专题03 数与运算的再认识（单元培优讲义）-2026-2027学年六年级数学上册（苏教版）

单元培优讲义 专题03 数与运算的再认识（单元培优讲义） 考点一：数的意义的一致 【知识要点】 1. 整数、小数、分数都可以看成"若干个计数单位累加"的结果，这是它们意义的一致性。 2. 不管整数、小数还是分数，本质都是"有几个这样的计数单位"。 3. 整数、小数相邻计数单位间进率是 10；分数以"几分之一"为计数单位。 4. 计数单位是理解数的意义的核心：数的大小由计数单位的个数和单位的大小共同决定。 【典型例题】 分别说出 456、0.37 和 各由几个什么计数单位组成。 解：456 = 4 个百 + 5 个十 + 6 个一；0.37 = 3 个 0.1 + 7 个 0.01（即 37 个 0.01）； 表示 5 个 。 【易错提醒】 1. 计数单位判断错误，如误认为 0.37 的计数单位是 0.1。 2. 把整数、小数、分数割裂开，看不到它们都是"计数单位的累加"。 3. 相邻计数单位的进率记错（应都是 10）。 考点二：加减法算理的一致 【知识要点】 1. 加减法的算理：只有相同计数单位的数才能直接相加减。 2. 整数加减：相同数位对齐（即相同计数单位对齐）。 3. 小数加减：小数点对齐（即相同计数单位对齐）。 4. 分数加减：先通分使分母相同（化成相同计数单位），再分子相加减。 5. 三者本质一致：都是"相同计数单位的个数相加减"。 【典型例题】 计算 和 ，并说明算理。 解：（计数单位都是 ，直接加个数）；，所以 。 【易错提醒】 1. 分数加减不通分，直接分子分母分别相加减。 2. 小数的加减法小数点不对齐。 3. 不理解为什么要通分（本质是化成相同计数单位）。 考点三：乘除法算理的一致 【知识要点】 1. 乘法表示"几个相同计数单位相加"（求几个几、一个数的几倍）。 2. 除法是乘法的逆运算：已知总数和份数求每份，或求一个数是另一个数的几倍。 3. 整数、小数、分数乘除法的算理一致，都可用"计数单位 × 单位的个数"来理解。 4. 小数乘法：先按整数乘法算，再看因数中一共有几位小数，从积的右边起数出几位点上小数点。 【典型例题】 计算 0.4 × 3，并说明算理。 解：0.4 是 4 个 0.1，4 个 0.1 × 3 = 12 个 0.1 = 1.2。 【易错提醒】 1. 小数乘法积的小数点位置点错。 2. 分数乘法分子乘分子、分母乘分母时，不及时约分导致计算复杂。 3. 混淆乘除法中计数单位的变化。 考点四：除法转化为乘法 【知识要点】 1. 除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数。 2. 倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数。 3. 转化后按分数乘法计算，能约分的先约分。 4. 这一转化把"除法"统一到"乘法"，体现运算的一致性。 【典型例题】 计算 。 解：。 【易错提醒】 1. 只把被除数取倒数，或忘记把除数变成倒数。 2. 求倒数记错，如 的倒数是 ，0 没有倒数。 3. 转化后约分错误或忘记约分。 考点五：运算一致性在混合运算中的应用（本单元综合） 【知识要点】 1. 四则混合运算顺序：先乘除后加减，有括号先算括号里面的。 2. 运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）在整数、小数、分数中同样适用，体现运算的一致性。 3. 利用"除法转化为乘法"和运算律，可以把复杂算式转化为简便运算。 4. 注意分数、小数、百分数混合运算时，先统一成同一种数再计算更简便。 【典型例题】 简便计算： 解：把除法转化为乘法并逆用分配律：。 【易错提醒】 1. 除法转化为乘法后忘记括号，导致运算顺序出错。 2. 简便计算时分配律使用错误，只乘一部分。 3. 混合运算中数的形式不统一，导致计算繁琐易错。 一、填空题 1．330.03里面有3个( )、3个( )和3个( )。 2．的积的计数单位是( )，计数单位的个数是( )。 3．在括号里填合适的计数单位。 30.45＝( )( )( )。 ( )( )( )。 4．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.28( )4.56   45000( )4.5万   28.5×0.5( )28.5÷2 3.4＋1.5( )2.6＋4.8   ( )   6.4×1.8( )6.4＋6.4×0.8 5．两个分数相加的和是，这两个分数可能是( )和( )，如果两个数相减的差是，这两个分数可能是( )和( )。 6．每组中的两个数分别可以看作哪两个整数比较大小？先在横线上写一写，再在括号里填“＞”或“＜”。 0.56( )0.65     1.2( )0.12     ( )     ( ) _____和_____     ____和_____     _____和_____     _____和_____ 7．＝40×( )＝( )    ＝14×( )＝( ) ＝( )×( )＝( )    ＝( )×( )＝( ) 8．填一填，观察下面各题中积的计数单位和计数单位的个数。 A： B： C： D： (1)观察上面的算式，积的计数单位的个数都是( )×( )的积。 (2)A和B的积的计数单位都和第一个乘数的计数单位( )。（填“相同”或“不同”） (3)C和D的积的计数单位是( )的乘积。 9．应用运算律填写下面的计算过程。 40×200 ＝（____×____）×（____×____） ＝（____×____）×（____×____） ＝____×____ 0.56×2.1 ＝（____×56）×（____×21） ＝（____×____）×（56×21） ＝____×____ 10．某市美术馆举办“建馆30周年系列展览”，星期六上午去参观的游客有392人，下午去参观的游客有585人。星期六去参观的游客一共有多少人？这个题的数量关系是( )＝( )＋( )。星期六去参观的游客一共有( )人。 11．冬春交替时节气温忽冷忽热，很容易引发感冒咳嗽。妈妈和朵朵都不小心患上了咳嗽，医生开了袋装止咳糖浆，用法用量标注为：成人一次袋，儿童一次袋，一日3次，她们一天一共要吃( )袋药。 12．乐学小组在整理复习时发现了整数、小数、分数乘法计算的算理和方法之间的联系，如下所示。请你根据他们的思路把分数乘法补充完整并填一填。 20×300＝6000    0.2×0.03＝0.006              我发现：整数、小数、分数乘法的算理相同，都可以看成若干个（    ）相乘得到新的计数单位，若干个（    ）相乘得到新的计数单位的个数。 二、选择题 13．下列各数中的“8”，不是表示8个计数（分数）单位的是（    ）。 A．807 B．0.78 C． D． 14．下面算式中的图形□表示被遮住的一个数字，计算结果比1小的是（    ）。 A．0.47＋0.6□ B．11.1－9.□9 C．5.89－4.9□ D．12.2□－10.2 15．人工智能语音助手播报了一个小数0.254，关于这个数，下面表述不正确的是（    ）。 A．由254个0.001组成 B．由2个0.1，5个0.01和4个0.001组成 C．是把整数“1”平均分成100份，表示这样的254份 D．将0.254精确到十分位是0.3 16．下面说法正确的有（    ）句。 ①红花的朵数比黄花多；则黄花的朵数比红花少。 ②在0.3的末尾添上“0”，小数的大小不变，但计数单位扩大到原来的10倍。 ③挖一条长千米的水渠，已经挖了全长的，还剩千米。 ④循环小数一定是无限小数，但无限小数不一定是循环小数。 A．1 B．2 C．3 D．4 17．三位同学自主学习，各自写出了自己的思路和方法（如下），合理的是（    ）。 小琪：观察下边竖式，圈起来的“20”表示20个十分之一。 小乐：因为 所以 小雅：怎么算？可以这样想： ① ② ③ A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 18．在探索时，用商不变的规律进行思考的是（    ）。 A．把6个平均分成两份，每份就是3个，也就是。 B．把平均分成两份，每份就是的，也就是。 C．。 D．。 三、计算题 19．根据每组中第一题的得数，直接写出其余各题的得数。 28＋54＝82 280＋540＝ 2800＋5400＝ 0.28＋0.54＝ 95－76＝19 9500－7600＝ 9.5－7.6＝ 0.095－0.076＝ 14×23＝322 140×23＝ 1.4×230＝ 0.14×2.3＝ 20．用你喜欢的方法计算。                  21．奇奇在整理乘法计算时发现：整数小数分数乘法的计算道理和方法是相通的。请你根据示例补充完整分数乘法的思考过程，并写出结果。 奇奇： 四、解答题 22．琳琳一家在逛商场时，看到一套厨具，其中有汤锅、奶锅和炒锅，爸爸让琳琳比较一下它们的价格。汤锅比奶锅贵多少元？汤锅比炒锅便宜多少元？ 23．在数学学习中，我们发现：整数、小数和分数的加减法，虽然形式不同，但背后藏着相通的数学道理。让我们一起探究吧！ (1)我的梳理。 (2)我的发现：整数、小数、分数加减法运算的相同点是__________________________________________。 (3)我的辨析。下面算式中“4”和“9”不能直接相加减的是（    ）。 A．467＋923 B．6.98－5.4 C． D． 24．小智用下面的方法计算了整数乘法。 40×30                            0.4×0.2                             ＝（4×10）×（3×10）            ＝（4×0.1）×（2×0.1）            ＝（4×_____）×（2×_____） ＝（4×3）×（10×10）            ＝（___×___）×（___×___）    ＝（___×___）×（___×___） ＝12×100                        ＝______×______                ＝______×______ ＝1200                            ＝______                        ＝______ (1)请你仿照小智的方法，计算小数、分数乘法。 (2)小智认为：整数、小数、分数在计算方法上是有联系的。你同意他的说法吗？请说明理由。 25． (1)在图中表示出的计算过程和结果。 (2)研究乘法计算时，可以从计数单位的角度思考，例如： 50×30 ＝（5×10）×（3×10） ＝（5×3）×（10×10） ＝15×100 ＝1500 0.5×0.3 ＝（5×0.1）×（3×0.1） ＝（5×3）×（0.1×0.1） ＝15×0.01 ＝0.15 同样，在分数乘法中，我们也可以从计数单位的角度来思考。请照样子写出和（）的计算过程。 ＝（____×____）×（____×____） ＝（____×____）×（____×____） ＝____×____ ＝____ ＝（____×____）×（____×____） ＝（____×____）×（____×____） ＝____×____ ＝____ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $单元培优讲义 专题03 数与运算的再认识（单元培优讲义） 考点一：数的意义的一致 【知识要点】 1. 整数、小数、分数都可以看成"若干个计数单位累加"的结果，这是它们意义的一致性。 2. 不管整数、小数还是分数，本质都是"有几个这样的计数单位"。 3. 整数、小数相邻计数单位间进率是 10；分数以"几分之一"为计数单位。 4. 计数单位是理解数的意义的核心：数的大小由计数单位的个数和单位的大小共同决定。 【典型例题】 分别说出 456、0.37 和 各由几个什么计数单位组成。 解：456 = 4 个百 + 5 个十 + 6 个一；0.37 = 3 个 0.1 + 7 个 0.01（即 37 个 0.01）； 表示 5 个 。 【易错提醒】 1. 计数单位判断错误，如误认为 0.37 的计数单位是 0.1。 2. 把整数、小数、分数割裂开，看不到它们都是"计数单位的累加"。 3. 相邻计数单位的进率记错（应都是 10）。 考点二：加减法算理的一致 【知识要点】 1. 加减法的算理：只有相同计数单位的数才能直接相加减。 2. 整数加减：相同数位对齐（即相同计数单位对齐）。 3. 小数加减：小数点对齐（即相同计数单位对齐）。 4. 分数加减：先通分使分母相同（化成相同计数单位），再分子相加减。 5. 三者本质一致：都是"相同计数单位的个数相加减"。 【典型例题】 计算 和 ，并说明算理。 解：（计数单位都是 ，直接加个数）；，所以 。 【易错提醒】 1. 分数加减不通分，直接分子分母分别相加减。 2. 小数的加减法小数点不对齐。 3. 不理解为什么要通分（本质是化成相同计数单位）。 考点三：乘除法算理的一致 【知识要点】 1. 乘法表示"几个相同计数单位相加"（求几个几、一个数的几倍）。 2. 除法是乘法的逆运算：已知总数和份数求每份，或求一个数是另一个数的几倍。 3. 整数、小数、分数乘除法的算理一致，都可用"计数单位 × 单位的个数"来理解。 4. 小数乘法：先按整数乘法算，再看因数中一共有几位小数，从积的右边起数出几位点上小数点。 【典型例题】 计算 0.4 × 3，并说明算理。 解：0.4 是 4 个 0.1，4 个 0.1 × 3 = 12 个 0.1 = 1.2。 【易错提醒】 1. 小数乘法积的小数点位置点错。 2. 分数乘法分子乘分子、分母乘分母时，不及时约分导致计算复杂。 3. 混淆乘除法中计数单位的变化。 考点四：除法转化为乘法 【知识要点】 1. 除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数。 2. 倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数。 3. 转化后按分数乘法计算，能约分的先约分。 4. 这一转化把"除法"统一到"乘法"，体现运算的一致性。 【典型例题】 计算 。 解：。 【易错提醒】 1. 只把被除数取倒数，或忘记把除数变成倒数。 2. 求倒数记错，如 的倒数是 ，0 没有倒数。 3. 转化后约分错误或忘记约分。 考点五：运算一致性在混合运算中的应用（本单元综合） 【知识要点】 1. 四则混合运算顺序：先乘除后加减，有括号先算括号里面的。 2. 运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）在整数、小数、分数中同样适用，体现运算的一致性。 3. 利用"除法转化为乘法"和运算律，可以把复杂算式转化为简便运算。 4. 注意分数、小数、百分数混合运算时，先统一成同一种数再计算更简便。 【典型例题】 简便计算： 解：把除法转化为乘法并逆用分配律：。 【易错提醒】 1. 除法转化为乘法后忘记括号，导致运算顺序出错。 2. 简便计算时分配律使用错误，只乘一部分。 3. 混合运算中数的形式不统一，导致计算繁琐易错。 一、填空题 1．330.03里面有3个( )、3个( )和3个( )。 【答案】 百 十 0.01 【分析】330.03，百位上的3表示3个百；十位上的3表示3个十；百分位上的3表示3个0.01。 【详解】330.03里面有3个（百）、3个（十）和3个（0.01）。 2．的积的计数单位是( )，计数单位的个数是( )。 【答案】 1 【分析】分数的计数单位由分母决定，分母是几，分数单位就是几分之一。先计算分数乘法的积，再观察积的分母确定计数单位，分子就是计数单位的个数。 【详解】 积是，分母是6，所以计数单位是；分子是1，说明计数单位的个数是1。 3．在括号里填合适的计数单位。 30.45＝( )( )( )。 ( )( )( )。 【答案】 10 0.1/ 0.01/ 【分析】30.45十位数字是3，表示3个十，也就是10×3，十分位数字是4，表示4个十分之一，也就是0.1×4，百分位上的数字是5，表示5个百分之一，也就是0.01×5； 将转换成，然后再利用积÷因数＝另一个因数解题。分数的计数单位是几分之一。 【详解】30.45＝100.10.01。 ＝， 所以 4．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.28( )4.56   45000( )4.5万   28.5×0.5( )28.5÷2 3.4＋1.5( )2.6＋4.8   ( )   6.4×1.8( )6.4＋6.4×0.8 【答案】 ＜ ＝ ＝ ＜ ＞ ＝ 【分析】（1）小数比较大小，先看整数部分，整数部分大的小数就大。 （2）先统一计数单位，把45000改写成用“万”作单位，再比较。 （3）乘0.5的含义就是求原数的一半，除以2也是求原数的一半，计算出两边结果对比。 （4）分别计算左右两边小数加法算式的得数，再比较得数大小。 （5）一个不为0的数除以它本身结果等于1，再比较1和分数的大小。 （6）右边利用乘法分配律变形，6.4可以写成6.4×1，提取相同因数6.4，再对比两边。 【详解】（1）左边整数部分是3，右边整数部分是4，3＜4，所以3.28＜4.56。 （2）45000＝4.5万，左右两边相等，所以45000＝4.5万。 （3）左边：28.5×0.5＝14.25；右边：28.5÷2＝14.25，两边相等，所以28.5×0.5＝28.5÷2。 （4）左边：3.4＋1.5＝4.9；右边：2.6＋4.8＝7.4，4.9＜7.4，所以3.4＋1.5＜2.6＋4.8。 （5）左边：÷＝1；1＞，所以÷＞。 （6）右边：6.4＋6.4×0.8 ＝6.4×1＋6.4×0.8 ＝6.4×（1＋0.8） ＝6.4×1.8 左右两边算式完全一样，所以6.4×1.8＝6.4＋6.4×0.8。 5．两个分数相加的和是，这两个分数可能是( )和( )，如果两个数相减的差是，这两个分数可能是( )和( )。 【答案】 【分析】和为，可将拆分为两个分数之和，如：，将其中能约分的加数约分，写成最简分数即可； 差为，可构造两个分数相减得到，如…，将其中能约分的分数约分，写成最简分数即可，本题答案不唯一。 【详解】，其中，所以； ，其中，所以； 两个分数相加的和是，这两个分数可能是和，如果两个数相减的差是，这两个分数可能是和。（答案不唯一） 6．每组中的两个数分别可以看作哪两个整数比较大小？先在横线上写一写，再在括号里填“＞”或“＜”。 0.56( )0.65    1.2( )0.12    ( )    ( ) _____和_____    ____和_____    _____和_____    _____和_____ 【答案】 ＜ ＞ ＜ ＜ 56 65 120 12 5 7 7 10 【分析】小数比较大小可先统一计数单位转化为整数比较；分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。据此将分数先通分统一分母转化为同分母分数后比较分子（整数）大小。 【详解】0.56＝56×0.01，0.65＝65×0.01，56＜65，所以0.56＜0.65； 1.2＝120×0. 01，0.12＝12×0. 01，120＞12，所以1.2＞0.12； 5＜7，所以＜； ＝＝，7＜10，所以＜。 7．＝40×( )＝( )    ＝14×( )＝( ) ＝( )×( )＝( )    ＝( )×( )＝( ) 【答案】 24 2 28 2 【分析】根据分数除法的计算法则，除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。先把除法转化成乘法，再约分相乘。 【详解】＝40×＝24 ＝14×2＝28 ＝×＝ ＝×2＝ 8．填一填，观察下面各题中积的计数单位和计数单位的个数。 A： B： C： D： (1)观察上面的算式，积的计数单位的个数都是( )×( )的积。 (2)A和B的积的计数单位都和第一个乘数的计数单位( )。（填“相同”或“不同”） (3)C和D的积的计数单位是( )的乘积。 【答案】(1) 2 3 (2)相同 (3)两个乘数各自的计数单位 【分析】（1）观察4道算式的最后一步，都是用一个计数单位去乘6，而6刚好是原来两个乘数里包含的计数单位个数2和3相乘得到的，所以积的计数单位的个数都是2×3的积。 （2）A里第一个乘数20的计数单位是10，最后积的计数单位也是10；B里第一个乘数的计数单位是，最后积的计数单位也是，所以它们积的计数单位都和第一个乘数的计数单位相同。 （3）C里两个乘数的计数单位分别是100和10，积的计数单位1000刚好是100×10的结果；D里两个乘数的计数单位分别是和，积的计数单位刚好是的结果，所以C和D积的计数单位是两个乘数各自的计数单位的乘积。 【详解】（1）观察上面的算式，积的计数单位的个数都是2×3的积。 （2）A和B的积的计数单位都和第一个乘数的计数单位相同。 （3）C和D的积的计数单位是两个乘数各自的计数单位的乘积。 9．应用运算律填写下面的计算过程。 40×200 ＝（____×____）×（____×____） ＝（____×____）×（____×____） ＝____×____ 0.56×2.1 ＝（____×56）×（____×21） ＝（____×____）×（56×21） ＝____×____ 【答案】 4 10 2 100 4 2 10 100 8 1000 0.01 0.1 0.01 0.1 0.001 1176 【分析】计算40×200时，先把40拆成4×10，200拆成2×100，利用乘法交换律和结合律，先算非零的4×2，再算计数单位10×100，最后把两个结果相乘就能快速得到最终积。 计算0.56×2.1时，先把0.56拆成0.01×56，2.1拆成0.1×21，同样用乘法交换律和结合律，先算小数计数单位0.01×0.1，再算整数56×21的积，最后把两部分结果相乘就可以得到最终结果。 【详解】40×200 ＝（4×10）×（2×100） ＝（4×2）×（10×100） ＝8×1000 0.56×2.1 ＝（0.01×56）×（0.1×21） ＝（0.01×0.1）×（56×21） ＝0.001×1176 10．某市美术馆举办“建馆30周年系列展览”，星期六上午去参观的游客有392人，下午去参观的游客有585人。星期六去参观的游客一共有多少人？这个题的数量关系是( )＝( )＋( )。星期六去参观的游客一共有( )人。 【答案】 星期六去参观的游客人数 星期六上午去参观的游客人数 星期六下午去参观的游客人数 977 【分析】星期六去参观的游客总人数＝星期六上午去参观的游客人数＋星期六下午去参观的游客人数，据此列式计算即可。 【详解】392＋585＝977（人） 这个题的数量关系是星期六去参观的游客人数＝星期六上午去参观的游客人数＋星期六下午去参观的游客人数。星期六去参观的游客一共有977人。 11．冬春交替时节气温忽冷忽热，很容易引发感冒咳嗽。妈妈和朵朵都不小心患上了咳嗽，医生开了袋装止咳糖浆，用法用量标注为：成人一次袋，儿童一次袋，一日3次，她们一天一共要吃( )袋药。 【答案】 【分析】把成人一次吃的袋数与小孩一次吃的袋数相加，再乘3求得她们一天一共吃的袋数。 【详解】 （袋） 12．乐学小组在整理复习时发现了整数、小数、分数乘法计算的算理和方法之间的联系，如下所示。请你根据他们的思路把分数乘法补充完整并填一填。 20×300＝6000    0.2×0.03＝0.006              我发现：整数、小数、分数乘法的算理相同，都可以看成若干个（    ）相乘得到新的计数单位，若干个（    ）相乘得到新的计数单位的个数。 【答案】；计数单位；计数单位的个数 【分析】对于，也就是2个10乘3个100，得到6个1000，就是6000； 对于，也就是2个0.1乘3个0.01，得到6个0.001，就是0.006； 类比可推出：，也就是2个乘3个，得到6个，就是。 无论是整数乘法还是小数乘法或者分数乘法，都可以看成若干个计数单位相乘得到新的计数单位，若干个计数单位的个数相乘得到新的计数单位的个数。 【详解】根据分析可知： 整数、小数、分数乘法的算理相同，都可以看成若干个计数单位相乘得到新的计数单位，若干个计数单位的个数相乘得到新的计数单位的个数。 二、选择题 13．下列各数中的“8”，不是表示8个计数（分数）单位的是（    ）。 A．807 B．0.78 C． D． 【答案】D 【分析】小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一…，分别写作0.1、0.01、0.001…；分数的计数单位是分母分之一，真分数中分子是几就有几个这样的分数单位；整数的计数单位有个、十、百、千…；据此逐项分析。 【详解】A．807的8在百位上，表示8个100，该选项不符合题意； B．0.78的8在百分位上，表示8个0.01，该选项不符合题意； C．的分数单位是，其中8在分子的位置，表示8个，该选项不符合题意； D．的分数单位是，其中8在分母的位置，表示7个，因此中的8不是表示8个分数单位，该选项符合题意。 故答案为：D 14．下面算式中的图形□表示被遮住的一个数字，计算结果比1小的是（    ）。 A．0.47＋0.6□ B．11.1－9.□9 C．5.89－4.9□ D．12.2□－10.2 【答案】C 【分析】分别计算各选项的极端情况的结果，判断是否一定小于1即可。加法找最小的和，减法找最小的差，若最小的结果都大于1则不符合要求，若最大的结果都小于1则符合要求。 【详解】A．0.6□最小是0.60，和为，，不符合题意。 B．9.□9最大是9.99，差为，，不符合题意。 C．4.9□最大是4.99，差为；4.9□最小是4.90，差为，两个结果均小于1，符合题意。 D．12.2□最小是12.20，差为，，不符合题意。 15．人工智能语音助手播报了一个小数0.254，关于这个数，下面表述不正确的是（    ）。 A．由254个0.001组成 B．由2个0.1，5个0.01和4个0.001组成 C．是把整数“1”平均分成100份，表示这样的254份 D．将0.254精确到十分位是0.3 【答案】C 【分析】根据数位顺序表可知，小数点的左边是整数位，小数整数部分的数位与整数的数位相同，依次是个位、十位、百位、千位……，对应的计数单位分别是一、十、百、千……；小数点的右边是小数位，依次是十分位、百分位、千分位……，对应的计数单位分别是十分之一或0.1、百分之一或0.01、千分之一或0.001……；数位上是几，就表示有几个这样的计数单位。 小数的近似数：根据“四舍五入”求近似数的方法，找到要求保留的数位，看下一位；如果下一位的数字大于或等于5，要往前进一；如果下一位的数字小于5，要舍去。 【详解】A．由254个0.001组成的小数是0.254，表述正确。 B．由2个0.1，5个0.01和4个0.001组成的小数是0.254，表述正确。 C．把整数“1”平均分成100份，每份是0.01，254份对应的数为2.54，而非0.254，表述错误。 D．0.254精确到十分位，观察百分位是5，向十分位进1，结果为0.3，表述正确。 16．下面说法正确的有（    ）句。 ①红花的朵数比黄花多；则黄花的朵数比红花少。 ②在0.3的末尾添上“0”，小数的大小不变，但计数单位扩大到原来的10倍。 ③挖一条长千米的水渠，已经挖了全长的，还剩千米。 ④循环小数一定是无限小数，但无限小数不一定是循环小数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】①求一个数比另一个数多或少几分之几，用它们的差量除以单位“1”的量； ②小数末尾添0，小数大小不变，计数单位变化； ③总长×（1－已经挖的占比）＝还剩下的长度； ④小数部分从某一位起一个或几个数字依次重复出现的无限小数是循环小数。 【详解】①红花比黄花多，是把黄花数量看作单位“1”，假设黄花4份，红花就是5份；黄花比红花少的部分是，不是，原说法错误； ②0.3末尾添上“0”得0.30，大小不变，原计数单位是0.1，现在计数单位是0.01，缩小为原来的，原说法错误； ③剩下的长度：（千米），不是千米，原说法错误； ④循环小数都是无限小数，无限小数包括循环小数和无限不循环小数，原说法正确。 综上，正确的只有1句。 17．三位同学自主学习，各自写出了自己的思路和方法（如下），合理的是（    ）。 小琪：观察下边竖式，圈起来的“20”表示20个十分之一。 小乐：因为 所以 小雅：怎么算？可以这样想： ① ② ③ A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】D 【分析】小琪：除数是整数的小数除法竖式计算，余数补0后，对应十分位，计数单位为十分之一。 小乐：分数与除法的关系是分子÷分母，所以，再根据除法的性质去括号分析； 小雅：根据分数单位的含义，有1个，有2个，再根据乘法的交换律和结合律，对算式进行变形。 【详解】小琪：12÷5，整数部分余下2，补0之后数字变为20，这个20代表20个十分之一，说法正确。 小乐：，小乐的理解出现错误，思路不合理。 小雅：有1个，有2个，则，说法正确。 所以合理的是①③。 18．在探索时，用商不变的规律进行思考的是（    ）。 A．把6个平均分成两份，每份就是3个，也就是。 B．把平均分成两份，每份就是的，也就是。 C．。 D．。 【答案】C 【分析】商不变规律：被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变。据此判断。 【详解】A．以为分数单位，将理解为6个，即；平均分成两份，6÷2＝3，每份就是3个，即，是乘法的意义，不是商不变规律。 B． 根据“除以一个不为0的数等于乘它的倒数”，将分数除法转化为分数乘法进行计算，不是商不变规律。 C． 被除数和除数2同时乘，符合商不变规律。 D． 根据分数除以整数的计算方法，分母不变，分子除以整数，不是商不变规律。 三、计算题 19．根据每组中第一题的得数，直接写出其余各题的得数。 28＋54＝82 280＋540＝ 2800＋5400＝ 0.28＋0.54＝ 95－76＝19 9500－7600＝ 9.5－7.6＝ 0.095－0.076＝ 14×23＝322 140×23＝ 1.4×230＝ 0.14×2.3＝ 【答案】820；8200；0.82   1900；1.9；0.019 3220；322；0.322 【分析】加法中，两个加数同时扩大或缩小相同的倍数，和也跟着扩大或缩小相同倍数。减法中，被减数和减数同时扩大或缩小相同的倍数，差也跟着扩大或缩小相同倍数。 积的变化规律：（1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么积也扩大（或缩小）相同倍数。（2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同倍数，那么积不变。据此解答即可。 【详解】第一组：28＋54＝82 28×10＝280，54×10＝540，所以280＋540＝820； 28×100＝2800，54×100＝5400，所以2800＋5400＝8200； 28÷100＝0.28，54÷100＝0.54，所以0.28＋0.54＝0.82 第二组：95－76＝19 95×100＝9500，76×100＝7600，所以9500－7600＝1900； 95÷10＝9.5，76÷10＝7.6，所以9.5－7.6＝1.9； 95÷1000＝0.095，76÷1000＝0.076，所以0.095－0.076＝0.019； 第三组：14×23＝322 14×10＝140，23不变，所以140×23＝3220； 14÷10＝1.4，23×10＝230，所以1.4×230＝322； 14÷100＝0.14，23÷10＝2.3，所以0.14×2.3＝0.322 20．用你喜欢的方法计算。                  【答案】；；2.44 【分析】先通分，再算括号里的减法，最后算括号外的除法； 把除法转化为乘法，原式化为，再运用乘法分配律进行简便计算； 先算除法，再算减法。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1× ＝ ＝ ＝ 21．奇奇在整理乘法计算时发现：整数小数分数乘法的计算道理和方法是相通的。请你根据示例补充完整分数乘法的思考过程，并写出结果。 奇奇： 【答案】奇奇： 【分析】两组算式是把因数拆成“整数部分×计数单位”，再用乘法交换律和结合律，把计数单位和数字分别相乘，最后再把结果相乘。分数也可以看成“整数部分×计数单位”，再按照上述规律计算即可。 【详解】是4个，是6个， 所以，。 四、解答题 22．琳琳一家在逛商场时，看到一套厨具，其中有汤锅、奶锅和炒锅，爸爸让琳琳比较一下它们的价格。汤锅比奶锅贵多少元？汤锅比炒锅便宜多少元？ 【答案】贵42.2元；便宜106.65元 【分析】求汤锅比奶锅贵多少，用汤锅价格减去奶锅价格；求汤锅比炒锅便宜多少，用炒锅价格减去汤锅价格。 【详解】129.8－87.6＝42.2（元） 236.45－129.8＝106.65（元） 答：汤锅比奶锅贵42.2元，汤锅比炒锅便宜106.65元。 23．在数学学习中，我们发现：整数、小数和分数的加减法，虽然形式不同，但背后藏着相通的数学道理。让我们一起探究吧！ (1)我的梳理。 (2)我的发现：整数、小数、分数加减法运算的相同点是__________________________________________。 (3)我的辨析。下面算式中“4”和“9”不能直接相加减的是（    ）。 A．467＋923 B．6.98－5.4 C． D． 【答案】(1) (2)只有计数单位相同的数才能直接相加减 (3)D 【分析】（1）整数加减法竖式计算要求相同数位对齐，即计数单位相同的数对齐；小数加减法竖式计算要求小数点对齐，本质也是相同数位对齐；分数加减法，分母不同即分数单位不同，不能直接相加减，需要先通分，统一分数单位后再计算。 （2）通过对比发现，三者运算的本质都是计数单位相同的数才能直接相加减。 （3）分析各选项中数字“4”和“9”所在的数位或代表的意义，判断其计数单位是否相同。 【详解】（1）整数加减法：竖式计算时，相同数位要对齐。图中453＋21，箭头指向的5在十位上，表示5个十；2在十位上，表示2个十。小数加减法：竖式计算时，小数点要对齐。图中3.53＋2.1，箭头指向的5在十分位上，表示5个0.1；1在十分位上，表示1个0.1。分数加减法：计算＋时，分母不同，分数单位不同，不能直接相加。先通分，把化成，再计算。目的：统一分数单位（或使分数单位相同）。 图略 （2）我的发现：整数、小数、分数加减法运算的相同点是：只有计数单位相同的数才能直接相加减。 （3）A．467＋923，4在百位9在百位，计数单位都是“百”，可以直接相加。 B．6.98−5.4，9在十分位，4在十分位，计数单位都是“0.1”，可以直接相减。 C．分母相同，分数单位都是，分子4和9，表示4个和9个，可以直接相加。 D．，4和9是分母，分母不同，分数单位不同（分别是和），不能直接相减，需要先通分。 所以不能直接相加减的是D选项。 24．小智用下面的方法计算了整数乘法。 40×30                            0.4×0.2                             ＝（4×10）×（3×10）            ＝（4×0.1）×（2×0.1）            ＝（4×_____）×（2×_____） ＝（4×3）×（10×10）            ＝（___×___）×（___×___）    ＝（___×___）×（___×___） ＝12×100                        ＝______×______                ＝______×______ ＝1200                            ＝______                        ＝______ (1)请你仿照小智的方法，计算小数、分数乘法。 (2)小智认为：整数、小数、分数在计算方法上是有联系的。你同意他的说法吗？请说明理由。 【答案】(1)4；2；0.1；0.1；8；0.01；0.08 ；；4；2；；；8；； (2)同意；整数乘法是将因数拆分为整十、整百等数与一位数的乘积形式，再利用乘法交换律和结合律进行计算；小数乘法是将小数拆分为整数与小数的乘积形式，同样利用乘法交换律和结合律计算；分数乘法是将分数拆分为整数与分数的乘积形式，还是利用乘法交换律和结合律计算。（理由不唯一） 【分析】（1）先参照小智计算整数乘法的拆分思路，把小数和分数分别拆成“数字×计数单位”或“数字×分数单位”的形式，再运用乘法交换律与结合律，分别计算数字部分的乘积和计数单位（或分数单位）部分的乘积，最后将两个结果相乘得到答案。 （2）先回顾整数、小数、分数乘法的计算过程，发现三者都遵循“拆分数字与计数/分数单位，分别计算两部分乘积，合并结果”的逻辑，且都运用了乘法交换律和结合律，因此可以判断三类乘法的计算方法存在内在联系，同意小智的说法。 【详解】（1）0.4×0.2 ＝（4×0.1）×（2×0.1） ＝（4×2）×（0.1×0.1） ＝8×0.01 ＝0.08 × ＝（4×）×（2×） ＝（4×2）×（×） ＝8× ＝ （2）同意小智的说法；理由略。 25． (1)在图中表示出的计算过程和结果。 (2)研究乘法计算时，可以从计数单位的角度思考，例如： 50×30 ＝（5×10）×（3×10） ＝（5×3）×（10×10） ＝15×100 ＝1500 0.5×0.3 ＝（5×0.1）×（3×0.1） ＝（5×3）×（0.1×0.1） ＝15×0.01 ＝0.15 同样，在分数乘法中，我们也可以从计数单位的角度来思考。请照样子写出和（）的计算过程。 ＝（____×____）×（____×____） ＝（____×____）×（____×____） ＝____×____ ＝____ ＝（____×____）×（____×____） ＝（____×____）×（____×____） ＝____×____ ＝____ 【答案】(1)； (2) ＝ ＝ ＝ ＝                                     ＝ ＝ ＝ ＝ 【分析】（1）把长方形看作单位“1”。把单位“1”平均分成5份，涂色其中的2份，表示出，再把长方形的平均分成3份，涂色其中的2份，表示出的，也就是。 （2）观察50×30与0.5与0.3的计算过程，是把两个因数的计数单位的个数相乘得到新的计数单位的个数，再把计数单位相乘得到新的计数单位，最后把新的计数单位的个数和新的计数单位相乘得到积。 可以把拆分成2个，把拆分成2个，先把它们的个数相乘，再把它们的计数单位相乘，再把新的计数单位的个数和新的计数单位相乘，最后算出积。 可以把拆分成个，把拆分成个，先把它们的个数相乘，再把它们的计数单位相乘，再把新的计数单位的个数和新的计数单位相乘，最后算出积。 【详解】（1） 画图略。 （2）略。 【点睛】（1）把长方形平均分成5份，涂色其中的2份，表示出，再把长方形的平均分成3份，涂色其中的2份，表示出的，也就是。 （2）把两个因数的计数单位的个数相乘得到新的计数单位的个数，再把计数单位相乘得到新的计数单位，最后把新的计数单位的个数和新的计数单位相乘得到积。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $