18.4 整数指数幂 整数指数幂(1) 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

18.4 整数指数幂(1) 预习检测 一、温习旧知 问题 你还记得正整数指数幂的意义吗？正整数指数幂有哪些运算性质？ 正整数指数幂： 当 n 是正整数时，an = a·a·…·a n个 正整数指数幂有以下运算性质： (1) am·an＝ （m，n是正整数） (2) (am)n＝ （m，n是正整数） (3) (ab)n＝ （n是正整数） (4) am÷an＝ （a≠0，m，n是正整数，m≥n） (5) ( )n＝ （n是正整数）; 算一算 此外，还学过 0 指数幂，即 a0 = 1(a ≠ 0) 正整数指数幂有以下运算性质： (1) (m，n是正整数) (2) (m，n是正整数) (3) (n是正整数) (4) (a ≠ 0，m，n是正整数，m＞n) (5) (n是正整数) 此外，还学过 0 指数幂，即a0 = 1(a ≠ 0) 如果指数是负整数该如何计算呢？ 问题2 你能使用两种不同的方法计算a5÷a3 吗？ a5÷a3 = a5 – 3 = a2 分式的约分 am÷an = am-n(a≠0，m，n是正整数，m＞n) 课前预习 请同学们翻开课本P158， 预习负整数指数幂的相关 内容，并思考下列问题： 1.负整数指数幂的表示 方法？如何证明？ 2.正整数指数幂中的相 关运算法则，在负整数 指数幂中是否同样适用？ 设想导入 溯源——幂的符号的演变 3 世纪 丢番图 Δγ，Kγ， ΔγΔ Aq，Acu，Aqq 韦达(Vietè) 16 世纪 17 世纪 哈里奥特 (Harriot) aa，aaa，aaaa a2，a3，a4 笛卡尔 1637年 an 简明 利于运算 有助于幂的运算的推广 知识点1 负整数指数幂 你认为牛顿的这个设想合理吗？ 思 考 因为数学家将 aa，aaa，aaaa，···写成 a2，a3，a4， ···，所以我将 ， ， ，···写成 a-1，a-2，a-3，···. ——牛顿 如果 am 中的 m 可以是负整数，那么负整数指数幂 am 表示什么？ 探究新知 你能使用两种不同的方法计算 a3÷a5 吗？ a3÷a5 = a3 – 5 = a–2 分式的约分 am÷an = am-n(a≠0，m，n是正整数，m＞n) 一般地，当n 是正整数时， 这就是说， a–n (a ≠ 0) 是 an 的倒数. 数学中规定： 试说说当 m 分别是正整数、0、负整数时，am 各表示什么意义？ 当 m 是正整数时，am 表示 m 个 a 相乘； 归纳 如无特别说明，本套书中涉及的负整数指数幂的底数均不为0. 引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩充到全体整数. 当 m 是 0 时，am 即为 a0，值为 1； 当 m 是负整数时，am 即为 a –m 的倒数. 典例分析 计算的结果写成正整数指数幂的形式 我们知道除法可以转化为乘法进行计算，那么整数指数幂除法是否也可以转化为乘法计算？ (1) 根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时， am ÷an=am-n 又am ·a-n=am+(-n)=am-n，因此am ÷an=am ·a-n 即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法 (2) 特别地， 所以 即商的乘方可以转化为积的乘方 于是，整数指数幂的运算性质可以归结为： (1) am·an = am+n (m，n是整数) (2) (am)n = amn (m，n是整数) (3) (ab)n = anbn (n是整数) am·a-n an·b-n 当堂检测 1. 填空： 【教材P161练习 第1题】 （1）30 = ____，3–2 = ____； （2）(– 3)0 = ____， (– 3)–2 = ____； （3）b0 = ____，b–2 = ____ . 1 1 1 2. 计算： 【教材P161练习 第2题】 (1) x2y–3·(x–1y)3； (2) (2ab2c–3)÷(a–2b)3. 解：(1)原式 = x2y–3·x–3y3 (2)原式 = (2ab2c–3)·(a–2b)–3 = 2ab2c–3·a6b–3 = x–1y0 = 2a7b–1c–3 3. 已知 a = 2–55，b = 3–44，c = 4–33，d = 5–22，则这四个数从小到大排列的顺序是___________. 解析：因为 a = 2–55 = (2–5)11 b = 3–44 = (3–4)11 c = 4–33 = (4–3)11 d = 5–22 = (5–2)11 而 b<c<a<d 4. 计算： 解：原式 = 1 – 4 + 1 – 25 = – 27 5. 已知 ，求 7–2x 的值. 解：由已知条件得： (2– 1)2x – 1 ·2x + 2 = 16. 所以 2–2x + 1 ·2x + 2 = 16. 所以 2–2x + 1 + x + 2 = 16. 即 2–x + 3 = 24. 所以 –x + 3 = 4，即 x = – 1. 所以 7–2x = 7–2×(– 1) = 72 = 49. 6. 填空： 【教材P162习题18.4 第1题】 （1）若(a – 3)– 2 有意义，则 a 的取值范围为_______； （2）1÷a– 1 = ________； a2·a– 2 = ________； (–ab– 1) – 2 = ________. a ≠ 3 a 1 7. 计算： 【教材P162习题18.4 第2题】 课堂小结 负整数指数幂 整数指数幂的运算性质 一般地，当 n 是正整数时， (1) am·an = am+n (m，n是整数) (2) (am)n = amn (m，n是整数) (3) (ab)n = anbn (n是整数) 课后作业 1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. Lavf57.83.100 $