7.2.2相似三角形的判定（两边成比例且夹角相等）课件 2026-2027学年苏科版数学九年级下册

7.2 相似三角形的判定 第2课时　两边成比例且夹角相等 一、只给一组角，还差什么 我们已经知道，两角分别相等的两个三角形相似. 如果只知道两个三角形中有一组角是相等的，那么要判定两个三角形相似，还需要什么条件呢？ 一组角只钉住一个角，形状还是可以任意“歪”. 全等判定里，补足“两角 + 一边”的办法是再添一组角； 相似这里，我们试另一条路：再添边的比例. 先想清楚要问什么　一组角 + 几条边的比？这几条边放在什么位置，才管用？ 答案藏在“全等是怎么判的”里. 二、类比 SAS，提出猜想 类比判定三角形全等的条件：两边及夹角分别相等的两个三角形全等， 猜想：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 全等（SAS） 两边相等 + 夹角相等 → 形状、大小都定住 相似（猜想） 两边成比例 + 夹角相等 → 只定形状，大小不管 为什么“相等”换成“成比例”　全等要求两条边分别相等，相似只要求两条边的比一样， 这样大小就放开了——这正是相似比全等“宽松”的地方. 三、验证：还是那把“截取”的刀 如图 7-23，在和中， ⁠，⁠. 要证：⁠. 假设⁠.在边上截取⁠， 过点作⁠，交边于点⁠. 于是，与对应角分别相等， 所以⁠. 和上一课时一个套路　还是造一个“中间三角形”⁠， 先让它和相似，再去和比大小. 四、证明：三个等式串起来 由⁠，所以⁠. 又⁠，⁠， 把两个比套在一起，可得⁠. 这样，（SAS）， 所以⁠. 关键的一推　两个比例式套在一起：⁠， 两边同乘⁠，就得到——大小对上了，剩下的交给 SAS 全等. 又是同一个三步：相似（平行线）→ 全等（SAS）→ 相似（传递）. 两条判定定理，用的其实是同一把“截取”的刀. 五、判定定理 2 于是，我们得到相似三角形的判定定理 2： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 符号语言： 在与中， ⁠，⁠， ⁠. 三个字记牢　“夹角”——这两条边必须夹住那个相等的角，位置不能挪. 五、即时辨析 ①　为什么非得是夹角 把“夹角”换成“一边的对角”，结论还成立吗—— 1. 在与中，⁠，⁠.能判定相似吗？ 2. 已知⁠，⁠，⁠.这样的三角形能画出几种形状？ 方法点拨　第 1 题：不是与的夹角，判定定理 2 用不上——不能直接判定. 第 2 题：以为圆心、 为半径画弧，与另一边交于两点，得到两个不同的三角形（SSA 不唯一）. 六、例 2：中点与角平分线 例 2　如图 7-24，在中，是边的中点，点在外， 平分⁠，⁠. 与相似吗？为什么？ 分析　在和中，易知⁠. 如果⁠，那么这两个三角形就相似. 两个是题目给的礼物　是中点 → ⁠；又⁠. 两个“一半”一除，比例式就出来了——这正是判定定理 2 要的样子. 六、例 2 解答 与相似.理由如下： 是边的中点，⁠. ⁠，⁠. 平分⁠，⁠. 在和中， ⁠，⁠， （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）. 写法上的讲究　比例式里的两条边，要夹住后面写的那个角：⁠、夹⁠， ⁠、夹——顺序写对，读者一眼就看懂. 六、即时辨析 ②　比的方向别写反 同一个图形，换一种写法就错了—— 1. 例 2 中，把条件写成可以吗？ 2. 若改成⁠，还能判定相似吗？ 方法点拨　第 1 题：可以，两个比同时取倒数，仍然是同一个相似比（都等于 2），照样能判定. 第 2 题：不行——⁠、⁠，两边不成同一比例. 七、讨论：换成“一边的对角”行不行 在和中，如果⁠， ⁠，那么与一定相似吗？ 的两条边是与⁠，而条件给的是与⁠. 是的对边——这个角不是这两条边的夹角， 判定定理 2 用不上. 画个反例就明白　取⁠，⁠，以为圆心、 为半径画弧， 弧与的另一边交于⁠、两点. 与都有⁠、⁠、⁠， 可它们形状不同——不相似.所以答案：不一定. 八、课本练习（第 1 题） 1. 如图，在正方形中，是边的中点，点在边上， 且⁠.与相似吗？为什么？ 设正方形边长为⁠：⁠，⁠，⁠. 两直角：⁠，是现成的夹角. 算比：⁠，⁠. 配边要按夹角配　里夹的两边是⁠、⁠； 里夹的两边是⁠、——两组比都是 2. 八、课本练习（第 2 题） 2. 如图，已知⁠. 以为顶点，作和⁠，使得⁠. 作法要点：让两个三角形共用一个角 ⁠， 再在这两条边上取点⁠、⁠，使（比如都取⁠）. 由“两边成比例且夹角相等”，⁠. 这一步在练什么　判定定理 2 反过来用：先造出两边成比例、夹角相等，就得到相似. 这也是位似作图（第 7.1 节）能一次画出一族相似三角形的道理. 九、课堂小结 判定定理 2　两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 与判定定理 1 并列：一个看两角，一个看两边夹一角. 1. 先确认这个角是不是那两条边的夹角，不是就得换思路. 2. 比例式要统一方向：要么都是“小比大”，要么都是“大比小”. 3. 证明的骨架和定理 1 一样：截取 → 相似 → 全等 → 相似. 4. 见到中点、中位线、⁠、角平分线，先想想能不能凑出比例. 方法上的一句话　“相等”是“成比例”在比为 1 时的特殊情形—— 所以全等的 SAS 与相似的判定定理 2，是同一件事的松紧两版. 记住这一对，两条判定就都不会忘. 十、下一站：三边成比例 全等还有一条 SSS：三边分别相等的两个三角形全等. 那么，三边成比例的两个三角形相似吗？ 照着前两条的路子来： 先用截取法造一个“中间三角形”，再证它全等. 下一课时，我们把这个结论也证出来. 定理 1：两角分别相等｜定理 2：两边成比例且夹角相等｜定理 3：三边成比例. 三条凑齐，“怎样判定相似”就回答完整了. $