精品解析：广西苍梧县中等专业学校2023-2024学年中职高二下学期期中考试数学（01班）

苍梧县中等专业学校2024年春学期22级期中考试试卷 科目：数学 适用班级：2201 考生注意： 1.本试卷150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生先将自己的班级、姓名、学号填写清楚. 3.请将各题答案填写在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 5. 函数是（ ） A. 最小正周期为的偶函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的奇函数 6. 设向量，，则（ ） A. B. 2 C. 22 D. 7. 若直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线，圆，则直线与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 直线过点，，则有（ ） A. 直线的斜率等于4 B. 直线的方程为 C. 直线的方程为 D. 直线在轴上的截距为 10. 下列说法正确的有（ ） A. 两条平行直线确定一个平面 B. 一点和一条直线确定一个平面 C. 两条相交直线确定一个平面 D. 过不在同一直线的三个点，有且只有一个平面 11. 若点到直线的距离为1，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 12. 已知椭圆：，则下列结论正确的是（ ） A. 长轴长1 B. 离心率 C. 焦点坐标为 D. 焦距为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知向量，若，则______________． 14. 椭圆的焦点在轴上，长轴长为8，离心率为，则椭圆的标准方程为________. 15. 内角，，的对边分别为，，，若，，，则________. 16. 圆心在轴上，半径为1且过点的圆的方程为________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 求过两条直线：与：的交点，且与直线垂直的直线的方程. 18. 已知一条直线经过点且被圆所截得的弦长为8，求这条直线的方程. 19. 如图，设是圆上的动点，点是在轴上的投影，为上一点，且，当在圆上运动时，求点的轨迹的方程. 20. 如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且． （1）证明：平面平面 （2）若，求四棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苍梧县中等专业学校2024年春学期22级期中考试试卷 科目：数学 适用班级：2201 考生注意： 1.本试卷150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生先将自己的班级、姓名、学号填写清楚. 3.请将各题答案填写在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意先求，易得出结论. 【详解】根据题意得出,再计算, 故选:A. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法法则计算即可. 【详解】. 故选：D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式，即可. 【详解】因为， 所以， 解得：. 故选：C. 4. 已知函数是上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用偶函数的性质将函数在不同区间的单调性进行转化，再根据函数单调性求解不等式. 【详解】已知函数是上的偶函数，且在上是增函数， 根据偶函数的性质：偶函数的图象关于轴对称， 所以函数在上是减函数. 因为是偶函数，所以， 那么可转化为， 又因为在上是减函数， 所以，解得或. 故选：D. 5. 函数是（ ） A. 最小正周期为的偶函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的奇函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦型函数的周期公式和奇函数的定义即得. 【详解】由知其最小正周期为，函数的定义域为，由知函数是奇函数. 故选：D. 6. 设向量，，则（ ） A. B. 2 C. 22 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算公式，代入已知向量的坐标计算即可得到结果. 【详解】因为向量，， 所以. 故选：A. 7. 若直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倾斜角和斜率的关系求出斜率，再利用直线的点斜式方程求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又因为直线过点，所以该直线的方程为， 整理得：. 故选：A. 8. 已知直线，圆，则直线与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】计算圆心到直线的距离，与圆的半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系.  【详解】由圆的标准方程，可得圆心坐标为，半径. 圆心到直线的距离为. 因为，即，因此直线与圆相离. 故选：C. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 直线过点，，则有（ ） A. 直线的斜率等于4 B. 直线的方程为 C. 直线的方程为 D. 直线在轴上的截距为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先通过两点坐标计算斜率，再推导直线方程，最后求纵截距逐一判断选项即可. 【详解】选项A：过两点和，可得斜率，故A正确； 选项BC：已知点，斜率，可得， 整理得，不是，故B错误，C正确。； 选项D：将代入，解得，即纵截距为，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 两条平行直线确定一个平面 B. 一点和一条直线确定一个平面 C. 两条相交直线确定一个平面 D. 过不在同一直线的三个点，有且只有一个平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平面的公理与相关推论，逐一判断选项正误. 【详解】选项A：根据平面公理的推论，两条平行直线确定一个平面，该说法正确； 选项B：只有当点在直线外时，一点和一条直线才能确定一个平面； 若点在直线上，可作出无数个平面同时经过该点和直线，该说法错误； 选项C：根据平面公理的推论，两条相交直线确定一个平面，该说法正确； 选项D：根据平面的公理，不共线三点确定唯一平面，即过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面，该说法正确. 故选：ACD. 11. 若点到直线的距离为1，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】点到直线的距离为1， 则有，即， 可得，可得， 故得或， 解得或. 故选：AD. 12. 已知椭圆：，则下列结论正确的是（ ） A. 长轴长1 B. 离心率 C. 焦点坐标为 D. 焦距为 【答案】ABCD 【解析】 【分析】先将椭圆的一般方程化为标准方程，确定焦点所在坐标轴，再计算参数的值，逐一验证各选项对应的几何量是否正确. 【详解】将椭圆方程化为标准形式：， 由于，可知椭圆焦点在轴上， 其中，得；，得； 由，得， 选项A：长轴长为，结论正确； 选项B：离心率，结论正确； 选项C：焦点在轴上，坐标为，即，结论正确； 选项D：焦距为，结论正确. 故选：ABCD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知向量，若，则______________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】因为向量，， 所以，解得：. 故答案为：. 14. 椭圆的焦点在轴上，长轴长为8，离心率为，则椭圆的标准方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的性质和已知条件求出椭圆标准方程中的参数和即可. 【详解】已知椭圆焦点在轴上，设其标准方程为（），半焦距为， 由长轴长为，可得，解得， 已知离心率，则，解得， 则， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 15. 内角，，的对边分别为，，，若，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】使用正弦定理求解即可. 【详解】已知，，， 根据正弦定理，可得， 即，解得. 故答案为：. 16. 圆心在轴上，半径为1且过点的圆的方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆心在y轴的特征设圆心坐标为，结合圆过点且半径为1的条件，利用两点间距离公式求出的值，即可得到圆的标准方程. 【详解】因为圆心在轴上，故设圆心坐标为，其中， 已知圆的半径，且点在圆上， 所以，即，解得， 所以圆心坐标为，半径为1， 所以圆的标准方程为. 故答案为： . 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 求过两条直线：与：的交点，且与直线垂直的直线的方程. 【答案】 【解析】 【分析】先联立直线与的方程求解交点坐标，再根据两直线垂直的斜率关系计算所求直线的斜率，最后由点斜式写出直线方程并整理为一般式.  【详解】两条直线：与：， 联立方程组，将两式相加得，解得， 将代入，得，解得， 因此与的交点坐标为. 直线的斜率为， 由于所求直线与该直线垂直，根据两直线垂直的斜率关系， 可得所求直线的斜率. 根据点斜式方程，代入交点和斜率，得， 整理为一般式得. 18. 已知一条直线经过点且被圆所截得的弦长为8，求这条直线的方程. 【答案】 或. 【解析】 【分析】先确定圆的圆心与半径，由垂径定理求出圆心到直线的距离，再分直线斜率存在与不存在两种情况，结合点到直线距离公式求解直线方程.  【详解】圆的圆心为，半径. 已知直线被圆截得的弦长为， 根据垂径定理，圆心到直线的距离为. ①当直线斜率不存在时，直线过点，故直线方程为， 此时圆心到直线的距离为，满足条件，符合题意； ②当直线斜率存在时，设直线方程为， 整理为一般式得. 由点到直线的距离公式可得，两边平方得， 展开得， 化简得，解得. 将代入所设方程，整理得. 综上所述，所求直线的方程为或. 19. 如图，设是圆上的动点，点是在轴上的投影，为上一点，且，当在圆上运动时，求点的轨迹的方程. 【答案】 【解析】 【分析】设出动点与已知动点的坐标，利用几何条件建立坐标关系并代入已知曲线方程求解. 【详解】设点的坐标为，点的坐标为. 因为点是点在轴上的投影， 所以点的坐标为. 因为点在上，所以. 又因为，即， 且由图可知点在线段上，与同号，所以. 因为点在圆上， 所以. 将，代入上式，得， 整理得. 故点的轨迹的方程为. 20. 如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且． （1）证明：平面平面 （2）若，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据线面垂直的判定定理得出平面，再由面面垂直的判定定理即可得证. （2）设，得出，由相似比求出的值，再由棱锥的体积公式求值即可. 【小问1详解】 因为平面，平面， 所以，又因为， ， 平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面． 【小问2详解】 在矩形中，设， 则，． 由（1）知，平面，平面， 则，所以， 则，又，所以 且，所以， 所以，， 所以， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $