1.3 公式法 课件（2课时）课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解 1.3 公式法 共 2 课时 第1课时　平方差公式 a2 − b2 = (a + b)(a − b) 第2课时　完全平方公式 a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 授课班级：八（　）班　　授课教师：________ b2 a2 − b2 a2 ab ab b2 (a + b)2 两种公式，都可以用面积来解释 【封面】湘教版《数学》八年级上册（2025年秋季版）第1章第3节“公式法”，共2课时：第1课时用平方差公式分解因式，第2课时用完全平方公式分解因式（课时划分参照学科网“上好课”、教习网等同步备课资源【请教师核对：以本校进度为准】）。 课件第2—16页为第1课时，第17—30页为第2课时，第31—34页两课时共用。右侧两幅图按比例绘制。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 1 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 2 学习目标与评价任务（两课时） 课时 学习目标 评价任务 达成标准 第1课时 1. 能说出平方差公式的结构特征，判断多项式能否用 a2 − b2 = (a + b)(a − b) 分解 判断表（第6页）；检测一第1题 能说出“两项、平方、异号”三特征 2. 能用平方差公式分解因式，会先提公因式再用公式，并分解彻底 例1、例2、变式1、批改作业；检测一第2、3、5题 结果彻底、符号正确，会乘法验证 第2课时 3. 能识别完全平方式，用完全平方公式分解因式，会求待定系数 判断表、例3、例4、待定系数、变式2；检测二第1~4题 能验证中间项 2ab，k 取两个值 4. 能按“一提、二套、三查”综合运用两种公式和提公因式法，并用于简便计算 例5、综合选择、简便计算；检测二第5题 方法选择合理，分解彻底 重点 用平方差公式、完全平方公式分解因式。　难点 识别公式中的 a、b；先提公因式再用公式，分解彻底。 【学习目标】两课时四条目标，评价任务和检测题号一一对应。 2 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 3 第1课时 · 情境导入 情境导入：菜园里建了一间工具房 工具房 菜地 10 m 10 m 4 m 图按比例绘制（1 m ≈ 0.3 英寸） 种菜的面积是多少？ 102 − 42 = 100 − 16 = 84（m²） 能拼成一个长方形吗？ (10 + 4) × (10 − 4) = 14 × 6 = 84 想一想：把 10 换成 a，4 换成 b，你能得到什么等式？ 【情境导入】一块边长10 m的正方形菜园，在一角建了一个边长4 m的正方形工具房（数据为课堂情境设定，图按1 m ≈ 0.3英寸比例绘制）。 剩下种菜的面积：10² − 4² = 100 − 16 = 84（m²）。 追问：能不能把剩下的部分重新拼成一个长方形？长和宽是多少？——下一页拼一拼，得到 (10 + 4)(10 − 4) = 14 × 6 = 84。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 3 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 4 第1课时 · 概念探究 剪一剪，拼一拼：a² − b² = (a + b)(a − b) ① ② b2 a a − b b a2 − b2 ②旋转后拼到右边 ① ② a b a − b 长 a + b，宽 a − b 面积不变：a2 − b2 = (a + b)(a − b)　（图中 a : b = 8 : 3，按比例绘制） 【几何直观：剪拼】边长为 a 的正方形剪去边长为 b 的正方形，剩下的部分沿虚线分成①②两块。把②旋转90°拼到①的右边，得到长 a + b、宽 a − b 的长方形。 面积不变：a² − b² = (a + b)(a − b)。图中 a : b = 8 : 3，按比例绘制。课前可准备纸片让学生动手剪。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 4 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 5 第1课时 · 概念探究 平方差公式及其结构特征 a2 − b2 = (a + b)(a − b) 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 ① 两项 多项式只有两项 ② 都是平方 每项都能写成 (　)2 的形式 ③ 符号相反 一正一负（交换位置也可以） 关键：找准 a 和 b。例如 4x2 − 9 = (2x)2 − 32，a = 2x，b = 3 【平方差公式】把整式乘法的平方差公式反过来：a² − b² = (a + b)(a − b)。两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。【请教师核对：与课本表述比对】 结构特征：左边是两项；两项都能写成平方的形式；两项符号相反。右边：两数和乘两数差。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 5 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 6 第1课时 · 概念探究 判一判：能用平方差公式分解吗？ 多项式 能否 理由 / 结果（答案列） x2 − 9 能 x2 − 32 = (x + 3)(x − 3) x2 + 4 不能 两项同号 −a2 + b2 能 b2 − a2 = (b + a)(b − a) 4m2 − 25n2 能 (2m)2 − (5n)2 = (2m + 5n)(2m − 5n) −x2 − y2 不能 = −(x2 + y2)，括号内同号 1/4 − y2 能 (1/2)2 − y2 = (1/2 + y)(1/2 − y) 先遮住第三列，学生说完理由再出示。 【判断】逐行对照三特征。x² + 4 两项同号，不能；−a² + b² 交换位置即 b² − a²，可以；−x² − y² = −(x² + y²)，括号内同号，不能。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 6 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 7 第1课时 · 例题与变式 例1　把下列多项式分解因式 (1) 4x2 − 9 a = 2x，b = 3 = (2x)2 − 32 = (2x + 3)(2x − 3) (2) 0.25 − m2 a = 0.5，b = m = 0.52 − m2 = (0.5 + m)(0.5 − m) (3) (x + 3)2 − (x − 1)2 整体代入，再提公因式 = [(x + 3) + (x − 1)][(x + 3) − (x − 1)] = (2x + 2) × 4 = 8(x + 1) 三步：写成 a² − b² → 套公式 → 化简（还能提公因式要继续提） 【例1】三步：写成平方差 → 套公式 → 化简。(3) 把 (x + 3) 和 (x − 1) 看作整体：a = x + 3，b = x − 1，结果 (2x + 2) × 4 还能提公因式，最后为 8(x + 1)。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 7 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 8 第1课时 · 例题与变式 例2　先提公因式，再用平方差公式 (1) 3ax² − 3ay² = 3a(x2 − y2)　← 一提 = 3a(x + y)(x − y)　← 二套 (2) x³y − xy³ = xy(x2 − y2)　← 一提 = xy(x + y)(x − y)　← 二套 口诀：有公因式先提取，再看能否套公式。 【例2 先提公因式，再用公式】3ax² − 3ay² 先提 3a，括号内 x² − y² 再用平方差公式。x³y − xy³ 先提 xy。 顺序口诀：一提二套。如果先“套”不上公式，要想到先提公因式。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 8 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 9 第1课时 · 例题与变式 分解要彻底：x⁴ − 16 看成平方差 (x2)2 − 42 第一次套公式 (x2 + 4)(x2 − 4) 检查每个因式 x2 − 4 还能分解 第二次套公式 (x2 + 4)(x + 2)(x − 2) 为什么 x² + 4 不再分解？ 两项同号，不是平方差；也没有公因式。在有理数范围内不能再分解。 乘法验证 (x + 2)(x − 2) = x2 − 4 (x2 + 4)(x2 − 4) = x4 − 16 ✓ 【分解要彻底】x⁴ − 16 = (x²)² − 4² = (x² + 4)(x² − 4)，而 x² − 4 还能分解，所以结果是 (x² + 4)(x + 2)(x − 2)。x² + 4 两项同号，不能再用平方差公式分解（在有理数范围内）。 用乘法验证：(x + 2)(x − 2) = x² − 4，(x² + 4)(x² − 4) = x⁴ − 16。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 9 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 10 第1课时 · 例题与变式 变式1　分解因式（同桌互查） 题号 多项式 参考答案 关键 (1) 16a2 − b2 (4a + b)(4a − b) 16a2 = (4a)2，看准系数 (2) −9 + x2y2 (xy + 3)(xy − 3) 交换位置：(xy)2 − 32 (3) 2m3 − 18m 2m(m + 3)(m − 3) 先提 2m (4) a4 − 81 (a2 + 9)(a + 3)(a − 3) 用两次公式 同桌各做两题，交换后用整式乘法检验。 【变式1】答案：(1) (4a + b)(4a − b)；(2) (xy + 3)(xy − 3)；(3) 2m(m + 3)(m − 3)；(4) (a² + 9)(a + 3)(a − 3)。 (2) 交换位置看成 (xy)² − 3²；(3) 先提 2m；(4) 两次用公式。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 10 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 11 第1课时 · 例题与变式 当小老师：平方差公式易错点 错误写法 错因 正确结果 4x2 − 9 = (4x + 3)(4x − 3) ✗ 4x² 应看成 (2x)² ✓ (2x + 3)(2x − 3) x4 − 1 = (x2 + 1)(x2 − 1) ✗ 分解不彻底 ✓ (x2 + 1)(x + 1)(x − 1) 2x2 − 8 = (2x + 4)(2x − 4) ✗ 没先提公因式 ✓ 2(x + 2)(x − 2) −a2 + 9 = (a + 3)(a − 3) ✗ 符号弄反 ✓ (3 + a)(3 − a) 检查：a、b 找准了吗？先提了吗？分解彻底了吗？ 【易错批改（第1课时）】四个错例为教师编写：系数没有写成平方；分解不彻底；没有先提公因式导致结果错误；首项为负时位置弄反。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 11 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 12 第1课时 · 例题与变式 用平方差公式简便计算 数的计算 20262 − 20242 = (2026 + 2024)(2026 − 2024) 　　　　　　 = 4050 × 2 = 8100 1012 − 992 = 200 × 2 = 400 圆环垫片的面积（π 取 3.14） S = πR2 − πr2 = π(R + r)(R − r) 　= π × 10 × 0.5 = 5π ≈ 15.7（cm²） R = 5.25 r = 4.75 圆环垫片（单位：cm，按比例绘制） 【简便计算】2026² − 2024² = (2026 + 2024)(2026 − 2024) = 4050 × 2 = 8100；101² − 99² = 200 × 2 = 400。 圆环垫片（情境设定：外半径5.25 cm，内半径4.75 cm，按比例绘制）：S = πR² − πr² = π(R + r)(R − r) = π × 10 × 0.5 = 5π ≈ 15.7 cm²（π取3.14）。先提 π 再用平方差，计算非常简单。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 12 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 13 第1课时 · 例题与变式 拓展：相框的面积与连续奇数 照片 x + 2 x 按 x = 6 cm、框宽 1 cm 绘制 (1) 相框的面积 (x + 2)2 − x2 = (x + 2 + x)(x + 2 − x) = 2(2x + 2) = 4(x + 1) 当 x = 6 时，面积为 28 cm² (2) 连续奇数 (2n + 1)2 − (2n − 1)2 = 4n × 2 = 8n 一定是 8 的倍数 试一试：52 − 32 = 16，72 − 52 = 24，92 − 72 = 32 【拓展】(1) 正方形相框：内框边长 x cm，外框边长 (x + 2) cm（每边框宽1 cm，情境设定），框的面积 (x + 2)² − x² = (x + 2 + x)(x + 2 − x) = 2(2x + 2) = 4(x + 1)。图按 x = 6 绘制，此时框面积 28 cm²。 (2) 两个连续奇数的平方差：(2n + 1)² − (2n − 1)² = 4n × 2 = 8n，是8的倍数（n 为正整数）。Python 已对 n = 1~500 验证。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 13 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 14 第1课时 · 检测与小结 当堂检测（第1课时）　限时 6 分钟 1. 下列多项式能用平方差公式分解因式的是（　　） A.　x2 + y2 B.　−x2 − y2 C.　−x2 + y2 D.　x2 + 2y 2. 分解因式：49 − a2 = ______________。 3. 分解因式：a3 − 9a = ______________。 4. 简便计算：20262 − 20242 = ______。 5. 分解因式：(x + 2)2 − 9 = ______________。 【当堂检测一】限时6分钟，每题2分，满分10分。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 14 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 15 第1课时 · 检测与小结 检测答案（第1课时） 题号 答案 要点 1 C −x2 + y2 = y2 − x2 2 (7 + a)(7 − a) 49 = 72 3 a(a + 3)(a − 3) 先提 a，只写 a(a2 − 9) 得1分 4 8100 (2026 + 2024)(2026 − 2024) = 4050 × 2 5 (x + 5)(x − 1) 把 (x + 2) 看作整体 评分：每题2分　9～10分 ★★★　6～8分 ★★　5分及以下 ★ 【答案与评分】同桌互批。第3题只写 a(a² − 9) 得1分（不彻底）。第5题把 (x + 2) 看作整体：(x + 2 + 3)(x + 2 − 3) = (x + 5)(x − 1)。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 15 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 16 第1课时 · 检测与小结 第1课时　小结与分层作业 小结：a2 − b2 = (a + b)(a − b)　特征：两项、都是平方、符号相反 步骤：一提 → 二套 → 三查（彻底、符号） A 基础（必做） 1. x2 − 25　　2. 9m2 − 4n2 B 提高（必做） 3. 2a3 − 8a　　4. 简便计算：752 − 252 C 拓展（选做） 5. 说明：两个连续奇数的平方差一定是 8 的倍数。 【第1课时 小结与作业】参考答案：1. (x + 5)(x − 5)；2. (3m + 2n)(3m − 2n)；3. 2a(a + 2)(a − 2)；4. 75² − 25² = 100 × 50 = 5000；5. (2n + 1)² − (2n − 1)² = 8n。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 16 17 第2课时 用完全平方公式分解因式 a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 课前热身：(1) x2 − 16 = ______________； (2) 2x3 − 2x = ______________。 【第2课时 开始】热身两题检查第1课时：x² − 16 和 2x³ − 2x。答案 (x + 4)(x − 4)，2x(x + 1)(x − 1)。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 17 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 18 第2课时 · 情境导入 拼一拼：完全平方公式的面积解释 情境：阅读角要铺拼接地垫——1块大方垫、2块长条垫、1块小方垫，能拼成一个正方形吗？ a2 ab ab b2 a b a b a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (a − b)2 ab ab b2 a − b b a 橙色两条各是 a×b（含右下角 b²） a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 图形按 a : b = 7 : 3 绘制 【情境：拼接地垫】阅读角用拼接地垫铺成正方形：1块 a×a 大垫、2块 a×b 长垫、1块 b×b 小垫正好拼成边长 a + b 的正方形，所以 a² + 2ab + b² = (a + b)²。 右图：边长 a 的正方形去掉右边和下边宽 b 的两条（各 ab），右下角 b² 被去掉了两次，要加回一次：a² − 2ab + b² = (a − b)²。两图都按 a : b = 7 : 3 绘制。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 18 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 19 第2课时 · 情境导入 完全平方公式及其结构特征 a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 看什么 特征 以 9a² − 12ab + 4b² 为例 项数 三项 三项 ✓ 首尾 两项都是平方，且都为正 9a2 = (3a)2，4b2 = (2b)2　✓ 中间 等于 ±2 × 首 × 尾 2 × 3a × 2b = 12ab，符号为负 ✓ 结果 （首 ± 尾）²，符号与中间项相同 (3a − 2b)2 口诀：首平方，尾平方，首尾两倍放中央。 【完全平方公式】a² + 2ab + b² = (a + b)²，a² − 2ab + b² = (a − b)²。形如 a² ± 2ab + b² 的式子叫作完全平方式。【请教师核对：课本是否使用“完全平方式”一词】 特征：三项；首尾两项是平方且同为正；中间项是两数积的2倍（符号可正可负）。口诀“首平方，尾平方，首尾两倍放中央”。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 19 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 20 第2课时 · 例题与变式 判一判：是不是完全平方式？ 多项式 是否 检查中间项（答案列） x2 + 6x + 9 是 2 × x × 3 = 6x　→　(x + 3)2 x2 + 4x + 16 不是 中间项应为 8x 4a2 − 12ab + 9b2 是 2 × 2a × 3b = 12ab　→　(2a − 3b)2 x2 − 2x − 1 不是 尾项 −1 不是平方 m2 + m + 1/4 是 2 × m × 1/2 = m　→　(m + 1/2)2 方法：先找首尾两个“平方”，再验中间项是不是 ±2 × 首 × 尾。 【判一判】关键是检查中间项。x² + 4x + 16：2 × x × 4 = 8x，不是 4x；x² − 2x − 1：尾项为负，不是平方。m² + m + 1/4：(1/2)² = 1/4，2 × m × 1/2 = m，是。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 20 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 21 第2课时 · 例题与变式 例3　把下列多项式分解因式 (1) x² + 10x + 25 首 x，尾 5 验：2 × x × 5 = 10x = (x + 5)2 (2) 9a² − 12ab + 4b² 首 3a，尾 2b 验：2 × 3a × 2b = 12ab = (3a − 2b)2 (3) −x² + 4xy − 4y² = −(x2 − 4xy + 4y2) 验：2 × x × 2y = 4xy = −(x − 2y)2 定首尾 验中间 写结果 符号跟中间项走：中间项为“+”写 (a + b)2，为“−”写 (a − b)2；首项为负先提“−”。 【例3】三步：定首尾 → 验中间 → 写结果。(3) 首项为负，先提出“−”号：−(x² − 4xy + 4y²) = −(x − 2y)²。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 21 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 22 第2课时 · 例题与变式 例4　整体思想：把多项式看作 a 或 b (1) (a + b)² − 6(a + b) + 9 = (a + b)2 − 2 · (a + b) · 3 + 32 = (a + b − 3)2 把 (a + b) 看作公式中的 a，3 看作 b (2) (x² + 4)² − 16x² = (x2 + 4)2 − (4x)2　← 平方差 = (x2 + 4 + 4x)(x2 + 4 − 4x) = (x2 + 4x + 4)(x2 − 4x + 4) = (x + 2)2(x − 2)2　← 完全平方 第(2)题两种公式连用，每一步都要检查“还能不能分”。 【例4 整体思想与两种公式连用】(1) 把 (a + b) 看作整体：(a + b)² − 2·(a + b)·3 + 3² = (a + b − 3)²。 (2) (x² + 4)² − (4x)² 先用平方差，得 (x² + 4 + 4x)(x² + 4 − 4x)，两个括号又都是完全平方式，最后为 (x + 2)²(x − 2)²。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 22 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 23 第2课时 · 综合运用 例5　先提公因式，再用完全平方公式 题号 多项式 分解过程（一提 → 二套） 提什么 (1) 2x3 − 8x2y + 8xy2 = 2x(x2 − 4xy + 4y2) = 2x(x − 2y)2 提 2x (2) −3a2 + 6ab − 3b2 = −3(a2 − 2ab + b2) = −3(a − b)2 提 −3，各项变号 (3) ax2 − 4ax + 4a = a(x2 − 4x + 4) = a(x − 2)2 提 a 回顾：首项为负常提负（1.2）；有公因式先提（1.3 第1课时）。方法前后连贯。 【例5 先提公因式，再用完全平方公式】(1) 提 2x；(2) 提 −3，括号内各项变号；(3) 提 a。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 23 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 24 第2课时 · 综合运用 想一想：k 取什么值时是完全平方式？ (1) x² + kx + 16 是完全平方式，求 k 16 = 42，中间项 = ±2 × x × 4 = ±8x 所以 k = 8 或 k = −8 验证：(x + 4)2 = x2 + 8x + 16 　　　(x − 4)2 = x2 − 8x + 16 (2) 4x² − mxy + 9y² 是完全平方式，求 m 4x2 = (2x)2，9y2 = (3y)2 −mxy = ±2 × 2x × 3y = ±12xy 所以 m = 12 或 m = −12 验证：(2x − 3y)2 = 4x2 − 12xy + 9y2 　　　(2x + 3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2 易错：只写一个值。中间项可正可负，所以有两个答案。 【求待定系数】(1) x² + kx + 16 是完全平方式：16 = 4²，中间项 ±2 × x × 4 = ±8x，所以 k = ±8。两个值都要写，学生常漏掉负值。 (2) 4x² − mxy + 9y² = (2x)² − mxy + (3y)²，−mxy = ±12xy，m = ±12。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 24 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 25 第2课时 · 综合运用 变式2　分解因式（小组接力） (1) x2 − 14x + 49 答案 (x − 7)2 2 × x × 7 = 14x (2) 25m2 + 20mn + 4n2 答案 (5m + 2n)2 2 × 5m × 2n = 20mn (3) x3 + 2x2y + xy2 答案 x(x + y)2 先提 x (4) (x + y)2 + 2(x + y) + 1 答案 (x + y + 1)2 整体：a = x + y，b = 1 【变式2】答案：(1) (x − 7)²；(2) (5m + 2n)²；(3) x(x + y)²；(4) (x + y + 1)²。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 25 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 26 第2课时 · 综合运用 当小老师：完全平方公式易错点 错误写法 错因 正确结果 x2 + 4x + 4 = (x + 4)2 ✗ b 是 2，不是 4 ✓ (x + 2)2 x2 − 6x − 9 = (x − 3)2 ✗ 不是完全平方式 ✓ 不能用完全平方公式 a2 − 4ab + 4b2 = (a − 4b)2 ✗ 4b² = (2b)² ✓ (a − 2b)2 −x2 − 2x − 1 = −(x − 1)2 ✗ 提负号后符号错 ✓ −(x + 1)2 检查：首尾是平方吗？中间项验了吗？符号跟谁走？ 【易错批改（第2课时）】四个错例为教师编写：把尾项当成 b；不是完全平方式硬套；中间项系数当成 b 的系数；提负号后括号内符号错。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 26 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 27 第2课时 · 综合运用 用完全平方公式简便计算 992 + 2 × 99 + 1 = (99 + 1)2 = 1002 10 000 20262 − 2 × 2026 × 26 + 262 = (2026 − 26)2 = 20002 4 000 000 整体代入：已知 a − b = 3，则 a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 = 9。 互逆验证：(a − b)2 = a2 − 2ab + b2——因式分解与整式乘法是互逆的变形。 【简便计算】99² + 2 × 99 + 1 = (99 + 1)² = 100² = 10000。 2026² − 2 × 2026 × 26 + 26² = (2026 − 26)² = 2000² = 4000000——与1.2中的 2026² − 2026 × 26 前后呼应。 已知 a − b = 3，则 a² − 2ab + b² = (a − b)² = 9。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 27 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 28 第2课时 · 综合运用 综合运用：一提 · 二套 · 三查 一提 有公因式先提 首项为负提负 二套 两项 → 平方差 三项 → 完全平方 三查 每个因式 还能再分吗？ (1) x³ − 4x = x(x2 − 4)　← 一提 = x(x + 2)(x − 2)　← 二套 (2) a⁴ − 2a²b² + b⁴ = (a2 − b2)2　← 完全平方 = [(a + b)(a − b)]2 = (a + b)2(a − b)2　← 三查 【综合运用：方法选择】一提：有公因式先提；二套：两项想平方差，三项想完全平方；三查：每个因式是否还能分解。 (1) x³ − 4x = x(x² − 4) = x(x + 2)(x − 2)；(2) a⁴ − 2a²b² + b⁴ = (a² − b²)² = (a + b)²(a − b)²。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 28 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 29 第2课时 · 检测与小结 当堂检测（第2课时）　限时 6 分钟 1. 下列多项式是完全平方式的是（　　） A.　x2 + 2x − 1 B.　x2 + x + 1 C.　4x2 − 4x + 1 D.　x2 + 4x + 16 2. 分解因式：x2 − 12x + 36 = ______________。 3. 分解因式：−2a2 + 8ab − 8b2 = ______________。 4. 若 x2 + mx + 25 是完全平方式，则 m = ______。 5. 分解因式：x4 − 18x2 + 81 = ______________。 【当堂检测二】限时6分钟，每题2分，满分10分。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 29 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 30 第2课时 · 检测与小结 检测答案（第2课时） 题号 答案 要点 1 C 4x2 − 4x + 1 = (2x − 1)2 2 (x − 6)2 2 × x × 6 = 12x 3 −2(a − 2b)2 先提 −2，括号内各项变号 4 ±10 只写 10 得1分 5 (x + 3)2(x − 3)2 (x2 − 9)2 还要再分，只写它得1分 评分：每题2分　9～10分 ★★★　6～8分 ★★　5分及以下 ★ 【答案与评分】第4题只写10得1分。第5题只写 (x² − 9)² 得1分（不彻底）。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 30 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 31 两课时 · 评价与作业 两课时小结：两个公式对比 平方差公式 完全平方公式 公式 a2 − b2 = (a + b)(a − b) a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 项数 两项 三项 特征 都是平方，符号相反 首尾是平方且同正，中间 ±2ab 几何解释 剪去小正方形，拼成长方形 四块拼成大正方形 常见错误 系数没开方；分解不彻底 中间项没验；漏掉 ± 两个值 方法顺序：一提（公因式）→ 二套（公式）→ 三查（彻底） 【两课时小结】用对比表梳理两个公式，再回顾三种方法（提公因式法、平方差、完全平方）的选择顺序。 31 32 板书设计 1.3　公式法 一、平方差公式：a2 − b2 = (a + b)(a − b) 　特征：两项 · 都是平方 · 符号相反 　x4 − 16 = (x2 + 4)(x + 2)(x − 2) 二、完全平方公式：a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 　首平方，尾平方，首尾两倍放中央 　9a2 − 12ab + 4b2 = (3a − 2b)2 三、整体思想：(a + b)2 − 6(a + b) + 9 = (a + b − 3)2 四、步骤：一提 → 二套 → 三查 　2x3 − 8x2y + 8xy2 = 2x(x − 2y)2 学生板演区 第1课时 3ax2 − 3ay2 = 3a(x + y)(x − y) 第2课时 x2 + kx + 16是 完全平方式 k = ±8 【板书设计】第1课时写一、二；第2课时写三、四。右侧用于学生板演。 32 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 33 两课时 · 评价与作业 评价量表与自我评价 评价维度 ★★★ ★★ ★ 识别公式（目标1、3） 能说出两个公式的特征，准确找出 a、b 能判断，但找 a、b 偶有错 判断有误 平方差分解（目标2） 先提后套，分解彻底，会验证 结果正确，偶有不彻底 公式用错 完全平方分解（目标3） 验中间项，符号正确，待定系数写全两个值 结果正确，漏写一个值 不会验中间项 综合运用（目标4） 方法选择合理，整体思想、简便计算都能完成 能完成大部分 只会单一方法 我的自评：第1课时　☆☆☆　　第2课时　☆☆☆　　我还有疑问：____________________ 【评价量表与自评】两课时各用一次，小组长记录，教师抽查。 33 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.3 公式法 34 两课时 · 评价与作业 第2课时　分层作业 A 基础（必做） 1. x2 − 8x + 16　　2. 4a2 + 12ab + 9b2 B 提高（必做） 3. 3x2 + 6xy + 3y2　　4. (m + n)2 − 4(m + n) + 4 C 拓展（选做） 5. x4 − 8x2 + 16 6. 若 x2 − 2(k − 1)x + 9 是完全平方式，求 k 的值。 预习：第1章 小结与评价——画出本章知识结构图：意义、提公因式法、公式法。 【第2课时 分层作业参考答案】1. (x − 4)²；2. (2a + 3b)²；3. 3(x + y)²；4. (m + n − 2)²；5. (x + 2)²(x − 2)²；6. 2(k − 1) = ±6，k = 4 或 k = −2。 预习：第1章小结与评价。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-3.txt。 34 $