大题专项专题5 数列（A卷·基础巩固）-2027版江苏省（职教高考）《数学二轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027版江苏省（职教高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 江苏省（职教高考）《数学二轮讲练测》 专题5数列 （A卷·基础巩固） 1．已知数列的前n项和记为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和； (3)在（2）的条件下，设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用与的关系可得，数列是以首项，公比的等比数列，据此可求解； （2）利用对数的运算得，采用裂项相消法，即根据可求解； （3）采用错位相减法可求解. 【详解】（1）由可得： 令得； 当时，． 相减，得，即， 所以． 所以数列是以首项，公比的等比数列， 所以； （2）由（1）可得：， 所以， 所以； （3）由（1）（2）可得：， 所以① 所以② ①－②可得： ， 所以． 2．已知等比数列满足，．求： (1)数列的通项公式； (2)前4项的和． 【答案】(1)（） (2)15 【分析】（1）根据等比数列的通项公式即可求解. （2）根据等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】（1）依题意得,，等比数列中，又，解得， 所以数列的通项公式为（）． （2）由题意得，等比数列前四项和为． 3．设是一次函数，，且，，是等比数列的前三项.求： (1)函数的解析式； (2)等比数列的通项公式； (3)的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出函数的解析式，根据等比中项列方程求解即可. （2）首先根据（1）求出数列的前三项，再根据等比数列的通项公式求解即可. （3）根据等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】（1）设，则，，， 又，，是等比数列的前三项， 则，可化为， 解得（舍去）或， 则. （2）由（1）得，，， 所以等比数列的公比， 则. （3）由题意得，，，…，成等比数列，首项为9且公比为9， . 4．在等比数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)若求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设公比为，再根据等比数列的通项公式列方程求解即可. （2）根据题意可知数列中，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，再由等差数列与等比数列的前项和公式求值即可. 【详解】（1）设公比为，则， 由，可得， 即，所以，解得， 则，即，解得， 所以. （2）因为 前项中，奇数项为共项， 偶数项为，共项， 则奇数项为首项为，公差为的等差数列， 所以奇数项和为， 则偶数项为首项为，公比为的等比数列， 所以偶数项和为， 所以数列的前项和. 5．已知数列满足，（且）． (1)求数列的通项公式； (2)若，，成等差数列，求的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】（1）根据数列的递推公式以及等比数列的前n项和公式求解即可. （2）根据（1）以及等差数列的性质求解即可. 【详解】（1）因为，所以. 所以，，，，. 以上个等式累加得 . 所以. 经验证满足上式，故. （2）由（1）知，，，. 由题意得，即，解得. 6．已知等差数列的前项和为，，，等比数列的各项均为正．且，． (1)求数列与的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式结合已知条件列式即可求解. （2）利用错位相减法求数列前n项和易得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 在等差数列中，解得， 又，所以，又，所以公差， 所以等差数列的通项公式为， 因为等比数列中，， 设等比数列的公比为，则，解得， 所以等比数列的通项公式为. （2）因为， 所以数列的前项和， 两边同时乘以2为， 两式相减为：， 即， 整理为：． 7．已知各项为正的等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合等比数列的通项公式求出公比及首项即可得解. （）根据题意利用分组求和法即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 即，所以， 又各项为正，所以， 则， 又因为，所以，解得， 所以， 则数列的通项公式为． （2）由题意得， 所以， ， ， ， 将，代入得， 整理得， 所以数列的前项和． 8．在等比数列中，已知，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等比数列的公比，再列方程求解即可. （2）根据等比数列以及等差数列的前n项和公式，分组求和即可. 【详解】（1）设的公比为，由题意得，解得， 所以． （2）由题意，， 所以 ． 9．等比数列中，，. (1)求； (2)记为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据已知条件列式求出首项和公比，再根据等比数列的通项公式即可求解. （2）根据等比数列的前n项和公式即可求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，. 即， 由②式除以①式为，即， 将代入①中得， 所以等比数列的通项公式为 （2）由（1）可知等比数列中，，， 所以数列的前项和. 10．某职校无人机专业进行无人机编队表演，无人机群在空中分别按照“图1、图2、图3、图4、…、图n”依次亮灯构造图形，每幅图亮灯的无人机数量依次记为数列：，，，，…，．假设无人机的数量足够多，并且无损坏，观察图形完成下列问题． (1)求的值； (2)判断数列为何种数列（不要求证明），并求其通项公式； (3)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2)等差数列， (3) 【分析】（1）观察发现，各图的无人机数量依次比前图增加3架，据此即可求出； （2）根据等差数列的定义即可判断并求出通项公式； （3）根据前两问的结果，可求出数列的通项公式，进而求解. 【详解】（1）观察可知，前4个图的无人机数量分别为： 图1：， 得：； （2）数列为等差数列； 由（1）可知， 数列中，，， 则通项公式； （3）因为， ，， 所以数列是首项为16，公比为8的等比数列， 前n项和. 11．已知数列的前项之和为，且满足. (1)求； (2)去掉的偶数项，剩下的数依次构成新数列，求数列的前项之和； (3)去掉的第，项，剩下的数依次构成新数列，求数列的前项之和. 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据等比数列的定义得出数列为等比数列，再由等比数列的通项公式求值即可. （2）根据等比数列的前项和公式求值即可. （3）分别讨论为奇数和偶数时的两种情况，再由等比数列的前项和公式求值即可. 【详解】（1）已知， 当时，，解得， 当时，， 则，解得， 当时，，， 则， 得，即， 所以数列为公比为的等比数列， 所以. （2）去掉的偶数项，， 且，， 得， 则数列为首项为，公比为的等比数列， 所以. （3）去掉的第，项， 即每项去掉中间的一项， 则前项去掉项，保留项， 且数列第， 这些项的序号为首项为，公差为的等差数列， 则， 则，得， 则去掉的项的和为， 当时，前项和为， ， 当时，前项和为， ， 所以. 12．已知数列是等差数列，其前n项和为，满足，，数列的前n项和满足． (1)求使得数列的前n项和的最大正整数n的值； (2)求数列的通项公式； (3)已知三点，，，，满足点B是线段的中点，求数列的前n项和． 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式以及前n项和公式求解即可. （2）根据数列前n项和公式与通项公式的关系以及等比数列的定义求解即可. （3）根据中点坐标公式求出，再根据等比、等差数列的前n项和公式求解即可. 【详解】（1）由题意知：数列是等差数列，，， 所以，∴公差， ， 由解得：， 又因为，． （2）当时，，即， 当，时，， 即：，，（，）， ∴数列是首项为，公比为的等比数列． . （3）由题意知：点是线段的中点， ，即：， ． 13．已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)是否存在正整数，使得？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的最小值为11 【分析】（1）设等比数列的公比为，由等差中项得，化简为，从中求出，代入已知可得，据此可求解； （2）利用等比数列的求和公式，可得，讨论的奇偶性，据此可得解. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由成等差数列可知：， 即， 化简得：， 因为，所以，即. 由得：， 故数列的通项公式为； （2）因为，由（1）可得， 不等式可化为：，即， ①当为偶数时，，不符合题意； ②当为奇数时，可化为， 由于，， 故存在正整数，使得，此时的最小值为11. 14．已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数运算求出，再根据与的关系求出通项公式即可. （2）根据错位相减法求和即可. 【详解】（1）因为点在函数的图像上， 所以，即， 当时，， 当时，， 则， 且符合题意， 故. （2）由（1）可知，， 则数列的前项和：， ， 则， 即， 所以. 15．已知等差数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，根据等差数列的前n项和公式计算求得公差，继而求解； （2）根据题意，先表示出数列的通项公式，继而判断出该数列是等比数列，结合等比数列前n项和公式，即可求解． 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为d，因为， 所以，解得， 所以． 即数列的通项公式是； （2）由（1）可知，， 所以， 所以是首项为4，公比为4的等比数列， 所以． 16．已知，数列满足，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前n项和为，证明：； (3)若数列满足，，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）变形给定等式，构造常数列求出通项公式. （2）利用等比数列前n项和公式，结合差值比较法推理证明. （3）按为偶数、奇数分类，利用分组求和法，结合等差、等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）当时，由，得，即， 因此，数列是常数列， 则，即， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，则， 因为，， 所以数列是以为首项，4为公比的等比数列， 则，，， ， ， 因此， 所以对任意，. （3）由（1）得， 所以，， 则， 当n为偶数时，， 设，， ， ， 两式相减得 ， 于是， 又， 因此； 当n为奇数时，时， ， 而满足上式， 所以. 17．已知数列，，若点在函数的图像上，点在函数的图像上． (1)求证：数列是等差数列，数列是等比数列； (2)若，求数列前10项和． 【答案】(1)证明见解析 (2)2156 【分析】（1）将点的坐标代入解析式，求出，再根据等差数列和等比数列的定义证明即可； （2）根据等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）因为点在函数的图像上，所以， 因为点在函数的图像上，所以． 因为，所以，所以数列是等差数列． 因为，所以，所以数列是等比数列． （2）由（1）知，数列的首项，公差， 所以数列的前10项和是， 由（1）知，数列的首项，公比， 所以数列的前10项和是． 因为， 所以． 18．已知是公差为2的等差数列，其前n项和。 (1)求实数p的值和数列的通项公式； (2)在等比数列中，，若的前n项和为，求证：是等比数列． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）结合题意，根据等差数列的通项公式及前n项和公式求解即可. （2）结合题意，根据等比数列的前n项和公式结合等比数列的定义求解即可 【详解】（1）因为是公差为2的等差数列，其前n项和， 所以， 又，所以， 则在等差数列中，所以数列的通项公式为. （2）因为在等比数列中，，则公比， 所以的前n项和为， 则， 所以，且， 所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列． 19．已知等差数列中，为前项的和，若； (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项的和； (3)若数列满足，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）利用等差数列的通项公式及求和公式，列方程组可得，据此可得解； （2）利用裂项相消法，即由可求解； （3）根据等比数列的定义，证明结果为非零常数即可，再利用等比数列的通项公式可得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题可得： ，解得， 所以； （2）由（1）可知， ， 所以 ； （3）由（1）及已知可得： ， 所以， 且， 所以数列是首项为1，公比为4的等比数列， 所以，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $公共基础课·二轮讲练测 今AI职教》》 编写说明：2027版江苏省（职教高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和 最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学 「习体系，每个专题均配套讲义、课件和B卷习题，满足多样化学习需求。 江苏省（职教高考）《数学二轮讲练测》 专题5数列 （A卷·基础巩固) 1.已知数列a}的前n项和记为，且2，+3=3a。 4求数列a,}的通项公式： 1 (2若b,=1og,a,求数列b,bn的前n项和T, 3)在(2)的条件下，设，=b,a,求数列c,}的前n项和H。 2.已知等比数列a}满足4=1,4+4=3.求 1数列a,}的通项公式 2创前4项的和8， 3,设（✉是一次函数f0)=1且f0,f(4),f3)是等比数列，的前三项求 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 A山职教》》 函数()的解析式 2等比数列亿，}的通项公式 B,+6+++的值 3 4.在等比数列{a,}中，4+4=24+4=3. 1)求数列a} 的通项公式： 「n,n为奇数， 2)若 a,n为偶数，求数列{也，}的前2n项和m 5.已知数列a,满足4=2.a,=0+2(n22且n∈N). 1)求数列a}的通项公式： 2若4+k44-3张 成等差数列，求的值· 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 AI职教》 6.已知等差数列a,的前”项和为5，S=21.4+a=20,等比数列}的各项均为 正.且8+=4+4么=4+4 a求数列a}与，}的通项公式 2设，=ah.求数列c的前”项和. 7.已知各项为正的等比数列a}满足4+a,=6,4=4a. a倒求数列a,}的通项公式： 2设=a,+n.求数列他，的前”项和S, 1 8.在等比数列{a}中，已知4=2：a4=4 1求a的通项公式 2若数列}满足么=0+n+2.求》的前”项和S. 28 112 9.等比数列{a}中，a+4= 0.43+a37 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课二轮讲练测 9AI职教》泥 求： 2记S为数列a,的前”项和，求 10.某职校无人机专业进行无人机编队表演，无人机群在空中分别按照“图1、图2、图3、 图4、一、图心依次亮灯构造图形.每幅图亮灯的无人机数量依次记为数列a,}:44 4a4 a,.假设无人机的数量足够多，并且无损坏，观察图形完成下列问题· 家 乐苏 某环不 家苏家 x x成不 成x家 家家家3 家 某家 家和 家家家家 图1 图2 图3 图4 (1)求的值： 2判断数列a,}为何种数列（不要求证明），并求其通项公式： 3)者么=2 ,求数列}的前n项和9 11.已知数列a,的前项之和为5，且满足，=2(a-) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 A职教》泥 1)求4,4,0 2刨去掉a}的偶数项利下的数依次构成新数列色，} 求数列的前”项之和7： )去掉o的第2,581山，项。利下的数依次构成新数}求数列的前”项之和2 12.已知数列a,}是等差数列.其前n项和为S,满足4=9.4+4+4=3.数列，} 的前n项和7满足 T =26+1 ()求使得数列a,}的前n项和S,>0的最大正整数n的值： 包求数列，}的通项公式 B已知三点1，a,）B(ab,）C(ac）.neN,满足点B是线段4C的中点求数列 c,}的前n项和G, 13.已知等比数列a,}的前”项和为S。,且S,S成等差数列.4+a+4=9 4)求数列a,}的通项公式： 2)是否存在正整数”.使得，≥2026 若存在，求出”的最小值；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 A山职教》》 14.已知数列a,}的前”项和为，对一切正整数”，点Sm)都在函数 f(x)=log2(x+4)-2 的图像上 求数列a}的通项公式 b=a,log (2)设 2a,求数列{b}的前n项和Tn 15.已知等差数列a,}的前n项和为5，.且4=2，S=20 求数列a}的通项公式 (2)设数列 }满足=2”.求的前项和 16.已知neN,数列a,}满足4=-，当n≥2时.(a-)a-a,1=3 (1)求数列(nJ的通项公式： 2数列2}的前n项和为5，证明：S<S B若数列，}满足=a。=(1a2”,求数列，的前n项和了 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 AI职教》 17.已知数列a,}.么，}若点1(ma,)在函数f()x的图像上，点B(mb,)在函数 8()=2的图像上(neN） (1)求证：数列a,}是等差数列.数列，}是等比数列： 2若。=2a+场.求数列，前10项和S。 18.已知{a,}是公差为2的等差数列，其前n项和S,=pm+n )求实数p的值和数列a,}的通项公式 2在等比数列，}中，么=2,6=马，若}的前n项和为，求证： {红+是等比数列 19.已知等差数列a,}中，S为前”项的和，若0，=，8=126 (1)求数列 a 的通项公式： 1 (2)求数列aa了的前n项的和T,: 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 A山职教》》 B若数列，}满足4=2,61=46.-a,neN门求证：数列。-心是等比数列， 并求数列 {b,}的通项公式 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！