考点61立体几何中的最值重难点精讲巧练-2027届高考数学一轮复习

黄金考点61 立体几何中的最值      1．在两块平行放置的木板之间放有4个半径均为的球，4个球两两相切，且其中3个球均与同一块木板相切，则两木板之间的最小距离为（    ） A． B． C． D． 2．将半径为的铁球磨制成一个圆柱体零件，则可能制作的圆柱体零件的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．已知某圆锥的轴截面是一个斜边长为4的等腰直角三角形，将该圆锥切割成一个球体，则该球体表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知正三棱柱所有的顶点都在球的球面上，记球的体积为，正三棱柱的体积为，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 5．半正多面体（semiregular solid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的.它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），点满足，则直线与平面所成角的正弦值（   ） A．为定值 B．存在最大值，且最大值为1 C．为定值1 D．存在最小值，且最小值为 6．已知中，，，E，F分别在线段BA，CA上，且，．现将沿EF折起，使二面角的大小为．以下命题正确的是（   ） A．若，，则点到平面的距离为 B．存在使得四棱锥有外接球 C．若，则棱锥体积的最大值为 D．若，三棱锥的外接球的半径取得最小值时， 7．一个底面直径与高相等的封闭圆柱型容器（容器壁厚度忽略不计）内有半径相等的铁球，若同在圆柱的轴截面内且圆柱底面半径为，则小球的体积最大值为___________． 8．如图，四棱柱的底面为平行四边形，，，动点在线段上（含端点）.    (1)求的长； (2)记与所成的角为，求的最大值并指出此时点的位置. . （2021·全国·高考真题） 9．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（    ） A．26% B．34% C．42% D．50% （2016·浙江·高考真题） 10．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是____. （2017·全国III卷·高考真题） 11．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成角时，AB与b成角； ②当直线AB与a成角时，AB与b成角； ③直线AB与a所成角的最小值为； ④直线AB与a所成角的最大值为． 其中正确的是______．（填写所有正确结论的编号） （2015·福建·高考真题） 12．如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且． （Ⅰ）若为线段的中点，求证平面； （Ⅱ）求三棱锥体积的最大值； （Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值． （26-27高三上·广东湛江·开学考试） 13．已知长方体的8个顶点均在球的球面上，，，二面角为，过线段的中点作球的截面，则该截面面积的最小值为（     ） A． B． C． D． （26-27高三上·湖南·阶段检测） 14．在正四棱柱中，，，，分别为棱，的中点，，均为线段上的动点，，点在线段上，当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． （2026·山东东营·模拟预测） 15．在三棱锥中，等边三角形的边长为，，，点为的中点． (1)证明：； (2)设点在底面上的投影为，求三棱锥体积的最大值． （26-27高三上·江苏常州·阶段检测） 16．如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． (1)若，证明：平面； (2)若，且，证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值的最小值． （2026·浙江·模拟预测） 17．已知正四面体的棱长为1，在的内切圆上有一动点，的内切圆上有一动点，则的最大值为__________. （2026·陕西西安·模拟预测） 18．在长方体中，，，点在棱上，不与重合，点在棱上，，平面将长方体分为两部分.在四棱柱内部有一球，半径为.在三棱柱内部有一球，半径为，则的最大值为______. （2026·上海·三模） 19．已知点为平面直角坐标系内的圆上的动点，定点，现将坐标平面沿轴折成的二面角，使点翻折至，则两点间距离的最大值是______． （26-27高三上·浙江·阶段检测） 20．如图，正方体的棱长为1，点满足． (1)求证：平面； (2)记平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为． （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）当取最大值时，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《考点61 立体几何中的最值 【练】黄金考点总动员2027届》参考答案： 1．C 【分析】根据正四面体的几何性质，利用勾股定理求解高，即可求解. 【详解】小球两两相切，其中3个小球与同一块木板相切， 则四个球心的连线构成棱长为2的正四面体，如图：为球心，是三棱锥的高，则    即正四面体高为， 故两木板之间的最小距离为， 故选：C 2．B 【分析】设圆柱的底面半径为，高为，由圆柱体零件的侧面积最大可得圆柱体内接于球，由此确定，，的关系，再求圆柱的侧面积表达式并利用基本不等式求其最值. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为， 由圆柱体零件的侧面积最大可得圆柱体内接于球，此时圆柱的轴的中点为球的球心， 所以， 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立， 所以， 由圆柱的侧面积公式可得，圆柱的侧面积， 所以，当且仅当时等号成立， 所以可能制作的圆柱体零件的侧面积的最大值为. 故选：B. 3．B 【分析】设切出的球体的最大半径为，根据条件得出，计算可得，然后根据球体的表面积公式计算即可. 【详解】因为该圆锥的轴截面是一个斜边长为4的等腰直角三角形， 所以该圆锥的底面半径和高均为2，设切出的球体的最大半径为， 能切割成的一个球体为圆锥的内切球，内切球的的大圆即为等腰直角三角形的内切圆， 则，得，此时该球体的表面积. 故选：B. 4．D 【分析】设出底面棱长和高，表示出，换元，利用导数求解新函数的最值，进而可得答案. 【详解】设正三棱柱的底面棱长为，高为，则； 由正三棱柱的性质可知球心位于上下底面中心连线的中点处，设半径为， 则， 所以, . 令，则，代入上式可得. 令，则 ，其中； 令得，当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 所以的最小值为，所以的最小值为. 故选：D 5．A 【分析】根据条件可得在线段（不包括点），将该半正多面体补成正方体，可得直线与平面所成角等于直线与平面所成角，得解. 【详解】，即在线段（不包括点）. 如图，将该半正多面体补成正方体，则平面平面， 因此直线与平面所成角等于直线与平面所成角. 在正四面体中，设正四面体的棱长为2，作平面，垂足为， 连接，则即为直线与平面所成角. 易求，所以， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将向量条件转化为，即在线段（不包括点），将该半正多面体补成正方体求解. 6．ACD 【分析】对于A，由线面平行将点到平面的距离转化成点到平面的距离即可求解，对于B,通过四边形没有外接圆即可判断，对于C，确定的长度，结合体积公式及基本不等式即可判断,对于D，补全长方体即可判断. 【详解】，，易知平面ABC,平面， 易知面 故点到平面的距离为即为点到平面的距离， 因为，所以，所以， 所以为二面角的平面角， 又为平面内两条相交直线， 所以平面， 所以平面，又在平面内， 所以平面平面， 所以到平面ABC的距离即为到， A选项：，，即，三角形等边三角形， 可得：到的距离为，故A正确； B选项：由于直角梯形不可能共圆，所以四棱锥无外接球，所以B错误； C选项：由题意可知，，， , ， 由基本不等式可知：， 当且仅当，即时取得最大值， 所以, 所以当，时，体积取到最大值，故正确； D选项：由题意可知，，， ，也即两两垂直， 可以依次构造长方体，长方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球半径为r， 则，， 所以时，取得最小值，此时，所以D正确． 故选：ACD 7． 【分析】根据小球体积最大可得三球的分布，再根据三球球心构成的等腰三角形结合圆柱底面半径可求小球半径，从而可得小球体积的最大值. 【详解】根据题意，如图三球与圆柱的轴截面，当球分别与圆柱上下底面及侧面相切， 且球、、C相互相切，此时球的体积最大，作出圆柱的轴截面图，连接， 过A作，垂足为，且与轴截面底面直径平行，设小球半径为，圆柱的底面圆半径为，    根据题意可得：， 在三角形中，由， 即， 故球的体积最大为． 故答案为：． 8．(1)； (2)；点与点重合 【分析】（1）设，求得，将用表示，利用向量数量积的运算律即可求得的长； （2）依题设，将与分别用表示，求出，，利用空间向量的夹角公式求得，结合和余弦函数的单调性即可求得的最大值. 【详解】（1）设， 依题意，， 则， 由图知：， 则， 故的长为. （2）因动点在线段上（含端点），设， 则， 则 ， 而，， 则， 于是， 因，则，则，故， 因，而余弦函数在单调递减，故当时， 取得最大值，此时点与点重合. 9．C 【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为： . 故选：C. 10． 【详解】中，因为， 所以. 由余弦定理可得 ， 所以. 设，则，. 在中，由余弦定理可得 . 故. 在中，，. 由余弦定理可得， 所以. 过作直线的垂线，垂足为.设 则， 即， 解得. 而的面积. 设与平面所成角为，则点到平面的距离. 故四面体的体积 . 设，因为，所以. 则. （1）当时，有， 故. 此时， . ，因为， 所以，函数在上单调递减，故. （2）当时，有， 故. 此时， . 由（1）可知，函数在单调递减，故. 综上，四面体的体积的最大值为. 11．②③ 【分析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，， ，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C为坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果． 【详解】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图， 不妨设图中所示正方体边长为1，故， ， 斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆， 以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系， 则，直线a的方向单位向量，直线b的方向单位向量， 设B点在运动过程中的坐标为，其中θ为与CD的夹角，， ∴在运动过程中的向量，，设与所成夹角为， 则，所以，因此③正确，④错误． 设与所成夹角为，则， 当与夹角为时，即时，， 又，则，又因为，所以，此时与的夹角为，所以②正确，①错误． 12． （Ⅰ）在中，因为，为的中点， 所以．又垂直于圆所在的平面，所以． 因为，所以平面． （Ⅱ）；（Ⅲ）． 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ）因为点在圆上， 所以当时，到的距离最大，且最大值为． 又，所以面积的最大值为． 又因为三棱锥PO＝1的高，故三棱锥体积的最大值为． （Ⅲ）在中，，，所以． 同理，所以． 在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示． 当，，共线时，取得最小值． 又因为，，所以垂直平分， 即为中点．从而， 亦即的最小值为． 考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积． 13．B 【分析】先根据长方体的性质得到为二面角的平面角，可得，进而求得，，可得球的半径为，，分析可得垂直于截面时，截面圆的面积最小，进而求解即可. 【详解】在长方体中，平面， 而平面，所以，又， 所以为二面角的平面角，即， 由，，则，即， 所以球的半径为，易得， 要使截面圆的面积最小，则垂直于截面，此时截面圆的半径为， 则截面面积的最小值为. 14．B 【分析】先利用对称性和平移法求出取得最小值时的长度，再利用几何法得到直线与底面所成的角为，然后在中即可计算的正切值． 【详解】因为分别为棱的中点，所以， 在棱上取点，使得，连结， 则四边形为平行四边形，故， 又因为关于的对称点为，连结，则， 因此， 当三点共线时，取得最小值，此时， 由于底面，连结，则直线与底面所成的角为， 而此时， 故当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为． 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设的中点为，连接、，证明出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立； （2）过点在平面内作的垂线，垂足为点，连接、，证明出面，可知为点在底面上的投影，设，其中，求出三棱锥体积. 方法一：计算得出，然后利用四元基本不等式可求得的最大值； 方法二：设，其中，利用导数法可求得的最大值. 【详解】（1）设的中点为，连接、． 因为三角形为等边三角形，所以， 因为、分别为、的中点，所以， 又因为，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以． （2）过点在平面内作的垂线，垂足为点，连接、，证明如下： 由（1）得，平面，且平面，所以， 又因为，，、平面， 所以平面，即为点在底面上的投影． 因为是边长为的等边三角形，，则， 因为，，，所以， 由（1）可知，设，其中， 则，， 所以， 三角形的面积 ， 则三棱锥体积， 法一：四元均值不等式 ， 即，当且仅当，即时，即时，等号成立． 法二：导数法 设，， 则 ， 令，即，解得， 由，即，解得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 即． 16．(1)如图，作出符合题意的图形， 连接，相交于点，连接， 四边形为菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面． (2)如图，作出符合题意的图形， 因为，有， 所以，得， 有是靠近的三等分点，则， 又，，，所以， ，， 则，即，， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； (3) 【分析】（1）利用三角形中位线得到线线平行，依据线面平行判定定理完成证明； （2）利用等体积转化由体积比确定点的位置，通过勾股定理证线线垂直，推证线面垂直，进而证面面垂直； （3）建立空间直角坐标系，设出动点坐标，求解平面法向量，得到二面角的余弦表达式，结合三角函数有界性求出二面角余弦的最小值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示． 可得，，，， 由题意得平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，，， 由，得，令，则解得，， ，令， 因为，所以，令，， 则有，得， 有，得， 即 即二面角的余弦值的最小值为． 17． 【详解】 如图将正四面体补成长方体，，在正方体的内切球上，此时距离最大值为球的直径，当为的中点，当为中点时取到，即 18． 【分析】设，则．平面把长方体分成一个直四棱柱和一个直三棱柱．球在直柱体内的半径不能超过柱体高的一半，也不能超过底面内最大内含圆的半径．因此问题可转化为求底面直角梯形和直角三角形中最大内含圆半径之和的最大值． 【详解】设则 因为，所以平面把原长方体分成的两部分都是直柱体，且柱体高度均为． 因此内部球的半径都不超过 先求四棱柱内球的最大半径． 它的底面是直角梯形，其中，，． 当时，在直角梯形内可以放入半径为的圆，且球半径不能超过柱体高度的一半，所以 当时，半径为的圆放不下． 设最大圆半径为，可使圆心到，的距离都不小于，为了使半径最大， 圆心应在两平行边，的中间位置，且到与斜边的距离相等． 在底面中建立平面直角坐标系，取 边所在直线方程为 圆心可取为．于是圆心到边的距离为 令这个距离等于，得 综上， 再求三棱柱内球的最大半径． 它的底面是直角三角形，直角边为 所以底面内切圆半径为 该值不超过，所以柱体高度不会再限制球半径． 下面求的最大值． 当时，令，则，且 函数随增大而增大，所以在时最大值在处取得， 即，此时 当时，令，则，并记 此时 下面证明它小于． 有 因为，只需证明分子小于． 当时， 所以分子小于． 当时，，且要证等价于 两边均为正，平方得 而其中，所以不等式成立． 因此当时，． 综上，当且仅当时取等号． 故的最大值为 19．7 【分析】当与位于同一半圆时，可知当三点共线时取得最小值，当位于时，取得最大值；当与分别在两个半平面中时，作出二面角的平面角及在平面上的投影点，设，利用勾股定理和三角恒等变换知识，结合三角函数值域求法可求得所处的范围；综合两种情况可得结果. 【详解】由圆的方程知，圆的半径为，当与位于同一半圆时， 作出该半圆所在的平面图，如下图所示， ， 当且仅当三点共线时取等号， 当位于图中处时，取得最小值； 又当位于图中处时，取得最大值； 当与分别在两个半平面中时，作平面，垂足为， 作轴，垂足为，连接，则三点共线， 设为延长线上的点，则即为翻折后的二面角的平面角， ，，， ，，； 为圆右半圆上的点，可设，， ， ， 其中，，，当， 即时，，则； 又，，即； 可得两点间的距离的取值范围为. 综上所述，两点间距离的最大值是. 20．(1)证明：在正方体中，可得，且， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面，所以平面， 因为且平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面. (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）利用线面平行的判定定理，分别证得平面和平面，再由面面平行的判定定理，证得平面平面，进而证得平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面，平面和平面的法向量和，结合和向量的夹角公式，以及两角和的正切公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，， 设平面的法向量为，因为， 则，取，可得，所以， 设平面的法向量为， 因为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为， 因为，则， 取，可得，所以， （ⅰ）当时，，得，可得，解得； （ⅱ）由， 得，（当时，）， 由， 得，（当时，）， ①当或时，可计算得； ②当且时，． 若，， 若，， 若，， 结合①②可知，， 因此，当取最大值时，． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄金考点61 立体几何中的最值 2025年真题深入解读 【2025·全国二卷·第14题】一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________． 高考新趋势 1. 动态化、情境化增强：静态几何体减少，折叠、旋转、动点滑动成为立体几何最值主流背景，强调空间想象，不再单纯套固定公式. 2. 多选成为最值主阵地：立体几何最值越来越多地放在多选题，一选项定性判断最值存在性，一选项定量计算；考察 “定性 + 定量” 双重能力. 3. 跨模块融合：立体几何最值常和函数、三角、不等式融合，目标函数常是三角函数或者二次函数，不是纯几何题. 4. 弱化复杂计算，强化几何直观：命题导向：优先能用几何观察找到极值位置，而不是硬算复杂函数；减少繁琐坐标运算，更看重空间感知. 5. 回炉创新问题：外接球最值、截面最值隔年会出现一次创新考法，但不会连续多年考察；6. 命题风格：控制复杂度，极少出现三维复杂参数函数，一般只设单参数（一个角度或者一条线段为变量），避免二元复杂优化. 命题分析 （1）情境创设：以圆柱和球为背景，考查空间几何体的内切球问题． （2）问题设计：已知圆柱，放入两个半径相同的球，要求铁球半径最大．需要利用圆柱、球的几何性质求半径． （3）考查目标：试题考查圆柱与球的基本概念和几何性质，突出考查考生的空间想象能力，体现了高考评价体系要求的基础性、综合性与创新性． 知识总结 ①核心概念：圆柱与球的基本概念和几何性质． ②解题要点：由圆柱与球的性质，结合圆柱的底面半径、确定球半径的最大值． ③拓展关联：载体集中在圆锥、圆柱、正方体等对称结构． 分步解析 第一步：设球半径 圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且， 第二步：建立球半径的方程 由圆柱与球的性质知， 即， 第三步：结合圆柱的底面半径、确定球半径的最大值 ， 故答案为：. 考情维度 2027命题预判 分值位置 最值绝大多数出现在多选题、填空题压轴；解答题立体几何以证明 + 固定角度为主，最值一般作为第二小问附加设问，不是解答题必考点. 核心考点 新高考偏爱折叠问题、动态动点；载体以三棱锥、长方体、正方体为主，圆柱圆锥较少. 命题特点 1.双重解法兼容：一题可几何法快速定性找临界，也可建系函数求最值；命题有意区分：几何直觉强的学生更快，计算型学生可以坐标硬算.2. 约束条件简洁隐蔽：约束往往隐藏在垂直、定长、折叠不变量（折叠前后长度不变，角度可变），重点考察不变量识别. 3. 最值类型以最大值居多，最小值多为垂线段最短类简单模型；极值点常在垂直、共线、相切等特殊位置. 备考策略 1主干题型优先突破：（1）体积最值：专项训练 “定底求高” 模型，重点训练折叠三棱锥体积最大值；掌握用基本不等式处理面积乘积型最值；（2）空间距离最值：两类模型分开练：①几何体表面最短路径（展开法）；②空间内部两点距离（建系 + 二次函数）； （3）空间角最值：牢记线面角、二面角向量公式，学会把角的最值转化三角函数单调性；重点识别临界位置. 2.轻量考法保底认知：外接球半径最值、截面最值、空间向量数量积最值，只掌握基础模型，不需要大量偏题；轨迹最值只做真题同类型，不拓展竞赛类空间轨迹. 考法一 体积 、面积的最值 【十年真题*精选】 真题1-1 （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题） 1．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 真题1-2 （2018·全国I卷·高考真题） 2．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为 A． B． C． D． 真题1-3 （2017·全国I卷·高考真题） 3．如图，圆形纸片的圆心为，半径为cm，该纸片上的等边三角形的中心为，，，为圆上的点，，，分别是以，，为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得，，重合，得到三棱锥．当的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______． 【解题规律*总结】 题源 考查角度 规律总结 2022·全国I卷 正四棱锥体积 1.几何法：利用几何体的结构特征，确定几何体体积何时最大、最小；2.代数法：（1）设出未知量，建立目标函数； （2）确定目标函数的最值.方法一，应用函数的性质，确定最值及其取得的条件； 方法二，应用基本不等式，确定最值及其取得的条件； 方法三，应用导数知识，确定最值及其取得的条件. 3.确定最值的方法：几何法、代数法. 2018·全国I卷 正方体截面面积 2017·全国I卷 三棱锥体积最值 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1 （2026·江苏连云港·模拟预测） 4．如图，在底面为菱形的四棱锥中，底面，与相交于点．    (1)证明：平面平面； (2)若， （ⅰ）求四棱锥体积的最大值； （ⅱ）当四棱锥体积最大时，求二面角的余弦值． 模拟1-2 （2025·河北邯郸·一模） 5．已知三棱锥中，，为的中点，过点作三棱锥外接球的截面，则截面面积的最小值为______. 模拟1-3 （24-25高三上·安徽·期中） 6．三棱锥的底面是等边三角形，，二面角的大小为，若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值等于（    ） A． B． C． D． 考法二 空间角(函数值)的最值 【十年真题*精选】 真题2-1 （2021·全国甲卷·高考真题） 7．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 真题2-2 （2025·上海·高考真题） 8．已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为__________． 真题2-3 （2020·山东·高考真题） 9．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． （1）证明：l⊥平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 【解题规律*总结】 题源 考查角度 规律总结 2021·全国甲卷 直三棱柱、线线垂直、二面角 1.解答线面角问题有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 2.解答二面角问题常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 2025·上海 圆锥、异面直线所成的角 2020·山东 线面垂直、线面角 【三年模拟*荟萃】 模拟2-1 （25-26高三下·河北衡水·阶段检测） 10．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为正三角形，平面平面，点为棱上一点，O、G分别为，中点. (1)求证：平面平面； (2)若点为中点，点P关于平面的对称点为点Q，在棱上运动，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 模拟2-2 （2025·湖南永州·模拟预测） 11．如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）. (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 模拟2-3 （2024·河北·模拟预测） 12．已知正方体的棱长为，点N是四边形内一点，且满足，则DN与平面所成角的正切值的最小值为（    ） A． B． C． D． 考法三 外接球 / 内切球相关最值 【十年真题*精选】 真题3-1 （2022·全国乙卷·高考真题） 13．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． 真题3-2 （2023·全国甲卷·高考真题） 14．在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是________． 真题3-3 （2018·全国III卷·高考真题） 15．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为(    ) A． B． C． D． 【解题规律*总结】 题源 考查角度 规律总结 2022·全国乙卷 四棱锥外接球、体积最大求高 1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.2.柱体外接球球心在上下底面外心连线中点，R²=()²+r²（汉堡模型）；内切球用轴截面内切圆或等体积法. 3.抓住外接球球心轨迹，转化平面圆的半径最值；球面上点距离 = 球半径 ± 球心到定点距离. 2023·全国甲卷 正方体与球面、球半径范围 2018·全国III卷 三棱锥体积、外接球 【三年模拟*荟萃】 模拟3-1 （26-27高三上·广东深圳·开学考试） 16．将一条长为的线段截成段，使其组成一个正三棱柱的框架，则该正三棱柱的外接球表面积的最小值为（） A． B． C． D． 模拟3-2 （25-26高三上·云南·阶段练习） 17．在平面四边形中，，是边长为6的正三角形．将该四边形沿对角线折成一个大小为，的二面角，则四面体的外接球半径的取值范围为___________． 模拟3-3 （24-25高三上·陕西西安·期末） 18．已知某圆锥的轴截面是一个斜边长为4的等腰直角三角形，将该圆锥切割成一个球体，则该球体表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 考法一 长度最值与最值“逆向”问题 【十年真题*精选】 真题1-1 （2017·全国·高考真题） 19．长方体的长、宽、高分别为，由顶点A沿长方体的表面到顶点路径长度的最小值为_____________． 真题1-2 （2022·全国乙卷·高考真题） 20．如图，四面体中，，E为AC的中点． (1)证明：平面平面ACD； (2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积． 真题1-3 （2018·全国·高考真题） 21．如图，边长为的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点． （1）证明：平面平面； （2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值． 【解题规律*总结】 1.对于包含动点的线段和最小问题，一般考虑将其中一个平面翻折，使之与另一个平面共面，化空间距离的和为平面距离的和来求解； 2.求动点引起的最值问题，建立空间直角坐标系，设出动点坐标，由动点满足的关系得出等式后消元，利用直线的方向向量夹角的余弦值的计算方法得到函数关系，再利用三角换元法解出直线与夹角余弦值的函数关系式，由三角函数的值域得到最大值. 3.逆向最值问题，一般从研究最值入手，由几何法、代数法可供选择，注意解题的灵活性. 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1 （2026·广东佛山·模拟预测） 22．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，，且平面平面．点为的中点，点，分别为线段，上的动点． (1)当点为的中点时，求证：平面平面； (2)求的最小值； (3)当取到最小值时，求平面与平面夹角的余弦值． 模拟1-2 （25-26高三上·江苏苏州·开学考试） 23．如图，在三棱锥中，底面，，，分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)若，，，且与平面所成角的正切值为， ①当时，求三棱锥的体积； ②求的最大值. 模拟1-3（24-25高三上·海南海口·阶段练习） 24．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且. (1)求证：； (2)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值. 预测角度 预测缘由 试题指引 备考提醒 圆锥、球、体积 考查基础 如押题第1题 1.警惕易错陷阱 （1）折叠问题：分清折叠前后不变量（边长）与变化量（二面角、距离），很多学生误把折叠后变化的角度当成定值； （2）线面角范围容易错把钝角算入；二面角要判断是锐角还是钝角； （3）利用基本不等式求最值：必须验证等号能否在空间几何体约束条件下取到，很多题目数学上等号成立，但空间几何上不存在该位置，直接丢分； （4）动点轨迹不要凭感觉脑补，优先用约束严格推导，多选容易在轨迹上设置陷阱. 2.答题取舍 立体几何最值小题属于中高档题，考场如果几何思路 5 分钟没有突破，立刻切换建系；解答题立体几何如果出现最值设问，难度一般低于多选压轴. 三棱锥、球、点到平面的距离 考查基础 如押题第2题 正三棱锥、球、截面 考查基础 如押题第3题 三角形折起、线面垂直、体积、线面角 考查基础、体现融合 如押题第4题 四面体、面面垂直、线面角、二面角 考查基础、体现融合 如押题第5题 （押题1:圆锥、球、体积） 25．已知某圆锥放置于半径为的球内，当该圆锥的体积取得最大值时，该圆锥的高为（    ） A． B． C． D．2 （押题2:三棱锥、球、点到平面的距离） 26．在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，，.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为（   ） A． B． C． D． （押题3:正三棱锥、球、截面） 27．已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最大值是（    ） A． B． C． D． （押题4:三角形折起、线面垂直、体积、线面角） 28．已知直角梯形，，，，为对角线与的交点．现以为折痕把折起，使点到达点的位置，点为的中点，如图所示： (1)证明：平面； (2)求三棱锥体积的最大值； (3)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． （押题5:四面体、面面垂直、线面角、二面角） 29．如图，四面体ABCD中，，，，E为AC的中点. (1)证明：平面平面； (2)设，，点F在线段BD上， （i）求二面角的余弦值； （ii）记CF与平面ABD所成角为，求的最大值. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《考点61 立体几何中的最值 【讲】黄金考点总动员2027届》参考答案： 1．C 【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围. 【详解】∵球的体积为，所以球的半径, [方法一]：导数法 设正四棱锥的底面边长为，高为， 则，, 所以， 所以正四棱锥的体积， 所以， 当时，，当时，， 所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为， 又时，，时，, 所以正四棱锥的体积的最小值为， 所以该正四棱锥体积的取值范围是. 故选：C. [方法二]：基本不等式法 由方法一故所以当且仅当取到， 当时，得，则 当时，球心在正四棱锥高线上，此时， ，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是 2．A 【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果. 【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的， 所以在正方体中， 平面与线所成的角是相等的， 所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的， 同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等， 要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的， 且过棱的中点的正六边形，且边长为， 所以其面积为，故选A. 点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果. 3．cm3 【分析】设的边长为cm，表示出所得三棱锥的体积，利用导数求函数的最大值. 【详解】如下图， 连接交于点，设，，重合于点， 设正三角形的边长为，等边三角形中心到各边的距离为： ，所以， 则 ， 又因为高为实数，则，得出，所以， 则三棱锥的体积， 设，则， 令，即，得， 当时，，函数在单调递增， 当时，，函数单调递减， 在处取得最大值，则. 4．(1)因为 底面 ， 底面，所以； 又底面 是菱形，菱形对角线互相垂直，故， 平面，因此 平面， 又 平面，所以平面平面； (2)（ⅰ）；（ii） 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可证明结论； （2）（i）设，结合题意可推出，继而推出，根据棱锥体积公式可得四棱锥体积的表达式，利用导数可求得其最大值；（ii）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面和平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）略 （2）（i）设，则，而， 故， 又底面，底面，则，故， 即，故， 则菱形的面积为， 故四棱锥体积为， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故时，取最大值，最大值为， 故四棱锥体积的最大值为； （ii）当四棱锥体积最大时，, 以O为坐标原点，以所在直线为轴，过点O作底面的垂线为z轴， 建立空间直角坐标系，    则， , 设平面的法向量为，则, 即，令，则； 设平面的法向量为，则, 即，令，则； 则， 由原图可知二面角为锐角，故其余弦值为. 5． 【分析】取线段的中点，根据长度关系求出点为三棱锥的外接球球心，再根据的关系求出的最小值即可. 【详解】取线段的中点，连接， 因，，， 则由勾股定理可知，，，则， 则点为三棱锥的外接球球心，外接球半径为 因，则由勾股定理可知，， 因为的中点，则， 设球心到过点的三棱锥外接球的截面的距离为，截面圆的半径为， 则， 欲使截面面积最小，即最小，则要求最大， 当垂直截面时，最大，最大值为， 则的最小值为，则截面面积的最小值为. 故答案为： 6．A 【分析】设，三棱锥外接球的半径为R，由外接球的表面积可求出R，结合二面角的大小可求出a，当时，点P到平面ABC的距离最大，即体积最大． 【详解】设，三棱锥外接球的半径为R，则，解得， 设的外心为，该点是棱AC的中点，设等边的外心为， 过点作平面APC的垂线，过点作平面ABC的垂线，两垂线交于点O， 即为三棱锥外接球的球心． 因为二面角的大小为，所以， 于是，， ， 因为，即， 解得，即， 因为，所以当时，点P到平面ABC的距离最大， 其最大距离为， 所以三棱锥体积的最大值等于. 故选：A. 7．（1）[方法一]：几何法 因为，所以． 又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示， 过E作的平行线分别与交于其中点，连接， 因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点， 易证，则． 又因为，所以． 又因为，所以平面． 又因为平面，所以． [方法二] 【最优解】：向量法 因为三棱柱是直三棱柱，底面， ，，，又，平面．所以两两垂直． 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图． ，． 由题设（）． 因为， 所以，所以． [方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以． （2） 【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直； （2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案； 【详解】（1）略 （2）[方法一]【最优解】：向量法 设平面的法向量为， 因为， 所以，即． 令，则 因为平面的法向量为， 设平面与平面的二面角的平面角为， 则． 当时，取最小值为， 此时取最大值为． 所以，此时． [方法二] ：几何法 如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面． 作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角． 设，过作交于点G． 由得． 又，即，所以． 又，即，所以． 所以． 则， 所以，当时，． [方法三]：投影法 如图，联结， 在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则． 设，在中，． 在中，，过D作的平行线交于点Q． 在中，． 在中，由余弦定理得，，， ，， 当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为． 【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维. 第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面与面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面积与面积之比即为面与面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维． 8． 【分析】过作交底面圆锥于点，则为异面直线与所成角，结合余弦定理与余弦函数的性质即可得的取值范围，从而得所求最值. 【详解】 如图，过作交底面圆锥于点，连接， 因为，则为异面直线与所成角， 所以， 又，所以，即， 因为，函数在上单调递减，所以， 故异面直线与所成角的最小值为. 故答案为：. 9． （1）证明： 在正方形中，，因为平面，平面， 所以平面，又因为平面，平面平面， 所以，因为在四棱锥中，底面是正方形， 所以且平面，所以 因为，所以平面． （2）. 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，从而得到平面； （2）方法一：根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得的最大值，即为直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【详解】（1）略 （2）［方法一］【最优解】：通性通法 因为两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示： 因为，设， 设，则有， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以平面的一个法向量为，则 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于，当且仅当时取等号，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. ［方法二］：定义法 如图2，因为平面，，所以平面． 在平面中，设． 在平面中，过P点作，交于F，连接． 因为平面平面，所以． 又由平面，平面，所以平面．又平面，所以．又由平面平面，所以平面，从而即为与平面所成角． 设，在中，易求． 由与相似，得，可得． 所以，当且仅当时等号成立． ［方法三］：等体积法 如图3，延长至G，使得，连接，，则，过G点作平面，交平面于M，连接，则即为所求． 设，在三棱锥中，． 在三棱锥中，． 由得， 解得， 当且仅当时等号成立． 在中，易求，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为． 【整体点评】（2）方法一：根据题意建立空间直角坐标系，直线PB与平面QCD所成角的正弦值即为平面的法向量与向量的夹角的余弦值的绝对值，即，再根据基本不等式即可求出，是本题的通性通法，也是最优解； 方法二：利用直线与平面所成角的定义，作出直线PB与平面QCD所成角，再利用解三角形以及基本不等式即可求出； 方法三：巧妙利用，将线转移，再利用等体积法求得点面距，利用直线PB与平面QCD所成角的正弦值即为点面距与线段长度的比值的方法，即可求出． 10．(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，由矩形的性质可得，从而可得平面，由面面垂直的判定定理即可得证明； （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间坐标系,先求得，再利用直线与平面所成角的向量法求解即可. 【详解】（1）证明：因为为正三角形，O为中点， 所以， 又因为G为中点，四边形为矩形， 所以， 因为平面且， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （2）由（1）可知， 又因为平面平面,平面平面, 所以平面, 又因为平面, 所以， 所以两两垂直， 所以以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间坐标系： 由，，，，，，，， 所以,, 设平面的法向量为， 则，得， 取， 设， 由题意可得， 所以， 所以中点在平面内， 则 所以， 解得， 所以， 设，， 则， 因为平面， 所以取平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 要使最大，所以最小， 又因为， 所以时，最小，为， 此时最大，为. 11．(1) 因为 平面，平面，所以； 又，是的中点，所以； 因为，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）要证明线面垂直，需证明直线与平面内两条相交直线垂直； （2）先根据二面角的大小确定相关线段的关系，再通过建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值，最后求其最大值. 【详解】（1）略 （2）由平面，得，故  ， 设  ，以为原点，为轴，为轴，平面内过作 的垂线为轴，建立坐标系， 各点坐标：， 设，则， 直线的方向向量： ， 平面的法向量：由（1）知 ， 设直线与平面所成角为，则：， 令，其对称轴为，此时， 代入得. 12．D 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案. 【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ，平面的法向量为， 由于点N是四边形内一点，故可设，， 由于，所以，所以， 所以点在线段上，设DN与平面所成角为，， 则，所以， 当时，，不存在. 当时，，当时，取得最小值为. 故选：D 13．C 【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值. 【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式 设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r， 设四边形ABCD对角线夹角为， 则 （当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立） 即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为 又设四棱锥的高为，则， 当且仅当即时等号成立. 故选：C [方法二]：统一变量＋基本不等式 由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高， (当且仅当，即时，等号成立) 所以该四棱锥的体积最大时，其高. 故选：C．[方法三]：利用导数求最值 由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则， ，，单调递增， ，，单调递减， 所以当时，最大，此时． 故选：C. 【点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解； 方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值； 方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法． 14． 【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小. 【详解】设球的半径为. 当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点， 正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；    分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点， 连接，则，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为. 综上，. 故答案为： 15．B 【分析】作图，为与球的交点，点为三角形的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得． 【详解】如图所示，点为三角形的中心，为中点， 易知当平面时，且在之间时三棱锥体积最大， 此时 ，, 点为三角形的中心， 中，有 所以三棱锥体积的最大值为. 16．A 【分析】设底面边长为、侧棱长为，利用棱长总和消元得，再根据正三棱柱外接球球心在上下底面中心连线中点，结合正三角形外接圆半径公式，半径平方，代入后得到关于的二次函数，利用二次函数顶点坐标公式求其最小值，最后将最小值代入球表面积公式即可完成求解. 【详解】设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为， 正三棱柱共有条棱，上下底面各条共，侧棱条共，总长度为， 因此，即， 正三棱柱外接球的球心位于上下底面中心连线的中点，底面正三角形的外接圆半径为， 球心到侧棱中点的垂直距离为，所以外接球半径满足， 由代入得， 这是关于的开口向上的二次函数，当时，取得最小值， 此时， 因此外接球表面积的最小值为. 17． 【分析】先确定与外心，则可得两外心分别与四面体的外接球球心相连所得直线与平面、平面垂直，再结合二面角的大小可表示出半径，再利用的范围计算即即可得解. 【详解】取中点，由，则点为外心， 连接，取线段上靠近点的三等分点， 由是正三角形，则点为外心， 令四面体的外接球球心为，连接、， 则有平面、平面， 又平面、平面，故、， 由二面角的大小为，则， ，则， 则， 由，则，则， 故，即， 即四面体的外接球半径的取值范围为. 故答案为：.    18．B 【分析】设切出的球体的最大半径为，根据条件得出，计算可得，然后根据球体的表面积公式计算即可. 【详解】因为该圆锥的轴截面是一个斜边长为4的等腰直角三角形， 所以该圆锥的底面半径和高均为2，设切出的球体的最大半径为， 能切割成的一个球体为圆锥的内切球，内切球的的大圆即为等腰直角三角形的内切圆， 则，得，此时该球体的表面积. 故选：B. 19．5 【分析】设出边长，将长方体侧面从不同方向展开，计算展开后的矩形的对角线长度，最短即为所求解. 【详解】不妨设， 将侧面与展成一个矩形，此矩形长宽，对角线， 同理，将与展成一个矩形，对角线长为， 将与是成一个矩形，对角线长为， 综上，由A到最小值为． 故答案为：. 20．(1) 证明：由于，是的中点，所以. 由于，所以， 所以，故， 由于，平面， 所以平面， 由于平面，所以平面平面. (2) 【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面. （2）首先判断出三角形的面积最小时点的位置，然后求得到平面的距离，从而求得三棱锥的体积. 【详解】（1）略 （2）[方法一]：判别几何关系 依题意，，三角形是等边三角形， 所以， 由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以. ，所以， 由于，平面，所以平面. 由于，所以， 由于，所以， 所以，所以， 由于，所以当最短时，三角形的面积最小 过作，垂足为， 在中，，解得， 所以， 所以 过作，垂足为，则，所以平面，且， 所以， 所以. [方法二]：等体积转换 ，， 是边长为2的等边三角形， 连接 21． （1）［方法一］：【最优解】判定定理 由题设知，平面平面，交线为. 因为平面. 所以平面，因平面，则. 又因为上异于的点，且为直径，所以. 又 平面，所以平面. 又平面，故平面平面. ［方法二］：判定定理 由题设知，平面平面，交线为. 因为，平面，所以平面， 而平面，所以， 因为M为上异于的点，且为直径，所以. 又平面，所以平面， 而平面，故平面平面． ［方法三］：空间向量法 因正方形所在平面与半圆弧所在平面垂直, 故可以点为原点，所在直线分别为轴， 过点且垂直于平面竖直向上方向为轴建立空间直角坐标系如图2. 则，设， 则， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 设平面的一个法向量为， 则，故可取 因为点在以为圆心，半径为的圆上， 所以，即， 而，所以平面平面． （2）． 【分析】（1）方法一：先证平面，得，再证，由线面垂直的判定定理可得平面，即可根据面面垂直的判定定理证出； 方法二：先证平面，得，再证，由线面垂直的判定定理可得平面，即可根据面面垂直的判定定理证出； 方法三：如图建立空间直角坐标系，求出平面与平面法向量，由两法向量垂直可完成证明； （2）方法一：先建立空间直角坐标系，然后判断出的位置，求出平面和平面的法向量，进而求得平面与平面所成二面角的正弦值． 方法二：过点作，易证为所求二面角的平面角，据此可得答案； 方法三：取和的中点分别为和，注意到在平面上的射影图形正好是，然后由射影面积公式可得答案； 方法四：由题设平面与平面的交线过点，通过证明，故可得是面与面所成二面角的平面角，据此可得答案. 【详解】（1）略 （2）［方法一］：【通性通法】向量法 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 当三棱锥体积最大时，为的中点. 由题设得， ， 设是平面的法向量，则 即，可取. 是平面的一个法向量， 因此，则， 所以面与面所成二面角的正弦值是. ［方法二］：几何法（作平行线找公共棱） 如图3，当点与圆心连线时，三棱锥体积最大． 过点作，易证为所求二面角的平面角． 在中，，即面与面所成二面角的正弦值是． ［方法三］：【最优解】面积射影法 设平面与平面所成二面角的平面角为． 由题可得在平面上的射影图形正好是． 取和的中点分别为和，则可得，， 所以由射影面积公式有， 所以，即面与面所成二面角的正弦值是． ［方法四］：定义法 如图4，可知平面与平面的交线过点，可以证明． 分别取的中点，联结，可证得直线平面， 于是平面，所以，故是面与面所成二面角的平面角． 在中，，则， 所以，即面与面所成二面角的正弦值为． 【整体点评】（1）方法一：利用面面垂直的判定定理寻找合适的线面垂直即可证出，是本题的最优解； 方法二：同方法一，只不过找的线面垂直不一样； 方法三：利用向量法，计算两个平面的法向量垂直即可，思路简单，运算较繁． （2）方法一：直接利用向量法解决无棱二面角问题，是该类型题的通性通法； 方法二：作平行线找公共棱，从而利用二面角定义找到二面角的平面角，是传统解决无棱二面角问题的方式； 方法三：面积射影法也是传统解决无棱二面角问题的方式，是本题的最优解； 方法四：同方法二，通过找到二面角的公共棱，再利用定义找到平面角，即可解出． 22．(1)取中点，连接. 由，得，. 又因为平面平面，且，平面平面， 所以平面，面，所以. 又因为分别是的中点，所以. 因为四边形为正方形，所以，因此. 以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，如图： 则各点坐标为： ，. 当为中点时，由中点坐标公式得. 平面内的向量，，设平面的法向量， 则，，令，则，. 平面内的向量，， 设平面的法向量为， 则，，令，，. 因为，所以，因此平面平面. (2) (3) 【分析】（1）取中点，由面面垂直的性质可得平面，进而建立空间直角坐标系，用向量方法证明面面垂直可得； （2）分别设（），，，进而可得，再通过两次放缩可得最小值； （3）由（2）可知取到最小值时，与重合，再用向量方法计算面面夹角的余弦值可得. 【详解】（1）略 （2）因为在上，设（）， 同理在上，，设，， 所以，得. 所以，， 因为，所以， 即时，此时分别为的中点，，即. 因此的最小值为. （3）由（2）知当取最小值时，，此时分别为的中点，所以与重合. 平面是的坐标平面，其一个法向量为. 平面即为平面，，， 设平面的一个法向量为， 则，，令，则，. 设平面与平面夹角为，， 则. 因此平面与平面夹角的余弦值为. 23．(1) 因为，分别是线段，的中点，所以线段是的中位线，故. 又因为平面，平面，所以平面. (2)①；② 【分析】（1）利用三角形中位线性质证明，从而证明平面； （2）①找出与平面所成的角，通过其正切值求出线段长度，进而用体积公式求解；②建立空间直角坐标系，通过条件求出与的关系，进而通过基本不等式求出最大值. 【详解】（1）略 （2）①当时，即. 由上题可知，线段是的中位线，所以. 因为平面，且平面，所以，. 在直角中，，，故，又因为是中点，所以. 在直角中，，，所以. 在直角中，，，所以，又因为是中点，所以. 在中，，，故，所以为直角三角形，其中. 故，而， 平面， 故平面， 所以线段为线段在平面上的投影，则与平面所成的角为. 因此，，解得. 故的面积为，三棱锥的体积为. ②过点做平面，垂足为. 以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图空间直角坐标系.    则，，，，，. 故，，直线的方向向量. 设平面的法向量.故，即，所以. 取. 设直线与平面的夹角为，故，易得. 而. 两边同时平方得，，交叉相乘得. 移项合并得.化简得，进而有. 由基本不等式得，，当且仅当时，即时等号成立. 所以. 故的最大值为. 24．(1) 证明：、、两两垂直， 以为原点，、、为x，y，z轴建立空间直角坐标系， AI则，，，，，，， 由于，设，则，其中，则， 所以，， 则，故． (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示公式进行运算证明即可； （2）先应用三棱锥的体积公式得出最大值时，再利用空间向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）要使三棱锥的体积取得最大值，只要的面积最大即可， 由题意知， 当时，即E，F分别为AB，BC中点时的面积最大， 则，， 设平面的法向量为， 又，， 则， 令得， 设平面的法向量为， 又，， 则， 令得， 设平面与平面夹角为 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 25．A 【分析】设圆锥的高为，半径为，结合圆锥的外接球半径与其高、底面半径的几何关系及圆锥体积公式得，，利用导数研究其最值，即可得. 【详解】由题意，要使圆锥体积最大，则圆锥外接球为球， 设圆锥的高为，半径为，故，则， 由圆锥的体积为，且， 所以，故时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以时，最大. 故选：A 26．C 【分析】根据题意，易得外接球半径，利用正弦定理得到截面的外接圆半径为，从而得到球心到面的距离，结合题意即可得到最大值. 【详解】三棱锥的外接球就是以、、为长、宽、高的长方体的外接球， 其直径为，即， 又，所以， 则，于是由正弦定理，的外接圆半径为， 故球心到面的距离为. 所以点到面距离的最大值是. 故选：C. 27．D 【分析】设的外接圆的圆心为，根据中，，解得，过点作圆的截面，当截面过球心时，截面面积最大，由此能求出所得截面圆面积的最大值． 【详解】如图，设的中心为，球的半径为，连接，， 则，， 在中，，解得， 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为． 所得截面圆面积的最大值为． 故选：D．    28．(1)直角梯形中， 由相似可得， 因为，，可得，， 故可得，， 由，则由勾股定理逆定理得，，即， ， 翻折后可得，，， 又因为，在平面内， 故平面 (2) (3) 【分析】（1）相似可得，，结合勾股定理逆定理得到，以及折叠后，，即可证明;（2）证明点P到平面ABC的距离，即为点P到BM的距离，运用等体积法即可求解；（3）建立空间直角坐标系，求出平面PBC法向量，再用向量夹角余弦值公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为点为边的中点， 所以，又， 所以， 因为平面，所以平面平面， 所以点P到平面ABC的距离，即为点P到BM的距离，设为h， 因为为定值， 当h最大时，三棱锥的体积最大， 而，则， 当h=1时，. （3）由（2）得，当三棱锥的体积最大时， 点P到平面ABC的距离为，即平面． 故，， 又因为， 故，，两两垂直． 故可以为原点， 直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题可得，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 29．(1) 由于， 故，则， 由于E为AC的中点，所以， 因为平面， 故平面，又平面， 故平面平面. (2)（i），（ii） 【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，即可由面面垂直的判定求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角公式求解. 【详解】（1）略 （2）（i）因为， 所以为边长为2的等边三角形，则， ， ， 又平面， 故平面，故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 令，则， 平面的一个法向量为， 所以， 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为； （ii）设则， 所以， 则， 当且仅当时取到等号，故的最大值为 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $