第5章 函数概念与性质（单元分层自测·能力提升卷）数学苏教版必修第一册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一数学单元自测 第5章 函数概念与性质·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．某水池有水 m，以每分钟 m 的速度向外排水，则池中剩余水量 （m）与排水时间 （min）之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 3．已知是奇函数，且在上的最大值为，则（   ） A．在上有最大值，且最大值为 B．在上有最大值，且最大值为 C．在上有最小值，且最小值为 D．在上有最小值，且最小值为 4．已知函数且对任意，当时，恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．定义，若函数，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．已知命题，；命题，，若命题，有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8．若函数的定义域与值域均为，则称为“闭区间同域函数”，称为的“同域闭区间”，则下列结论不正确的是（     ） A．函数存在“同域闭区间” B．若为的“同域闭区间”，则 C．函数存在“同域闭区间” D．存在实数，，使得二次函数定义域为，值域为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是一次函数，且满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，且，则（     ） A．的值域为 B．不等式的解集为 C． D． 11．已知函数的定义域为，对任意都有，且当时，，，则（　　） A．是奇函数，且在上单调递减 B．对任意，都有 C．在上的最小值为 D．若对任意恒成立，则实数的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是______． 13．已知函数 ，若对 使得 ，则a的取值范围是________________ 14．函数在上的最大值与最小值之和为，则实数______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数. (1)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (2)求关于x的不等式的解集. 16．（15分） 已知函数. (1)在同一坐标系中画出函数的图象； (2)，用函数h(x)表示函数f(x)、g(x)中的最大者，记，分别用函数图象法和解析法表示函数，并写出的单调区间和值域（不需要证明）. 17．（15分） 已知函数（），且， (1)求的解析式 (2)证明在上是增函数，并求在上的最小值 (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围 18．（17分） 设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得． (1)求的值并证明为奇函数； (2)求证：在上单调递增； (3)设函数，，不等式对恒成立，试求的值域． 19．（17分） 设函数定义域为，如果存在常数满足：任取，都有，则称是L型函数，是这个L型函数的常数. (1)判断函数，是不是L型函数，并说明理由；如果是，给出一个常数； (2)设函数是定义在区间上的L型函数，是一个常数，求证：函数也是L型函数； (3)设函数是定义在上的L型函数，其L常数，且的值域也是，求的解析式. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年高一数学单元自测 第5章函数概念与性质·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 2 6 D B D D A B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 10 11 ABC BCD AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.【-5,-2u(-2,0j 13.a23 14.8-2V7 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15,【解析】（山西数=因在0切）上单调递增，证明如下： 任取西∈0），且<名， f)-f)=24-12x-1-1-1=x-5 为2x2xxx2, <西<，则5-6<0,5>0，则 f(x)<f(x2) 因 ,则得 所以函数”=在(0，+切 上单调递增.(6分) (2)由(1)知函数在0，+切)上单调递增， 则f2-)<f)e0<2-x< ,解得<-2或1<x<2 故不等式的解集为(0，-2U(4,2).(13分) 1/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.【解析】(1) (4分) ②由>g四，可得+>r-2x+19, 当x>-1时，(*)即x2+3x>0,解得x<-3或x>0,所以可得x>0: 当≤-时、(9即+-2>0，解得<-2或>1，所以可得<-2 放当x>0或x<-2时，f>8,h=f6=+刊 从而当2≤x≤0时，fsg(.)=g)=-2-2x+1 (x)= x+1,(x(-2或x)0) 故有 -x2-2x+1,(-2≤x≤0) 下面证明函数的单调性： x+1,(x(-2或x)0) (x)= ①证明函数 -x2-2x+1,(-2≤x≤0)在[-2，-1)上单调递增. -2≤x<x2<-1h(x)-h(x2)=(-x2-2x+1)-(-x-2x2+1) 任取 ,则 =(x号-x)+2(x2-x)=(x2-x)x2+x+2) -2≤x<x2<-1mx-x>0为+x+2<0nhx)-h(x)<0 因 ,则 ,即 得)<)，救西数（国在2-）上单调递增 ②证明西数在Q+四）上单调递增 <<西，则))+川-西+1非低+0-6+0=-6<0 任取 217 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则)<)，故函教在0)上单调递暗 同法可证在02)和H,0均为减通数 由图知，当x趋近于-o0和+o0时，均可得h9趋近于+o,且h(-2)=h(0)=l, 故函数)无最大值，最小值为1，故函数的值域为回）(15分) a+b=5 a=1 17.【解析】(1)由题意 2a+名-4，解符84：所以)=+是4分) 2 c2证明：任取2树)，且5>5】 x x2 -6-4} 因为62树），且5>名，所以名>0,5-4>0， 所以 ()-f)=(G-)5-4>0 枚因在2，+w)上是增函数，故因在2+)上的最小值为2)=2+2=4：(9分) (3)由题态得，只需*L时，≥m恒成立， 由基本不等式可知f()=x+4≥2A .= 4,当且仅当X正，即x=2时，等号成立， 所以4≥m,故m≤4，实数m的取值范围是 -0,41.15分) 18。【解析】（)儿因的定义域为R,关于原点对称， 3/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 令x=y=0,得10=，2Y0 1+[f(o],解得f(0)=0或[f(o)]了=1， 又不存在xeR,使得/(=1 f(0)=0 证明：由/(0)=0 f四+f8=fx-x)=fo)=0 令y=-x,得1+f(x)f(-x) ∴.f(x)+f(-x)=0f(-x)=-f(x) (☒为奇函数.(4分) (2)证明： x>0时，2 0. 】 ≤1 等号成立， 又不存在xeR,使得/(=1， } x>0时， 0<f(x)<1 又为奇函数。 x<0时，f=-f(-x刘∈（←1,0） 4/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对reR-1<f(x)<1 任取<5，则名->0，f(3-)>0 而)6+(-训=f)-f)-到 1+f(x)f(-x)1-f(x2)f(x), .fs)-f(x）>0 1-f(x2)f(x), 又).f3)(,) ·f(x)f(x)e(-l,) ∴1-f(x)f(x2)>0 ∴f()-f(x)>0f(x)>f(x) :f(四)在R上单调递增.(10分 s得专 :4+5f(m四)_ 4+f(m)_f2+fm）=f2+m), 5+4/a网）1+gfam)1+/D网 4 200+m) 2+f(mx2） 4+5f(x)、1+2f(x2) :不等式5+4fm2+fmr)对xeR恒成立， f2+mr)>+mr)对xeR恒成立. 5/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又)在R上单调递蜡， ∴.2+mx>1+mx2,x∈R 对 恒成立，即r-mr-1<0xeR 恒成立， 当m=0时，mx2-mx-1<0对x∈R恒成立， 当m≠0时，mx2-mx-1<0对x∈R恒成立台m2+4m<0,解得-4<m<0, 综上，-4<m≤0， 而函数8)=-X-3在4,0上单湖道减， (m侧的值域为3 .17分) 19.【解析】(1)是，L常数是4(K≥4)· 因为（四=r,西∈D,()-(-H(+-)H+-x 又2，所以+52,4，所以+5-k45-, 即当K≥4时，任取，eD,都有(G)f(水K5- 所以西数()，x2]是L型面效：一个L指数是4,4分) (2)证明：令8()=f(x+a) 因为西数”=（的定义玻为网，所+acm川，解得xG[m-a-d 即8（因的定义域为m-a1-a x,x2∈[m-a,n-ax+a,为+ae[m,n 因为西数”=（是定义在区间m川上的I型两数， 所以l&()g(Hf(s+a)-f(6+aK(+a)-(+alK-x 所以函数”=8（是L型函数，即函数'=f儿+@）也是L型函数（10分) 6/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 （3)假设)=0，f()-=1,∈0，则.馬≠5 则6≥es)。1 名-k-丙，即k- 因为K01所-1，又因为c则所以5-s1 所以出为1，所以K≥1，因为 K∈(0， ,所以K=, x=0∫x=1 则以下有两种情况x2=1和x2=0, [f(x)-f(x)Hf(x)-f(0)Hf(x)-0-f(x)sx-0=x ￥则市0-07间1-4-i-阳 x3=1 f(x)=x ； 若x=1 [f(x)-f(x)f(x)-f(1)Hf(x)-0=f(x)sx-1=1-x (3=01 则有x0)创-fsH/(-oH(-1-四-0= 解得)=1-x 综上所述，f冈的解折式为)=或f代)1-x17分) 7/7 2026-2027学年高一数学单元自测 第5章 函数概念与性质·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：定义域为，又，故为偶函数； 对于B：定义域为，又，故为偶函数； 对于C：定义域为，又因为，也不是奇函数； 对于D：定义域为，又因为，故为奇函数. 2．某水池有水 m，以每分钟 m 的速度向外排水，则池中剩余水量 （m）与排水时间 （min）之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】剩余水量 原有水量 已排水量，故 ． 3．已知是奇函数，且在上的最大值为，则（   ） A．在上有最大值，且最大值为 B．在上有最大值，且最大值为 C．在上有最小值，且最小值为 D．在上有最小值，且最小值为 【答案】D 【解析】由题可知当时，， 当时，，所以， 又奇函数满足， 所以，即， 故当时，有最小值，且最小值为，D正确． 4．已知函数且对任意，当时，恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵ 对任意，当时，恒成立， ∴ 是定义在R上的单调递减函数. 所以，解得． 5．定义，若函数，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，即，解得. 因此当时，；当或时，. 当时，在上单调递减，在上单调递增. 又，，故此时的最大值为. 当时，在上单调递增，故. 当时，在上单调递减，故. 所以的最大值为，此时. 6．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则. 则在上单调递减，所以在上单调递增. 由得. 所以，解得. 所以不等式的解集为. 7．已知命题，；命题，，若命题，有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，； 得，； 函数在上单调递减，上单调递增， 所以函数在上单调递减，上单调递增， 又，，， 所以函数，的值域为， 所以命题为真命题等价于， 命题，则，即， 所以命题为真命题等价于， 由命题，有且仅有一个为真命题可得 命题为真命题且命题为假命题或命题为假命题且命题为真命题 若命题为真命题且命题为假命题，则，故， 若命题为假命题且命题为真命题，则，故， 综上所述，若命题，有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围为. 8．若函数的定义域与值域均为，则称为“闭区间同域函数”，称为的“同域闭区间”，则下列结论不正确的是（     ） A．函数存在“同域闭区间” B．若为的“同域闭区间”，则 C．函数存在“同域闭区间” D．存在实数，，使得二次函数定义域为，值域为 【答案】C 【解析】对于A，取的定义域为，其值域也是，即是的同域闭区间，故A正确． 对于B，当时，在上单调递增，值域为．由得，又，所以，故B正确． 对于C，假设存在“同域闭区间”. 因为的定义域不含0，所以，即、同号，此时在上单调递减，值域为. 由得且， 即且，可得，与矛盾， 所以不存在满足的“同域闭区间”，C错误． 对于D，，图像开口向下，对称轴为．取，，则在上单调递增，值域为，而，故D正确． 综上，不正确的是C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是一次函数，且满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】设一次函数，已知 ，解得：，， 所以. A正确，把代入解析式，得，B正确，把代入解析式，得，C正确，，D错误. 10．已知函数，且，则（     ） A．的值域为 B．不等式的解集为 C． D． 【答案】BCD 【解析】作出函数的图象如下图所示： 对于选项A：由图可知函数的值域为，故A错误； 对于选项B：当时，有或，解得，，， 所以不等式的解集为，故B正确； 对于选项C：由题可令， 则为函数和直线交点的横坐标， 由图可知，关于对称，所以，即，故C正确； 对于选项D：因为为函数和直线交点的横坐标， 由图可知，而， 所以，故D正确. 11．已知函数的定义域为，对任意都有，且当时，，，则（　　） A．是奇函数，且在上单调递减 B．对任意，都有 C．在上的最小值为 D．若对任意恒成立，则实数的最大值为 【答案】AD 【解析】对于A，令，得，则， ，令，得，即，函数是奇函数， ，，而当时，， 则，即，函数在上单调递减，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，函数在上单调递减，则当时，，C错误； 对于D，当时，， 由对任意恒成立，得，因此的最大值为，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是______． 【答案】 【解析】由 的定义域可得 的范围，再注意分母不为零. 由 得 ； 又需 ，即 ， 所以定义域为 . 13．已知函数 ，若对 使得 ，则a的取值范围是________________ 【答案】 【解析】已知函数 ，当，即在时取最小值，在 时取最大值， 又因为，所以在上单调递增，所以， 因为对 使得 ，即的值域包含于的值域中，因此，即，解得， 综上，a的取值范围是. 14．函数在上的最大值与最小值之和为，则实数______． 【答案】/ 【解析】若，易知在区间上单调递增， 由题可知：，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递增， 由题可知，解得，不合题意， 若，即时， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，， 当，即时， 由题可知：，解得， 又，则，满足，所以满足题意， 当，即时，由题可知：，解得， 又，则，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减， 由题可知：，解得，不合题意， 综上所述，实数. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数. (1)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (2)求关于x的不等式的解集. 【解析】（1）函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 由， 因，则，，则得， 所以函数在上单调递增.（6分） （2）由（1）知函数在上单调递增， 则，解得或. 故不等式的解集为.（13分） 16．（15分） 已知函数. (1)在同一坐标系中画出函数的图象； (2)，用函数h(x)表示函数f(x)、g(x)中的最大者，记，分别用函数图象法和解析法表示函数，并写出的单调区间和值域（不需要证明）. 【解析】（1） （4分） （2）由，可得（*）， 当时，（*）即，解得或，所以可得； 当时，（*）即，解得或，所以可得. 故当或时，，； 从而当时，，. 故有. 下面证明函数的单调性： ① 证明函数在上单调递增. 任取，则 ， 因，则，，即， 得，故函数在上单调递增； ②证明函数在上单调递增. 任取，则， 则，故函数在上单调递增. 同法可证在和均为减函数. 由图知，当趋近于和时，均可得趋近于，且， 故函数无最大值，最小值为1，故函数的值域为.（15分） 17．（15分） 已知函数（），且， (1)求的解析式 (2)证明在上是增函数，并求在上的最小值 (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围 【解析】（1）由题意得，解得，所以；（4分） （2）证明：任取，且， 则 ， 因为，且，所以，， 所以， 故在上是增函数，故在上的最小值为；（9分） （3）由题意得，只需时，恒成立， 由基本不等式可知，当且仅当，即时，等号成立， 所以，故，实数m的取值范围是.（15分） 18．（17分） 设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得． (1)求的值并证明为奇函数； (2)求证：在上单调递增； (3)设函数，，不等式对恒成立，试求的值域． 【解析】（1）的定义域为，关于原点对称， 令，得，解得或， 又不存在，使得， ， 证明：由， 令，得， ，， 为奇函数．（4分） （2）证明： 时，，， ，当且仅当，等号成立， 又不存在，使得， ， 时，， 又为奇函数， 时，， ∴对，， 任取，则，， 而， ， 又，， ， ， ，， ∴在上单调递增．（10分） （3）， ， ， ∵不等式对恒成立， 对恒成立， 又在上单调递增， 对恒成立，即对恒成立， 当时，对恒成立， 当时，对恒成立，解得， 综上，， 而函数在上单调递减， 的值域为．（17分） 19．（17分） 设函数定义域为，如果存在常数满足：任取，都有，则称是L型函数，是这个L型函数的常数. (1)判断函数，是不是L型函数，并说明理由；如果是，给出一个常数； (2)设函数是定义在区间上的L型函数，是一个常数，求证：函数也是L型函数； (3)设函数是定义在上的L型函数，其L常数，且的值域也是，求的解析式. 【解析】（1）是，常数是（）. 因为，，， 又，所以，所以， 即当时，任取，，都有， 所以函数，是L型函数，一个常数是.（4分） （2）证明：令， 因为函数的定义域为，所以，解得， 即的定义域为， ，， 因为函数是定义在区间上的L型函数， 所以， 所以函数是L型函数，即函数也是L型函数.（10分） （3）假设，，，， 则有，即， 因为，所以，又因为，所以， 所以，所以，因为，所以, 则以下有两种情况和， 若，则有，，解得； 若，则有，， 解得， 综上所述，的解析式为或.（17分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第5章 函数概念与性质·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．某水池有水 m，以每分钟 m 的速度向外排水，则池中剩余水量 （m）与排水时间 （min）之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 3．已知是奇函数，且在上的最大值为，则（   ） A．在上有最大值，且最大值为 B．在上有最大值，且最大值为 C．在上有最小值，且最小值为 D．在上有最小值，且最小值为 4．已知函数且对任意，当时，恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．定义，若函数，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．已知命题，；命题，，若命题，有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8．若函数的定义域与值域均为，则称为“闭区间同域函数”，称为的“同域闭区间”，则下列结论不正确的是（     ） A．函数存在“同域闭区间” B．若为的“同域闭区间”，则 C．函数存在“同域闭区间” D．存在实数，，使得二次函数定义域为，值域为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是一次函数，且满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，且，则（     ） A．的值域为 B．不等式的解集为 C． D． 11．已知函数的定义域为，对任意都有，且当时，，，则（　　） A．是奇函数，且在上单调递减 B．对任意，都有 C．在上的最小值为 D．若对任意恒成立，则实数的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是______． 13．已知函数 ，若对 使得 ，则a的取值范围是________________ 14．函数在上的最大值与最小值之和为，则实数______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数. (1)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (2)求关于x的不等式的解集. 16．（15分） 已知函数. (1)在同一坐标系中画出函数的图象； (2)，用函数h(x)表示函数f(x)、g(x)中的最大者，记，分别用函数图象法和解析法表示函数，并写出的单调区间和值域（不需要证明）. 17．（15分） 已知函数（），且， (1)求的解析式 (2)证明在上是增函数，并求在上的最小值 (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围 18．（17分） 设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得． (1)求的值并证明为奇函数； (2)求证：在上单调递增； (3)设函数，，不等式对恒成立，试求的值域． 19．（17分） 设函数定义域为，如果存在常数满足：任取，都有，则称是L型函数，是这个L型函数的常数. (1)判断函数，是不是L型函数，并说明理由；如果是，给出一个常数； (2)设函数是定义在区间上的L型函数，是一个常数，求证：函数也是L型函数； (3)设函数是定义在上的L型函数，其L常数，且的值域也是，求的解析式. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $