二次函数与幂函数课件-2027届高三数学一轮复习

二次函数与幂函数 2027年高考数学 · 一轮复习 1 一、教学目标 1. 掌握二次函数的图象与性质（开口方向、对称轴、顶点、单调性、最值）； 2. 会求二次函数在给定闭区间上的最值，能解决含参数的最值讨论问题； 3. 了解幂函数的概念，掌握五个常见幂函数的图象与性质。 二、教学重点 1. 闭区间上二次函数最值（定轴动区间、动轴定区间）； 2. 二次方程根的分布； 3. 幂函数 y=x、x²、x³、 、 的图象与性质对比。 三、教学难点 1. 含参二次函数的分类讨论（对称轴与区间位置关系）； 2. “三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的融会贯通。 第09课时 二次函数与幂函数 【新课标要求】 1. 掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数在给定区间上的最值； 2. 了解二次函数与一元二次方程、不等式之间的联系，体会数形结合思想； 3. 通过具体实例，了解幂函数的概念；结合函数 y=x、x²、x³、 、 的图象，了解它们的变化情况。 第09课时 二次函数与幂函数 【近五年考频考点】及备考建议 【考频统计】二次函数是每年必考的基础载体（小题或与导数、不等式结合）；幂函数直接考查近五年约2次，多出现在比较大小中。 【高频考点】 1. 二次函数闭区间最值与动轴问题（分类讨论思想）； 2. 二次方程根的分布（转化为端点函数值与对称轴位置）； 3. 幂函数图象过定点 (1,1)，利用单调性比较大小。 【备考建议】 1. 动轴（动区间）最值按“轴在区间左侧、内部、右侧”三类讨论； 2. 根的分布牢记“正负看值、位置看轴”，转化为不等式组； 3. 幂函数在第一象限内：“指数大图象高”（x>1时）。 第09课时 二次函数与幂函数 一、二次函数 1.二次函数解析式的三种形式 （1）一般式： ___________________. （2）顶点式： ，顶点坐标为_______. （3）零点式：，，为 的______. 零点 第09课时 二次函数与幂函数 5 2.二次函数的图象和性质#2 函数 图象（抛物线） 定义域 值域 ， ， 对称轴 第09课时 二次函数与幂函数 6 顶点 坐标 ， 奇偶性 当时，是____函数；当 时，是非奇非偶函数 单调性 在 ， 上单调递____； 在， 上单调递____ 在 ， 上单调递____； 在， 上单调递____ 偶 减 增 增 减 续表 第09课时 二次函数与幂函数 7 二、幂函数 1.幂函数的定义 一般地，函数________叫作幂函数，其中是自变量， 是常数. 幂函数解析式的特征： （1）自变量在幂的底数位置，幂指数 是常数. （2） 的系数为1. （3）只有1项. 第09课时 二次函数与幂函数 8 2.常见的五种幂函数的图象 3.幂函数的性质 （1）幂函数在 上都有定义. （2）当 时，幂函数的图象都过点______和______，且在 上单调递增. （1）幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限. （2）若幂函数 在上单调递增，则;若幂函数 在 上单调递减，则 . 奇函数 偶函数 （3）当时，幂函数的图象都过点______，且在 上单调递减. （4）当 为奇数时， 为________；当 为偶数时， 为________. 第09课时 二次函数与幂函数 9 关键考点·核心突破 10 幂函数的图象与性质 例1（1）已知幂函数的图象关于 轴对称,且在 上单调递减,则 的值为( ). B A. B.1 C.2 D.1或2 解析 因为为幂函数,所以,解得或 ,经检验，只有 符合题意.故选B. 第09课时 二次函数与幂函数 11 （2）已知幂函数,,且,互质 的图象如图所示,则( ). D A.,均为奇数,且 B.为偶数,为奇数,且 C.为奇数,为偶数,且 D.为奇数,为偶数,且 解析 由幂函数的图象关于轴对称,可知该函数为偶函数,所以为偶数,则 为奇数.因 为幂函数的图象在第一象限内向上凸起,且在 上单调递增,所以 .故选D. 第09课时 二次函数与幂函数 12 （3）若,,,则,, 的大小关系是( ). D A. B. C. D. 解析 因为在 上单调递增, 所以 . 因为是减函数,所以,所以 .故选D. 第09课时 二次函数与幂函数 13 感悟提升 1.确定幂函数图象的方法:首先确定定义域,然后用三条直线把第一象限分为六个区域, 即直线,直线,直线划分的区域.根据,,, 的取 值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定. 2.比较幂值大小的方法:在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数, 借助其单调性进行比较. 3.在上，幂函数的指数越大，函数图象越靠近 轴（简记为“指大图低”）；在 上，幂函数的指数越大，函数图象越远离 轴. 第09课时 二次函数与幂函数 14 1.已知幂函数的图象关于轴对称，且在 上 单调递增，则 的值为( ). D A.0 B.2 C.3 D.2或3 解析 当时，，由幂函数的性质得，在 上单调递减； 当时，,在上不具有单调性；当时， ，由幂函 数的性质得，该函数的图象关于轴对称，在 上单调递增； 当时，，由幂函数的性质得，该函数的图象关于轴对称， 在 上单调递增.故选D. 第09课时 二次函数与幂函数 15 2.已知幂函数的图象过点,设,, ,则 ( ). B A. B. C. D. 解析 因为函数为幂函数,所以 . 又函数的图象过点 , 所以,解得 , 故函数的解析式为,且 为增函数. 因为,所以 .故选B. 第09课时 二次函数与幂函数 16 对勾函数与飘带函数 深挖教材 在高中数学人教A版教材必修第一册第86页“综合运用”、第101页“拓广探 索”中有这样两个问题： （1）讨论函数在区间 上的单调性; （2）讨论函数 的单调性. 总结：对于函数，当时，常把 称为“对勾函数”； 当时，常把 称为“飘带函数”. 第09课时 二次函数与幂函数 17 第09课时 二次函数与幂函数 18 典例（1）（多选题）若函数 ,则( ). ACD A.函数 为奇函数 B.当时,在 上单调递增 C.若方程有实根,则 D.设定义域为的函数的图象关于点中心对称,若,且与 的图象 共有2 024个交点,记为 ,则 第09课时 二次函数与幂函数 19 解析 对于A,因为 ,又 是奇函数,所以函数 是奇函数,故A正确; 对于B,因为,,所以,当 时, 在 上不是单调递增,故B错误; 对于C,令,显然,所以 ,因为 ,所以 ,故C正确; 对于D,由A可知,当时,的图象关于点中心对称,且 的图象关于点 中心对称,所以这2 024个交点关于点对称,故 ,故D正确.故选 . 第09课时 二次函数与幂函数 20 （2）已知,均是定义在,上的函数,则函数 的值域为______ ____;函数 的值域为_________. , , 解析 易知函数在,上为“对勾函数”的一部分,解方程 ，得 （负根舍去）,所以在,上单调递减,在, 上单调递增,所以 . 又, , 所以 ， 第09课时 二次函数与幂函数 21 二次函数的解析式 例2 （一题多法）已知二次函数满足,,且 的最大值是 8,则 的解析式为_____________________. 解析 （法一:利用一般式）设 . 由题意得解得 所以所求二次函数的解析式为 . 第09课时 二次函数与幂函数 22 所以函数在,上的值域为, . 易知函数在,上为“飘带函数”的一部分,且在, 上单调递增, 所以, ， 所以函数在,上的值域为, . 第09课时 二次函数与幂函数 23 （法二:利用顶点式）设 . 因为,所以抛物线的对称轴为直线,所以 . 又函数的最大值为8,所以 ， 所以 . 因为,所以,解得 , 所以 . （法三：利用零点式）由的两根分别为, ,可设 , 第09课时 二次函数与幂函数 24 即 . 又函数的最大值为8,所以 , 解得或 （舍去）， 所以所求二次函数的解析式为 . 第09课时 二次函数与幂函数 感悟提升 求二次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件选择恰当的二次函数 解析式的形式,一般选择规律如下： 第09课时 二次函数与幂函数 26 已知二次函数满足,且的图象与 轴交点的纵坐标为1, 被轴截得的线段长为,则的解析式为_ ___________________, ___. 7 解析 设 . 由,得,所以 . ① 设的图象与轴交点的横坐标为, , 由,得 . ② 由已知得 . ③ 由①②③解得,,,所以 , 所以 . 第09课时 二次函数与幂函数 27 二次函数的图象与性质 考向1 二次函数的图象 例3 （多选题）已知二次函数 的图象如图所 示，则( ). ACD A. B. C. D. 第09课时 二次函数与幂函数 28 解析 由题意得，对称轴为直线，则 ，故A正确； 当时，，则 ，故C正确； 当时，，则 ，故D正确； 当时，，故B错误.故选 . 第09课时 二次函数与幂函数 29 感悟提升 识别二次函数图象应学会“三看” 第09课时 二次函数与幂函数 30 考向2 二次函数的单调性与最值 例4 已知函数， . （1）若在区间上是单调函数，求实数 的取值范围； （2）当时，函数的最小值是关于的函数，求 的表达式. 第09课时 二次函数与幂函数 31 解析 （1）函数图象的对称轴为直线 . 因为在区间上是单调函数，所以或，解得或 ， 所以实数的取值范围是 . （2）当，即时，在区间 上单调递增，所以 ； 当，即 时， 在区间，上单调递减，在， 上单调递增， 第09课时 二次函数与幂函数 32 所以 ； 当，即时，在区间上单调递减，所以 . 综上， 第09课时 二次函数与幂函数 感悟提升 二次函数的单调性与最值问题的解题策略 （1）二次函数的单调性问题主要根据二次函数图象的对称轴进行分类讨论并求解. （2）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定 区间动.不论哪种类型，解题的关键都是分析对称轴与区间的位置关系，当含有参数 时，要根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 第09课时 二次函数与幂函数 34 考向3 与二次函数有关的恒成立问题 例5 （一题练透）已知函数,,其中 为实数. （1）对任意,都有,求 的取值范围； （2）存在,使成立,求 的取值范围； （3）对任意,,都有,求 的取值范围. 第09课时 二次函数与幂函数 35 解析 （1）设,问题转化为 时, 恒成立,故 . 由二次函数的性质可知 . 由,得,即的取值范围为 . （2）由题意,存在,使 成立,即 在上有解,故 . 由二次函数的性质可知 . 由,得,即的取值范围为 . （3）对任意,,都有 , 所以, . 由二次函数的性质可得, ，故 , 得,即的取值范围为 . 第09课时 二次函数与幂函数 36 感悟提升 由不等式恒（能）成立求参数取值范围的思路及关键 （1）一般有两个解题思路：一是分离参数;二是构造新函数. （2）这两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是 否已分离.这两个思路的依据是：恒成立, 恒成立 ；能成立,能成立 . 第09课时 二次函数与幂函数 37 1.在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数 图象的关系 可能为( ). A A. B. C. D. 第09课时 二次函数与幂函数 38 解析 对于A，二次函数的图象开口向上，则 ，其对称轴 ，则，即幂函数 为减函数，符合题意； 对于B，二次函数的图象开口向下，则，其对称轴 ， 则，即幂函数 为减函数，不符合题意； 对于C，二次函数的图象开口向上，则，其对称轴 ， 则，即幂函数 为增函数，且其增加得越来越快，不符合题意； 对于D，二次函数的图象开口向下，则，其对称轴 ， 两零点之和，则，即幂函数 为增函数，且其增加得越 来越慢，不符合题意.故选A. 第09课时 二次函数与幂函数 39 2.（多选题）已知定义在上的函数 与函数 在上具有相同的单调性,则 的取值可以是 ( ). CD A.1 B. C.2 D.3 解析 易知在上是减函数.依题设,函数在 上单调递减,且函数图象的对称轴为直线，所以,则.故 的取值可 以是2,3.故选 . 第09课时 二次函数与幂函数 40 3.已知函数,不等式的解集为 .若对任意 ,恒成立,则实数 的取值范围是( ). B A. B. C. D. 解析 因为的解集为,所以的两个根分别为 ,3, 所以解得 令,则 . 由可得 . 又在上恒成立,所以 .故选B. 第09课时 二次函数与幂函数 41 4.已知函数 . （1）若,求函数在区间 上的值域; （2）若函数在区间上有最小值3,求 的值. 解析 （1）若,则 ,其图象的对称轴为直线 , 函数在区间上单调递减,在 上单调递增, 所以, , 所以的值域为 . 第09课时 二次函数与幂函数 42 （2）,其图象的对称轴为直线 . ①当,即时,函数在 上单调递增, , 由,得 . , . ②当,即时, . 由,得 ,舍去. ③当,即时,函数在 上单调递减, 第09课时 二次函数与幂函数 43 . 由,得 . , . 综上所述,或 . 第09课时 二次函数与幂函数 THANKS 45 $