根的对应关系，判别式的几何意义，由公共点定参数.

怎么学：先画图数公共点，再解方程求根，把结果对照；然后反过来用判别式预测公共点个数，用图象验证.

教学过程

教学环节

学习任务设计

师生活动

评价要点

设计意图

问题探究

问题：二次函数y=x²−2x−3的图象与x轴有几个公共点？公共点的横坐标与方程x²−2x−3=0的根有什么关系？

活动：先画图，再解方程，把两组结果对照.

学生画图，数出两个公共点(−1,0)、(3,0).

生：解方程得x₁=−1，x₂=3，正好是公共点的横坐标.

师：这不是巧合.公共点在x轴上，纵坐标为0，也就是ax²+bx+c=0.

师：所以“图象与x轴公共点的横坐标”就是“方程的根”.

学生能自己发现并说出两者的对应关系.

让学生亲手对照两组结果，比教师直接告知更有说服力.